Sáng kiến kinh nghiệm Giải bài tập Toán

 = 2y (1) ? Tại sao (tóm tắt)
GV: Biết vận tốc của ô tô (A) là x, thời gian của ô tô A đi là 2 giờ ?
? Quãng đường ô tô đi là 2x (km)
? Tương tự quãng đường ô tô B đi là 2y (km)
? Lập ptrình (2): 2x + 2y = 150 (2)
 	 x + 15 = 2y
? Lập hệ phương trình
	 2x + 2y = 150
 Dù là mất thời gian thì GV cũng nên làm kĩ bước phân tích rèn cho HS thói quen phân tích, qua nhiều bài các em cảm thấy hiểu bài, tự tin hơn, và có sự say mê hơn.
 Đối với môn “ Hình học ” việc phân tích đề bài (đọc, vẽ, ghi giả thiết, kết luận) ta cũng không thể coi nhẹ, không nên bỏ bước đó. Bởi vì tôi đã gặp rất nhiều trường hợp: HS khi giải bài hình câu a, b dễ làm nhanh song đến câu c là bế tắc khi cô giáo hỏi: “ Bài toán còn cho gì nữa? ”. Cho cái này thì suy ra cái gì khi đó các em mới đi tìm phát hiện ra. Nêú bước phân tích đề tốt giúp cho các em có định hướng vẽ hình và chọn phương pháp giải.
Ví dụ 2: Bài 12 T4 – H2 8
Đề bài: “ Cho hình vuông ABCD. Trên các tia AB, BC, CD, DA lấy các điểm A’, B’, C’, D’ sao cho AA’ = BB’ = CC’ = DD’. Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ là hình vuông. ”
GV: Cho HS đọc đề bài và có định hướng cho HS
? Nêu cách vẽ hình vuông ( GV vẽ )
? Lấy các điểm A’, B’, C’, D’ như thế nào ( có 2 cách )
Điểm thuộc cạnh hình vuông
Điểm nằm ngoài cạnh hình vuông (thuộc phần kéo dài) 
 Bài toán cho các đoạn bằng nhau ta nghĩ đến điều gì? (c/m các tam giác bằng nhau suy ra các đoạn thẳng = nhau, góc = nhau ) 
 Nêu p2 c/m tứ giác là hình vuông ? Chọn phương pháp nào? 
 - Hình thoi có một góc vuông Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
 Có 1 góc vuông
Khi trình bày c/m chỉ xét 1 hình vẽ a ( ở hình vẽ b tương tự )
Nửa (O; ) Ax AB tại A
 By AB tại B
M e ; OM CD tại M; BC x AD tại N
Gt
Kl
1, MN AC
2, CD.MN = CM.DB
Ví dụ 4: Bài 2 – TR 19 – Hình học 9
H/S đọc, nêu cách vẽ hình (hoặc gọi HS vẽ)? Ghi gt, kl
Câu 1: ? Xác định dạng toán: C/m 2 đường thẳng song song
 ? Nêu các phương pháp chứng minh 2 đường thẳng song song
 ? Em chọn phương pháp nào? Tại sao? Định lí Talét đảo (Nếu HS yếu GV phân tích kĩ từng phương pháp không sử dụng được: cặp góc so le trong = nhau, đvị, 2đt cùng song song, cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3)
 ? áp dụng phương pháp đó để chứng minh MN AC ta cần c/m gì?
 Lập sơ đồ phân tích
Câu 2: ? Xác định toán: c/minh đẳng thức tính
 ? Phương pháp chung: c/m 2D ~ ; 2 tỉ số = nhau ( tỉ lệ thức )
Tóm lại: Một bài toán có thể có nhiều hướng suy nghĩ khác nhau. Song việc xác định đúng phương pháp giúp HS có lời giải hay, ngắn gọn đúng yêu cầu và tốn ít công sức.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải
 Sau khi tìm hiểu kĩ bài toán cần phải biết huy động kiến thức cần thiết phục vụ cho việc giải toán. Ta có thể dùng “phương pháp suy diễn” hoặc “phương pháp phân tích đi lên” để xây dựng chương trình lựa chọn phương pháp phù hợp cho từng bài.
 Ví dụ 3: Bài 13 Tr 37 – Hình học 8 (vừa nêu bước 1)
 Khi HS xác định phương pháp hình thoi có một góc vuông
 GV cùng HS lập sơ đồ phân tích đi lên với hệ thống câu hỏi? Muốn chứng minh A’B’C’D’ là hình vuông ta cần chứng minh gì? 
 ? C/m A’B’C’D’ là hình thoi ta cần chứng minh gì
 ? Sơ đồ như sau (ghi từ dưới lên)
Xét DA’BB’; DB’CC’; DC’DD’; DD’AA’
Có
AA’ = BB’ = CC’ = DD’ (gt)	 Theo chứng minh trên
B = C = D = A = 1v (gt)
A’B = B’C = C’D = D’A	 D C’DD’ = D D’AA’
DA’BB’ = D B’CC’ = D C’DD’ = D D’AA’ D’3 = A’1; A’1 + D’1 = 1v
A’B’ = B’C’ = C’D’ = D’A’ D’1 + D3 = 1v
A’B’C’D’ là hình thoi A’D’C’ = 1v (D’2= 1 v)
	A’B’C’D’ là hình vuông
	Ví dụ 4: Bài 2 – Tr19. Sơ đồ tìm lời giải
Câu a: 
Theo tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau tại D, C
 gt
MD = BD 
MC = AC DNDB ~ D NAC 
 MN AC
Câu b:
 MN AC (câu a)
 AC BD (cmt)
MN BD
CD.MN = CM . DB
 Đối với đại số cũng tuỳ từng dạng. Song ta nên rèn cho HS hình thành các bước. Nhiều HS khi làm bài tập đại số chỉ có thói quen giải để tìm ra kết quả không chú ý đối chiếu điều kiện, trả lời bài toán.
 Bước 3: Thực hiện chương trình giải (Trình bày lời giải)
 Từ chương trình vừa xây dựng GV phải hướng dẫn cho các em cách trình bày lời giải. Trình bày vấn đề nào trước, sau, dẫn dắt như thế nào, lập luận ra sao. Giáo viên làm mẫu một số ý, bài với lời giải chuẩn mực ngắn gọn đủ ý, lập luận chặt chẽ, chính xác.
 Nếu là bài hình sơ đồ đánh số thứ tự từ trên xuống dưới gọi HS tự trình bày GV bổ xung, sửa chữa, rèn lập luận chứng minh, hoặc gọi HS lên bảng trình bày, cô giáo tổ chức sửa sai ( gọi HS nhận xét sửa bài cho bạn, cho bài tương tự để HS luyện củng cố kĩ năng, kiểm tra ngắn, kiểm tra giấy nháp ).
 Có nhiều em HS tìm ra lời giải rất nhanh. Nhưng kĩ năng trình bày hạn chế do vậy thi cử, kiểm tra điểm sẽ không cao. Còn có HS trung bình, yếu thì khâu này càng khó chẳng biết bắt đầu từ đâu. Do vậy tôi rất chú ý đến việc trình bày lời giải. Cần dạy cho các em từng kĩ năng nhỏ nhặt nhất vẽ hình vào vị trí nào ? To hay nhỏ ( tuỳ theo bài toán ). Ví dụ nếu bài toán cho đtròn nội tiếp tam giác mà vẽ đường tròn quá to thì tam giác ngoại tiếp khó vẽ phù hợp sẽ mất cân đối, nên vẽ hình bằng bút chì (ban đầu ) nếu cần điều chỉnh dễ làm. Rồi những từ ngữ dẫn dắt trong hình học. Nối hình vẽ, kẻ thêm đường, 
 Vì vậy, do đó, mặt khác dùng như thế nào cho hợp lí. Tôi thường hay nhắc nhở HS rằng: “Các em trình bày bài cho một người khác đọc (nghe) nên nói (viết) như thế nào cho hấp dẫn nhất, nhìn vào bài của mình người chấm đã có cảm tình rồi”
 Đối với môn đại số dạng “giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”. Ta có thể hướng dẫn các em:
 1, Về kĩ năng chọn ẩn
- Nếu chọn cách gọi trực tiếp: Bài toán hỏi gì em gọi cái gì đó là ẩn ( thêm đơn vị, điều kiện ) bắt đầu là từ “gọi” ..  x (đv)? (đk ) ?
Nếu chọn ẩn gián tiếp: Lựa chọn ẩn nào và làm như thế nào ?
2, Kĩ năng biểu thị số liệu qua ẩn, lập phương trình
 Các em chú ý đến các từ ngữ, mối liên quan. Ví dụ2
 Vì vận tốc ô tô A tăng thêm 15 km/h thì bằng vận tốc ô tô B nên ta có phương trình:
 x + 15 = 2 y (1)
3, Kĩ năng giải phương trình, hệ phương trình
 ? Chọn phương pháp nào (giải hệ bằng phương pháp cộng, thế) lưu ý các hệ phương trình là tương đương 
 4, Kĩ năng trả lời
 Thay từ “Gọi” ở phần đầu bằng từ “Vậy” 
 Thay các chữ x, y bởi các giá trị vừa tìm được ta có câu trả lời.
Bước 4: Kiểm tra nghiên cứu lời giải gồm các công việc sau:
 1, Kiểm tra các bước giải
 2, Khai thác các cách giải
 3, Đặc biệt hoá nội dung bài toán
 Ví dụ 4: “Cho tứ giác ABCDcó M, N là trung điểmcủa các cạnh AB, CD.. Chứng minh rằng MN Ê ”
 ? Phân tích tìm lời giải
 ? Kiểm tra các bước giải
 ? Từ điều cần chứng minh biến đổi một chút ta được gì: MN Ê
 ? Chứng minh MN Ê tổng của 2 đoạn thẳng ta nghĩ đến cách chứng minh nào ?
So sánh1 cạnh của tam giác với 2 cạnh kia 
 ? D đó như thế nào: Tạo ra 1 D có 1 cạnh là MN 
và 2 cạnh kia bằng một nửa canh AD, BC
 ? Cạnh có độ dài bằng nửa AD, BC 
là đường nào (đường trung bình của D ACD, ABC)
 ? Hãy tạo ra đường trung bình của D. Lấy I là trung
 điểm của AC nối MI, NI
 ? Trình bày lời giải như thế nào (GV hướng dẫn) HS tự trình bày.
 Khi HS trình bày xong cách giải, GV khích lệ các em tìm cách khai thác bài toán này để tạo ra bài toán mới.
 Từ MN Ê . Ta đổi thành 2MN Ê AD + BC
 Từ đó vẽ hình mới và chọn phương pháp khác để chứng minh
 Vì N là trung điểm của CD. Nối BN kéo dài cắt đường thẳng qua A song song với MN tại E. Suy ra BN = NE (tính chất đường trung bình của D )
 Nối DE ta có DBNC = D END (c.g.c)
 Suy ra: BC = DE (1)
 Xét DADE có AE Ê AD + DE (2)
 Mà AE = 2MN (3) (t/c đường trung bình)
Từ (1), (2), (3) suy ra MN Ê AD + BC MN Ê 
 Hoặc trong quá trình GV có thể thay đổi đề bài bằng các mệnh đề tương đương mà cách giải không thay đổi. Ví dụ ở Đại số loại bài tập “Tìm tập xác định” có thể thay là “ Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa ”.
 Hoặc dạng “giải phương trình” có thể thay là “ tìm x ”.
 gt
 kl
DABC (AB = AC); MB = MC
ME AC ; MD AB
 E e AB ; D e AC
Tứ giác ADME là hình thoi
Ví dụ 2: Bài 7 – Tr 36 – Hình học lớp 8
? Khai thác cách c/ minh - hbh + 1 đ/c là p/giác 1 góc (c1)
1 tứ giác là hình thoi - hbh + 2 cạnh kề = nhau (c2)
 	- hbh có 2 đ/c vuông góc (c3) 
	- tứ giác có 4 cạnh = nhau (c4)
? So sánh cách nào ngắn nhất,, hay nhất ()c1
? Khai thác thêm bài toán: c/ minh
1, ED BC
2, ED AM
3, Tứ giác ADME có là hình vuông không?
4, Nếu có cần thêm điều kiện gì? Hoặc DABC cần có điều kiện để tứ giác ADME là hình vuông? Ta thay đổi điều kiện bài toán như thế nào?
Cho DABC vuông cân tại A
Ví dụ 3: Khi dạy toán phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8 (HS đã quen). Sang lớp 9 ta có thể liên hệ dẫn dắt chuyển dạng bài tập để HS vận dụng nhanh, dễ hiểu.
Lớp 8
1, x2 + 2x + 1 = (x +1)2
2, xy + x + y + 1 = ( x+ 1)(y + 1)
3, x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Lớp 9
(x, y ] 0) 
 với x ] 0 
Hoặc 
 Trong một số bài toán sử dụng phương pháp đặc biệt hoá là vô cùng quan trọng. Ta xét các ví dục sau:
 Ví dụ 4: “ Cho đường (O) ngoại tiếp DABC nhọn có H là trực tâm. Hạ OK vuông góc BC. So sánh AH và OK ”.
 Giải bài toán này khi giải cho HS ta không thể áp đặt AH = 2 OK. Mà giúp HS tự tìm ra đường lối giải bằng cách vẽ các trường hợp đặc biệt. Từ đó HS sẽ tự rút ra biểu thức AH = 2 OK
Vẽ hình 3 trường hợp:
1, DABC là tam giác vuông (h.a)
2, D ABC là tam giác đều (h.b)
3, D ABC là tam giác thường (h.c)
 (h.a) (h.b) (h.c)
Trực tâm trùng với đỉnh B OK là đường TB. DABC 
 OK = 
Điểm O H
DABC đều O là trọng tâm
 OK = 
Tạo ra DAFH có OK là đường trung bình
 OK =
Ví dụ 5: “Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì của một tam giác đều tới các cạnh của nó là một số không đổi”.
 Sử dụng phương pháp đặc biệt hoá chọn 3 vị trí điểm M.
 1, M trùng với đỉnh A của tam giác 
 Khi đó khoảng cách từ M tới 2 cạnh AB, AC bằng 0
 Khoảng cách từ M tới BC chính là AH ( đ/cao tương ứng )
 K/c = 0 + 0 + AH = AH (không đổi)
 2, M thuộc 1 cạnh của D khi đó K/c = MI + MJ
 Từ M kẻ ML BC DALM đều
	 ( vì M = A = 600 L = 600 )
	Suy ra MI = AN (2 đ/cao D đều )
	MJ = HN ( t/c đoạn chắn )
	Do đó MI + MJ = AN + NH = AH ( kođổi )
3, M thuộc miền trong của DABC: Ta cần chứng minh
	MI + MK + MJ Là không đổi
	 Qua M kẻ đường thẳng BC cắt AH tại N
	AB, AC tại Q, R DABC đều
	 Khi đó suy ra M e 1 cạnh của D AQR
 	Ta có: MI + MJ = AN; MK = NH
	Nên MI + MJ + MK = AN + NH = AH 
 Tóm lại: K/cách từ 1 điểm bất kì của 1 D đều tới các cạnh của nó là một số không đổi đúng bằng độ dài đường cao.
III, Rèn luyện óc phân tích một bài toán
 Gặp một bài toán điều trước tiên đặt ra là nên dùng phương pháp nào để giải nó. Muốn vậy phải biết cách phân tích bài toán. Xác định xem bài toán ấy thuộc loại toán nào, có liên quan gì tới các bài toán đã biết. Từ đó mới quyết định sẽ sử dụng những kiến thức nào để giải nó. Nhất là với những bài toán có ý nghĩa thực tế ta có cách phân tích bài toán khéo léo mới tìm ra lời giải đúng.
 Ví dụ 1: “Một bức tường cao 10 mét. Một con sên bò từ dưới chân tường lên. Ban ngày nó lên cao được 3 mét, ban đêm nó lại tụt xuống 2 mét. Hỏi con sên leo hết bức tường đó mất mấy ngày, mấy đêm ? ”
 ? Khi phân tích bài toán ta cần chú ý dữ kiện gì
 ? “ Ban ngày nó leo cao 3 m, ban đêm nó lại tụt xuống 2 m ”. Như vậy 1 ngày ? 1 đêm con sên leo được bao nhiêu (1 mét)
? 7 ngày, 7 đêm con sên leo lên được bao nhiêu (7m)
? Còn 3 mét nữa con sên leo mất bao lâu 1 ngày
? Tổng cộng là mấy ngày? Mấy đêm? (8 ngày, 7 đêm)
? Trả lời bài toán như thế nào
 HS trình bày cách giải
 Ví dụ 2: “Tôi có một tờ giấy to và xé nó thành 9 mảnh. Sau đó lấy một số mảnh xé tiếp mỗi mảnh thành 9 mảnh nhỏ, rồi trộn vào các mảnh cũ. Tôi lại lấy một số mảnh trong đống ấy xé mỗi mảnh thành 9 mảnh khác rồi lại trộn vào các mảnh cũ, cứ như thế tiếp tục. Một lúc sau tôi dừng lại và nhờ một người bạn đếm giúp số mảnh giấy có được. Anh ấy nói 1968. Hãy chứng minh rằng anh ấy đếm sai!”
 Có rất nhiều bài toán kiểu như thế này. Ta hay gặp ở trong một số các cuộc thi tài của HS trên vô tuyến. Thoạt đầu nghe bài toán có vẻ rắc rối. Bởi vì không cho biết “ xé bao nhiêu lần ”, “ mỗi lần xé bao nhiêu mảnh ”. Làm sao có thể tính được số mảnh để mà khẳng định anh ấy đếm đúng hay sai Qủa thật là khó song người giải toán phải hết sức bình tĩnh “ phân tích ” quá trình “ Xé giấy ” trong bài toán. Mỗi lần lấy từ đống giấy lên “ 1 mảnh ” xé thành “ 9 mảnh ” rồi lại bỏ vào đống. Vậy sau “ 1 lần ” xé giấy số mảnh giấy tăng lên là “ 8 mảnh ”. Ban đầu có “ 1 tờ giấy to ”. Vậy số mảnh cuối cùng phải là bội của 8 cộng với 1 hay số đó có dạng 8k +1 bởi vì
1968 – 1 = 1967/ 8
Chứng tỏ anh bạn kia đêm sai!
 Hay có thể lấy ví dụ phần giải toán bằng cách lập hệ phương trình ở lớp 9. Nhiều em HS khá giỏi vội vàng không “ phân tích ” kĩ bài toán dễ bị hiểu sai, giải sai bài toán. Có thể các em lại biến vẫn đề đơn giản thành phức tạp.
 Ví dụ 3: “ Một hình chữ nhật có chu vi là 216 m. Nếu giảm chiều dài đi 20% và tăng chiều rộng thêm 25% thì chu vi hình chữ nhật không thay đổi. Tính chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật đó. ”
 Tôi đã cho HS giải bài toán này và thấy các em suy nghĩ phân tích như sau: “ Giảm chiều dài đi 20 % suy ra tìm chiều dài sau khi giảm.Tăng chiều rộng lên 25 % suy ra tìm chiều rộng sau khi tăng”
 Loay hoay mãi mà chưa lập được hệ phương trình. Sai lầm ở chỗ chưa phân tích thấy: “Mấu chốt của bài toán ở chỗ nào? ” Đó là: “ Chu vi HCN không đổi ” do đó suy ra lượng tăng và lương giảm phải bằng nhau.
 ? Gọi ẩn như thế nào: 
Gọi chiều dài của HCN là x (m)
Chiều rộng của HCN là y (m) (đk: x,y> 0;x,y <108)
 ? Tính lượng giảm:
Vì chiều dài giảm đi 20 % nên lượng giảm là x/5 (m)
 ? Tính lượng tăng:
Tăng chiều rộng lên 25 % thì lượng tăng là y/4 (m)
 ? Lập phương trình (1):
2 (x + y ) = 216 (1)
 ? Lập phương trình (2):
 Mà chu vi HCN không đổi nên lượng tăng và lượng giảm bằng nhau ta có phương trình:
	 (2)
 ? Lập hệ phương trình: Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình
 2( x + y ) = 216
 Đến đây HS giải dễ dàng.Vì vậy ta cần lưu ý cho HS đọc kĩ, dạy các em tóm tắt bài toán, phân tích dữ kiện bài toán, liên tục đặt ra các câu hỏi kích thích tư duy: “Cho cái này tìm được cái gì?”
“Muốn chứng minh vấn đề này ta làm như thế nào? ”
 Rồi ta còn phải liên hệ bài toán này với nhiều bài toán khác đã làm rồi, cách phân tích như thế nào. Đối với môn hình học việc phân tích bài toán càng quan trọng, mà HS cấp THCS kĩ năng nhìn chung còn kém. Nếu những bài hình đơn giản ta sử dụng phương pháp “ Suy diễn ” gợi mở. Còn đa số là bài tập hình nên sử dụng “ phân tích đi lên ” sẽ tìm ra đường lối. Như ở phần I tôi đã trình bày việc áp dụng lý thuyết như thế nào ? 
 Ta đã trang bị cho các em lý thuyết cơ bản, các lý thuyết cơ bản để giải từng dạng toán. Song tiếp tục lại rèn kĩ năng phân tích “ Lựa chọn phương pháp nào ” là phải phụ thuộc vào giả thiết của bài toán quay lại.
 Ví dụ 4: Bài 2 Tr 19 – Hình học 9: Dạng chứng minh 2 đường thẳng song song có vô số cách chứng minh. Nếu giả thiết cho đường phân giác, hoặc tỉ lệ thức thì ta nên chọn phương thức sử dụng đinh lý Talét đảo, chứ không nên chọn các phương pháp khác vv.
 Tóm lại: Kĩ năng phân tích “ bài toán ” rất quan trọng nó quyết định cách giải bài toán đúng, sai, dài, ngắn. Ngoài kĩ năng này ra thì một kĩ năng cũng rất cần đối với người giải toán là:
IV. Biết nắm đặc thù bài toán
 Tuy rằng chúng ta có thể sắp xếp các bài toán ra từng loại riêng, ứng với mỗi loại có một số phương pháp điển hình để giải. Nhưng nếu cứ vận dụng một cách máy móc đồng loạt như vậy thì nhiều khi cách giải sẽ không hay hoặc dài dòng phức tạp. Vì vậy trong quá trình giải toán cần phải “ lưu ý” xem bài toán có “ Đặc thù gì riêng biệt ” so với các bài toán khác cùng loại. Để rồi tìm ra cách giải riêngphù hợp và tối ưu nhất.
 Ví dụ 1: (Toán 9 nâng cao)
 Giả sử a < b < c < d. CMR: Với mọi m ạ 1. Đa thức bậc 2
 f(x) = (x - a)(x - c) + m (x - b)(x - d) có 2 nghiệm phân biệt
 Xét thấy đa thức f(x) có bậc 2. Khi gặp bài toán như thế này HS lớp 9 theo cách giải thông thường sẽ đi chứng minh cho đa thức bậc 2 f(x) có biệt số D > 0 rồi tính D.
 Việc tính D rất vất vả mới ra được kết quả:
 D = [(a+c)+ m(b+d)]2 + 4 (1 + m)(ac + mbd)
 Song việc chứng minh D > 0 lại khó khăn hơn rất nhiều vì phép biến đổi rất phức tạp. Tuy nhiên nếu chịu khó thì các em sẽ biến đổi được:
 D = {(d - b)m + [(a + c)(b + d) – 2 (bd + ac)]} (b - d)2 + (b - a) (c - b)(d - a)(d - d)2
 Đối với HS lớp 9 các em đã biết rõ định nghĩa đa thức và biết dạng đồ thị hàm số bậc 2 là đường cong parabol. Nên ta có thể giải quyết bài toán này như sau với 1 cách rất đơn giản:
 + Tính f(b), f(d)
 f(b) = (b - a)(b - c) 0
	 b < c	 b – c < 0
 f(d) = (d – a )(d - c) > 0 vì a 0
	 c 0
	Như vậy hàm số f(x) là đường cong parabol vừa nằm ở mặt phẳng phía trên và nửa mặt phẳng phía dưới trục hoành cho nên parabol này luôn cắt trục hoành tại 2 điểm do đó suy ra đa thức f(x) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị 	m ạ 1.
Ví dụ 2: Toán hệ phương trình
a, xy = 12 (1)
 xz = 15 (2) (I)
 yz = 20 (3)
b,
 (1) (II)
 2x – y + 4z = 30 (2)
 Câu a, b đều là hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn số. Các em được học 4 phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn số. Có thể áp dụng một trong các phương pháp này để giải:
1, Phương pháp cộng
2, Phương pháp thế
3, Phương pháp đặt ẩn phụ
4, Phương pháp minh hoạ bằng đồ thị
 Câu a: Có em giải bằng phương pháp thế từ một phương trình rút một ẩn thay vào 2 phương trình còn lại tìm ra nghiệm của hệ nhưng cách giải sẽ dài. Nếu các em để ý một chút sẽ thấy tích vế trái là (xyz)2, tích vế phải 3 phương trình là 3600 = 602. Ta sẽ có phương trình (xyz)2 = 602. Suy ra xyz = ± 60. Kết hợp với 2 phương trình còn lại tìm ra 2 nghiệm ( 3; 4; 5 ) và ( -3; -4; -5 )
 Đối với câu b: ? Nhận xét phương trình (1) của hệ có gì đặc biệt ( có 3 tỉ số bằng nhau )
? Nếu đặt 3 tỉ số bằng số t nào đó ta suy ra gì
 x = 5t; y = 7t ; z = 3t
? Nhận xét phương trình (2) chứa 3 ẩn x, y, z:
? Làm thế nào để xuất hiện phương trình bậc nhất 1 ẩn t
 Thay x, y, z theo t vào phương trình (2) ta được
 15t = 30 t = 2 Từ đó suy ra x, y, z
? Nghiệm của hệ phương trình là: (x = 10; y = 14; z = 6 )
 Như vậy trong quá trình giải toán ta phải biết tổng hợp tất cả các kĩ năng, các kinh nghiệm từ khâu “ tích luỹ lý thuyết ”, “ phân tích bài toán ”, “xây dựng cách giải ”, “ trình bày cách giải ”, “ khai thác tìm bài toán mới” rồi linh hoạt trong các bài toán có tính chất riêng biệt. vv.
Kết thúc vấn đề - Đề xuất ý kiến
 Như đã trình ở trên có rất nhiều kinh nghiệm để giải toán đã được các nhà giáo dục nêu ra ở nhiều sách khác nhau. Người giải toán cũng đã biết song trong quá trình giải toán không phải không gặp khó khăn nhất là đối với đối tượng HS THCS đang làm quen với giải toán ( còn thiếu kinh nghiệm). Ta dạy cho các em phương pháp suy nghĩ, phân tích để tìm được lời giải nhanh nhất, đúng nhất, hướng dẫn cho các em kĩ năng trình bày bài để đạt điểm cao nhất. Do vậy “ Thầy ” phải đặt mình đóng vai “ Trò ” để biết được “ Trò ” yếu chỗ nào, hoặc tìm cách nói, phân tích truyền đạt như thế nào để các em dễ hiểu, để tiếp thu nhất, tuỳ theo từng đối tượng HS. Vừa dạy vừa bổ xung kiến thức, trau dồi kĩ năng.
Tóm lại: “ Nghệ thuật dạy học ” của thầy là yếu tố quyết định chất lượng giảng dạy. Ngoài việc sử dụng phương pháp phù hợp, người thầy phải cố gắng tạo lòng tin ở HS tôn trọng những “ suy nghĩ ”, “ phát hiện của HS ”. Động viên khích lệ lòng tự tin học tập và sáng tạo ở các em. Người thầy phải biết đơn giản hoá “ vấn đề phức tạp ” tạo không khí chủ động, ủng hộ HS bằng lời nói, cử chỉ hành động chứa đựng nhiệt tình của mình.
 Trong những năm học vừa qua tôi cũng đã cố gắng cải tiến phương pháp, nội dung giảng dạy, chú ý rèn kĩ năng giải toán cho HS của mình tôi cảm nhận thấy có kết quả mỗi năm tốt hơn. Tuy nhiên đối tượng HS của tôi là đối tượng HS vùng nông thôn vẫn còn nhiều vấn đề bất cập mà thầy cô đôi khi chưa tìm ra giải pháp tối ưu cho chất lượng. Vì điều kiện thời gian, và khả năng còn có những hạn chế do vậy không tránh khỏi khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý chỉ bảo của độc giả, đồng nghiệp để tôi bổ xung thêm cho kinh nghiệm của mình. 
Tôi xin chân thành cảm ơn!
  ngày  tháng  năm