Sáng kiến kinh nghiệm Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
Tên sáng kiến : Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Môn Toán - THCS
Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ năm học 2009-2010 
Tác giả : 
Họ và tên : Nguyễn Thị Thu Hường.
Năm sinh : 1977
Nơi thường trú :TT Xuân Trường-huyện Xuân Trường-Tỉnh Nam Định.
Trình độ chuyên môn: Đại học Sư phạm Toán.
Chức vụ công tác: Giáo viên.
Nơi làm việc: Trường THCS Xuân Trường - huyện Xuân Trường – tỉnh Nam Định.
Địa chỉ liên hệ: Trường THCS Xuân Trường - Xuân Trường - Nam Định
Điện thoại : 0948870336
Đơn vị áp dụng sáng kiến: 
Tên đơn vị : Trường THCS Xuân Trường- huyện Xuân Trường- tỉnh Nam Định.
Địa chỉ : Tổ 18-TT Xuân Trường –huyện Xuân Trường –tỉnh Nam Định.
Điện thoại : 03503 886302
 I. ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
	Trong quá trình giảng dạy tại trường THCS tôi nhận thấy việc “ Giải phương trình nghiệm nguyên” đối với học sinh khá, giỏi là một dạng toán khó mà các em rất e ngại khi gặp phải. Trong thực tế khi dạy học sinh “Giải phương trình nghiệm nguyên” thì ngoài việc cung cấp cho các em các phương pháp giải cơ bản như: Phương pháp đưa về phương trình tích , phương pháp xét khoảng giá trị của ẩn, phương pháp tạo ra bình phương đúng, phương pháp phát hiện tính chia hết của một ẩn , áp dụng định lý về sự tồn tại nghiệm nguyên để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình bậc nhất nhiều ẩn,.... Phương pháp “đặt ẩn phụ” kết hợp với các phương pháp nêu trên để “giải phương trình nghiệm nguyên” là một thao tác hết sức quan trọng, biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo thì bài toán phức tạp sẽ trở thành đơn giản hơn. 
Là một giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán THCS , tôi mạnh dạn nêu một số ví dụ về “Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ” mà bản thân tôi đã soạn, dạy cho học sinh của mình. Mời các bạn cùng tham khảo và đóng góp ý kiến để việc dạy và trang bị cho HS phương pháp giải PT nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ ngày càng tốt hơn.
 II. THỰC TRẠNG
 Thực tế, qua nhiêù năm giảng dạy tại trường, trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi nhận thấy học sinh thường ngại giải phương trình nghiệm nguyên, đặc biệt những phương trình không ở dạng mẫu mực, phương trình nhiều ẩn, những phương trình không giải được bằng những phương pháp giải cơ bản đã được giáo viên hướng dẫn. Học sinh thường bó tay khi gặp những phương trình lạ dạng hoặc thoáng nhìn thấy có vẻ phức tạp, những bài toán kiểu như vậy làm giảm hứng thú và tính kiên nhẫn của trò trong quá trình học toán khiến giáo viên nản lòng. Trước thực tế đó, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến của bán thân mong có thể giúp được học trò cảm thấy hứng thú hơn khi gặp các bài toán về phương trình nghiệm nguyên. 
 III. CÁC GIẢI PHÁP TRỌNG TÂM
 A. MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 1) Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ kết hợp với xét tính chia hết của ẩn:
Bài 1: Tìm tất cả các nghiệm nguyên x;y thoả mãn: 
 (I)
 Giải: 
Phương trình đã cho tương đương với: (1)
Đặt : x+y=p 
 x-y=q 
Suy ra : ; 
Thế ; vào (1) ta có : (2)
Dễ thấy : và 
Suy ra p=3k (với )
Thay vào (2) ta có : (3)
Vậy suy ra k=3m (với )
Thay k=3m vào (3) ta có : 
Vì 
 mà Suy ra 
+Với m = 0 thì k = 0, suy ra p = q = 0
 và x = y = 0
Giá trị x = y = 0 không thoả mãn phương trình (I).
+Với m = 1 thì k = 3, suy ra p = 9, q = 
Vậy x = 5, y = 4 hoặc x = 4, y = 5
Do đó , nghiệm của phương trình (I) là (4;5) và (5;4)
Bài 2:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau : 
 Giải :
Ta có : 
 và
Đặt x = 3u, y = 3v ( u, v ) . Khi đó ta có :
Tương tự , ta đặt : u = 3t , v = 3k ( t , k ) và ta có : , điều này vô lý.
Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: 
 Giải: 
Ta có 1820=7.13.20. Từ và
Đặt x = 13u , y = 7v ( u, v ) . 
Phương trình đã cho trở thành : (1)
Suy ra và . Vì u, v nên và .
Thử lại chỉ có thoả mãn (1). 
Vậy (1) có 4 nghiệm (u,v) là (1;1) , (1,-1) , (-1;1) và (-1;-1).
Từ đó suy ra , phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên (x, y) là (13;7) , (-13; 7) , (13;-7) và (-13;-7).
 2) Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ kết hợp với phương pháp đưa về phương trình tích:
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 
 Giải : 
Phương trình đã cho tương đương với : 
Đặt : , ta có : hay 
Hay 
Chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau :
Trưòng hợp 1: 
Trường hợp 2: 
Trong cả hai trường hợp trên ta có :
Trưòng hợp 3: 
Trong cả hai trường hợp trên ta có :
Trường hợp 5: 
Khi đó ta có hoặc 
Trường hợp 6: và
Khi đó ta có hoặc 
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên (x, y) như sau : (1;12), (-9;12), (1;-12), (-9;-12), (0;0) , (-8;0) , (-1;0) , (-7;0) , (-4;12) , (-4;-12). 
 3) Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ kết hợp với tạo ra bình phương đủ:
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
 Giải : 
Phương trình đã cho được biến đổi về dạng:
Đặt (m nguyên dương), ta có :
Vậy 
Vì x, y là các số nguyên dương nên phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dương dạng: (x nguyên dương tuỳ ý)
4) Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ kết hợp với xét các số chính phương liên tiếp:
Bài 6: Tìm ngiệm nguyên của phương trình:
 Giải: 
Đặt thì 
Nếu a > 0 thì , nên không là số chính phương.
Vậy hay 
Từ đó suy ra , phương trình có các nghiệm nguyên (x;y) là: (0;0) , (0;-1) , (0;-2) , (0;-3)
5) Một số cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ khác:
Bài 7: Tồn tại bao nhiêu bộ chữ số x , y , z , t thảo mãn đẳng thức :
 (1)
 Giải : 
Đặt ; 
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta có đẳng thức :
 (2)
Vì , chia hai vế của (2) cho a ta được : 
Vì b là số có hai chữ số và phải là số chính phương. Nên các giá trị của b có thể nhận là 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81. Tương ứng sẽ có 6 giá trị của a.
Vậy tồn tại 6 bộ chữ số x ; y ; z ; t thoả mãn đẳng thức trên.
Bài 8: Tìm các số tự nhiên m, n thoả mản phương trình : 19m + 94n = 1994
 Giải : 
 Từ phương trình đã cho dễ thấy nên :
Đặt m = 100 – p
 n = 1+ q
Và thay vào phương trình đã cho , giản ước ta có: 19p = 94q
Vì ( 19 ; 94) =1 nên p = 94k ; q = 19k (k)
Vậy m = 100 – 94k
 n = 1 + 19k
Do m , n là số tự nhiên nên 
Với k = 0 thì m = 100 , n = 1
Với k = 1 thì m = 6 , n = 20
Vậy tồn tại hai cặp số (m, n ) là (100 ; 1) , (6 ; 20).
Bài 9: Có bao nhiêu nghiệm nguyên của phương trình :
 (1) 
 Giải :
 Các số x ; y nguyên thoả mãn phương trình : đặt (x , y >0)
Vì . Ta có (1) trở thành : 
Hay zt – 10z – 10t =0 
 zt – 10z -10t +100 = 100
( z – 10) ( t – 10) = 100
Đặt z = 10 + d ta tính được t = 10 +
Do d là ước nguyên của 100
d nhận các giá trị : 1 ; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100
Với 
Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm (x; y) như sau: ( 2100; 121000), (1440; 36000) , (1960; 12250) , (2250; 9000) , ( 4000; 4000) , (9000; 2250) , (12250; 1960) , (36000; 1440) , (121000; 2100) .
 B. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : (1)
Hướng dẫn: Phương trình (1) 
 và 
Đặt 
 Từ đó suy ra = 1
Phương trình có hai nghiệm nguyên (2;0) và (-2;0)
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho về dạng 
Đặt 
Từ đó suy ra u = v = 0 hoặc u = v = 1
Tìm được các nghiệm nguyên của phương trình là: (3;2),(3;-2),(-3;2),(-3;-2).
Bài 3 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 
Hướng dẫn: Đặt ta có : 
Xét tính chẵn, lẻ của ẩn u, v . 
Tìm được các nghiệm (x;y) của phương trình đã cho là: (2;-8),(2;24),(-2;-24),(-2;8)
Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 
Hướng dẫn: Từ phương trình đã cho suy ra . đặt y=3,
 suy ra , đặt x =3
Ta có : 
Từ đó suy ra phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Bài 5: Tìm x, y thuộc Z thoả mãn: 
Hướng dẫn : Viết phương trình dưới dạng 
Dễ thấy phương trình có nghiệm x = y = 0
Xét x , y 0 suy ra là một số chính phương.
 Đặt , ta có : (x-a)(x+a)=7
Từ đó tìm được (x,y) thoả mãn phương trình :(0;0), (4;-1), (4;2), (-4;1), (-4;-2)
 C. MỘT SỐ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH
Đề số 1: 
1.Tìm các chữ số x, y, z, t nếu :
2.Giải phương trình trong miền số tự nhiên :
Đề số 2: 
1.Tìm các chữ sỗ x, y, z, t, u, v thoả mãn : 
2.Tìm các số tự nhiên m, n thoả mãn phương trình : 
 IV. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI:
 Nếu so sánh với các ngành nghề khác thì hiệu quả kinh tế của các sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy là ít hơn, khó nhận biết hơn. Tuy nhiên cũng không phải là không có giá trị kinh tế cho mỗi sáng kiến giảng dạy.
 Với sáng kiến của bản thân tôi, hiệu quả kinh tế mà sáng kiến mang lại được cụ thể hoá như sau :
Học sinh biết cách giải phương trình nghiệm nguyên chính xác, khoa học nhất, học sinh có ý thức học tập tốt hơn trong môn học, yêu thích môn học hơn khi các em có kiến thức về cách giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
 Kết quả ở nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng như sau:
 Sau khi tiến hành dạy thực nghiệm kết hợp với quá trình giảng dạy trên lớp, kết quả cho thấy hiệu quả của sáng kiến cao. Cụ thể là học sinh có kỹ năng giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp ẩn phụ , sáng tạo hơn trong việc giải toán, đặc biệt là biết giải phương trình nhanh hơn, hiệu quả hơn. Hạn chế được rất nhiều những sai lầm mà trước kia hay mắc phải, hiểu rõ được bản chất của mỗi bài toán dẫn đến có kết quả cao sau mỗi bài kiểm tra. Từ đó, học sinh hứng thú hơn trong việc giải phương trình nói riêng và quá trình học toán nói chung, tiết kiệm cho học sinh rất nhiều về quĩ thời gian, giáo viên truyền thụ được tới học sinh nhiều kiến thức hơn trong cùng một dung lượng thời gian.
- Nhóm đối chứng: Gồm 22 học sinh có điểm như sau: 17,15, 10, 12, 11, 13 14, 16 15 16, 14, 13, 17, 11, 14, 18, 10, 17, 18, 19, 17
 - Nhóm thực nghiệm: Gồm 22 Học sinh có điểm như sau: 18,18, 13, 15, 12, 14,
 16, 19 17 19, 15, 14, 19, 13, 15, 20, 12, 18, 19, 20, 20
Qua đó ta thấy rõ ràng nhóm thực nghiệm thực sự tốt hơn nhóm đối chứng và hiệu quả sáng kiến được thể hiện rất rõ.
Như vậy, học sinh yêu thích môn học, hứng thú với các tiết học bởi vậy mà kết quả học tập môn Toán của các em học sinh được nâng cao hơn. Đây lại là môn học cơ bản trong chương trình giáo dục phổ thông, môn học học sinh cần có chất lượng tốt giúp các em thi vào cấp III. Với sáng kiến kinh nghiệm của tôi, học sinh có kết quả học tập tốt hơn trong môn Toán nói riêng và trong toàn bộ quá trình học tập của các em nói chung. Kiến thức này cũng giúp các em có thể học tốt hơn chương trình môn Toán lớp 9, tỉ lệ học sinh thi vào cấp III cao hơn. Từ kết quả đó, các em học sinh nhận được nhiều sự động viên, hỗ trợ về vật chất của Hội khuyến học, khuyến tài các cấp. Như vậy, xét về hiệu quả kinh tế, kinh phí đào cho các học sinh này cũng vì vậy mà được giảm bớt. 
 V. ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ:
 Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy thực ra là những kinh nghiệm, bài học được nảy sinh từ thực tế giảng dạy của giáo viên. Tuy nhiên, để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào trong thực tế giảng dạy cần phải có những điều kiện khách quan và chủ quan xung quanh nó thì mới phát huy được giá trị và tính thực tiễn của sáng kiến.
 Với sáng kiến kinh nghiệm của tôi, tôi đề xuất một số kiến nghị như sau:
 * Về phía giáo viên:
Giáo viên cần định hướng rõ về phương pháp, nội dung, kiến thức của từng tiết học liên quan đến đơn vị kiến thức đó. Điều đó phải được thể hiện chi tiết trong các bước soạn giảng, phương án giảng dạy. Giáo viên chủ động xây dựng hệ thống bài tập thực hành phù hợp với nội dung của nội dung bài dạy. Nắm chắc nội dung, phương pháp giảng dạy thì giáo viên sẽ chủ động trong việc truyền đạt kiến thức cho học sinh, tạo tâm thế hứng thú cho học sinh khi tham gia vào các tiết học giải phuơng trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Ngoài ra, giáo viên cũng cần phải tham khảo thêm các tài liệu ngoài SGK như: sách tham khảo của các tác giả có danh tiếng trong lĩnh vực toán học: Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Mậu, Phan Huy Khải, Vũ Hữu Bình, Tôn Thân,...Sách của các nhà xuất bản: Giáo dục, Đại học Sư phạm, Đại học Quốc gia Hà Nội. Khuyến khích, động viên, tạo quỹ thời gian và hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu tài liệu, tự học ở nhà.
 * Về phía các cấp quản lý: 
 +) Nhà trường: Đề nghị BGH có kế hoạch đầu tư kinh phí cho tủ sách tham khảo thêm phong phú để giáo viên và học sinh có thể được tham khảo. Tạo quỹ thời gian để giáo viên có thể được đọc và thực sự đam mê nghiên cứu tài liệu.
 +) Phòng Giáo dục-Đào tạo: Đề nghị bộ phận chuyên môn của PGD mở các lớp bồi dưỡng chuyên đề thường xuyên để giáo viên chúng tôi có dịp giao lưu, học hỏi đồng nghiệp về nghiệp vụ và chuyên môn, có dịp phổ biến những kinh nghiệm của bản thân và tiếp thu những kinh nghiệm của đồng nghiệp.
KẾT LUẬN CHUNG
Phương pháp dạy học của người thầy để học sinh nắm bắt được nội dung cần thiết là cả một quá trình nghệ thuật. Để giúp các em hiểu bài và yêu môn học, có hứng thú, say mê với các bài tập khó thì đây là cả một quá trình tích luỹ kiến thức và phương pháp của người thầy. Không chỉ một sớm một chiều có được nó mà là cả một quá trình rèn giũa, đúc rút, nghiên cứu và tìm tòi. Do đó đòi hỏi người thầy phải thực sự tâm huyết, kiên trì để tạo thói quen và tư duy và khả năng lập luận cho học trò. Qua quá trình giảng dạy nhiều năm ở bậc THCS, trong một chừng mực nào đó bản thân đã có những sáng tạo có tác dụng thiết thực nâng cao chất lượng và sự sáng tạo của trò, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu, thử nghiệm. Rất mong được sự cộng tác của các đồng nghiệp để tạo thành lý luận hoàn chỉnh giúp học sinh không ngừng phát huy tính sáng tạo. 
 Xin trân trọng cảm ơn!
 Xuân Trường, ngày 25 tháng 4 năm 2010
 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN
 Nguyễn Thị Thu Hường
 CƠ QUAN, ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 
 (Xác nhận, đánh giá, xếp loại)
 PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HUYỆN XUÂN TRƯỜNG
 (Xác nhận, đánh giá, xếp loại)
 PHỤ LỤC
 Tài liệu tham khảo
1.Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán THCS – Nguyễn Vũ Thanh – NXB Giáo dục
2.Các chuyên đề số học bồi dưỡng HSG THCS – Phạm Minh Phương và nhóm tác giả chuyên toán ĐHSP Hà Nội.
3.Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS – Nhóm tác giả: Vũ Dương Thuỵ
 Trương Công Thành
 Nguyễn Ngọc Đạm