Sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp mới để ứng dụng hình chiếu của một điểm xuống mặt phẳng trong hình học không gian

h a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến (SCD). 
Bài 2: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, . Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa (ADD’A’) và (ABCD) bằng 600. Tính khoảng cách từ điểm B’ đến (A’BD) theo a. 
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa (SBC) và (ABC) là 600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a; AC = 2a; . Gọi M là trung điểm của CC’. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BM).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD, CD và SA. Mặt phẳng (SCN) và (SDM) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) là 600. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (BPQ) theo a.
Bài 6: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) qua B’ và vuông góc với A’C chia lăng trụ thành hai khối. Tính khoảng cách từ điểm A đến (P).
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, AC = 7a. Các mặt bên (SAB), (SBC), (SAC) cùng tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a. Biết rằng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và . Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (SCD); khoảng cách giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (SBC).
Bài 9: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt phẳng đáy góc 600 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm của cạnh B’C’. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ. 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Thông thường, để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’, ta sử dụng hai phương pháp sau:
Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và tính độ dài đoạn thẳng đó.
Phương pháp 2: Đưa về bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Trong hai phương pháp thường dùng trên, phương pháp 1 tương đối khó thực hiện do việc dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn thẳng đó về cơ bản là khó thực hiện. Nhiều bài toán đoạn vuông góc chung rất khó dựng hoặc nếu dựng được cũng rất khó tính toán. Do đó phương pháp 1 thường chỉ áp dụng với trường hợp hai đường thẳng vuông góc hoặc đã thấy rõ đoạn vuông góc chung. Tuy nhiên nếu đề bài đã cho đường vuông góc chung của hai đường thẳng để chứng minh hoặc chứng minh hai đường thẳng vuông góc thì phương pháp 1 tỏ rõ hiệu quả, ngắn gọn và trình bày đơn giản.
Phương pháp 2 là cách dễ thực hiện và có thể áp dụng cho tất cả các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Ngoài ra việc đưa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng chính là một cách đơn giản hóa bài toán do để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta không nhất thiết dựng hình chiếu của điểm đó xuống mặt phẳng mà ta có thể dịch chuyển đến một điểm phù hợp hơn (như đã trình bày ở trên). Còn đoạn thẳng vuông góc chung luôn luôn là duy nhất nên làm bài toán khó khăn hơn nhiều.
Để giải bài toán tính khoảng các giữa hai đường thẳng chéo nhau theo phương pháp 1, ta áp dụng với trường hợp hai đường thẳng a, b vuông góc như sau:
α
b
a’
a
Bước 1: Kiểm tra a ^ b. Cách đơn giản và dễ nhận biết nhất là sử dụng định lý ba đường vuông góc như sau:
Chọn mặt phẳng (α) chứa đường thẳng b sao cho dễ dàng dựng hình chiếu a’ của đường thẳng a trên mặt phẳng (α). Khi đó a ^ b khi và chỉ khi a’ ^ b.
β
H
K
a
b
a’
Bước 2: Xét mặt phẳng (β) là mặt phẳng chứa a và a’. Khi đó b ^ (β) tại điểm H (H là giao của b và a’).
Bước 3: Trong mặt phẳng (β), kẻ HK ^ a với K nằm trên đường thẳng a. Khi đó HK chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b hay khoảng cách giữa a và b là độ dài đoạn thẳng HK. Tính HK.
Để giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dựa vào khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng ta làm các bước như sau:
Bước 1: Gọi hai đường thẳng chéo nhau là d1 và d2. Dựng đường thẳng d1’ // d1 và d1’ cắt d2. Xác định mặt phẳng (α) chứa d1’ và d2.
Bước 2: Khi đó với A là một điểm bất kỳ trên d2.
Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (α) và kết luận.
Do đó, nếu hai đường thẳng chéo nhau là vuông góc với nhau, ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng dựa vào đường vuông góc chung; nếu hai đường thẳng chéo nhau không vuông góc với nhau, ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Để làm rõ hơn các phương pháp trên cũng như so sánh hai phương pháp trong từng trường hợp cụ thể, ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Giải:
Cách 1: Sử dụng đường vuông góc chung.
Gọi G là trọng tâm ∆BCD. Do tứ diện là đều nên AG ^ (BCD). Hình chiếu của AB xuống mặt phẳng (BCD) là BG mà BG ^ CD nên AB ^ CD. Gọi N là trung điểm của CD. Mặt phẳng (ABN) ^ CD và cắt CD tại N. Gọi M là hình chiếu của N trên AB. Khi đó MN chính là đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Do các tứ diện ABCD đều nên BN = AN. Do đó M là trung điểm của AB. Ta có . Vậy N
M
G
E
D
C
B
A
Q
P
.
Cách 2: Đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Gọi E là điểm thỏa mãn BCDE là hình bình hành. Khi đó CD // BE. Khi đó . Do CE = 3CG nên . Gọi P là hình chiếu của G xuống BE, gọi Q là hình chiếu của G xuống AP. Do đó Q là hình chiếu vuông góc của G xuống mặt phẳng (ABE). Do đó . Tính toán tương tự ta được kết quả trên.
Bình luận: Theo nhận xét ở trên, việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau dựa vào khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng là tối ưu hơn ở trường hợp tổng quát. Tuy nhiên, khi hai đường thẳng vuông góc với nhau, việc dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đơn giản hơn nhiều so với việc đưa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng như ví dụ trên (ta phải dựng ra ngoài hình). Do đó, với hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta chọn cách thứ nhất là sử dụng đường vuông góc chung.
D
A
B
B’
A’
C
C’
H
N
E
M
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm cạnh AA’. Biết góc giữa hai mặt phẳng (BMC’) và (ABC) là 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC’.
C
Giải: 
Kéo dài MC’ cắt AC tại E. Khi đó A là trung điểm của EC hay ∆BEC vuông tại B.
Xét góc giữa mặt phẳng (BEC’) (chính là mặt phẳng (BMC’)) và mặt phẳng (ABC). Giao tuyến hai mặt phẳng là đường thẳng BE, hình chiếu của C’ xuống mặt phẳng (ABC) là C mà CB ^ BE nên góc giữa (BEC’) và (ABC) là . Do đó .
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và MC’, ta có hai cách vẽ song song.
Cách 1: Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BB’ tại trung điểm N của BB’. Khi đó . Tuy nhiên với cách này mặt phẳng (C’MN) nằm cắt giữa lăng trụ nên để tính khoảng cách từ C đến (C’MN) ta lại kéo dài CN cắt đường thẳng BC tại F sao cho B là trung điểm của CF. Khi đó hình vẽ tương đối khó nhìn. Bạn đọc có thể giải tiếp bài toán theo định hướng trên.
Cách 2: Từ A kẻ đường thẳng song song với C’M cắt CC’ tại trung điểm D của C’. Khi đó . Rõ ràng với mặt phẳng (ABD) thì việc chọn điểm thích hợp là dễ dàng và việc dựng hình chiếu cũng đơn giản hơn do có AB nằm trên mặt phẳng đáy.
Khi đó, với mặt phẳng (ABD) thì điểm thuận lợi ở đây là C do CD ^ (ABC). Gọi N là trung điểm AB, H là hình chiếu vuông góc của C xuống DN. Khi đó CN ^ AB mà CD ^ (ABC) nên H là hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD). Mà CC’ cắt (ABD) tại trung điểm D của CC’ nên . Mà . Vậy .
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Giải:
Rõ ràng với hai đường thẳng SA và BC, để dựng đường thẳng song song ta phải vẽ phía ngoài hình ban đầu. Với cách dựng như vậy, học sinh sẽ khó nhìn hình, dẫn đến ngộ nhận một số tính chất làm cho việc giải sai bài toán. Đặc biệt học sinh khó hình dung đường thẳng vẽ ngoài thuộc những mặt phẳng nào. Để khắc phục khó khăn trên, ta sẽ vẽ lại hình và mở rộng hình ban đầu để đường thẳng song song vẽ thêm sẽ nằm trong hình ban đầu, khi đó học sinh nhìn hình sẽ đơn giản và chính xác hơn. Cụ thể, ta đựng hình như sau:
Gọi D là điểm trên mặt phẳng (ABC) sao cho ABCD là hình thoi (do ∆ABC đều). Do đó AD // BC nên (do với mặt phẳng (SAD) thì điểm H là điểm thuận lợi nhất vì H là hình chiếu của S xuống (ABCD) chứa đường AD của mặt phẳng (SAD)).
Gọi I là hình chiếu của H xuống đường thẳng AD (chú ý rằng I là điểm nằm ngoài cạnh AD về phía A do tù, vì vậy học sinh rất dễ vẽ sai hình ở bài này do không đúng vị trí tương đối giữa các điểm). Gọi K là hình chiếu vuông góc của H xuống đường thẳng SI. Do SH ^ (ABCD) chứa đường AD, HI ^ AD mà HK ^ SI nên K là hình chiếu vuông góc của điểm H xuống mặt phẳng (SAD).
S
H
A
B
C
D
I
K
Ta có: , do SH ^ (ABCD) nên góc giữa SC và mặt phẳng đáy là . Do . Vậy .
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng . Điểm M là trung điểm cạnh CD, điểm N thuộc cạnh SD sao cho SD = 4ND. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC theo a.
Giải:
S
N
M
C
B
D
A
H
O
K
E
F
Do ∆ABC đều cạnh a nên AM ^ CD và . Do SA ^ (ABCD) nên góc giữa (SCD) và (ABCD) là .
Tương tụ như ví dụ 1, để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta cũng có hai cách để vẽ các đường thẳng song song: trong mặt phẳng (ABCD) từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD tại trung điểm K của AD, trong mặt phẳng (SCD) từ điểm C kẻ đường thẳng song song với MN cắt SC tại trung điểm I của SC.
Để minh họa cho phương pháp, ở đây tôi trình bày theo cách dựng thứ nhất. Cách dựng thứ hai các bạn có thể dựng hình và giải bài toán.
Gọi K là trung điểm của cạnh AD, do đó MK // AC. Khi đó: . Rõ ràng mặt phẳng (MNK) có vị trí ở giữa hình chóp, do đó điểm thuận lợi ở bài toán là chưa rõ ràng. Và tương tự như ví dụ 5 mục 3.3. Khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng, ta dựng hình chiếu H của điểm N xuống mặt phẳng (ABCD) với H nằm trên đường thẳng AD. Do đó NH // SA hay H là trung điểm của KD. Khi đó, H là điểm thuận lợi của mặt phẳng (MNK). Do AH cắt mặt phẳng (MNK) tại K và AK = 2KH nên .
Gọi E là hình chiếu của H trên MK, F là hình chiếu của H trên NE. Do MH ^ (ABCD) chứa MK nên F là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (MNK).
Ta có . Vậy .
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, , góc giữa mặt phẳng (ABC) và (AB’C) là 450. Biết rằng AA’ = a.
a/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và AC’, với M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
b/ Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên là các hình vuông cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, A’C’, B’C’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và A’F theo a.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SB vuông góc với đáy, BC = a, SB = 2a. Gọi M và N là trung điểm của AB, SC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và BC.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, . Gọi H, M lần lượt là trung điểm các cạnh BC và SC, SH vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a và tạo với mặt đáy một góc 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC.
Bài 8: Cho hình S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D, AB = 3a, CD = a, AD = 2a, ∆SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết rằng góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy là 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Phần III.
KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VÀ HIỆU QUẢ KINH TẾ CỦA SÁNG KIẾN
1. Tác giả đã tiến hành giảng dạy và triển khai thực nghiệm sáng kiến này tại trường THPT Gia Viễn A và đã thu được những kết quả nhất định. Trong quá trình giảng dạy, rút kinh nghiệm thì sáng kiến đã ngày một hoàn thiện hơn. Sau đó tác giả đã cung cấp tài liệu này cho các đồng nghiệp tại trường THPT Gia Viễn A và một số trường THPT trong tỉnh, các bạn đồng nghiệp ở các tỉnh ngoài và nhận được nhiều ý kiến đóng góp và các phản hồi tích cực từ các thầy cô. Qua các ý kiến phản hồi đó, tác giả đã hoàn thiện hơn sáng kiến. Hầu hết các bạn đồng nghiệp đều đánh giá cao tư tưởng mà tác giả đã đưa ra cũng như hệ thống các ví dụ, bài tập trong tài liệu và đã áp dụng tài liệu này vào việc giảng dạy, ôn tập, ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi Đại học, Cao đẳng cũng như bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi. Qua áp dụng thực tế vào quá trình giảng dạy, tác giả và các đồng nghiệp nhận thấy tính hiệu quả của sáng kiến, làm cho học sinh dễ tiếp thu kiến thức và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
	Chẳng hạn tác giả đã áp dụng tài liệu vào giảng dạy và thu được kết quả như sau. Trong năm học 2012 – 2013 và năm học 2013 – 2014, đề thi học kỳ II môn Toán lớp 11 có câu 4 về hình học không gian với số điểm là 3,0 điểm. Trong đó có 2,0 điểm liên quan đến góc và khoảng cách trong không gian. Kết quả tại lớp 11A năm học 2012 - 2013 mà tác giả dạy và lớp 11B1 năm học 2013 – 2014 mà cô Vũ Thị Hoa dạy như sau:
Lớp
Tổng số học sinh
Số học sinh đạt 2,0 điểm
Số học sinh đạt 1,5 điểm
Số học sinh đạt 1,0 điểm
Số học sinh đạt 0,5 điểm
Số học sinh đạt 0,0 điểm
11A
45
35
8
2
0
0
11B1
42
33
7
2
0
0
Tương tự, cô Vũ Thị Hoa, tổ trưởng tổ Toán – Tin trường THPT Gia Viễn A cũng đã áp dụng tài liệu này vào giảng dạy. Trong kỳ thi thử Đại học lần III tại trường THPT Gia Viễn A năm học 2013 - 2014 có câu 4 là một bài tập hình học không gian trong đó có ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng để giải các bài toán về góc và khoảng cách. Số điểm dành cho câu đó là 1,0 điểm. Kết quả ở lớp 12A tác giả giảng dạy và lớp 12B1 mà cô Vũ Thị Hoa giảng dạy như sau:
Lớp
Tổng số học sinh
Số học sinh đạt 1,0 điểm
Số học sinh đạt 0,75 điểm
Số học sinh đạt 0,5 điểm
Số học sinh đạt 0,25 điểm
Số học sinh đạt 0,0 điểm
12A
45
30
10
4
1
0
12B1
42
22
12
6
2
0
Qua bảng số liệu cho thấy một tỷ lệ lớn học sinh đã hoàn thành tốt câu hỏi về hình học không gian với ứng dụng hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng. Với mức độ khó của nội dung câu hỏi thì có thể thấy ý nghĩa to lớn mà sáng kiến mang lại.
2. Là một giáo viên cốt cán của bộ môn Toán trường THPT Gia Viễn A, tác giả luôn cố gắng nêu gương trong tìm tòi, học hỏi, đưa ra nhiều giải pháp mới nhằm nâng cao chất lượng giáo dục của bộ môn mình. Cùng với sự cố gắng của các bộ môn khác và sự chỉ đạo sát sao của trường THPT Gia Viễn A, điểm trung bình thi Đại học của trường THPT Gia Viễn A tăng dần theo từng năm. Thứ hạng của trường trong Tỉnh luôn đứng trong 10 trường dẫn đầu trong khi điểm thi đầu vào lớp 10 luôn trong nằm trong các trường thấp nhất của Tỉnh. Đó là sự nỗ lực rất lớn của nhà trường. Ngoài ra trong kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng năm 2014, trường THPT Gia Viễn A có em Nguyễn Trung Đức, do tôi giảng dạy bộ môn Toán suốt ba năm học đã đạt 27,25 điểm, cao thứ hai ở Tỉnh. Tác giả cảm thấy rất tự hào vì những kết quả trên vì có một phần đóng góp của mình cũng như của sáng kiến, mặc dù rất nhỏ bé.
3. Nếu xét về hiệu quả kinh tế, rất khó có thể tính chính xác do nội dung sáng kiến là các kiến thức cung cấp cho học sinh tiếp thu và áp dụng để giải quyết các bài tập trong các đề thi. Tuy nhiên để thấy được hiệu quả kinh tế của sáng kiến, ta có thể làm một vài phép tính sau:
- Về thời gian lao động: Tác giả đã bỏ ra ít nhất 60 giờ để biên soạn tài liệu này. Số giáo viên dạy Toán ở trường THPT Gia Viễn A là 10 người, số học sinh lớp 11 và 12 năm học 2013 – 2014 ở trường THPT Gia Viễn A là 600 em (số liệu đã được làm tròn). Như vậy với sáng kiến trên chúng ta đã tiết kiệm được ít nhất 60 x (600 + 10) = 36.600 giờ công lao động, tức là 1.525 ngày công lao động. Nếu áp dụng sáng kiến cho nhiều năm học, cho giáo viên và học sinh nhiều trường THPT khác thì con số trên còn lớn hơn rất nhiều.
- Về tiền mặt: Để viết nên sáng kiến này, tác giả đọc ít nhất 5 đầu sách tham khảo với trung bình mỗi đầu sách là 35.000 đồng, không kể tài liệu giáo khoa (học sinh và giáo viên nào cũng có), quá trình lâu dài thu thập và phân tích các tài liệu tham khảo trên Internet. Như vậy nếu áp dụng tại trường THPT Gia Viễn A cho một khóa học thì đã tiết kiệm được 35.000 x 5 x (600 + 10) = 106.750.000 đồng! Nếu ta áp dụng cho nhiều năm học, cho giáo viên và học sinh ở nhiều trường THPT khác nữa thì số tiền tiết kiệm được sẽ là rất lớn.KẾT LUẬN
+ Sáng kiến đã trình bày một số kiến thức cơ bản về hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng và cách sử dụng để giải các bài tập về góc và khoảng cách trong hình học không gian.
+ Sáng kiến đã xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập về Hình học 11, Hình học 12 cho chuyên đề về quan hệ vuông góc trong hình học không gian, các bài toán về góc và khoảng cách trong không gian.
+ Sáng kiến đã tạo ra sự liên hệ mật thiết giữa hình chiếu vuông góc của điểm xuống mặt phẳng và các kiến thức về góc, khoảng cách trong không gian, giúp nâng cao các kiến thức cho học sinh thi Đại học, Cao đẳng.
+ Kết quả thực nghiệm cho thấy tính khả thi và hiệu quả của sáng kiến. Việc tự giải quyết hệ thống bài tập, giúp các em hiểu rõ bản chất, phương pháp giải dạng toán này, từ đó các em có thể tự xây dựng các bài toán tương tự, hoặc các bài toán mới. Chính điều đó kích thích sự say mê, tìm tòi khám phá, nâng cao năng lực tự học ở mỗi học sinh.
+ Sáng kiến trước hết rất có ý nghĩa đối với tác giả vì nó là một nội dung quan trọng trong chương trình giảng dạy. Hi vọng sáng kiến là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh, cũng như các bạn đồng nghiệp.
+ Sáng kiến đã cố gắng trình bày vấn đề một cách chi tiết, rõ ràng, dễ hiểu, có nhiều hình vẽ minh họa thông qua một hệ thống các bài tập phong phú. Đặc biệt, ở một số bài toán chúng ta có thể tương tự hóa hoặc tổng quát hóa cho bài toán đó hoặc trình bày cách giải theo nhiều phương pháp khác nhau. Ngoài ra, các bạn có thể xây dựng các ví dụ khác khó hơn, hoặc giải các bài toán thông qua việc thay đổi một số dữ kiện nào đó. Ngoài ra, hình chiếu vuông góc của một điểm xuống mặt phẳng còn một số ứng dụng khác như chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian, tính thể tích khối đa diện, các bài toán về mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện tuy nhiên do một số có sự trùng lặp cũng như thời gian có hạn, tôi chưa nêu thật sự đầy đủ trong sáng kiến.
+ Tôi đề nghị với trường THPT Gia Viễn A tạo điều kiện để tôi có thể phổ biến rộng rãi hơn nữa với giáo viên và học sinh như một tài liệu tham khảo hữu ích. Ngoài ra tôi đề nghị Sở GD&ĐT cùng với trường THPT Gia Viễn A tạo điều kiện để bộ môn Toán tổ chức chuyên đề để giới thiệu cũng như nhận được sự góp ý từ các giáo viên Toán khác trong tỉnh. Từ đó tôi có thể hoàn thiện sáng kiến hơn đồng thời sáng kiến có thể được áp dụng với giáo viên và học sinh trong toàn tỉnh giúp nâng cao chất lượng giáo dục và tăng tính hiệu quả của sáng kiến.
Xác nhận của cơ quan
Gia viễn, tháng 5 năm 2014
Người viết sáng kiến
Nguyễn Văn Lưu