Sáng kiến kinh nghiệm Giải bài toán thực tế bằng cách lập phương trình

ợng đã biết.
Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình 
Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình ( nghiệm của hệ phương trình), nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận).
 Các bài toán sau đây đều nhằm giải giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình . Phân tích , tìm lời giải cho bài toán là phân tích và phiên dịch bài toán về dạng ngôn ngữ đại số . Các bài toán được phân thành hai dạng cơ bản : Toán bậc nhất và Toán bậc hai . Ở mỗi dạng lại có các loại toán khác nhau , mỗi loại có những đặc điểm riêng cần chú ý khi giải các bài toán tương tự . 
Các bài toán giải bằng cách lập phương trình và hệ phương trình phân loại như sau :
1/ Loại bài toán về chuyển động.
2/ Loại bài toán tìm số .
3/ Loại toán về công việc, vòi nước chảy ( “làm chung -làm riêng”).
4/ Loại bài toán về năng suất lao động.
5/ Loại bài toán có liên quan đến hình học.
6/ Loại bài toán có nội dung Vật lý, Hoá học.
7) Một số bài toán loại khác .
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA .
1. CÁC BÀI TOÁN BẬC NHẤT:
1.1.Dạng toán chuyển động:
a/Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
- Với dạng toán này cần khai thác ở các đại lượng:
+ Quãng đường : S
+ Vận tốc : v
+ Thời gian: t
Liên hệ với nhau bởi các công thức :
S = v.t ;	t = ; 	v=. 
 Lưu ý phải thống nhất đơn vị.
Phương pháp giải
- Chọn ẩn và điều kiện ràng buộc cho ẩn.
- Tuỳ theo từng nội dung mà chọn ẩn cho phù hợp, sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác để tìm lời giải như sau:
Bài toán 1: Một người đi xe đạp từ nhà nên tỉnh với vận tốc dự định là 10 (km/h).Trong 1/3 quãng đường đầu tiên anh đi với vận tốc ấy. Sau đó anh đi với vận tốc bằng 150% vận tốc cũ. Do đó anh đã đến sớm hơn dự định là 20 phút. Tính quãng đường từ nhà người đó đến tỉnh .
a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : 
+ Vẽ sơ đồ :
 x
 A	C 	 B
 10km/h 150%.10km/h
+ Nếu gọi quãng đường AB là x (km),ta có thể hướng dẫn học theo bảng sau:
Các trường hợp
S (km)
v (km/h)
t (h)
Ban đầu
x
10
Về sau
 quãng đường
x
10
x: 10
 quãng đường
x
10.150%=15
x:15
Phương trình lập được
b) Lời giải : Gọi quãng đường cần tìm là x(km), x > 0
Thời gian dự định đi với vận tốc 10 km/h là : (h)
Thời gian đi quãng đường đầu là : ( .x):10 = (h)
Thời gian đi quãng đường sau là : ( .x):15 = (h)
 Đổi 20 phút = giờ 
 Do đó theo đề bài ta có phương trình 
x= 15 thoả mãn đề bài . 
Vậy quãng đường cần tìm là 15 km.
2. Loại bài toán tìm số .
a/Hướng dẫn tìm lời giải:
- Những lưu ý khi giải các bài tâp:
+ Viết chữ số tự nhiên đã cho dưới dạng luy thừa của 10:
 .
+ Số chính phương: Nếu a là số chính phương thì a = b2( )
b/ Bài toán minh hoạ:
- Ta phải chú ý tới cấu tạo của một số có hai chữ số , ba chữ số viết trong hệ thập phân. điều kiện của các chữ số .
Bài toán 2: Một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng các chữ số của nó bằng 16. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số lớn hơn số đã cho là 18. Tìm số đã cho?.
a)Hướng dẫn Phân tích , tìm lời giải : 
 - Bài toán tìm số có hai chữ số thực chất là bài toán tìm hai số (chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị )
- Biểu diễn số có hai chữ số dưới dạng: ab = 10a + b 
- Biết chữ số hàng chục tính chữ số hàng đơn vị 
 - Khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được số ba, tìm mối liên hệ giữa số mới và số cũ. 
- Chú ý điều kiện của các chữ số .
Cách trường hợp
Số thứ nhất(Hàng chục)
Số thứ hai(Hàng đơn vị)
Mối liên hệ
Ban đầu
x
16-x
Về sau
16 - x
x
Phương trình lập được
b) Lời giải :
Gọi chữ số hàng chục của số phải tìm là : x ( 0 < x)
 chữ số hàng đơn vị là : 16 - x 
Số phải tìm có dạng: x(16- x)
Sau khi đổi chỗ hai chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau ta được số mới là: (16- x)x
Theo đề bài số mới lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị, nên ta có phương trình:
 x( 16- x) + 18 = (16- x)x
 10x + (16-x) + 18 = 10(16- x) + x
 10x + 16 - x + 18 = 160- 10x + x
 18x = 126 x = 7 ( thoả mãn điều kiện)
Vậy chữ số hàng chục là 7, chữ số hàng đơn vị là 16- 7 = 9
Do đó số phải tìm là 79
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chọn ẩn là chữ số hàng đơn vị
*) Khai thác: Có thể thay đổi dữ kiện của bài toán thành biết tổng các chữ số của nó bằng tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị, khi đó ta cũng có cách giải tương tự. 
Giáo viên lưu ý: Với dạng này học sinh phải hiểu được mối liên hệ giữa các đại 
lượng, đặc biệt giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,
ab = 10a + b, 	abc = 100a + 10b + c
3.Dạng toán công việc , vòi nước chảy: “ làm chung - làm riêng” 
(toán quy về đơn vị )
Bài toán 3: Hai công nhân nếu làm chung thì 12 giờ hoàn thành công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm nốt phần công việc còn lại trong 10 giờ.Hỏi người thứ hai làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc đó,
 a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : 
Nếu gọi thời gian để một mình người thứ hai làm xong công việc là: x giờ (x > 0)
Khi đó:Trong 1 giờ người thứ hai làm được bao nhiêu phần công việc? ( )
Trong 10 giờ người thứ hai làm được bao nhiêu phần công việc? ()
Hai người cùng làm thì xong công việc trong 12 giờ. 
Vậy trong 1 giờ hai người cùng làm được bao nhiêu phần công việc? ()
trong 4 giờ hai người cùng làm được bao nhiêu phần công việc? ()
Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng để lập phương trình.
b)Lời giải : 
Gọi thời gian để một mình người thứ hai làm xong công việc là: x giờ(x >0)
Trong 1 giờ người thứ hai làm được: (phần công việc)
Trong 10 giờ người thứ hai làm được: (phần công việc)
Trong 1 giờ cả hai người làm được: (phần công việc)
Trong 4 giờ cả hai người làm được: (phần công việc)
Theo đề bai hai người làm chung trong 4 giờ sau đó người thứ hai làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình: 
Giải phương trình ta được x = 15
Vậy một mình người thứ hai làm xong toàn bộ công việc hết 15 giờ. 
4.Dạng toán về năng suất lao động :
Bài toán 4:Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 400 chi tiết máy. Tháng sau tổ 1 vượt mức 10%, tổ 2 vượt mức 15% nên cả hai tổ sản xuất được 448 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.
a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : 
+ Chọn ẩn: x là số chi tiết máy tổ1 sản xuất trong tháng đầu (x < 400, )
+ Lập mối liên hệ của ẩn theo bảng sau:
Mối liên hệ
Các trường hợp
Khối lượng công việc
Năng suất công việc
Tổng khối lượng công việc
Theo dự định
Đội 1
x
100%
400
Đội 2
400 - x
100%
Theo thực tế
Đội 1
x+ 10%x
110%
448
Đội 2
400–x +(400 –x)15%
115%
Phương trình lập được.
x+ 10%x+400 – x +(400 –x)15% = 448
b)Lời giải : 
Gọi x là số chi tiết máy tổ1 sản xuất trong tháng đầu (x < 400, )
Thì tháng đầu tổ 2 sản xuất được 400- x (chi tiết máy)
Tháng sau tổ 1 sản xuất được x +10%.x=
Tháng sau tổ 2 sản xuất được 
Theo bài ra ta có phương trình: 
 (thoả mãn )
 Vậy tháng đầu tổ 1 sản xuất được 240 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 160 
chi tiết máy.
5. Dạng toán liên quan đến hình học.
Bài toán 5 :Tính cạnh của một hình vuông biết rằng nếu chu vi tăng thêm 12 (m) thí diện tích tăng thêm 135 (m)
a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : 
- Cần cho học sinh hiểu chu vi và diện tích của hình vuông được tính như thế nào? . Diện tích lúc đầu của hình vuông là gì?
- Chu vi tăng thêm 12(m) thì độ dài mỗi cạnh tăng thêm bao nhiêu, từ đó tìm được diện tích sau khi tăng
- Tìm mối liên hệ giữa hai diện tích để lập phương trình.
+ Gọi cạnh của hình vuông là x (m), x > 0.
Các đại lượng
Các trường hợp
Cạnh của hình vuông
Chu vi
Diện tích
Ban đầu
x
4x
x2
Về sau
(4x+ 12): 4 = x+3
4x+ 12
(x+3)2
Phương trình lập được
b)Lời giải : 
Gọi cạnh của hình vuông là x (m), x > 0. Thì diện của hình vuông là x
Chu vi của hình vuông là 4x (m). Khi chu vi tăng thêm 12 (m) thì cạnh tăng thêm 3 (m).
Vậy diện tích của hình vuông sau khi chu vi tăng là : (x+3)
Theo bài ra ta có phương trình:
 (thoả mãn)
Vậy cạnh hình vuông là 21 (m)
c) Khai thác bài toán.
 Cũng bài toán đã nêu, ta thay yêu cầu : tính hai cạnh góc vuông của tam giác bằng tính diện tích của tam giác vuông hoặc tính cạnh huyền của tam gác vuông, ta sẽ được những bài toán mới. Để giải chúng ta vẫn chọn ẩn là hai cạnh góc vuông x và y, tìm được x và y ta suy ra diện tích, cạnh huyền.
6. Dạng toán có nội dung vật lý, hoá học .
 Bài toán 6 :Một miếng hợp kim đồng và thiếc có khối lượng 12 kg, chứa 45% 
đồng. Hỏi phải thêm vào đó bao nhiêu thiếc nguyên chất để được một hợp kim 
mới có chứa 40% đồng.
a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : 
- Giáo viên làm cần cho học sinh hiểu rõ hợp kim gồm đồng và thiếc, trong 12kg hợp kim có 45% đồng khi đó khối lượng đồng là bao nhiêu?
+ Gọi khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm vào là: x kg (x > 0 )
b) Lời giải : 
45% khối lượng đồng có trong 12 kg hợp kim là: 12.45% = 5,4 (k g)
Gọi khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm vào là: x kg (x > 0 )
Sau khi thêm vào khối lượng của miếng hợp kim là: 12 + x (kg)
Khối lượng đồng không đổi nên tỷ lệ đồng trong hợp kim lúc sau là: 
Theo đề bài tỷ lệ đồng lúc sau là 40% nên ta có phương trình: 
Giải phương trình ta có: x = 1,5 kg. Đáp số: 1,5 kg.
c)Khai thác bài toán: Thay đổi số liệu và đối tượng của bài toán ta có bài toán tương tự: Có 200 (g) dung dịch chứa 50 (g) muối. Cần pha thêm bao nhiêu nước để được dung dịch chứa 10% muối.
b) Khai thác bài toán.
Ta có thể thay đổi điều kiện, hoặc thay đổi ẩn để có những bài toán tương tự.
7) Một số bài toán loại khác .
Dạng toán về tỉ lệ chia phần ( “Thêm-bớt”; “Tăng-giảm”) 
Bài toán 7:Hai cửa hàng có 600(l) nước mắm. Nếu chuyển 800(l) từ cửa hàng thứ nhất sang cửa hàng thứ hai thì số nước mắm ở cửa hàng thứ hai sẽ gấp đôi số nước mắm ở cửa hàng thứ nhất. Hỏi lúc đầu mỗi cửa hàng có bao nhiêu lít nước mắm?
a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : 
+ Gọi số nước mắm lúc đầu ở cửa hàng thứ nhất là x (l) (80 < x < 600)
+ Ta lập bảng:
 Các đơn vị
Các trường hợp
Của hàng 1
Của hàng 2
Lúc đầu
x
600-x 
Về sau
x-80
600-x+80
 Phương trình lập được
680 – x = 2(x-80)
b)Lời giải : 
Gọi số nước mắm lúc đầu ở cửa hàng thứ nhất là x (80 < x < 600)
Lúc đầu ở cửa hàng thứ hai có: 600-x 
Sau khi chuyển cửa hàng thứ nhất còn: x-80 
 Cửa hàng thứ hai có : 600-x+80 = 680-x (l)
Theo bài ra ta có phương trình: 680 - x= 2(x-80) 
 680 - x= 2x - 1603x = 840x=280(l) , (thoả mãn)
Vậy lúc đầu cửa hàng thứ nhất có 280 (l)
 Cửa hàng thứ hai có: 600-280=320 (l)
B. CÁC BÀI TOÁN BẬC HAI,
1.Dạng toán chuyển động:
Bài toán 8: (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học: 2007 – 2009)
 Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B cách nhau 108 km. Hai ôtô cùng khởi hành một lúc từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : 
 Sau khi cho học sinh đọc kĩ đề bài toán trên màn hình tôi phát phiếu học tập và yêu cầu các em trả lời câu hỏi rồi điền số liệu vào bảng số liệu trong bảng sau:
Ô tô thứ nhất 
Ô tô thứ hai
Vận tốc (km/h)
 (km/h)
 (km/h)
Thời gian ( h)
 (h)
 (h)
b)Lời giải : 
Đổi: 12 phút = (h)
Gọi vận tốc của Ô tô thứ hai là x (km/h) (điều kiện x > 0) 
thì vận tốc của Ô tô thứ nhất là (km/h) 
Thời gian Ô tô thứ nhất đi là (giờ); Thời gian Ô tô thứ hai đi là (giờ) 
Theo bài ra Ô tô thứ nhất đến sớm hơn Ô tô thứ hai 10 phút nên ta có phương trình: 
 - = 
Ta có: = 9 + 3240 = 3249 > 0 
 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt : ; 
Nhận thấy > 0 (thoả mãn điều kiện), < 0 (loại)
Trả lời: Vận tốc của Ô tô thứ hai là 54 (km/h)
 Vận tốc của Ô tô thứ nhất là 54 + 6 = 60 (km/h) 
Tóm lại: Với dạng toán chuyển động thì giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được mối quan hệ giữa các đại lượng: quãng đường, vận tốc, thời gian và các đại lượng này liên hệ với nhau bởi công thức : S = v.t 
 Trong quá trình chọn ẩn nếu ẩn là quãng đường, vận tốc, hay thời gian thì điều kiện của ẩn là luôn dương. Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì thì lập phương trình: 
Thời gian dự định + thời gian đến chậm = Thời gian thực tế .
Nếu chuyển động trên một quãng đường thì thời gian và vận tốc tỉ lệ nghịch với nhau.
Bài toán 9:
Một xuồng máy xuôi dòng sông 30 km và ngược dòng 28 km hết một thời gian bằng thời gian mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yêu lặng. Tính vận tốc của 
xuồng khi đi trong hồ biết rằng vận tốc của nước chảy trên sông là 3 km/h.
a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải : 
- Đối với bài toán này các em cần vận dụng công thức chuyển động với dòng nước (vxuôi = vThực + v nước ; vNgược = vThực - v nước) 
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn? 
- Lưu ý: Cần xác định dúng quãng đường xuôi dòng, ngược dòng và cách tính thời 
gian và mối quan hệ giữa thời gian đi trong hồ với thời gian xuôi, ngược dòng để từ đó thiết lập phương trình. 
b)Lời giải : 
Gọi vận tốc của xuồng khi đi trên hồ là x (km/h) (Điều kiện x > 3) 
thì vận tốc xuôi dòng là x + 3 (km/h), vận tốc ngược dòng là x - 3 (km/h). 
Thời gian xuồng khi đi trong hồ 59,5 km là (giờ)
Thời gian xuồng máy xuôi dòng 30 km là (giờ)
Thời gian xuồng máy ngược dòng 28 km là (giờ)
Theo bài ra ta có phương trình: + = 
Giải phương trình này ta được: ; . Nhận thấy x = 17 > 0 thoả mãn điều kiện 
Trả lời: Vậy vận tốc của xuồng khi đi trên hồ là 17 (km /h). 
c)Khai thác bài toán: Thay đổi số liệu và đối tượng của bài toán ta có bài toán tương tự: 
2.Dạng toán tìm số :
Bài toán 10: Cho một số có hai chữ số tổng hai chữ số của chúng bằng 10, tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho
Giải:
Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x (x )
Chữ số hàng đơn vị là 10 - x
Giá trị của số đã cho là : 10x + 10 - x = 9x + 10
Ta có PT: x(10 - x) = 9x + 10 - 12
	10x - x2 = 9x - 2
	x2 - x - 2 = 0
Nhận thấy a - b + c = 1 + 1 - 2 = 0
Ta có: x1 = - 1; x2 = 2
Với x1 = - 1 (loại) không thoả mãn đk
Ta có chữ số hàng chục là 2
Chữ số hàng đơn vị là 8
Vậy số phải tìm là 28
c) Khai thác bài toán.
Đây là loại bài toán bậc 2, để tạo ra những bài toán thương tự, ta có thể thay đổi điều kiện. 
3.Dạng toán công việc: “ làm chung - làm riêng ”, “vòi nước chảy” (toán quy về đơn vị )
Bài toán 11: Hai đội công nhân xây dưng nếu làm chung thì mất sáu ngày sẽ làm song một công trình. Nếu làm riêng thì đội I làm lâu hơn đội II là 5 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm mất bao lâu?
a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải :
Gọi số ngày đội I làm một mình xong là: x ( ngày ), x > 5
Ta có bảng sau
Các sự kiện
Đội I
Đội II
Cả hai đội
Số ngày
x
x-5
6
Phần việc làm trong một ngày
b)Lời giải : 
Gọi số ngày đội I làm một mình xong công việc là: x ( ngày ), x > 5
Số ngày đội II làm một mình xong công việc là : x- 5 ( ngày )
Trong một ngày : Đội I làm được: (công việc )
Đội II làm được: (công việc). Cả hai đội làm được : (công việc )
Theo đề bài thì cả hai đội làm chung hết 6 ngày mới song vậy mỗi ngày cả hai đội làm được 1/6 (công việc )
Ta có phương trình : 
 x(x-2)-15(x-2)= 0
 (x-2)(x-15)=0
 x=2 (x < 5, loại )
 hoặc x=15 (thoả mãn )
Trả lời : Đội I làm riêng hết 15 ngày
Đội II làm riêng hết 10 ngày
4.Dạng toán về năng xuất lao động:
Bài toán 12: 
Một công nhân phải hoàn thành 50 sản phẩm trong 1 thời gian quy định. Do cải tiến kỹ thuật nên mỗi giờ đã tăng năng suất thêm 5 sản phẩm vì thế người ấy hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là 1h40ph. Tính số sản phẩm mỗi giờ người đó phải làm theo dự định.
Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải :
Số sản phẩm mỗi giờ làm
TGHTCV
Dự định
Thực tế
 Ta có pt:
Giải phương trình này ta được: 
Nghiệm thỏa mãn là x = 10
Vậy số sản phẩm mỗi giờ người đó phải làm theo dự định là 10 sản phẩm.
5. Dạng toán liên quan đến hình học.
 Bài toán 13: Tính cạnh của một hình vuông biết rằng nếu chu vi tăng thêm 12 (m) thí diện tích tăng thêm 135 (m)
a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải :
- Cần cho học sinh hiểu chu vi và diện tích của hình vuông được tính như thế nào? . Diện tích lúc đầu của hình vuông là gì?
- Chu vi tăng thêm 12(m) thì độ dài mỗi cạnh tăng thêm bao nhiêu, từ đó tìm được diện tích sau khi tăng
- Tìm mối liên hệ giữa hai diện tích để lập phương trình.
+ Gọi cạnh của hình vuông là x (m), x > 0.
b)Lời giải : 
Gọi cạnh của hình vuông là x (m), x > 0. Thì diện của hình vuông là x
Chu vi của hình vuông là 4x (m). Khi chu vi tăng thêm 12 (m) thì cạnh tăng thêm 3 (m).
Vậy diện tích của hình vuông sau khi chu vi tăng là : (x+3)
Theo bài ra ta có phương trình:
 (thoả mãn)
Vậy cạnh hình vuông là 21 (m)
*) Đối với dạng toán này cần gợi ý cho học sinh nhớ những kiến thức của hình học như: độ dài, diện tích, chu vi ...
6. Dạng toán có nội dung vật lý, hoá học .
Bài toán 14: Một miếng hợp kim đồng và thiếc có khối lượng 12 kg, chứa 45% 
đồng. Hỏi phải thêm vào đó bao nhiêu thiếc nguyên chất để được một hợp kim 
mới có chứa 40% đồng.
a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải :
- Giáo viên làm cần cho học sinh hiểu rõ hợp kim gồm đồng và thiếc, trong 12kg hợp kim có 45% đồng khi đó khối lượng đồng là bao nhiêu?
+ Gọi khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm vào là: x kg (x > 0 )
 Các đại lượng
Các trường hợp
Khối lượng đồng
Khối lượng hỗn hợp
Mối liên hệ giữa các đại lượng
Ban đầu
45%.12 = 5,4
12
Về sau
5,4
x +12
Phương trình lập được
b)Lời giải : 
45% khối lượng đồng có trong 12 kg hợp kim là: 12.45% = 5,4 (k g)
Gọi khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm vào là: x kg (x > 0 )
Sau khi thêm vào khối lượng của miếng hợp kim là: 12 + x (kg)
Khối lượng đồng không đổi nên tỷ lệ đồng trong hợp kim lúc sau là: 
Theo đề bài tỷ lệ đồng lúc sau là 40% nên ta có phương trình: 
Giải phương trình ta có: x = 1,5 kg.
Vậy khối lượng thiếc nguyên chất cần thêm vào là: 1,5 kg.
c)Khai thác bài toán: Thay đổi số liệu và đối tượng của bài toán ta có bài toán tương tự: Có 200 (g) dung dịch chứa 50 (g) muối. Cần pha thêm bao nhiêu nước để được dung dịch chứa 10% muối.
7) Một số bài toán loại khác .
Bài toán 15: Một đội xe ô tô cần chuyên trở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có hai xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải trở thêm 16 tấn. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu xe?.
a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải :
 + Gọi số xe lúc đầu của đội là : x (xN).
+ Hướng đãn học sinh tìm lời giải theo bảng sau:
Các trường hợp
Số lượng xe
Số hàng phải trở của một xe
Lúc đầu
x
Về sau
x - 2
 Phương trình lập được
b)Lời giải : 
 Gọi số xe lúc đầu của đội là : x (xN)
Theo dự kiến mỗi xe phải trở : (tấn)
Thực tế có hai xe làm việc khác nên mỗi xe phải trở : (tấn)
Do đó ta có phương trình: 
 hoặc x=-3(loại). 
Vậy đội có 5 xe. 
Toán tăng trưởng
 Bài toán 16.
Dân số của thành phố Hà Nội sau hai năm tăng từ 2.000.000 lên 2.048.288 người. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm?
a)Hướng dẫn phân tích , tìm lời giải :
Ở bài toán này cần chú ý phân tích điều kiện (sau hai năm), ta tách ra tính dân tăng từng năm một (sau khi đã chọn ẩn). Làm như vậy việc phiên dịch ra ngôn ngữ đại số sẽ thuận lợi hơn. 
b) Lời giải 
Gọi số phần trăm tăng dân số trung bình hàng năm x (x%, x > 0)
Số dân số tăng của năm thứ nhất 
 2 000 000. (= 20 000x) 
 Số dân số tăng của năm thứ hai 
 (2 000 000 + 20 000x) (= 200x (x+100))
sau hai năm tăng từ 2.000.000 lên 2.048.288 người 
nên ta có phương trình :
2 000 000 + 20 000x + 200x (x+100) = 2.048.288 (1) 
Giải phương trình ta được : ; (loại) 
Vậy số phần trăm tăng dân số trung bình hàng năm là 1,2% .
 c) Khai thác bài toán.
Có thể đưa ra và giải cho các bài toán thương tự về tăng trưởng kinh tế, tăng hàng hoá xuất khẩu
KẾT LUẬN:
 Tóm lại ,đối với các bài toán đã nêu ở trên ta thấy sự linh hoạt ,đa dạng và hữu hiệu của việc sử dụng và khai thác các bài toán ứng dụng của phương pháp đó . Để việc vận dụng có hiệu quả nhất định thì giáo viên cần phải biết hướng dẫn học sinh thật cụ thể và phát huy được tính sáng tạo trong quá trình tìm tòi lời giải và điều quan trọng ở đây là phải nắm vững các phương pháp , biết khai thác tư bài toán quen thuộc như đã nêu ở trên .