Sáng kiến kinh nghiệm Dùng kiến thức hình học giải bài tập số phức

 z + 2 = 5 .
( trích đề thi thử THPT Cao Lãnh Khối A năm 2011).
Giải: Gọi
M ( x; y )
biểu diễn hình học cho số phức z = x + yi , (
x, y Î	).
Xét các điểm
A(2; 0) ,
B (-2; 0) . Ta có

z - 2 = MA ,

z + 2 = MB

nên
z - 2 + z + 2 = 5 Û MA + MB = 5 (1) Vì A và B cố định nên từ điều kiện (1) suy
ra điểm M thuộc một Elip có các tiêu điểm là A và B, tiêu cự lớn bằng 5. Từ đó suy ra tập hợp điểm cần tìm là elip ( E ) :
AB = 4
và trục
2
x	+	y2	=
( E ) :
1
æ 5 ö2	æ 3 ö2	.
2	2
ç	÷	ç	÷
è	ø	è	ø
Bài tập: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
z thỏa mãn điều kiện:
z - 4 +
z + 4 = 10 .

( Trích đề thi thử Khối D năm 2010).
Tập hợp điểm biểu diễn là đường hypebol.
VD4. Trong mặt phẳng phức, xác định tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thoả mãn: (1+ i) z + (1- i) z = 2 z +1 .
( Trích đề thi thử ĐH Vinh Khối A lần 3 năm 2012).
Giải: Gọi
M ( x; y )
biểu diễn hình học cho số phức z = x + yi , (
x, y Î	).
(1+ i) z + (1- i) z = 2 z +1
( x +1)2 + y2
Û x - y =
ïí( x - y)2 = ( x +1)2 + y2
Û ìïx ³ y
î
ìx ³ y
í y =
Û ï	2x +1
îï	-2x
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là phần đường hypebol
y = 2x +1
-2x
nằm dưới đường thẳng y = x .
Tập hợp điểm biểu diễn là đường parabol.
VD5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z
thoả mãn hệ thức 2 z - i =
Giải:

z - z + 2i .
Gọi
M ( x; y )
biểu diễn hình học cho số phức z = x + yi , (
x, y Î	).
z - i =

z - z + 2i Û 2
=	Û y = 1 x2
x2 +( y -1)2
(2 + 2y)2
4
Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường
parabol y = 1 x2 .
4
Bài tập:
Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
z + i = z + z - 3i .
Một số bài toán sử dụng kiến thức hình học để giải bài tập số phức.
Sau khi HS đã nắm được dạng toán biểu diễn hình học của số phức thì GV gợi ý để các em có thể chuyển yêu cầu của bài tập số phức trở thành chỉ cần giải quyết bài toán hình học phẳng. Ta có thể gặp một số bài toán sau:
Tìm điểm M nằm trên đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ M đến một điểm cố định A là nhỏ nhất.
a)Giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d ) thì AM ³ AH . Từ đó AM nhỏ nhất khi M º H .
b)Bài tập áp dụng:
VD6. Tìm số phức z có modun nhỏ nhất thoả mãn:

z = z - 4 + 3i .
Giải. Gọi z = x + yi
( x, y Î
) , điểm
M ( x; y )
biểu diễn hình học của z.
Từ giả thiết ta có: 8x + 6 y = 25 . Vậy M thuộc
D : 8x + 6 y - 25 = 0. và
z = OM
Bài toán trở thành: Tìm M thuộc D sao cho OM nhỏ nhất
ÞM trùng với hình chiếu H
của O lên D .
Lập đường thẳng d qua O và d ^ D Þ d : 3x - 4 y = 0 Toạ độ H thoả mãn hệ
ì3x - 4 y = 0	ìx = 2
í	Þ ï
î8x + 6 y - 25 = 0	íï y = 3
î	2
Þ z = 2 + 3 i
2
Bài tập:
Tìm số phức z thoả mãn

(z -1) (z + 2i)

là số thực và z nhỏ nhất.
Tìm số phức z có modun nhỏ nhất thoả mãn -2 - 3i + z = z - i .
(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên 2011).
Cho số phức z thoả mãn z +1- 5i = z + 3 - i . Tìm z có modun nhỏ nhất.
(Trích đề thi thử THPT An Dương – Hải Phòng 2013).
Cho số phức z thoả mãn
z - 2 - 4i =
z - 2i . Tìm z có
z nhỏ nhất.
z -1
z - 2i
(Trích đề thi thử THPT Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp 2013 Khối D).
Cho số phức z thoả mãn
= 1. Tìm z biết
z + 3 - 5i 2
nhỏ nhất.
(Trích đề thi thử THPT Thanh Chương 3 – Nghệ An 2013).
Tìm vị trí điểm M chạy trên đường thẳng cố định (d) để tổng khoảng cách từ nó đến hai điểm cố định A, B nhỏ nhất.
a)Giải:
- Nếu A và B nằm về hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d thì vị trí điểm M cần tìm là giao điểm của AB và d.
- Nếu A và B nằm cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Lấy A’ đối xứng với A qua. Khi đó: MA + MB = MA'+ MB ³ A' B .
Từ đó suy ra:	(MA + MB)	= A' B khi
min
M º E (với E giao điểm của A’B và d).
b)Bài tập áp dụng:
VD7. Tìm z thoả mãn đồng thời hai điều kiện

z = z + 4 - 3i

và biểu thức
)
F = z + i -1 + z - 2 + 3i đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải. Gọi z = x + yi
( x, y Î	và điểm

M (x; y)

là điểm biểu diễn hình học
của z . Ta có:
z = z + 4 - 3i
Û x2 + y2 = (x + 4)2 + ( y - 3)2
Û 8x - 6 y + 25 = 0 .
Þ M Î
D : 8x - 6 y + 25 = 0
Xét các điểm A(-1;1); B(2;-3)
Þ F = MA + MB . Bài toán trở thành tìm điểm
M thuộc đường thẳng D sao cho tổng độ dài đường gấp khúc AMB nhỏ
nhất.(Bài toán quen thuộc). Lấy A '
đối xứng với A qua D , Þ A'(- 69 ; 58) .
25 25
Phương	trình	đường	thẳng
A ' B là: 133x +119 y = -91 .
ÞToạ độ M là nghiệm của hệ:
ìx = -503
ì133x +119 y = -91 Þ ï	250
í	í
î8x - 6 y = -25	ï y = 371
ïî	250
Þ z = -503 + 371 i .
250	250
Tìm điểm M nằm trên đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến một điểm cố định A là nhỏ nhất.
a)Giải:
Trường hợp A nằm ngoài đường tròn
(C). Đường thẳng đi qua A và tâm O của
(C) cắt (C) tại H và H’ với H nằm giữa A và O. Với mọi điểm M thuộc (C) ta có: OA - OM £ AM £ OA + OM hay AH £ AM £ AH ' . Từ đó AM min = AH khi đó M º H .
Trường hợp A nằm trong đường tròn
(C). Đường thẳng đi qua A và tâm O của
(C) cắt (C) tại H và H’ với A nằm giữa H và O. Với mọi điểm M thuộc (C) ta có: OM - OA £ AM £ OA + OM
Û OH - OA £ AM £ OA + OH '	hay
AH £ AM £ AH ' . Từ đó AM min = AH
khi đó M º H .
b)Bài tập áp dụng:
* Tìm một điểm thuộc đường tròn để khoảng cách từ nó đến một điểm cố định là nhỏ nhất.
VD8. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện modun nhỏ nhất.
z +1+ 2i = 1
tìm số phức z có
(Trích đề thi thử THPT Đông Hưng Hà- Thái Bình).
Giải. Gọi z = x + yi ( x, y Î ) . Từ giả thiết ta có:
( x +1)2 + ( y +1)2 = 1, Þ điểm M ( x; y ) biểu diễn hình học của z thuộc đường tròn (C):
( x +1)2 + ( y +1)2 = 1.
Vì z = OM nên bài toán trở thành tìm vị trí M thuộc (C) sao
cho OM nhỏ nhất. Ta thấy điểm O nằm ngoài (C). Suy ra M º H
giao điểm của (C) với đường thẳng OI và H nằm giữa O,I.
với H là
Đường OI: y = 2x . Suy ra toạ độ H thoả mãn hệ:
ìï y = 2x
1
5
1
5
2
5
î
íï( x +1)2 + ( y +1)2 = 1
1
5
Þ x = -1±	( loại
x = -1-	).
Þ x = -1+
Þ y = -2 -	.
Vậy
z = -1+ 1
+ (-2 +
2 )i .
5
5
Bài tập:
Cho số phức z thoả mãn
Cho số phức z thoả mãn

z - 3i = 1. Tìm z có z nhỏ nhất.
(Trích đề thi thử THPT Thái Phúc - Thái Bình).
z - 2 + 3i = 1. Tìm z có z nhỏ nhất.
(Trích đề thi thử THPT Quỳnh Lưu2 Nghệ An 2012)
Cho số phức z thoả mãn
z - 3 - 4i = 1 . Tìm z có
z nhỏ nhất.
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Huệ 2013).
Cho số phức z thoả mãn
z + 2 = 2 . Tìm z sao cho
z - (1+ 3i)
nhỏ nhất.
z +1- 5i
z + 3 - i
(Trích đề thi thử THPT Quốc học Quy Nhơn 2013)
Tìm z có
z nhỏ nhất biết
=	2 .
(1+ i)z
1- i
( Trích đề thi thử THPT Phượng Bình lần 3 2011).
Trong các số phức z thoả mãn
2 = 1 . Tìm z có
z nhỏ nhất, lớn
nhất.
Cho số phức z thoả mãn
Cho số phức z thoả mãn

z - 2 + 3i
z +1+ 2i

(Thanh Chương I Nghệ An Lần 2 2011).
= 3 . Tìm z có z nhỏ nhất, lớn nhất.
2
= 1. Tìm z có z nhỏ nhất.
z - 3 + i
z - 2 + i
2
* Tìm một điểm thuộc đường tròn để khoảng cách từ nó đến một điểm cố định là lớn nhất.
VD9. Cho z thoả mãn
=	. Tìm z có
z lớn nhất.
Giải. Gọi z = x + yi
( x, y Î ) . Điểm M ( x; y ) biểu diễn hình học của z. Từ giả thiết suy ra điểm M thuộc đường tròn (C):
( x -1)2 + ( y - 3)2 = 10 . Bài toán trở thành tìm M Î(C) để OM lớn nhất.
Ta thấy
O Î(C) Þ M Î(C) để OM lớn nhất khi OM là đường kính hay
M (2; 6)
Bài tập:

hay
z = 2 + 6i .
Tìm z có z lớn nhất thoả mãn:
æ
log1 ç
2 è
ö = 1.
z - 3 + 4i +1
2 z - 3 + 4i + 8
÷
ø
52
(Trích đề thi thử THPT Yên Khê- Phú Thọ 2012).
Trong các số phức
z - 2 - i
=	. Tìm z có
z - 4 + 2i
nhỏ nhất, lớn nhất.
Ứng dụng biểu diễn tổng, hiệu hai số phức theo hai véctơ để giải toán.
VD10. Cho hai số phức
z, z ' thoả
z = z ' = 1 và
z + z ' =
. Tính
z - z ' .
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Huệ Lần 3-2011).
iải.
Gọi z = x + yi , z ' = x '+ y 'i và M (x; y) , M '(x '; y ') là các điểm biểu diễn hình học của z, z ' thì Þ OM = OM ' = 1,
z + z ' = OM + OM ' = 3 và
z - z ' = M ' M = MM ' . ác điểm M , M ' thuộc
đường tròn tâm O, bán kính
R = 1 .
G
C
Gọi I là điểm để
MOM ' I là hình bình hành,
Þ OI = OM + OM ' ,
3
OI = z + z ' =	. Vì
OM = OM ' = 1
Þ MOM ' I là hình thoi. Theo tính chất của
hình thoi ta có:
OI 2 + MM '2 = 4OM 2
Þ MM '2 = 4OM 2 - OI 2 = 1
Þ MM ' = 1
hay
z - z,
= 1 .

ìï z1

13
= z2 =
Bài tập: 1. Cho
z1 , z2
thoả
í
2
ïî z1 - z2 = 5
Hãy tính
z1 + z2 .
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2013).
Tìm một điểm chạy trên đường tròn sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai điểm cố định là nhỏ nhất.
VD11. Tìm tất cả các số phức z sao cho
nhất.
z - 2 =	và
z + z +1
đạt giá trị nhỏ
2
( Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2011).
Giải.	Gọi z = x + yi ,
z - 2 =
Û ( x - 2)2 + y2 = 2 , Þ M (x; y)
biểu diễn
2
Xét	điểm	A (-1; 0) ,khi ó
z +1 = AM = MA vì vậy
z + z +1 = OM + MA . ài toán trở thành tìm
M Î(C ) sao cho	tổng
OM + MA nhỏ nhất.
Gọi H là giao điểm của
(C ) và OI.
hình học của z nằm trên đường tròn (C ) : ( x - 2)2 + y2 = 2 . đ
B
Ta có:	OM ³ OI - MI = OH , MA ³ AI - IM = AH .	Sử dụng bất đẳng thức tam
giác
Þ OM + MA ³ OH + AH . Dấu " = "
xảy ra khi M
º H .
H thoả mãn hệ :
ìï y = 0
î
íï( x - 2)2 + y2 = 2
Þ ïì y = 0
2
2
íïx = 2 ±
î
Vì H nằm giữa I và O nên
x = 2 -
2 . Vậy
M º H (2 -
2;0) Þ z = 2 -
5
Tìm một điểm chạy trên đường tròn để hiệu các bình phương khoảng cách từ đó đến hai điểm cố định nhỏ nhất, lớn nhất.
VD12. Tìm số phức z sao cho
đạt giá trị lớn nhất.
z - (3 + 4i) =	và biểu thức
P = z + 2 2 - z - i 2
)
Giải. Gọi z = x + yi , ( x, y Î	và điểm
M ( x; y )
biểu diễn hình học của z.
Từ điều kiện suy ra M thuộc đường tròn (C ) : ( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 5 .
Xét các điểm
A(-2; 0) ,
B (0;1) Þ P = MA2 - MB2 .
Bài toán trở thành tìm
M Î(C)
sao cho
MA2 - MB2
đạt giái trị nhỏ nhất.
Gọi d là đường thẳng đi qua A và B. H là hình chiếu của M lên d thì: MA2 = MH 2 + AH 2 , MB2 = MH 2 + BH 2 .
Þ MA2 - MB2 = AH 2 - BH 2
= ( AH - BH )( AH + BH )
= AB( AB + 2BH ) .
Þ P = MA2 - MB2 đạt giá trị lớn nhất khi BH lớn nhất.
Khi đó M là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến đường tròn vuông góc với AB hay
d
M là giao điểm của đường thẳng D ( D đi qua I và D	) với đường tròn
(C ) . Ta có
AB = (2;1) , ÞD có dạng
x - 2y + 5 = 0 . Toạ độ giao điểm của
D và (C )

là nghiệm của hệ:
ìïx = 2 y - 5
î
íï(2x - 8)2 + ( y - 4)2 = 5
Þ ( y - 4)2 = 1 Þ é y = 5
ê y = 3
ë
Để BH lớn nhất thì chọn
y = 5 là hợp lý Þ x = 5 Þ M (5;5) hay
z = 5 + 5i
Cho hai điểm chạy trên hai đường tròn tìm vị trí để chúng cách xa nhau nhất.
VD13. Cho các số phức
z1 , z2
thoả mãn
z1 -1 =
2; z2 - 4 = 2 . Tìm tất cả các
số phức
z1 , z2
sao cho
z1 - z2
đạt giái trị nhỏ nhất.
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc năm 2011).
Giải. Gọi
z1 = a + bi ;
z2 = c + di . Từ đó các điểm
M1(a;b) ,
M 2 (c; d )
biểu diễn
hình học cho
z1 ,
z2 lần lượt thuộc các đường tròn:
(C ) : ( x -1)2 + y2 = 2 và
1
(C ) : ( x - 4)2 + y2 = 4 .
Þ z - z =
M . Bài toán trở thành tìm các
M2M1 = M
2	1	2	2	1
điểm
M1 Î(C1 ) ,
M 2 Î(C2 )
sao cho đoạn
M1M2
lớn nhất.
Gọi
I1 ,
I2 lần lượt là tâm của (C1 )
và (C2 ) , các điểm A , B lần lượt là giao
điểm của (C1 ) , (C2 )
với trục Ox ( A , B nằm ngoài đoạn
I1I2 ). Ta có theo bất
đẳng thức trong tam giác thì
M1M 2 £ M1I1 + I1M2 £ M1I1 + I1I2 + I2 M 2 = R1 + R2 + I1I2 = AB
2
Vậy
M1M 2 £ AB , dấu “=” xảy ra khi
M1 º A; M 2 º B .
Giải ta được
A(1-
2;0),
B (6; 0) ,
Þ z1 = 1-	,
z2 = 6 .
Một điểm chạy trên đường thẳng, một điểm chạy trên đường tròn, tìm vị trí để chúng gần nhau nhất.
VD14. Cho các số phức
z1 , z2
thoả mãn:
z1 +1- i =
z1 ; z2 - 2 - 2i
= 1 . Tìm
z1 , z2
sao cho
z1 - z2
đạt giá trị nhỏ nhất.
2
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Vĩnh Phúc ).
Giải	Giả sử
z1 = x + yi ,
z = x' + y'i
và M1
( x; y ) ,
M (x'; y' ) biểu diễn
2
hình học của
z1 và
z2 . Từ giả thiết
z1 +1- i = z1
Û x + y +1 = 0 ,
z2 - 2 - 2i
= 1 Û (x' - 2)2 + ( y' - 2)2 = 1 . Suy ra điểm

M1 thuộc

D : x + y +1 = 0 ,
điểm M 2
thuộc đường tròn (C) : (x' - 2)2 +( y' - 2)2 =1.
Ta có: z1 - z2 = M2M1 = M2M1
Bài toán trở thành tìm M1 ÎD ,
M 2 Î(C ) sao cho M1M2 nhỏ nhất.
Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I của đường tròn (C ) . Các điểm E, H lần lượt là giao điểm của d với D và (C )
( E nằm giữa I và H) .
Ta có: M1M 2 ³ M1I - IM 2 ³ HI - IM 2 = EH .
Suy ra
M1M2
nhỏ nhất khi
M1 º H
và M2 º E . Giải bài toán tìm toạ độ giao
điểm của của d với D và (C )
ta được:
H æ - 1 ; - 1 ö , E 2 -	; 2 -	ö .
1
2
1
2
æ
ç	2	2 ÷	ç	÷
Vậy:

z = - 1 - 1 i ,
1	2	2

z2 = 2 -
è	ø	è	ø
2
1
+ (2 - 1)i .
2
Bài toán dùng đến phép quay
VD15. Cho các số phức
z1 , z2
thoả mãn:
iz1 +
= 0,5 và
z2 = iz1 . Tìm giá trị
2
nhỏ nhất của
z1 - z2 .

)
(Chuyên đề Nguyễn Huệ Hà Nội lần 4- 2012).
2
Giải. Giả sử
z1 = x + yi ( x, y Î	và điểm
M ( x; y )
biểu diễn hình học của
z1 .
Từ giả thiết
Þ i(x + iy) +
= 0,5 Û x2 + ( y -
2 2 = 1 ,
)
4
Þ M1
thuộc đường
tròn	(C ) :
x2 + ( y -
2 2 = 1 . Ta có
)
4
z2 = iz1
= i ( x + iy ) = - y + xi , suy ra
M 2 (- y; x)
là điểm biểu diễn hình học của z2 và
z1 - z2
= M1M 2 .
Ta thấy M 2
là ảnh của M1
qua phép quay tâm O góc quay
900 . Suy ra M
2
thuộc đường tròn (C ')
là ảnh của (C )
qua phép quay
Q(O,900 ) .
Bài toán trở thành: Tìm vị trí của
M1 Î(C ) ,
M 2 Î(C ')
sao cho
M1M2
nhỏ nhất.
Gọi
I1 và R là tâm và bán kính của (C ) , ta có
I1 (0; 2 ) và
R = 1 .
2
Ta thấy DOM1M2 vuông cân,
Þ M1M 2 =	2.OM1 ,	Þ M1M2
nhỏ nhất khi OM1 nhỏ nhất. Gọi A là giao điểm của đoạn
OI1 với (C ) thì
OM ³ OI - I M = OA =	2 - 1 .
1	1	1	1	2
Suy ra M M ³	2.æ	2 - 1 ö .
1	2	ç	2 ÷
è	ø
Vậy
min(M M ) = 2 - 1

. Hay giá trị nhỏ nhất của

z - z

là 2 -	.
2
1	2
Bài toán phải biết kết hợp tính chất	z
tròn có khoảng cách đến O nhỏ nhất.
1	2
z
=	tìm một điểm trên đường
1
2
VD16. Xét số phức z thoả mãn 2z + z -1+ i = 1 tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
nhất của biểu thức E = z + 2z .
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị 2013).
Giải. Đặt

w = 2z + z
thì ta có

w = 2z + z Þ E =
= w .
w
Bài toán trở thành tìm w sao cho w -1+ i = 1 và w có mođun nhỏ nhất.
)
Giả sử w = x + yi ( x, y Î	và điểm
M ( x; y )
biểu diễn hình học của w và
w -1+ i

= MA

với
A(1; -1)
và MA = 1 . Vậy điểm M thuộc đường tròn (C ) :
( x -1)2 + ( y +1)2 = 1 . Bây giờ chỉ cần tìm
M Î(C )
sao cho OM nhỏ nhất. Suy
ra toạ độ điểm M thoả mãn hệ
ìïx = - y
1
2
î
íï( x -1)2 + ( y +1)2 = 1
Þ ( y +1)2 = 1 .
2
1
2
1
2
1
2
2
Þ y = -1±
. Để w có mođun nhỏ nhất thì ta chọn
y = -1+
1
2
Þ x = 1-

Þ w = 1-	+ (-1+

)i , Þ w =	-1.
2
Hay min E = min w =	-1.
Dùng phép vị tự và phép tịnh tiến biểu diễn hình học số phức.
VD17. Cho số phức z thoả mãn
z -1 = 2 . Tìm tập hợp điểm biểu diễn hình
học của số phức
w = 2z - i .
(Trích đề thi thử THPT Chuyên Quốc Học Huế lần 2 -2013).
)
Giải. Gọi z = x + yi , ( x, y Î	và điểm
M ( x; y )
biểu diễn hình học của z.
Suy ra
M Î(C) : ( x -1)2 + y2 = 4 . Gọi E là điểm biểu diễn hình học của w, vì
w = 2z - i
nên ta có:
với
OA(0; -1)
OE = 2OM + OA
Þ E là ảnh của M qua thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 2 và phép
tịnh	tiến	theo	véctơ	OA .	Ta	thấy	phép
V(O,2)
biến	đường	tròn
(C) : ( x -1)2 + y2 = 4
thành
(C ') : ( x - 2)2 + y2 = 16
và phép
TOA biến (C ')
thành
(C '') :
( x - 2)2 + ( y -1)2 = 16
Vì vậy tập hợp điểm biểu diễn hình học của số phức
w = 2z - i
Bài tập:
là đường tròn (C '') :
( x - 2)2 + ( y -1)2 = 16 .
Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho w = (1- 2i)z + 3 biết z thoả mãn z - 2 = 5 .
(Trích đề thi thử THPT Lý Thái Tổ Bắc Ninh năm 2013)
Tìm tập hợp điểm biểu diễn của
z ' = (1+ i
3)z + 2
biết z: z -1 £ 2 .
(Trích đề Dự bị 2012).
Chƣơng 4. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM
Mục đích thực nghiệm.
Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài, rút kinh nghiệm để có thể áp dụng vào dạy học nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy.
Nội dung thực nghiệm.
Triển khai vào các tiết ôn tập chương, các tiết tự chọn và các giờ ôn tập cho HS khối 12.
Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12A3, 12A10.
Thời gian thực hiện:
Đối với lớp 12A3:
+ Thực hiện nội dung các bài toán liên quan đến điểm biểu diễn hình học của số phức lồng trong tiết ôn tập chương IV môn Toán Giải tích lớp 12 CB.
+ Thực hiện nội dung giải một số bài toán về số phức bằng phương pháp ứng dụng hình học phẳng trong một buổi dạy học tự chọn.
Đối với lớp 12A10:
+ Thực hiện nội dung các bài toán liên quan đến điểm biểu diễn hình học của số phức lồng trong tiết ôn tập chương IV môn Toán Giải tích lớp 12 CB.
+ Thực hiện nội dung giải một số bài toán về số phức bằng phương pháp ứng dụng hình học phẳng trong một buổi ôn tập tổng hợp cuối năm.
Kết quả thực nghiệm.
Đối với lớp 12A3:
+ Đa số các em giải được các bài toán liên quan đến điểm biểu diễn hình học của số phức.
+ Nhiều em đã nắm được phương pháp chuyển một số bài toán số phức về giải theo phương pháp hình học. Các em cũng thể hiện sự hiểu biết thông qua việc giải và nộp bài tập tương tự, đặt câu hỏi về những cách giải khác mà các em tham khảo được chẳng hạn như phương pháp dùng bất đẳng thức.
Đối với lớp 12A10:
+ Các em đã biết giải các bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn hình học của số phức. Phần ứng dụng hình học thì ít HS tiếp thu được, một phần do kiến thức hình học phẳng các em không còn nhớ nữa.
Phần III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận.
Đề tài này đã nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của việc dùng các kiến thức về hình học phẳng để giải bài tập về số phức, đóng góp thêm một phương pháp giải bài tập số phức, một hướng đi khác để giải dạng toán cực trị của số phức mà không dùng đến phương pháp bất đẳng thức.
Góp phần cũng cố thêm kiến thức về hình học phẳng và số phức, làm cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa các mạch kiển thức trong chương trình phổ thông, bồi dưỡng khả năng sử dụng kiến thức đã học được như công cụ, phương tiện để chiếm lĩnh tri thức khác, tập cho học sinh thói quen tự nghiên cứu, bồi dưỡng khả năng tự học cho học sinh.
Đưa ra một giải pháp để GV có thể vận dụng để đạt được mục đích là cũng cố kiên thức cho học sinh, thiết kế bài giảng theo tinh thần đổi mới gắn nội dung kiến thức dạy học với nhu cầu thực tiễn.
Mặt hạn chế của đề tài là các dạng bài tập giải theo phương pháp này thường không nhiều, ít xuất hiện trong các kỳ thi, bài tập đó lại ở mức nhận thức tương đối cao nên khó triển khai với đối tượng HS trung bình và ít gây được hứng thú cho các em.
Một số bài toán hình học phẳng áp dụng trong chuyên đề này chưa ở dạng tổng quát nên chưa bao quát hết các trường hợp khó.
Kiến nghị, đề xuất.
Cần nghiên cứu lựa chọn các bài tập phù hợp để triển khai dễ dàng hơn khi áp dụng đề tài vào việc dạy học.
Đề xất thêm: phần nghiên cứu thêm các bài toán cực trị của hình học phẳng dẫn tới bài toán dựng hình, tìm cách dựng hình để xác định vị trí của một
điểm thoả mãn một số tính chất nào đó. VD bài toán ở mục 2.5 trang 19 “Tìm một điểm chạy trên đường tròn sao cho tổng khoảng cách từ nó đến hai điểm cố định là nhỏ nhất” dẫn tới cần dựng được một elip có hai tiêu điểm cố định và tiếp xúc với một đường tròn cố định.
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (chủ biên) và các tác giả: (2008),
Giải tích 12, NXBGD.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (chủ biên) và các tác giả: (2008),
Giải tích 12, Sách giáo viên, NXBGD.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) và các tác giả: (2008), Hình học 10, NXBGD.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) và các tác giả: (2008), Hình học 11, NXBGD.
Vũ Tuấn (chủ biên) – và các tác giả: (2008), Bài tập giải tích 12, NXBGD.
Tuyển tập các để thi thử đại học cao đẳng của các trường THPT trên cả nước các năm 2010, 2011, 2012, 2013, 2014.
Các trang mạng internet: www.violet.vn, www.diendantoanhoc.net. www.boxmath.vn, www.thusuc.page.tl/