Sáng kiến kinh nghiệm Giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-Ét

PHẦN A: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
 Là một giáo viên dạy Toán lớp 9, đã nhiều năm được nhà trường phân công ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, tôi đều thực hiện ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức. Khi dạy về hệ thức Vi-ét tôi thấy nếu chỉ dạy theo thứ tự lí thuyết và bài tập như ở SGK, SBT thì chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải các bài tập thuộc chủ đề này. Quan trọng hơn việc nhớ kiến thức của các em sẽ không có hệ thống. Như vậy kết quả bài làm của các em không cao, bên cạnh đó hầu hết đề thi vào trường THPT đều có một phần kiến thức về hệ thức Vi-ét. Chính vì thế, tôi đã tiến hành nghiên cứu SGK, SBT, các tài liệu BDTX toán lớp 9 và các tài liệu tham khảo để tập hợp các bài tập về hệ thức Vi-ét. Sau đó đã tiến hành phân dạng và với từng dạng đều chỉ rõ ứng dụng của nó. 
 Từ cách nghĩ và cách làm đó tôi đã nảy sinh ra việc viết sáng kiến “Giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét”
II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
 Để áp dụng sáng kiến này giáo viên cần tích cực nghiên cứu các tài liệu liên quan, nắm chắc phương pháp giải của từng dạng toán trong sáng kiến. Học sinh có đầy đủ SGK, SBT và nắm vững định lí Vi-ét. 
 Tôi đã áp dụng sáng kiến này từ tháng 3 năm 2017 vào việc dạy và ôn tập cho học sinh lớp 9A2 trường THCS Thiện Ngôn thi vào thi THPT năm học 2017-2018
III. PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
- Không gian: Lớp 9A2 trường THCS Thiện Ngôn- Tân Biên.
- Thời gian thực hiện: Từ tháng 3 năm học 2016 – 2017.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu để làm cơ sở lí luận. 
- Phương pháp phân tích: Thông qua dự giờ, đàm thoại với đồng nghiệp chủ nhiệm cùng khối để tìm hiểu phương pháp lựa chọn, bồi dưỡng đội ngũ cán bộ lớp với kinh nghiệm của bản thân để đưa ra phương pháp thích hợp.
- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi.
- Phương pháp kiểm tra: Kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê so sánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đề tài. Từ đó kiểm nghiệm lại mức độ thành công của đề tài. 
- Nghiên cứu hoàn cảnh, môi trường, điều kiện học tập của học sinh.
- Phương pháp đối chiếu, thống kê, so sánh.
PHẦN B: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
 Như đã nói ở trên, loại toán có vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải là một bài toán khó và có nhiều dạng toán. Để làm tốt dạng toán này đòi hỏi học sinh cần:
 - Xác định đúng các hệ số a; b (hoặc b’); c.
 - Tính đúng D (hoặc D')
 - Biến đổi biểu thức có liên quan đến hai nghiệm về dạng tổng và tích của hai nghiệm.
 - Vận dụng hệ thức Vi-ét.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN:
1. Đối với giáo viên: Khi dạy về hệ thức Vi-ét, trong chương trình thời lượng không nhiều chỉ có 1 tiết lí thuyết và 1 tiết luyện tập. Thông thường giáo viên chỉ thực hiện nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng các bài tập về hệ thức Vi-ét. Bên cạnh đó các bài tập thể hiện trong SGK và SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết các dạng cơ bản cần thiết để học sinh có đủ kiến thức khi giải bài tập dạng này trong các đề thi vào THPT. Do đó kết quả học tập của học sinh đối với các bài tập về hệ thức Vi-ét thường không cao nếu giáo viên không có sự tập hợp sắp xếp đầy đủ khoa học.
 2. Đối với học sinh:
Trong những năm học trước sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ôn tập các bài toán về hệ thức Vi-ét khi chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, tôi nhận thấy rằng đa số các học sinh thường bỏ qua câu có vận dụng hệ thức Vi – ét trong các kì thi tuyển sinh vào trường THPT.
 Nguyên nhân: 
 - Học sinh không nắm chắc hệ thức Vi-ét và ứng dụng. 
 - Học sinh không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với các yếu tố, điều kiện đã biết để giải bài tập.
3. Các biện pháp
 3.1. Ôn tập lí thuyết
* Định lí Vi-ét: (thuận)
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 () thì
Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thể suy ra nghiệm kia.
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 () có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . 
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 () có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - . 
* Định lí Vi-ét: (đảo)
	Nếu hai số u, v thỏa mãn thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0. (Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P 0)
 3.2. Các dạng toán và phương pháp giải.
Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
* Phương pháp: Trước khi áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm hay không (Tức là kiểm tra có thỏa mãn không).
* Ví dụ 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình:
a) 2x2 - 17x + 1 = 0 	 b) 25x2 + 10x + 1 = 0
Giải
a) 2x2 - 17x + 1 = 0 (a = 2 0, b = -17, c = 1)
Ta có: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: .
b) 25x2 + 10x + 1 = 0 (a = 25 0, b = 2b’ = 10, c = 1)
Ta có: Phương trình có hai nghiệm x1, x2. 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: .
 * Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m: x2 + 2x + m2 = 0
Giải
 x2 + 2x + m2 = 0 (a = 1 0, b = 2b’ =, c = m).
Ta có: .
Để phương trình có nghiệm . 
Vậy với , phương trình có hai nghiệm x1, x2. 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: .
Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
*Phương pháp: Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (), ta áp dụng nhận xét sau:
Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 () có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . 
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 () có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - . 
Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0.
 Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là 
Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó ta tính ngay được m + n. Khi đó:
 - Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận).
 - Nếu m + n - b, thì ta chuyển sang bước 2.
Bước 3: Kết luận: 
Phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n.
F Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:
 - Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và đưa ra lời kết luận nghiệm.
 - Nếu không tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm.
 * Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 35x2 - 37x + 2 = 0 	 b) x2 - 49x - 50 = 0 c) x2 + 6x + 8 = 0
Giải
a) 35x2 - 37x + 2 = 0 
Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0. Do đó phương trình có một nghiệm là x1 = 1, x2 = . 
b) x2 - 49x - 50 = 0
Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0. Do đó phương trình có một nghiệm là x1 = - 1, x2 = -. 
c) x2 + 6x + 8 = 0
Ta thấy . Do đó phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4. 
Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm.
* Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 () cho biết một nghiệm x1 = m. Tìm nghiệm còn lại x2 ?
Ta làm như sau: Dùng hệ thức Vi-ét = . Thay x1 = m vào hệ thức, ta có hoặc ta dùng hệ thức . Thay x1 = m 
vào hệ thức, ta có . 
* Ví dụ: 
a) Chứng tỏ rằng phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0 có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia.	
b) Biết phương trình: 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0 có nghiệm x1 = tìm nghiệm x2, giá trị của m tương ứng.
	Giải
a) x1 = - 3 là một nghiệm của phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0. 
 Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – 6 – 21 = 0. 
 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 = = .
 b) 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0.
 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: . Mà x1 = nên suy ra:
 .
 Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 = = 
 Vậy x2 = 5, m = 11.
Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
 * Phương pháp:
Nếu hai số u, v thỏa mãn thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (1)
F Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P 0) thì ta được: hoặc .
 * Ví dụ : Tìm hai số u và v biết: 
u + v = 32, u.v = 231;
Giải
Ta có u + v = 32, u.v = 231. 
Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 - 32x + 231 = 0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:.
Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21.
Dạng toán 5: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình.
* Phương pháp: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0 () là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 và x2.	Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xét biệt thức thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (hoặc ).
Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vào biểu thức.
Chú ý: Một số phép biến đổi:
 * Ví dụ . Cho phương trình x2 – 6x + 8 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức:
a) A = ; 	 b) B = ; 	 c) C = 
Giải
Phương trình x2 – 6x + 8 = 0 có phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Theo định lí Vi-ét ta có: 
a) A = = = 62 – 2.8 = 36 – 16 = 20.
Vậy A = 20
b) B = . Vậy B = 
c) C = .
Mà ta có: 
Vậy C = 
 Dạng toán 6: Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
* Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 ( hoặc ).
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số.
Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
 * Ví dụ 1. Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 (x là ẩn)
Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Giải
Phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 có: với mọi m. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: .
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được S – P = 2 x1 + x2 - x1x2 = 2 (không phụ thuộc vào m).
 * Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 (x là ẩn)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 
Giải
Phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
.
Áp dụng hệ thức Vi-ét: 
Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc vào m). 
Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để khử m. Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức Vi-ét mà quên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2. 
Dạng toán 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn một điều kiện cho trước.
* Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số (giả sử tham số là m) để phương trình có nghiệm x1, x2 (tức là cho hoặc ).
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: .
Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m.
Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời.
 * Ví dụ 1. Cho phương trình: 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0.
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m.
Giải
a) Phương trình có nghiệm (đúng với mọi m).
Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm.
b) Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình.
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: .
Theo bài, ta có hệ thức: = (II). Thay (I) vào (II), ta có: .
 * Ví dụ 2. Cho phương trình x2 - 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện .
Giải
Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 
Theo bài: (3).
Giả hệ gồm (1) và (3), ta được: 
Thay x1 = 5, x2 = 1 vào (2), ta có: 5.1 = m m = 5 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy với m = 5 thì .
 * Ví dụ 3. Cho phương trình: (1) (với ẩn là ).
a) Giải phương trình (1) khi m =1.
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Giải
a) Khi m = 1 ta có phương trình x2 – 4x + 2 = 0 . 
Giải phương trình được 
b) Ta có với mọi m. 
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
 * Ví dụ 4. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (có ẩn số là x).
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của y = 
Giải
a) Ta có với mọi m. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
Theo bài: y = = (3)
Thay (1) và (2) vào (3), ta có: 
y = .
Vì với mọi m nên suy ra y = . 
 Dấu “=” xảy ra . Vậy ymin = 3 
Dạng toán 8: Xét dấu các nghiệm.
* Phương pháp: Dùng hệ thức Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm x1, x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0 () dựa trên kết quả:
Phương trình có hai nghiệm trái dấu 
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu .
Phương trình có hai nghiệm dương .
Phương trình có hai nghiệm âm .
 * Ví dụ 1. Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + 1 = 0. Xác định m để phương trình:
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm dương phân biệt.
Giải
a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu 
Vậy với m < 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 
Vậy với 0 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
 * Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 - 6x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
Giải
Để phương trình có hai nghiệm âm 
Vậy với thì phương trình có hai nghiệm âm.
4. Kết quả cụ thể:
Thời gian
TSHS
Từ trung bình trở lên
Dưới trung bình
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
Đầu năm
33
24
72,72
9
 27,28%
Cuối HK I
32
26
81,25%
6
18,75%
Cuối HK II
31
27
87,5%
4
12,5%
PHẦN C: KẾT LUẬN:
I. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
 Qua nhiều năm dạy toán 9 và ôn thi tuyển sinh vào lớp 10, với sự đầu tư nghiên cứu của bản thân, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm như sau:
 - Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần phân dạng toán cho học sinh.
 - Học sinh phải nắm vững phần lý thuyết.
 - Làm bài tập về nhà theo yêu cầu của giáo viên.
 - Giáo viên cần giới thiệu cho học sinh các loại sách chuyên đề để học sinh nghiên cứu thêm.
II. HƯỚNG PHỔ BIÊN VÀ ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI:
 Trên cơ sở phân tích, đối chiếu, so sánh, một lần nữa tôi khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm “Giải các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét” có khả năng áp dụng rộng rãi cho mỗi giáo viên dạy toán lớp 9 ở các trường THCS. Sáng kiến đã chỉ ra được việc cần thiết phải phân dạng các bài toán về hệ thức Vi-ét và việc ứng dụng của nó đồng thời chỉ rõ các phương pháp cụ thể để thực hiện từng nội dung. Giúp giáo viên có tài liệu để giảng dạy chủ đề hệ thức Vi-ét một cách đầy đủ, hệ thống, khoa học. Từ đó nâng cao chất lượng cho học sinh không chỉ giới hạn trong việc giải quyết các bài toán về hệ thức Vi-ét mà còn củng cố rèn luyện được nhiều kiến thức toán học khác. Góp phần nâng cao kết quả trong kì thi vào THPT và tạo tiền đề vững chắc cho việc học toán sau này của các em. 
III. LỜI KẾT:
 Trên đây là những kinh nghiệm mà tôi đã học hỏi, đúc kết trong quá trình công tác tại trường THCS Thiện Ngôn- Tân Biên. Do năng lực và thời gian có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm này chắc hẳn còn nhiều thiếu sót hoặc chưa phù hợp, rất mong sự đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy cô để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn chỉnh hơn.
 Xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu nhà trường đã tạo điều kiện tốt cho giáo viên nghiên cứu và thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này.
 Xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô đã hỗ trợ cho tôi trong công tác! 
 Tân Bình, ngày 10 tháng 03 năm 2017
 NGƯỜI THỰC HIỆN
 Ngô Đức Đồng
PHẦN D : TÀI LIỆU THAM KHẢO
Văn kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ IX; X; XI của Đảng cộng sản Việt Nam.
Luật Giáo dục năm 2005 và Luật Giáo dục sửa đổi bổ sung năm 2007
Điều lệ Trường Trung học.
Thông tư số 58/ 2011/ QĐ- BGD&ĐT.
Chỉ thị năm học 2011- 2012 của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Các kế hoạch năm học 2016- 2017 của trường THCS Thiện Ngôn- Tân Biên.
PHẦN E: MỤC LỤC
PHẤN A: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn sáng kiến kinh nghiệm .Trang 1
II. Đối tượng nghiên cứu Trang 1
III. Phạm vi nghiên cứu  Trang 1
IV. Phương pháp nghiên cứu . Trang 1
PHẦN B: NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận . Trang 2
II. Cơ sở thực tiễn . Trang 2
PHẦN C: KẾT LUẬN
I. Bài học kinh nghiệm  Trang 13
II. Hướng phổ biến và áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm. Trang 13
III. Lời kết ... Trang 13
PHẦN D: TAI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tham khảo ... Trang 14
PHẦN E: MỤC LỤC
Mục lục  Trang 14
Ý KIẾN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC:
1. Cấp trường: 
Xếp loại: 
Tân Bình, ngày .. tháng . năm 2017