Sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp thực hiện phép nhân, chia đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó

Phần thứ nhất
Đặt vấn đề 
1.1. Lý do chọn sáng kiến.
	Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề thường xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng. Để chất lượng học sinh ngày càng được nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng học sinh.
	Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi giảng dạy Chương I phép nhân và phép chia các đa thức, và phân tích đa thức thành nhân tử học sinh thường làm sai đáp số.đối với học sinh lớp 8 đều cần phải thực hiện thành thạo phép nhân chia đa thức và biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy người giáo viên khi dạy học sinh học toán phải cung cấp cho các em một cách hệ thống các phương pháp thực hiện nhanh các phép toán nhân chia đơn thức đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ giải toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng toán trong chương I môn Đại số lớp 8.
	Các vấn đề trong sáng kiến đều được lựa chọn để mọi đối tượng học sinh đều có thể tiếp thu được. Ngoài ra trong sáng kiến một số vấn đề khó được diễn đạt một cách đơn giản, dễ hiểu, các lời giải, trình bày ngắn gọn để vừa tăng lượng thông tin trong khuôn khổ có hạn của sáng kiến, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh, đồng thời nêu bật những khâu mấu chốt của lời giải.
	Xuất phát từ yêu cầu và mong ước trên, tôi đã chọn sáng kiến: “ Giải pháp thực hiện phép nhân, chia đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó”.
	1.2. Mục đích của sáng kiến:
	- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp thực hiện phép nhân, phép chia các đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp học sinh có khả năng vận dung tốt dạng toán này.
	- Học sinh có khả năng thực hiện thành thạo các phép tính nhân chia các đa thức.
	- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức.
	- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh.
	- Thấy được vai trò của việc thực hiện các phép tính nhân, chia các đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán để từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh.
	1.3. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu: 
	Với sáng kiến này tôi đã thực hiện trong nhiều năm qua. Bản thân đã nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về thực hiện các phép tính nhân, chia các đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh THCS:
	- Sách giáo khoa lớp 7, 8.
	- Sách giáo viên lớp 7, 8.
	- Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên.
Phần thứ hai
Nội dung
2.1. Phép nhân và phép chia các đa thức 
 2.1.1. Nhân đơn thức với đa thức:
	Khi thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức mà đơn thức mang dấu âm học sinh khi thực hiện thường lúng túng và thực hiện sai kết quả
Ví dụ: 
	Để học sinh thực hiện được nhanh và chính xác kết quả của bài toán trước khi dạy bài này cho học ôn tập lại phép nhân đơn thức với đơn thức đã học ở lớp 7
Gọi 3 học sinh: Học sinh 1 thực hiện phép tính 
 Học sinh 2 thực hiện phép tính 
 	Học sinh 3 thực hiện phép tính.
 Yêu cầu học sinh lên bảng điền vào chỗ trống , kết quả khi điền giáo viên đưa cho học sinh phấn màu để làm nổi bật kết quả nhận được qua đó rút ra kết luận kết quả của phép nhân đơn thức và đa thức được kết quả là phần phép nối kết quả của 3 học sinh vừa thực hiện là 
 Từ kết quả trên gọi 1 học sinh đưa ra quy tắc nhân đơn thức với đa thức nhằm giúp học sinh khắc sâu quy trình khi thực hiện nhân đơn thức với đa thức.
2.1.2. Nhân đa thức với đa thức.
 Sau khi học sinh đã thực hiện thành thạo phép nhân đơn thức học sinh có thể dễ dàng thực hiện phép nhân đa thức với đa thức.
 Ví dụ: .
 Gọi 2 học sinh : Học sinh 1 thực hiện phép tính 
 Học sinh 2 thực hiện phép tính 
 Kết quả của học sinh 1là : 
 Kết quả của học sinh 2 là: -12x2 + 10x - 1.
GV ghép nối 2 kết quả trên được : -12x2 + 10x - 1.
Yêu càu học sinh thu gọn các hạng tử đồng dạng sau khi thu gọn GV kết luận đó chính là kết quả phép nhân đa thức với đa thức 
2.2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
 Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số) là biến đổi thành tíc của những đa thức bậc nhỏ hơn.
 Ví dụ: x3 + y3 = ( x + y) (x2 + xy + y2) 
 Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp.
2.2.1.Phương pháp 1 : Đặt nhân tử chung ( thừa số).
 * Các ví dụ: phân tích đa thức thành nhân tử.
 a. 12x2y – 18y3.
 b. 3x2( y -2z) - 15x(y – 2z)2.
 Giải
a. Các hạng tử có nhân tử chung là 6y, do đó:
12x2y – 18y3 = 6y.2x2 – 6y.3y2 = 6y( 2x2 -3y2).
b. Cacs hạng tử có nhân tử chung là: 3x( y- 2z).
Do đó ta có: 3x2( y -2z) - 15x(y – 2z)2 = 3x(y-2z) [x- 5(y-2z) ].
 = 3(y – 2zx- 5y +10z).
 * Chú ý: Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.
Chẳng hạn đa thức: 2x2 ( 3y –z) + ( z- 3y)( x + y).
Có thể viết: 2x2 ( 3y –z) - (3y - z)( x + y) và xuất hiện nhân tử chung là (3y –z).
2.2.2.Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
 * Các ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử.
 a. 4x2 -12x +9. c. 16x2 – 9( x +y)2.
b. 27 –27x +9x2 –x3. d. 1 – 27x3y6.
 Giải
a. 4x2 -12x +9 = ( 2x)2 – 2.2x.3 + 32 = ( 2x – 3)2.
b. 27 –27x +9x2 –x3 = 33 – 3.32.x +3.3.x2 – x3 = ( 3 – x)3.
c. 16x2 – 9( x +y)2 = ( 4x)2 - [ 3( x+y) ]2 = ( x-3y)( 7x +y).
d. 1 – 27x3y6 = 13 – (3xy2)3 = ( 1- 3xy2)(1+ 3xy2 + 9x2y4).
 * Chú ý. Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức, chẳng hạn:
-x4y2 – 8x2y – 16 = -( x4y2 + 8x2y +16) = - ( x2 y + 4)2.
2.2.3.Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử .
 * Dạng tam thức bậc hai.
V í d ụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 – 6x + 8.
Giải
 Đa thức trên không có thừa số chung, cũng không có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ và cùng không thể nhóm hạng tử. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một hạng tử thành 2 hay nhiều hạng tử.
 Cách 1. x2 – 6x + 8 = x2 – 2x - 4x2 + 8.
 = x( x - 2) - 4( x-2) 
 = ( x - 2)( x - 4).
Cách 2. x2 – 6x + 8 = x2 – 6x + 9 - 1 
 = ( x - 3)2 - 1.
 = ( x - 2)( x - 4).
Cách 3. x2 – 6x + 8 = x2 – 4x + 4 - 2x +4.
 = ( x - 2)2 – 2( x - 2 ).
 = ( x - 2) ( x - 4).
Cách 4 . x2 – 6x + 8 = x2 –4 - 6x + 12.
 = ( x - 2)( x + 2) – 6( x - 2).
 = ( x - 2) ( x-4).
Cách 5 . x2 – 6x + 8 = x2 –16 - 6x + 24.
 = ( x - 4)( x+ 4) – 6( x - 4).
 = ( x - 2) ( x- 4).
Cách 6 . x2 – 6x + 8 = 3x2 - 6x + 2x2 + 8.
 = 3x( x - 2) – 2( x - 2)( x + 2) .
 = ( x - 2) ( x- 4).
 Nhận xét: Trong các cách giải trên, cách 1 là đơn giản nhất và dễ làm nhất. Ở đây ta đã tách số hạng bậc nhất -6x thành 2 số hạng -2x và -4x. Trong đa thức x2 – 2x - 4x2 + 8 bằng hệ số của các số hạng là: 1; -2; -4; 8 các hệ số thứ hai và thứ tư đều gấp -2 lần hệ số liền trước nó, nhờ đó xuất hiện nhân tử chung ( x – 2).
 Một cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử và tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho , tức là b1.b2 = a.c.
 Trong thực hành ta làm như sau: 
 Bước 1: tìm tích a.c
 Bước 2: phân tích ac thành tích của hai thừa số, hai thừa số này cùng dấu nhau (vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm ( vì tổng của chúng bằng -6). 
 Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2 + 6x - 8.
Giải
cách 1. tách hạng tử thứ hai.
 9x2 + 6x – 8 = 9x2 - 6x + 12x - 8.
 = 3x( 3x – 2) + 4( 3x – 2).
 = ( 3x – 2)( 3x + 4)
 Chú ý: hệ số 6 được tách thành -6 và 12 vì tích của ac = 9.(-8) = 72.
 Cách 2. Tách hạng tử thứ ba.
 9x2 + 6x – 8 = 9x2 + 6x + 1 - 9.
 = ( 3x + 1)2 – 33.
 = ( 3x – 2)( 3x + 4)
 Nhận xét. Qua 2 ví dụ trên ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác nhau thường nhằm mục đích: 
 - Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhâ tử chung ( cách 1).
 - Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương ( cách 2).
 Chú ý: 
a. Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 khi phân tích cách làm tương tự đa thức bậc hai một biến.
 Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x2 – 7xy + 3y2.
Giải
 Cách 1: 4x2 – 7xy + 3y2 = 4x2 – 4xy – 3xy + 3y2 
 = 4x(x - y)- 3y(x - y)
 = ( x - y)(4x-3y)
 Cách 2: 4x2 – 7xy + 3y2 = 4x2 – 8xy + xy + 4y2 – y2 
 = 4(( x- y)2 + y(x - y)
 = ( x - y)(4x - 3y)
b. Đa thức bậc hai ax2 + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử trong phạm vi số hữu tỷ, nếu theo cách 1 khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc theo cách hai sau khi đưa ra đa thức bậc hai về dạng a(x2 – k) thì k không phải là bình phương của một số hữu tỷ.
 Chẳng hạn đa thức x2 + 4x + 6 có tích a.c = 6 = 1.6= 2.3 , nhưng không có hai thừa số nào có tổng bằng 4.
 Còn theo cách hai thì: x2 + 4x + 6 = x2 + 4x + 4 + 2 = ( x+2)2 – (-2); -2 không là bình phường của số hữu tỷ nào. Vậy đa thức x2 + 4x + 6 không phân tích thành tích được.
 2.3. Đa thức bậc ba trở lên.
 Để tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.
2.3.1. Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức.
* Định nghĩa nghiệm của đa thức.
 Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) = 0, như vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x = 0 thì nó chứa thừa số x-a.
 Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các định lý sau:
* Định lí 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì là một nghiệm của đa thức .
* Định lí 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức .
* Định lí 3: nếu đa thức f(x) với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó sẽ là ước của hệ số tự do.
 Chú ý: để nhanh chióng loại trừ các nghiệm của hệ số tự do, không là nghiệm của đa thức có thể dùng nhận xét sau:
 a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì và đều là số nguyên.
 Ví dụ : f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x – 18.
Có các ước của 18 là: 
f(1) = -18. f(1) = -44. Hiển nhiên không là nghiệm của f(x) .
 Ta thấy không nguyên nên không là nghiệm của f(x) ; không nguyên nên 2 không phải là nghiệm của f(x).
 Chỉ còn -2 và 3 kiểm tra thấy 3 là nghiệm của f(x).
* Định lí 4: Đa thức f(x) với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỷ x=p/q thì p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất .
2.3.2.Các ví dụ.
 Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – 5x2 + 8x – 4.
 Ta thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số là 1 -5 + 8 – 4 = 0, nên là 1 nghiệm của đa thức . Đa thức đã cho chứa thừa số là x-1; ta tách các hạng tử như sau:
 x3 – 5x2 +8x – 4 = x3 – x2 + 4x + 4x – 4 
 = x2 (x-1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) .
 = (x-1)(x2 – 4x + 4) = (x -1)(x-2)2.
 Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 5x2 +3x +9.
 Ta thấy các hệ số của đa thức 1+ 3 = -5 +9, nên đa thức đã cho có nghiệm là -1, đa thức chứa thừa số x+1.
 Ta tách như sau: x3 – 5x2 + 3x +9 = x3 – 6x + x – 6x + 9x + 9.
 = x2(x + 1) - 6x(x +1) + 9(x + 1).
 = (x + 1)(x-3)2.
 Ví dụ 3: f(x) = x3 –x2 – 4 
 Lần lượt kiểm tra với x = .
 Ta thấy f(2) = 0, đa thức có nghiệ là x = 2, do đó chứa thừa số x – 2.
 Ta có: x3 – x2 – 4 = x3 – 2x2 + x2 – 2x + 2x – 4 
 = x2(x - 2) + x(x – 2) + 2(x – 2) 
 = (x – 2)(x2 + x + 2).
 Ví dụ 4: 2x3 –x2 +5x +3. 
 Ta thấy không là nghiệm của đa thức , xét các số hữu tỷ dạng p/q với p là Ư(2) và q là Ư(3) gồm . Ta có là nghiệm của đa thức nên chứa thừa số 2x + 1.
 Vậy: 2x3 – x2 +5x +3 = 2x3 + x2 – 2x2 + 6x – x + 3
 = x2(2x + 1) – x(2x + 1) + 3(2x + 1)
 = (2x + 1)(x2 – x + 3).
2.3.3. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
 * Thêm và bớt cùng một số hạng để xuất hiên hằng đẳng thức.
 Ví dụ: 4x4 + 81
Ta thấy đa thức đã cho là tổng của 2 bình phương (2x2)2 + 92 tương ứng với hai số hạng A2 + B2 của hằng đẳng thức A2 +2AB + B2 còn thiếu 2AB, cần thêm bớt 2.2x2.9 để làm xuất hiện hằng đẳng thức.
 Ta có : 4x4 + 81 = (2x2)2 + 2.2x2.9 + 92 – 2.2x2.9
 = (2x2 + 9)2 – (6x)2
 = (2x2 – 6x + 9)(2x2 + 6x + 9).
 Chú ý: Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phương thì mới làm tiếp bài được.
 * Thêm bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện thừa số chung.
 Ví dụ: x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 -4x2 
 = (x2 +2)2 – (2x)2
 = (x2 + 2 +2x)(x2 + 2 – 2x)
2.3.4. Phương pháp đổi biến.
 Thực hiện đỏi biến của đa thức đã cho được đa thức mới bậc nhỏ hơn và đơn giản hơn.
* Các ví dụ.
 Ví dụ 1: ( x2 +x)2 + 4x2 + 4x – 12
 Ta thấy nếu đặt (x2 + x) = y thì đa thức có dạng y2 + 4y -12.
 Ta có: y2 + 4y – 12 = y2 + 6y – 2y – 12
 = y(y + 6) – 2(y + 6)
 = (y+ 6)(y – 2).
 Tương đương với: (x2 + x +6)(x2 + x – 2) = (x2 + x +6)(x + 2)(x – 1).
 Ví dụ 2: (x +2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 .
 Ta có: (x +2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 = [ (x +2)( x+5) ] [ (x+3)(x+4) ]– 24
 = (x2 + 7x +10)(x2 + 7x + 12) – 24 (*)
Đặt x2 + 7x + 11 = y, thì (*) bằng; (y-1)(y+1) – 24 = y2 – 25 = (y-5)(y+5)
Tương đương với (x2 + 7x +16)(x2 +7x +6) = (x+1)(x+6)(x2 + 7x +16).
2.3.5. Phương pháp hệ số bất định 
 Ví dụ: 
 x4 – 6x3 + 4x2 + 14x + 3
 Các hệ số -1;1; -3; 3 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm hữu tỷ.
 Như vậy đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng: (x2 + ax + b)(x2 + cx + d).
Phép nhân này cho kết quả: x4 + (a+c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được:
 a +c = -6
 ac + b + d = 4
 ad + bc = 14
 bd = 3
Xét db =3 với b,d thuộc Z, ; với b =-3 thì d = -1.
Khi đó a+ c =-6	 ac = 8	 -a –3c = 14
 Suy ra: a =-2; c= -4, 
vậy đa thức được phân tích thành: (x2 - 2x - 3)(x2 - 4x - 1).
 Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải trên bằng cách tách hạng tử :
x4 – 6x3 + 4x2 +14x +3 = x4 -2x3 – 3x2 – 4x3 + 8x2 + 12x – x2 + 2x + 3
 = x2(x2 -2x – 3) – 4x(x2 – 2x – 3) – (x2 -2x – 3)
 = (x2 - 2x - 3)(x2 - 4x - 1).
2.3.6. Phương pháp xét giá trị tuyệt đối.
 Trong phương pháp này trước hết ta xác định các thừa số chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
 Ví dụ: 
 P = x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y).
Nếu thay x = y thì P = y2(y – z) + y2(z – y).
 Như vậy P chứa thừa số x-y. Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên P chứa x-y thì cũng chứa y-z và z-x.
 Vậy dạng của P là k(x – y)(y – z)(z – x).
 Ta thấy k phải là hằng số vì có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x-y)(y-z)(z-x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z.
 Ta có x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) . đúng với mọi x,y,z.
 Nên ta gán cho các biễn x, y, z các giá trị riêng x =1, y =0, z =-1.
 Ta có: 1.1 +0 +1.1 = k.1.1.(-2) suy ra k = - 1. 
Phần thứ ba
Kết luận chung và kiến nghị
 3.1. Kết luận chung
 Trên đây là những suy nghĩ và việc làm của tôi đã thực hiện ở lớp 8,9 đã có những kết quả đáng kể với học sinh .
 Cuối năm học các em đã quen với loại toán “phép nhân, phép chia các đa thức và phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”, đã nắm được các dạng toán và phương pháp giải từng dạng, các em biết trình bày đầy đủ khoa học, lời giải chặt chẽ rõ ràng, cá em bình tĩnh tự tin và cảm thấy thích thú khi giải loại toán này .
 Do điều kiện và năng lực bản thân tôi còn hạn chế, các tài liệu tham khảo chưa đầy đủ nên chắc chắn còn những điầu chưa chuẩn, những lời giải chưa phải là hay và ngắn gọn nhất. Nhưng tôi mong sáng kiến này ít nhiều cũng giúp học sinh hiểu kỹ hơn về loại toán giải bài toán bằng cách lập phương trình.
 Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường phổ thông, nhất những bài học rút ra từ nhiều năm dự giờ thăm lớp của các đồng nghiệp, đồng chí cùng trường cũng như trường bạn. Cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn trường THCS Tuân Lộ. Tôi đã hoàn thành sáng kiến “ giải pháp thực hiện phép nhân, phép chia đa thức và phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” cho học sinh lớp 8, lớp 9 trường THCS.
 Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng chí trong ban giám hiệu nhà trường, cảm ơn các đồng chí trong tổ chuyên môn trường THCS Tuân Lộ đã giúp hoàn thành sáng kiến này. Tôi rất mong được sự chỉ bảo của các đồng chí chuyên môn phòng giáo dục và đào tạo, ý kiến đóng góp của các đồng chí để vốn kinh nghiệm giảng dạy của tôi được phong phú hơn.
 3.2. Kiến nghị
 - Đề nghị hội đồng tuyển sinh huyện cần quan tâm hơn đến chất lượng tuyển sinh đầu vào.
 - Đề nghị phòng giáo dục và đào tao mở các chuyên đề để chúng tôi có điều kiện trao đổi và học hỏi thêm.
 - Đề nghị hội phụ huynh học sinh cần quan tâm hơn nữa đến việc học tập của con em mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Tuân Lộ, ngày 20 tháng 04 năm 2012
	Người viết sáng kiến
	Lê Thị Xuân Hồng.
Nhận xét đánh giá của Hội đồng khoa học nhà trường
Nhận xét đánh giá của Hội đồng khoa học
Phòng giáo dục và đào tạo huyện Tân Lạc
MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Tài liệu tham khảo
Phần thứ nhất: Đặt vấn đề
1
1.1. Lý do chọn sáng kiến.
1
1.2. Mục đích của sáng kiến.
1
1.3. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu.
2
Phần thứ hai: Nội dung
3
2.1. Phép nhân và chia các đa thức .
3
2.2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
4
2.3. Đa thức bậc ba trở lên
7
Phần thứ ba: Kết luận chung và kiến nghị
12
3.1.Kết luận chung
3.2.Kiến nghị.