Sáng kiến kinh nghiệm Giải một bài toán quỹ tích như thế nào

điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là đường thẳng.
Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường tròn.
GV làm sáng tỏ điều này cho HS trong ví dụ sau:
Ví dụ 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM. Tìm tập hợp các điểm N.
GV: Hướng dẫn HS đoán nhận 
Khi M B thì độ dài đoạn BM bằng bao nhiêu?
HS: Độ dài BM bằng 0.
Khi đó kéo theo độ dài AN bằng bao nhiêu? Vị trí điểm N ?
HS: Do vậy AN = 0 hay NA.
Từ đó em rút ra nhận xét gì?
HS: Vậy A là một điểm của quỹ tích.
Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, hãy so sánh IA và IB? 
HS: Do AI=BI nên NI. Vậy I là một điểm của quỹ tích.
Khi M A thì dây cung AM có vị trí như thế nào với đường tròn? 
HS: Tiếp xúc với đường tròn tại A.
GV: Như vậy, Khi M A thì dây cung AM đến vị trí của tiếp tuyến At với đường tròn tại điểm A và do BM=BA nên điểm N sẽ dần đến vị trí điểm B’ trên tiếp tuyến At sao cho AB’=AB=2R; B’ là một điểm của quỹ tích.
Qua 3 vị trí của các điểm thuộc quỹ tích, em hãy dự đoán hình dạng của quỹ tích điếm N?
- HS: Do 3 điểm A, I, B’ không thẳng hàng nên ta dự đoán rằng điểm N sẽ nằm trên đường tròn đi qua 3 điểm A, I, B’, tức là đường tròn đường kính AB’.
Ví dụ 4: Cho góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên Ox, một điểm B chạy trên Oy. Người ta dựng hình chữ nhật OAMB. Tìm tập hợp điểm M sao cho chu vi hình chữ nhật OAMB bằng một độ dài 2p cho trước.
 Đoán nhận quỹ tích
 Dễ thấy MA +MB = p
 Khi A O thì B D trên Oy, mà OD = p
 Khi B O thì A C trên Ox, mà OC = p. 
 Dự đoán tập hợp của M là đoạn thẳng CD.
Ví dụ 5: Cho một góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. Một góc vuông tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox ở B và Az cắt Oy ở C. 
 Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng BC.
 Dự đoán quỹ tích
- Khi BO thì điểm C sẽ dần đến vị trí điểm C1 thuộc Oy và điểm M đến vị trí M1 sao cho M1O=M1C1=M1A
M1 nằm trên đường trung trực của OA.
 - Khi CO thì điểm B sẽ dần đến vị trí B1 thuộc Ox và điểm M đến vị trí M2 sao cho M2O=M2B1=M2A
M2 nằm trên đường trung trực của OA.
 Dự đoán quỹ tích là đoạn M2M1 thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA, phần nằm trong góc xOy.
3. Giải bài toán quỹ tích như thế nào?
 Cần làm cho học sinh hiểu, giải một bài toán quỹ tích là tiến hành chứng minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo. Sau đây tôi sẽ đi sâu hơn vào các phần này.
3.1 Chứng minh phần thuận
 Một trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm quỹ tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chương trình học ở trường Phổ thông cơ sở, học sinh đã được giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau:
Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy.
Tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng b một khoảng l cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cách đường thẳng b một khoảng l.
Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định O một khoảng không đổi r là đường tròn tâm O, bán kính r.
Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo bằng ( không đổi) là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc vẽ trên đoạn AB).
Trường hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm M luôn nhìn hai điểm cố định A, B dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.
 Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính chất bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất ’ và quỹ tích của những điểm thoả tính chất ’ là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết. (như vậy ’ có thể là “cách đều hai điểm cố định”; “cách một điểm cố định một đoạn không đổi”; “ cách một đường thẳng cố định một đoạn không đổi” v.v...). Như vậy ta thay việc xét mệnh đề M() bằng việc xét mệnh đề M(’) mà M() M(’)
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC và một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng AD.
 Đoán nhận quỹ tích
Nếu DB thì M P, mà AP=BP. P là một điểm thuộc quỹ tích.
Nếu D C thì MQ, mà AQ=QC. Q là một điểm thuộc quỹ tích.
Nếu DH (với AHBC tại H) thì M I, mà IH=AH. H là một điểm thuộc quỹ tích.
 Do 3 điểm P, I, Q thẳng hàng nên ta dự đoán quỹ tích điểm M là đoạn thẳng PQ, là đường trung bình của tam giác ABC.
 Phân tích phần thuận
Từ M kẻ MK BC và kẻ đường cao AH của ABC. 
Dễ thấy MK=. 
ABC cố định nên AH không đổi suy ra MK không đổi.
 - Vậy điểm M luôn luôn cách BC một đoạn không đổi bằng . Ta có thể thấy ở đây là:
 M(): M là trung điểm của AD.
 M(’): M cách BC một đoạn không đổi.
 Như vậy là ta thay việc tìm quỹ tích điểm M, trung điểm của đoạn thẳng AN, bằng việc tìm quỹ tích của điểm M luôn cách cạnh BC một đoạn không đổi bằng , mà quỹ tích này thì ta đã biết tìm, là dạng bài toán quỹ tích cơ bản thứ 3. 
Ví dụ 7: Cho một tam giác cố định ABC. Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC. Qua D người ta kẻ đường thẳng song song với cạnh AC cắt cạnh AB ở E và đường thẳng song song với cạnh AB cắt cạnh AC ở F. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng EF.
Phân tích phần thuận
Vì DF//AE và DE//AF nên tứ giác AEDF là hình bình hành, hai đường chéo EF và AD giao nhau tại trung điểm, vậy M là trung điểm của EF cũng là trung điểm của AD. Bài toán được đưa về việc tìm quỹ tích của trung điểm M của đoạn thẳng AD.
Tính chất ở đây là: M() M là trung điểm của EF.
Tính chất ’ ở đây là: M(’) M là trung điểm của AD.
 Và ta đã thay việc tìm quỹ tích trung điểm của EF bằng việc tìm quỹ tích trung điểm của AD, mà quỹ tích này thì ta đã có cách đưa về quỹ tích cơ bản trong ví dụ 6.
 Cần lưu ý là khi thay các điểm M() bằng các điểm M(’) mà M() M(’) thì tập hợp các điểm M() chỉ là một tập hợp con (một bộ phận) của tập hợp các điểm M(’), như trong ví dụ 6 tập hợp các điểm M(’) là hai đường thẳng song song và cách đường thẳng BC một đoạn , còn tập hợp các điểm M() là đường trung bình PQ song song với cạnh BC của tam giác ABC mà thôi.
 Trong nhiều trường hợp ta không thành công trong việc đưa về các quỹ tích cơ bản mà nhờ vào thao tác dự đoán quỹ tích ta thấy quỹ tích có thể là một đường cố định nào đó. Trong trường hợp này ta tìm cách chứng minh hình chứa các điểm của quỹ tích là một hình cố định.
Ví dụ 8: Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm P di động trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại P cắt đường thẳng song song với AP, kẻ từ tâm O của nửa đường tròn, tại điểm M. Tìm tập hợp các điểm M.
 Phân tích phần thuận
Nối MB; do OM//AP nên 
 (đồng vị)
 (so le trong)
Mặt khác (vì OA=OP)
Vậy 
 mà (góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm). Vậy 
 AB cố định, điểm B cố định mà MBAB M luôn chạy trên tia At vuông góc với AB tại B.
 Qua các ví dụ trên đây, ta thấy để tiến hành việc chứng minh phần thuận, ta cần tìm ra cho được mối liên hệ giữa điểm cần tìm tập hợp với các điểm cố định, tìm cách sử dụng các yếu tố không đổi và việc biểu diễn các liên hệ đó.
Nếu trong đầu bài có một điểm cố định, ta có thể nghĩ đến tập hợp điểm cần tìm là một đường tròn.
Nếu trong đầu bài có hai điểm cố định A, B thì ta nối điểm cần tìm tập hợp M với A, B và thử tính góc AMB hoặc thử chứng minh MA=MB.
Nếu trong đầu bài xuất hiện một đường thẳng cố định thì ta thử tính khoảng cách từ điểm cần tìm quỹ tích đến đường thẳng cố định ấy.
Nếu trong đầu bài xuất hiện hai đường thẳng song song thì hãy liên tưởng đến tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song
Ví dụ 9: Cho một đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm P ở ngoài đường tròn, một điểm N di chuyển trên đường tròn. Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng PN.
 Phân tích phần thuận
P cố định, O cố định, suy ra trung điểm I của OP cũng cố định. Nối IM. Trong tam giác PON thì 
 IM==không đổi. - Vậy M thuộc đường tròn tâm I bán kính .
 Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm được hình (H’) chứa các điểm M có tính chất , nhưng do những điều kiện hạn chế khác của bài toán, tập hợp các điểm M cần tìm là hình (H) chỉ là một bộ phận của hình (H’). Trong trường hợp này, ta phải thức hiện thêm một công việc nữa: giới hạn quỹ tích.
 Có nhiều cách nhìn nhận vị trí của phần giới hạn quỹ tích. Ta có thể coi phần giới hạn là một bộ phận của việc chứng minh phần thuận. Ta cũng có thể đặt phần giới hạn vào phần đảo, hoặc tách phần giới hạn thành một phần riêng biệt, ngang với phần thuận và phần đảo.
 Trong quá trình dạy học sinh, tôi đặt giới hạn vào trong phần thuận. Làm như vậy sẽ tránh được việc chọn nhầm phải những điểm không thuộc quỹ tích khi tiến hành chứng minh phần đảo. Thông thường, ta tìm các điểm giới hạn của quỹ tích bằng cách xét các điểm của quỹ tích trong các trường hợp giới hạn, như trong ví dụ sau:
Ví dụ 10: Cho một góc vuông xOy, đỉnh O. Trên cạnh Ox có một điểm A cố định và trên cạnh Oy có một điểm B cố định. Một điểm C thay đổi di chuyển trên đoạn thẳng OB. Gọi H là hình chiếu của điểm B trên tia AC. Tìm tập hợp các điểm H.
 Giải
1) Phần thuận.
 Vì H là hình chiếu của B trên AC nên 
Hai điểm A, B cố định. Điểm H luôn luôn nhìn hai điểm A, B dưới một góc vuông nên H nằm trên đường tròn đường kính AB.
Chú ý: Đường tròn này cũng đi qua đỉnh O của góc vuông xOy.
Giới hạn: Vì điểm C di chuyển trong đoạn OB nên điểm H không thể di chuyển trên cả đường tròn đường kính AB. Ta phải tìm giới hạn.
Khi điểm C đến vị trí điểm B thì điểm H cũng đến vị trí điểm B.
Khi điểm C đến vị trí điểm O, đầu mút của đoạn thẳng OB, thì điểm H cũng đến vị trí điểm O.
 - Vậy khi điểm C di chuyển trên đoạn OB thì điểm H di chuyển trên cung OHB của đường tròn đường kính AB.
 Như vậy, để tìm giới hạn quỹ tích điểm C, vì điểm C chỉ di chuyển trong đoạn thẳng OB nên ta xét các điểm của quỹ tích khi điểm C dần đến các đầu nút của đoạn thẳng OB, tức là khi CB và khi CO.
Ví dụ 11: Cho một hình vuông cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho: 
 Tìm tập hợp các điểm M.
Phần thuận
Ta có: 
 (đối đỉnh)	
 hay 
Điểm M nhìn hai điểm cố định A,C dưới một góc vuông nên M nằm trên đường tròn đường kính AC (cũng là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD).
Giới hạn. Khi PB thì MB
 Khi PA thì MA
Vậy M chỉ di chuyển trên cung nhỏ AB thuộc đường tròn đường kính AC.
 Qua các ví dụ trên đây, như ví dụ 10, ta thấy hình (H) tìm được trong khi chứng minh phần thuận (đường tròn đường kính AB) chứa tất cả những điểm nhìn hai điểm cố định A, B dưới một góc vuông nhưng chỉ có những điểm thuộc cung OHB mới là hình chiếu của điểm B trên tia AC mà thôi. Việc tìm giới hạn giúp chúng ta loại bỏ được những điểm không thuộc về quỹ tích cần tìm.
3.2 Chứng minh phần đảo
 Thông thường điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào sự di động của một điểm khác, điểm P chẳng hạn. Trong phần đảo ta làm như sau: Lấy một vị trí P’ khác của P và ứng với nó ta được điểm M’ trên hình H mà trong phần thuận ta đã chứng minh được đó là hình chứa những điểm M có tính chất . Ta sẽ phải chứng minh M’ cũng có tính chất .
Ví dụ 10: 
2) Phần đảo.
Lấy một điểm C’ bất kì trên đoạn OB. Nối AC’ và tia AC’ cắt cung OHB tại một điểm H’. Nối BH’ góc BH’A là góc nội tiếp trong nửa đường tròn nên là hình chiếu của điểm B trên tia AC’.
Kết luận: Tập hợp các hình chiếu H của điểm B trên tia AC là cung OB thuộc đường tròn đường kính AB (phần thuộc nửa mặt phẳng không chứa tia Ox, bờ là đường thẳng Oy).
Ví dụ 11: Cho một hình vuông cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho: 
 Tìm tập hợp các điểm M.
Phần đảo
Lấy một điểm P’ bất kì thuộc cạnh AB của hình vuông. Tia CP’ cắt cung nhỏ AB của đường tròn đường kính AC tại điểm M’. 
Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và 
suy ra 
Kết luận: Tập hợp các điểm M là cung AB (không chứa đỉnh C) của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Lưu ý: Tuy vậy, trong nhiều bài toán, ta chứng minh phần đảo bằng cách lấy một điểm M’ thuộc hình (H), ứng với nó ta có một vị trí khác của các yếu tố chuyển động mà M’ phụ thuộc, sau đó ta chứng minh trong những điều kiện ấy M’ có tính chất . Chúng ta sẽ xét ví dụ cụ thể sau đây.
Ví dụ 12: Cho một góc vuông xOy. Một điểm A chạy trên cạnh Ox, một điểm B chạy trên cạnh Oy sao cho độ dài đoạn thẳng AB luôn bằng một đoạn l cho trước. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.
Giải
Phần thuận: Nối OI. Tam giác AOB vuông mà OI là trung tuyến nên = không đổi. Điểm O cố định, điểm I cách điểm O một đoạn không đổi nên I nằm trên đường tròn tâm O bán kính .
Giới hạn: Vì điểm A chỉ chạy trên Ox, điểm B chỉ chạy trên Oy và đoạn thẳng AB chỉ di chuyển trong góc xOy nên ta phải giới hạn quỹ tích.
Khi điểm A đến trùng với điểm O thì điểm B đến vị trí Bo và điểm I đến vị trí I1trung điểm của đoạn thẳng OB0.
Khi điểm B đến trùng với điểm O thì điểm A đến vị trí Ao và điểm I đến vị trí I0 trung điểm của đoạn thẳng OA0.
- Vậy khi đoạn thẳng AB di chuyển trong góc xOy thì điểm I nằm trên cung tròn I0I1 thuộc đường tròn tâm O bán kính , tức là cung phần tư đường tròn nằm trong góc xOy.
 Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc cung phần tư I0I1. Quay cung tròn tâm I’, Bán kính , cắt Ox ở A và Oy ở B’.
Ta có cân nên 
Do vậy 
Tương tự 
Suy ra ba điểm A’, I’, B’ thẳng hàng. Ta lại có và I’ là trung điểm của A’B’.
Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là cung I0I1 thuộc đường tròn tâm O, bán kính (phần nằm trong góc xOy).
Ví dụ 13: Cho một góc vuông xOy, hai điểm A, B cố định trên cạnh Ox và một điểm M di động trên cạnh Oy. Đường thẳng vuông góc với MA kẻ từ A cắt đường thẳng vuông góc với MB kẻ từ B tại điểm N. Tìm tập hợp các điểm N.
Giải
Phần thuận.
 - Kẻ NHOx.
Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MN. Do IA=IB(=MN) nên I nằm trên trung trực của đoạn thẳng AB. Nếu gọi K là trung điểm của AB thì IKAB.
 Ta lại có IK//OM//NH mà I là trung điểm của MN nên K là trung điểm của OH OH=2OK=không đổi. Vậy điểm N di chuyển trên tia Hz vuông góc với cạnh Ox tại điểm H sao cho OH=2OK.
Phần đảo.
 Lấy điểm M’ trên Oy, nối M’A. Đường vuông góc với M’A kẻ từ A cắt tia Hz tại N’. Nối N’B và M’b.
 Ta cần chứng minh: N’BM’B
Gọi I’ là trung điểm của M’N’.
 Ta có: (1) (I’A là trung tuyến ứng với cạnh huyền M’N’ của tam giác vuông M’AN’)
Mặt khác I’ là trung điểm của M’N’, K là trung điểm của OH nên I’K//M’O I’KAB mà K là trung điểm của AB nên I’K là đường trung trực của AB, cho ta I’A=I’B (2)
 Từ (1) và (2) suy ra =I’M’=I’N’
Hay tam giác M’BN’ vuông góc tại B. Vậy N’BM’B
Kết luận: Tập hợp các điểm N là tia Hz nằm trong góc xOy, vuông góc với cạnh Ox tại điểm H, sao cho OH=2OK (K là trung điểm của đoạn thẳng AB).
Lưu ý: Trong bài toán này, liên hệ giữa hai điểm M và N phải thông qua các giả thiết: và N là giao điểm của hai đường vuông góc kẻ từ A với MA, kẻ từ B với MB. Do vậy ta phải chọn một trong ba phương hướng sau đây để chứng minh phần đảo:
Chứng minh M’
Chứng minh 
Chứng minh 
 - Nếu chú ý rằng cách dựng các điểm M, N là như nhau thì ngay từ đầu ta đã có thể dự đoán tập hợp của N phải là một tia tương tự như Oy và trong khi chứng minh phần đảo, sau khi lấy một điểm N’Hz, và dựng lại điểm M’, giao điểm của các đường vuông góc với N’A kẻ từ A với đường vuông góc với N’B kẻ từ B, thì việc chứng minh M’Oy có thể được lặp lại y hệt như phần thuận.
 Như vậy, việc lựa chọn giả thiết để xây dựng “kế hoạch” chứng minh phần đảo là rất quan trọng. Nếu khéo chọn, nhiều khi sẽ giảm bớt được các khó khăn trong việc chứng minh và có thể cho ta những lời giải hay.
Tổng quát: khi chứng minh phần đảo của bài toán quỹ tích, sau khi lấy điểm M bất kì thuộc hình vừa tìm được, ta phải chứng minh rằng điểm M có tính chất T nêu trong đề bài. Tính chất T này thường được tách làm hai nhóm tính chất T1 và T2. Ta dựng các điểm chuyển động còn lại thoả mãn tính chất T1 rồi chứng minh M và các điểm ấy thoả mãn tính chất T2. Như thế, tuỳ theo cách chia nhóm T1 và T2 mà có nhiều cách chứng minh đảo đối với cùng một bài toán.
4. Thực nghiệm dạy toán quỹ tích.
4.1 Lớp khảo sát
 - Sau khi nghiên cứu chương III hình học 9 và tìm hiểu tình hình dạy toán quỹ tích ở trường THCS Giao Thanh, tôi đã chọn dạy thực nghiệm dạng toán quỹ tích ở lớp 9B, tôi chia lớp thành 2 nhóm, nhóm 1 dạy các em phân tích dạng toán quỹ tích theo hướng nghiên cứu và dạy đối chứng ở nhóm 2 giữ nguyên phương pháp cũ mà các em vẫn được học.
 - Trước khi dạy thực nghiệm, để biết được trình độ thức tế của học sinh, tôi đã cho cả lớp làm bài 50 (trang 87 SGK toán 9). Kết quả như sau:
Bảng 1:
 Loại điểm
Nhóm, số HS
Điểm tốt
Điểm khá
Điểm
T. Bình
Điểm yếu kém
Nhóm 1
Số lượng: 22 HS
Số HS
1
3
13
5
TL%
4,54
13,63
59,09
22,72
Nhóm 2
Số lượng: 22 HS
Số HS
1
3
13
5
TL%
4,54
13,63
59,09
22,72
4.2 Tiến trình dạy thực nghiệm và kết quả
 - Sau khi khảo sát và chia lớp thành 2 nhóm tôi đã tiến hành dạy thực nghiệm áp dụng phương pháp phân tích, dẫn giải học sinh đi giải các bài toán quỹ tích dưới dạng chuyên đề ở nhóm 1 như sau:
Tên bài tập: VD 3; VD5; VD7; VD8; VD10; VD11; VD12.
Mục đích, yếu cầu: Sau khi giải xong các bài tập, HS nắm được yếu tố cố định, yếu tố di động, yếu tố không đổi, biết dự đoán quỹ tích là hình gì, biết dựng bài toán ở phần đảo, biết tìm giới hạn quỹ tích.
Phương pháp: Phân tích, nêu vấn đề.
Phương tiện: Máy chiếu, dùng phần mền vẽ hình GeoGebra chay trên nền java, compa, thước, eke, thước đo góc, phấn màu).
Sau khi dạy thực nghiệm và dạy đối chứng ở hai nhóm. Để đánh giá kết quả, tôi đã tiến hành:
Lập phiếu điều tra cả hai nhóm. Kết quả như bảng 2.
Ra bài tập kiểm tra học sinh cả hai nhóm. Kết quả như bảng 3.
Bảng 2
Nội dung điều tra
Kết quả nhóm 1
Kết quả nhóm 2
Số HS
TL%
Số HS
TL%
1. Được GV hướng dẫn vẽ hình, phân tích bài toán.
22
100
22
100
2. Sau khi học xong bài, hiểu bài và nhớ lâu hơn.
20
90.90
14
63,63
3. Tự xây dựng được phần đảo và chứng minh tốt bài toán quỹ tích.
15
68,18
10
45,45
Bảng 3
Loại điểm
Điểm tốt
(9, 10)
Điểm khá
(7, 8)
Điểm TB
(5,6)
Điểm yếu kém (dưới 5)
Nhóm 1
Số HS
2
6
13
1
TL%
9,09
27,27
59,09
4,54
Nhóm 2
Số HS
1
3
13
5
TL%
4,54
13,63
59,09
22,72
4.3 Nhận xét đánh giá kết quả thực nghiệm
 Thông qua kết quả phiếu điều tra và kết quả bài kiểm tra cho thấy sau khi tôi áp dụng phương pháp dạy toán qũy tích theo chuyên đề, phân tích để rút ra hướng giải, đã làm cho học sinh lắm được bài tốt hơn, hiểu sâu hơn, nhớ bài lâu hơn so với nhóm đối chứng. Tỉ lệ học sinh biết dựng lại mệnh đề đảo cao hơn nhóm đối chứng, yêu thích dạng toán quỹ tích hơn, kết quả các bài kiểm tra toán cũng cao hơn so với nhóm đối chứng.
Phần III: kết luận chung
 Sau khi tìm hiểu, nghiên cứu sâu về các bài toán quỹ tích, dạy dạng toán quỹ tích ở trường THCS, tôi xin nêu ra những điểm cần lưu ý khi dạy dạng toán quỹ tích như sau:
Lựa chọn phương pháp cho phù hợp với từng nhóm đối tượng học sinh, lựa chọn từng đơn vị kiến thức phù hợp với trình độ học sinh.
Các bài toán đưa ra phải đi từ dễ đến khó, phải phân tích cho học sinh tất cả các tình huống xảy ra của bài toán, hướng dẫn học sinh vẽ hình theo yêu cầu bài toán, và dự đoán quỹ tích các điểm cần tìm để giải bài toán nhanh chóng chính xác.
Cần làm cho học sinh hiểu, khi chứng minh phần đảo là đi đặt ra bài toán dựng hình, và chứng minh bài toán đó.
Đưa ra các bài toán tương tự để học sinh vận dụng và rèn kỹ năng trình bày, phân tích.
Nên sử dụng phương tiện dạy học hiện đại vào việc dạy dạng toán này sẽ đạt hiệu quả cao hơn (vì khi minh hoạ các điểm di động học sinh sẽ nhìn thấy ngay những yếu tố cố định, những yếu tố thay đổi, và quỹ tích các điểm cần tìm một cách trực quan, sinh động).
 Trên đây là những tìm hiểu, nghiên cứu của tôi về dạng toán quỹ tích, hướng phân tích bài toán quỹ tích để tìm lời giải ngắn gọn, chính xác, nhanh chóng. Tôi tin rằng với cách dạy này học sinh sẽ đạt kết quả tốt, và yêu thích dạng toán quỹ tích. Mong rằng các giáo viên dạy toán bậc THCS có thể tham khảo và đóng góp ý kiến để việc giảng dạy của tôi ngày càng đạt kết quả cao. 
Giao Thanh: Ngày 20 tháng 3 năm 2008
Giáo viên: Trần Thị Thu Thuỳ