Sáng kiến kinh nghiệm Giá trị tuyệt đối

à số đối của nó (và là một số dương).
	 * Trong hai số âm, số nào có Giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn.
	 * Hai số đối nhau có Giá trị tuyệt đối bằng nhau.
Ví dụ 3:
Do đó bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng bởi tập các số của đoạn [- 3, 3] và trên trục số thì được nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn [-3 ; 3]
	 -3 0 3
Tổng quát: 
Ví dụ 4: 
 Do bất đẳng thức đã cho nghiệm đúng tập hợp các số của hai khoảng [- ∞; 3] và [3; +∞] và trên trục số thì được nghiệm đúng bởi hai khoảng tương ứng với các khoảng số đó.
Tổng quát: 
II- Các tính chất về gí trị tuyệt đối:
1) | a | ≥ 0 ∀ a (Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối)
2) |a| = 0 a = 0
3) | a | = | -a | ; | a |2 = a2 Thật vậy: 
* | a | = | -a | (do a và -a là hai số đối nhau nên theo định nghĩa | a | = | -a |)
	* | a |2 = | a | . | a |
	- Nếu a> 0 thì |a |2 = a. a = a2
	- nếu a < 0 thì |a |a2| = (-a). (-a )= a2
Vậy : | a |2 = a2 
4) - |a | Ê a Ê |a|
Thật vậy : theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối ta có: 
=> | a | ³ a => -| a | Ê -a 
5) | a + b | ≤ | a | + | b | 
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab ³ 0
Thật vậy: theo (4) -|a| Ê a Ê |a|
	 	- |b|Ê b Ê |b|
=> -( |a| + |b| Ê a+ b Ê |a| + |b | (đccm)
6) |a|- | b | Ê |a| + | b |
Dấu "= " (|a| -|b| = |a – b|) xảy ra khi và chỉ khi 
Thật vậy: |a| =| a-b+b| Ê |a- b | + | b| => |a| - | b| Ê |a-b| (1)
	|a – b | =| a + ( -b)| Ê |a| + |- b | => |a| + | b| 
=> |a – b| Ê | a| + | b| (2)
Từ (1) và (2) => |a| - | b| ≤ | a-b | ≤ |a | + |b | (đccm)
7) ||a| - | b| |≤ | a ∓ b| 
 Đẳng thức | | a| -| b| | = |a – b | khi ab ≥ 0
Thật vậy : 
Theo (6)	 |a| – |b |≤ | a - b| (1)
| b | - | a | ≤ | b- a | = | -(b – a ) | = | a – b |
=> -( |a – b |) ≤ | a - b| (2)
Từ ( 1) ; (2) ;(3) => | |a| – |b | | ≤ | a - b| (4)
Mặt khác: | |a| – |b | | = | |a| – |b | | ≤ | a + b| => | |a| – |b | | ≤ | a + b| (5)
Từ (4) và (5) => | |a| – |b | | ≤ | a ∓ b| (đccm).
8) | a. b| = | a | |b|
Thật vậy xét các khả năng sau: 
Đều suy ra | ab| = | a | |b| = 0 (1)
Từ (1);(2);(3);(4) và (5) => đ/c c/m.
9)	Thật vậy: xét các khả năng sau:
Từ (1);(2); (3) ;(4) và (5) suy ra điều cần chứng minh.
III- Bài tập áp dụng :
1- Bài tập áp dụng khái niệm :
a- Bài tập trắc nghiệm :
Hãy khoanh tròn vào các chữ a), b), c), d)
nếu đó là câu đúng (Các câu 1,2,3)
Câu 1: Giá trị tuyệt đối của a ký hiệu là | a| 
a) | a | = a b) | a | = - a
c) | a | = 0 d) | a | ≥ 0 
Câu 2:
Cho a ∈ Z tìm kết luận đúng 
a) | a | ∉ N b) | a | = a 
c) | a | ∈ N d) | a | = - a
Câu 3: Cho số nguyên a hãy điền vào chỗ trống các dấu ≤ ;≥ ; >; < = để các khẳng định sau là đúng :
a) | a |.. a với mọi a
b) | a | 0 với mọi a
c) Nếu a> 0 thì a..| a | 
d) Nếu a = 0 thì a..| a | 
e) Nếu a < 0 thì a..| a | 
Câu 4 : Biết | a | = |b|
a) a= b 	b) a = -b 
c) a = b = 0	d) a = b ; a = - b.
Câu 5: hãy nối một dòng ở cột bên phải với một dòng ở cột bên trái để được :
a) | x | 3 
b) | 2x | = - 3	2) x∈ [-5 ; 5]
c) 5 ≥ |x| 	3) – 2 < x < 2
d) | x | >3	4) 
 	 -2 2
Cho số nguyên a	5) x ∈ {- 5 ; - 3; -1 ; 1 ; 3; 5 }
b – Các bài toán 
Bài 1: Các khẳng định sau có đúng với mọi số nguyên a và b không? Cho ví dụ: Bổ xung thêm điều kiện để các khẳng định đó đúng .
a) | a | = | b | => a = b 
b) a > b =>| a | >| b |
Bài 2: Tìm a biết a ∈ Z và a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) | a – 1 | = 0 
b) | a – 1 | = 1
c) | a – 1 | = - 1
d) | a | ≤ 1
e) | a | ≥ - 2
g) 0 < | a | ≤ 4
Biểu diễn các số a thoả mãn điều kiện trên trên trục số.
Bài 3: a) Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn | x | < 30 
b) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho | x | + | y |
( Các cặp số nguyên (1, 2 ) và (2, 1) khác nhau)
c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho | x | + | y | < 5
Bài 4: Cho | x | = 7 ; 	| y | = 20 với x, y ∈ Z
Tính x – y
Bài 5: Cho | x | ≤ 3; | y | ≤ 5 với x, y ∈ Z
Biết x- y = 2 Tìm x và y.
Bài 6: Cho x < y < 0 và | x | - | y | = 100
Tính x – y.
2 – Bài tập áp dụng tính chất :
a- Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1: Điền dấu ≥, ≤, = cho thích hợp 
a) | a + b | .| a | +|b|
b) | a - b | .| a | - |b| Với | a | ≥ |b|
c) | a b | .| a| |b|
d) 
Câu 2 Đánh dấu chéo vào câu (trong câu 2 và câu 3)
Ta có a + b = | a | - |b| với 
a) a, b trái dấu 
b) a, b cùng dấu 
c) a>0, b < 0 
d) a>0, b |b|
Câu 3: Ta có a + b = - |( a | - |b|)
a) a, b trái dấu 
b) a, b cùng dấu
c ) a, b cùng âm
d) a, b cùng dương 
b – Các bài toán: 
Bài 1: Chứng minh 
| a – b | < 5 Biết | a – c | < 3 ; | b – c | < 2 
Bài 2: Có số nguyên x nào để 
a) | 2x + 7 | + | x + 5 | = - 12
b) | x | + | x – 5 | = 0
c) | - x – 3 | + | - 49 | = 27
Bài 3: Một điểm x (điểm biểu diễn bởi số nguyên x ) di chuyển từ điểm – 2 đến điểm 1 rồi từ điểm 1 đến các điểm về bên phải trục số. Dựa vào giá trị của x hãy rút gọn biểu thức sau:
a) | x - 1 | + | x + 2 | 
b) | x - 1 | - | x + 2 |
c) | x + 2 | - | x - 1 |
d) - | x - 1 | - | x + 2 |
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) | a | + a
b) | a | - a
c) | a | a
d) 
e) | x – 3 | + 5 
f) | x + 2 | + | x – 5 |
g) 4x + 5 - | x + 3 | với x ≥ 3 
Hướng dẫn - Đáp số
1- Bài tập áp dụng khái niệm 
Câu 1: (d)
Câu 2: (c)
Câu 3: (d)
Câu 4: a) | a | ≥ a 
b) | a | ≥ 0
c) Nếu a > 0 thì a = |a|
d) Nếu a = 0 thì a = |a|
e) Nếu a < 0 thì a < |a|
Câu 5: Nối a) với 3 	c) với 2
	d) với 1	a) với 4
Bài 1: a) sai VD: a = 5 ; b = 5 
Thì | a| = 5 = | b | nhưng a ≠ b
điều kiện để khẳng định đúng là a.b >0 ; a = b = 0
b) sai 	VD: a = 3; b = - 5
điều kiện bổ xung để khẳng định đúng là: a > 0 ; b > 0.
Bài 2:
a) a = 1
b) a = 2 ; a= 0 
c) Không có giá trị nào của a 
d) – 1 ≤ a ≤ 1
e) a ≤ - 2 ; a ≥ 2
g) a ∈ {∓1; ∓2 ; ∓3; ∓4}
Bài 3: a ) x ∈ {∓1; ∓2 ;. ∓29})
=> Có 58 số 
b) Do | x | ≥ 0 ; | y | ≥ 0 
Mà | x | + | y | = 3 => | x | ; | y | ∈ {0 ; 1; 2; 3}
- Nếu | x | = 0 thì | y | = 3 khi đó có hai cặp
- Nếu | x | = 1 thì | y | = 2 = > có bốn cặp.
 | x | = 2 thì | y | = 1 = > có bốn cặp.
 | x | = 3 thì | y | = 0 = > có hai cặp.
Tất cả có 2 + 4 + 4 = 2 = 12 cặp 
c) Giải: Tương tự câu b) có 20 cặp
Bài 4:
| x | = 7 => x = ∓ 7 ; | y | = 20 => y = ∓ 20
Xét bốn trường hợp 
Đáp số ∓ 13; ∓ 27
Bài 5: |x | ≤ 3 - 3 ≤ x ≤ 3
| y | ≤ 5 - 5 ≤ y ≤ 5
Vì x – y = 2 ta có bảng sau:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Bài 6: Vì x < y < 0 nên |x - y| = |x| - |y| = 100
=> x – y = ∓ 100
Nhưng do x x – y x – y = - 100
2- Bài tập áp dụng tính chất : 
Câu 1: a) ≤ 	b) ≥	c) = 	d) = 
Câu 2: d) 
Câu 3: c)
Bài 1: | a – b | = | (a – c ) + (c - b)| ≤ | a – c | + | c – b | = | a – c | + | b – c |
 | a – b | < 5
Bài 2: a) Không vì theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số là không âm, tổng của hai số không âm không thể là số âm.
b) Không vì | x | ≥ 0 ; | x – 5 | ≥ 0 
và | x | ≠ | x – 5 |
=> Tổng | x | + | x – 5 | không thể bằng 0.
c) Không vì 27 < | - 49|
Bài 3: a) Nếu – 2 0 
Nên | x – 1 | + | x + 2 | = - (x – 1 ) + (x + 2 ) = 3
Nếu x > 1 thì | x – 1 | > 0 và x + 2 > 0 
Nên | x – 1 | + | x + 2 | = x – 1 + x +2 = 2x + 1
b) Đáp số – 2x + 3 ; -3
c) 2x + 1; 3
d) - 3; - 2x – 1
Bài 4: 
a) = 2a với a ≥ 0 
 = 0 với a< 0 
b) = 0 với a ≥ 0 
= - 2a với a< 0 
c) = a 2 với a ≥ 0 
= - a2 với a<0 
d) = 1 với a ≥ 0 
= -1 với a< 0 
e) = x + 2 với x ≥ 3
 = 8 – x với x < 3 
f) = - 2x + 3 với x < - 2 
= 7 với x – 2 ≤ x ≤ 5
= 2x –3 với x > 5 
g) 3x + 2 (với x ≥ - 3)
B – Các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong chương trình toán trung học cơ sở 
I – Một số dạng phường trình thường gặp 
1- Dạng 1:
Ví dụ: Giải các phương trình sau.
a) | 2x – 1 | = 5 (1)
Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = {- 2; 3}
b) | 2x – 1| = m – 1 với m là tham số 
+) Nếu m – 1 m < 1 thì phương trình vô nghiệm 
+) Nếu m - 1 = 0 thì | 2x- 1 | = 0 => x = 1/2 
+) Nếu m –1 > 0 thì
2- Dạng 2: 
Ví dụ: Giải phương trình 
| x – 3 | = 2x – 1 (2)
Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S= {4/3}
Dạng 3: A
Ví dụ : Giải phương trình | x| - 1 =5 	(3)
+) Nếu x ≥ 0 (3) ú x – 1= 5 x = 6
+) Nếu x x =-6
Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là S = {- 6 ; 6}
Dạng 4: A
Ví dụ: Giải phương trình | x | - 1 = 2x + 5	(4)
+) Nếu x ≥ 0 (4) x – 1 = 2x + 5 x = - 6 (loại) vì - 6 < 0
+) Nếu x x = - 2
Vậy tập nghiệm của phương trình (4) là 	S= {-2}
Dạng 5: 
Ví dụ: Giải phương trình | x + 3 | = | 2x – 1 | (5)
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình (5) là 
Dạng 6: Phương trình có chứa một số biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối 
|A1(x) | + | A2(x) | ++ | An (x)| = B(x)
+) Cách giải : Lập bảng chia khoảng xét dấu ta phải bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: Giải phương trình.
a) | x + 1 | + | x – 2 | + | x – 3| = 5	(6)
+) Lập bảng xét dấu 
x
-∞ -1 2 3 +∞
 x+ 1 
- + + +
 x+ 2
- - 0 + +
x+ 3
- - - 0 +
+) Bảng tính giá trị tuyết đối
x
-1 2 3
|x + 1|
- x- 1 0 x + 1 x + 1 x + 1
|x – 2|
2 – x 2 – x 0 x - 2 x- 2
| x – 3)
3 –x 3 –x 3 –x 0 x – 3
Vế trái (6)
- 3x – 4 6 – x x + 2 3x - 4
Nếu x < -1 
(6) - 3x + 4 = 5 x = 1/3 (loại)
Nêú –1 ≤ x ≤ 2
(6) 6 – x = 5 x = 1 
+) Nếu 2 < x ≤ 3 
(6) x + 2 = 5 x = 3
+) Nếu x > 3
(6) 3x – 4 = 5 x = 3 (loại)
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình (6) là S = { 1; 3 }
b) | 2x + 1 | + 2x – 5 | = 4 (6')
Cách 1: Lập bảng xét dấu giải như ví dụ a 
Cách 2: Ta nhận thấy 
VT = | 2x – 1 | + | 2x – 5 | = | 2x – 1 | + | 5 – 2x | 
 ≥ | ( 2x – 1) + ( 5 –2x ) | = 4 = VP
Như vậy | 2x – 1 | + | 5 – 2x = | ( 2x – 1) + ( 5 –2x ) |
Điều này chỉ xảy ra khi ( 2x – 1) ( 5 –2x ) ≥ 0
Giải bất phương trình này (xét dấu ) ta được 
Đây chính là tập hợp các nghiệm của phương trình (6')
Bài tập đề nghị
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) | x – 3 | + x = 7 
b) | x + 3 | = | 5 – x | 
e) | x – 3 | = x – 3 
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) x - | x + 1 | + 2| x – 1| = 0 
b) | x| + | 1 – x | = x + | x – 3 |
c) | | x| - 3 | = x +1 
Bài 3 : Giải các phương trình
a) | x – 4 | - x = 2a	( a là hằng số)
b) | x – 3 | + | 5 – x | = 2a ( a là hằng số)
Đáp số :
Bài 1: a) 5	b) 1	c) Vô nghiệm 	d) Vô nghiệm 	e) x ≥ 3
Bài 2: 
Bài 3: a) Nếu a > -2 thì x = 2 –a 
Nếu a = - 2 thì Vô số nghiệm x ≥ 4
Nếu a < - 2 thì Vô nghiệm
b) Nếu a = 1 thì 3 ≤ x ≤ 5 
Nếu a > 1 thì x1 = 4 – a ; x2 = 4 + a
Nếu a < 1 thì phương trình vô nghiệm.
II- Một số dạng bất phương trình thường gặp:
Dạng 1: 
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) | x – 1 | ≤ 5 (1)
Cách 1: (1) - 5 ≤ x – 1 ≤ 5 - 4 ≤ x ≤ 6
Vậy nghiệm của bất phương trình là : - 4 ≤ x ≤ 6
Cách 2: +) Nếu x ≥ 1 (1) x – 1 ≤ 5 = x ≤ 6 
+) Nếu x 1- x ≤ 5 x ≥ 4
Kết hợp lại ta được – 4 ≤ x ≤ 6
b) | x – 1 | ≤ 5 m + 5	(1' )
+) Nếu m + 5 ≤ 0 	(1' ) Vô nghiệm 
+) Nếu m + 5 > 0 m > - 5 
(1') | x – 1 | ≤ m + 5 - m – 5 ≤ x – 1 ≤ m + 5
 - 4 - m ≤ x ≤ m + 6 
Kết luận : m ≤ - 5 bất phương trình vô nghiệm 
 m > - 5 bất phương trình có nghiệm – m – 5 ≤ x – 1 ≤ m + 5 
Dạng 2: | A (x) | ≥ b (II)
Cách giải : 
+) Nếu b bất phương trình (II) có nghiệm với ∀ x ∈ R 
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
a) | x – 3 | ≥ 9 	(2)
Vậy (2) có nghiệm là x ≤ 6 ; x ≥ 12
	-6	12
b) | x – 3 | ≥ 1 – m (2')
+) Nếu 1 – m (2') có nghiệm với ∀ x ∈ R
Kết luận : * m > 1 (2' ) có nghiệm với ∀ x ∈ R
	 * m ≤ 1 (2' ) có nghiệm x ≥ m + 2 ; x ≥ 4 - m 
Dạng 3:
Ví dụ: Giải bất phương trình 
| 1 – 2x | ≤ x + 5 	(3)
Vậy bất phương trình có nghiệm là x 
Dạng 4: 
Ví dụ: Giải bất phương trình : | x + 1 | ≥ 2x - 1 (4)
Vậy nghiệm của bất phương trình (4) là 
Dạng 5: 
Ví dụ : Giải bất phương trình 
| x + 1 | > | x - 2 | 	(5)
 ( x + 1 ) 2 > ( x - 2 )2 
 x2 + 2x + 1 > x2 - 4x + 4 
 2x > - 4x + 3 
 6x > 3 x > 3 / 6 x > 1/2
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 1/2
Dạng 6: Bất phương trình chứa nhiều biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
| A1(x)| + | A2(x)| +........+ | An(x)| = B(x)
Cách giải : Lập bảng chia khoảng xét dấu phá bỏ dấu giải trị tuyệt đối (Đặc biệt có thể dùng tính chất | a | + | b | ≥ | a + b |)
Ví dụ: Giải bất phương trình 
| x - 1 | + | x - 2 | > x + 3 
+) Lập bảng xét dấu 
x
 1 2
x-1
- 0 + +
x-2
- - +
+ Nếu x < 1 
(6) 1 - x + 2 - x > x + 3 
 3x x < 0 
Trong khoảng này x< 0 (*)
+ Nếu 1 ≤ x ≤ 2
(6) x - 1 + 2 - x > x + 3 
 x < - 2 (loại )
+ Nếu x > 2 
(6) x - 1 + x - 2 > x + 3 
 x > 6 (**)
Kết hợp (*) và (**) nghiệm cuả bất phương trình là x 6.
Bài tập đề nghị :
Bài 4: Giải các bất phương trình sau:
a) | 2x + 3 | < 7 
b) | 3 - 2x | < x + 1 
c) | 3x - 1 | ≥ 5 
d) 
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
a) | x 3 + 1 | ≥ x + 1
b) | x - 3 | < | x + 1 | 
c) | x - 1| > | x + 2 | - 3 
d) | x - 1 | + | x - 5 | > 8 
e) | x - 3 | + | x + 1 | < 8 
Bài 6:
Hướng dẫn đáp số :
* Trước hết ta quan tâm đến khái niệm điểm đối xứng với một điểm qua một đường thẳng.
Điểm A' được gọi là đối xứng với điểm A qua đường thẳng a là đờng trung trực của đoạn thẳng AA'
- Cách vẽ điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng a
+ Vẽ đường thẳng AM ^ a (M ∈ a) 
+ Trên tia đôí của tia MA xác định điểm A' sao 
cho A'M = MA
Điểm A' là điểm cần tìm 
1- Đồ thị hàm số y = f (|x|)
a) Nhận xét :
Như vậy đồ thị của hàm số có trục đối xứng là trục oy 
b) Cách vẽ :
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (Chỉ lấy phần bên phải trục oy bỏ phàn bên trái )
+) Lấy đối xứng với phần bên phải trục oy qua trục oy.
c) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = | x | - 2 y
Vẽ đồ thị hàm số y = x -2 
(Lấy phần nằm bên phải trục oy )
 x 0 2 
 y -2 0
+) Lấy đối xứng với phần đường thẳng trên ta được đồ thị hàm số y = | x | - 2 là hai tia chung gốc có hình chữ V như hình vẽ.
2- Đồ thị hàm số y = | f (x) | 
a) Nhận xét.
b ) Cách vẽ :
+) Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) ( C ) 
Lấy phần đồ thị (C) trên trục ox)
+) Lấy đối xứng qua ox phần đồ thị (C) phia dưới trục ox,sau đó bỏ phần phía dưới trục ox.
c) Ví dụ: Vẽ đồ thi hàm số y = | x - 1 | 
+) Vẽ đồ thị y = x - 1 
(Lấy phần nằm phía trên ox ) 
x 0 1
y -1 0
+) Lấy đôi xứng qua ox phần nằm dưới ox ta 
được đồ thị y = | x - 1 | như hình vẽ 
3- Đồ thị hàm số y = | | f ( x)| |
a) Nhận xét :
b) Cách vẽ 
+) Vẽ đồ thị (C) phía trên ox (C1)
+) Lấy đối xứng với (C1) qua oy (C2) 
+)Lấy đối xứng qua ox phần bên dưới trục hoành của (C1) và (C2) là (C3) 
+) Đồ thị cần vẽ là (C1) ∪ (C2) ∪ (C3) y
c) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = | 3 - 2|x| | 
 - 3
 0 x
+) Vẽ đồ thị y = 3 -2 x
x	0	3/2
y	3	0
+) Lấy phần bên trên trục ox, bên phải trục oy (C1)
+) Lấy đối xứng với (C1) qua oy ta được (C2)
+) Lấy đối xứng với phần dưới ox của (C1) và (C2) qua ox ta được (C3)
Đồ thị hàm số cần vẽ là (C1) ∪ (C2) ∪ (C3)như hình vẽ.
4- Đồ thị hàm số | y| = f (x)
a) Khái niệm : Tập hợp các điểm M(x, y) trên mặt phẳng Oxy có toạ độ thoả mãn |y| =f(x) là đồ thị hàm số |y| = f(x).
Đồ thị hàm số có trục đối xứng là ox 
c) Cách vẽ : 
+) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) 
+) Lấy phía trên trục ox (C1)
+) Lấy đối xứng với (C1) qua ox ta được (C2) y
Đồ thị hàm số cần vẽ là (C) =(C1) ∪ (C2)như hình vẽ.
d) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số |y| = x -1 
+) Vẽ y = x -1 
+) Lấy phía trên trục ox (C1) 1
+) Lấy đối xứng với (C1) qua ox ta được (C2)
Đồ thị hàm số cần vẽ là (C) =(C1) ∪ (C2) như hình vẽ.
5- Dùng đồ thị để giải phương trình :
Ví dụ: Cho hàm số y = | x - 1 | + | x + 3 | 
a) Vẽ đồ thị hàm số 
b) Biện luận số nghiệm của phương trình 
|x - 1 | + | x + | = m (*) theo m 
Giải :
b) Xét đồ thị hàm số y = | x - 1 | + | x + 3 | và đồ thị y = m
 RT (*) có nghiệm khi hai đồ thị của hàm số này giao nhau do đó 
* Căn cứ vào đồ thị ở cây a ta thấy 
+ Nếu m < 4 thì phương trình đã cho vô nghiệm 	
+ Nếu m = 4 thì phương trình có vô số nghiệm 	
+ Nếu m > 4 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập đề nghị :
Bài 7: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2 | x | + 1 	
b) y = 2 | x | -x 
c) y = 1/2 (x - | x | )
d) y = x2 + | x | - 1 	
e) y = 
f) y = 
Bài 8: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = | x+ 1| 
b) y = |x2 -4|
Bài 9: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) |y| = | x2 + 2 |x| |
Bài 10: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) |y| = 2x2 +3
b)|y+1| = x-2
Bài 11: Biện luận số nghiệm của các phương trình sau:
a) |x2 - 3x + 2| = m2
b) | x + 1 | + |x -2 | = m2 - m
IV- cực trị của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 
1- Các kiến thức cần lưu ý :
10) | A(x) | ≥ 0 ∀ x. Đẳng thức sảy ra A(x) = 0 
11) | A(x) +B(x) | ≤ | A(x) | +| B(x) | Đẳng thức sảy ra A(x). B(x) ≥ 0
12) | A(x) - B(x) | ≤ | A(x) + B(x) | Đẳng thức sảy ra A(x). B(x) ≤ 0
2- Các bài tập điển hình 
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A = |2x - 1 | - 5 
Giải : Ta thâý |2x - 1 | ≥ 0 ∀ x	(Theo tính chất 10)
=> |2x - 1 | - 5 ≥ -5
Dấu " =" xảy ra |2x - 1 | = 0 2x - 1 = 0 x = 1/2
Vậy min A =- 5 x = 1/2
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B= | x - 2 |+ | x - 3 | 
Cách 1: 
+) Lập bảng xét dấu 
x	 2	3
x-2	-	0	+	+
x-3	-	-	0 	+
+) Nếu x< 2 
Thì B = 2- x + 3 - x = 5 -2x 
Do x 2x 5 - 2x > 1 	(1)
+) Nếu 2 ≤ x ≤ 3 
Thì B = x - 2 + 3 - x = 1 	(2)
+) Nếu x > 3 
Thì B = x - 2 + x - 3 = 2x - 5 
Do x > 3 => 2x > 6 => B > 6 - 5 = 1 	(3)
Từ (1) ; (2) và (3) =>Min B = 1 2 ≤ x ≤ 3 
Cách 2: Ta có B = | x -2 |+ | x - 3 | = | x - 2 | + | 3 - x | ≥ | x - 2 + 3 - x | = 1
Dấu " = " xảy ra ( x - 2 ) ( 3 - x ) ≥ 0 
 2 ≤ x ≤ 3
Vậy Min B = 1 2 ≤ x ≤ 3
Bài3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
* Xét |x| > 2 => B> 0 với ∀ |x| >2 
* Xét |x| B < 0 
C' đạt giá trị nhỏ nhất | x | - 2 là số nguyên âm lớn nhất 
 |x| - 2 = - 1 
 | x | = 1 x = ∓ 1
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
D = 5 - | x + 1 |
Nhận thấy | x + 1 | ≥ 0 x=> D ≤ 5 ∀ x 
Dấu"=" xảy ra | x + 1 | = 0 x + 1 = 0 x = - 1 
Vậy max D = 5 x = - 1
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
D = | |x- 2| - | x - 7 | | 
Giải :
Cách 1: D= | |x- 2| - | x - 7 | | ≤ | ( x - 2 ) - ( x - 7) | = | x - 2 - x + 7 | = 5 
Dấu " =" xảy ra ( x - 2 ) ( x + 7 ) ≥ 0 x ≤ 2 ; x ≥ 7
Cách 2: D = | |x- 2| - | x - 7 | | = | |x- 2| - | 7- x | | ≤ | ( x - 2 ) + ( 7 + x )| = 5
Dấu " =" xảy ra ( x - 2 ) ( 7- x ) ≤ 0 x ≤ 2 ; x ≥ 7
Vậy max D = 5 x ≤ 2 ; x ≥ 7
Bài tập đề nghị
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài3: Cho M =3x2- 2x + 3x2 - 2x + 6 |x| + 1
Tính giá trị của M biết x, y là số thực thoả mãn xy = 1 và |x +y | đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho a< b < c < d là 4 số thực tuỳ ý 
Tìm x để f(x) = |x - a |+ |x - b | + | x - c | + | x - d | đạt giá trị nhỏ nhất 
Hãy tổng quát bài toán trên với n số thực 
Hướng dẫn đáp số
Bài 1: a) max A= 9 x = 1
b) max B= 1/2 x = 1
c)max C = 2 x = 1
Bài 2: a) min A = - 2 x = 1/2 
b) min B = - 3 x = 0 ; x = 3 
c) min C = 9 - 4 ≤ x ≤ 5 
d) min D = 1 2004 ≤ x ≤ 2005
e) min E = 2 - 1 ≤ x ≤ 0
Bài 3: ta có ( x + y )2 ≥ 4xy = 4 => | x + y | ≥ 2
=> min | x + y | = 2 khi x = y 
Khi đó xy = 1 và | x + y | = 2 
=> x = y = 1 hoặc x = y = - 1
* x = y = 1 => M = 9 
* x = y= - 1 => M = 17
Bài 4: Ta có f (x) = (| x - a | + | x - d |) + ( | x- b | + | x - c | ) 
Mà | x - a | + | x - d | == | x - a | + | d - x | ≥ | x - a + d - x |
=> | x - a | + | x - d | ≥ d - a 
Dấu " = " xảy ra khi (x - a ) ( d - x ) ≥ 0 a ≤ x ≤ d
Tương tự | x - b | + | x - c | ≥ c - b 
Dấu " = " xảy ra khi (x - b ) ( c - x ) ≥ 0 b ≤ x ≤ c 
Vậy f(x) ≥ d + c - b - a.=> min f(x) = d + c - b - a b ≤ x ≤ c 
Tổng quát : Cho n số thực a1 < a2 <....< an Xét hai trường hợp 
* Trường hợp 1: n = 2k (k ∈ N*)
Ta có | x - a 1| + | x - a2k | ≥ a2k - 1
 | x - a 2| + | x - a2k- 1 | ≥ a2k - 1 - 1
 | x - a k| + | x - ak+1 | ≥ ak+1 - a k 
Do các bất đẳng thức trên có 2 vế đều dương nên cộng từng vế của chúng lại ta được )
f(x) ≥ ( a2k + a2k+1 +.....+ ak+1) - ( a1 + a2 +...+ ak) 
=> min f(x)= ( a2k + a2k+1 +.....+ ak+1) - ( a1 + a2 +...+ ak) 
 ak≤ x ≤ ak+1 
Trường hợp 2: n = 2k - 1( k ∈ N*)
| x - a 1 | + | x - a 2k-1| ≥ a 2k-1 - a 1 
| x - ak- 1| + | x - ak+1| ≥ ak+1 - ak- 1
| x - ak| ≥ 0
=> f(x) ≥ ( a2k-1 + a2k-2 +.....+ ak+1) - ( a1 + a2 +...+ ak-1)
=> min f(x) = ( a2k-1 + a2k-2 +.....+ ak+1) - ( a1 + a2 +...+ ak-1) x = ak