Sáng kiến kinh nghiệm Dựng hình bằng phương pháp tương giao

Phần thứ nhất: ĐặT VấN Đề
 Các bài toán dựng hình nói chung có vai trò quan trọng trong hệ thống kiến thức của môn hình học ở trường THCS. Đặc biệt khi giải bài toán quỹ tích, muốn xác định hình dạng, vị trí và độ lớn của quỹ tích ta phải vẽ được quỹ tích đó. Đây là vấn đề khó của bài toán quỹ tích nếu học sinh không nắm rõ được phương pháp dựng hình. Như vậy phép dựng hình giúp ta giải được bài toán quỹ tích tốt hơn. Thông thường phép dựng hình thường đưa về phép dựng hình một điểm tức là tìm giao điểm của 2 quỹ tích điểm đó phải thoả mãn 2 điều kiện của 2 quỹ tích . Phép dựng hình này còn gọi là dựng hình bằng phương pháp tương giao.
	 Qua thực tế khi giảng dạy môn hình học lớp 9 ở trường THCS Xuất Hoá - Lạc Sơn trong liên tục nhiều năm tôi thấy có nhiều học sinh yếu, ngại và lo sợ khi giải bài toán dựng hình , khi giải bài toán quỹ tích lúng túng khi vẽ hình do không nắm vững phương pháp giải giải bài toán dựng hình.Để giải các bài toán dựng hình có rất nhiều phương pháp ( Dựng hình bằng phương pháp đại số, dựng hình bằng phương pháp biến hình , dựng hình bằng phương pháp tương giao...). Vậy sử dụng phương pháp dựng hình nào cho phù hợp với khả năng tư duy và suy luận đối với các em học sinh THCS để nâng cao chất lượng bộ môn. Theo tôi có nhiều phương pháp dựng hình nhưng giúp học sinh nắm vững phương pháp dựng hình bằng phương pháp tương giao là dễ hiểu và có hiệu quả hơn cả. Giúp các em hiểu và nắm vững phương pháp dựng hình này sẽ là cơ sở để các em giải tốt các bài toán dựng hình, vẽ quỹ tích..... Từ đó khơi dậy cho các em lòng ham học ham hiểu biết để học sinh không còn ngại và lo sợ khi làm bài tập về quỹ tích , dựng hình ....nhằm nâng cao chất lượng bô môn .Góp phần không nhỏ đối với công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
Phần thứ hai: Nội Dung
A :Cơ sở khoa học
 1: Thế nào là giải bài toán dựng bằng phương pháp tương giao.
 Giải bài toán dựng hình là tìm tất cả các nghiệm của nó ( nghiệm của một bài toán dựng hình là hình thoả mãn tất cả các điều kiện của bài toán)
 Giải bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao dựa trên cơ sở:
 Mọi hình học đều xác định bởi một số hữu hạn điểm nhất định nên mọi bài toán dựng hình đều có thể quy về một số điểm nhất định nào đó (điểm chốt)
 Mọi điểm chốt ví dụ điểm M phụ thuộc vào hai điều kiện độc lập a và b vậy {M}=Fa ầ Fb trong đó Fa và Fb lần lượt là hình có tính chất a, b Để dựng điểm M ta sẽ dựng 2 hình là Fa và Fb 
 Mọi phép dựng hình khác bằng thước và compa đều phải quy về các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản. 
2: Các phép dựng hình cơ bản.
 Trong lí thuyết dựng hình bằng thước và compa người ta thừa nhận 5 phép dựng hình cơ bản là :
 a, Những hình đã cho
 b, Đường thẳng đi qua 2điểm dựng được
 c, Đường tròn có tâm dựng được và bán kính bằng đoạn dựng được
 d, Giao điểm (nếu có) của 2 hình dựng được 
 e, Những điểm tuỳ ý trên mặt phẳng (thuộc hay không thuộc hình đã dụng) là đã dựng được
 Trong thực hành trình bày lời giải để cho đơn giản,người ta thêm ngoài các phép dựng hình cơ bản,là các bài toán dựng hình cơ bản sau đây:
 a, Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng đã cho trước
 b, Dựng một góc bằng một góc đã cho trước
 c, Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước,dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.
 d, Dựng tia phân giác của một góc cho trước
 e, Qua một điểm cho trước dựng đường vuông góc với một đường thẳng cho trước
 g, Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước
 h, Dựng tam giác biết ba cạnh,hoặc biết hai cạnh va góc xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề.
 i , Dựng một đoạn thẳng bằng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng đã cho k
 Dựng 1 góc bằng tổng (hiệu) của hai góc đã cho.
 3: Các bước giải bài toán dựng hình .
 Các bước giải bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao:
 Bước 1: Phân tích 
 Là thiết lập được mối quan hệ giữa những yếu tố phải tìm và yếu tố đã cho trên cơ sở tiến hành các bước dựng.
 Bước 2: Cách dựng 
 Là chỉ ra các phép dựng hình cơ bản hoặc các bài toán dựng hình cơ bản cần thực hiện để có hình phải dựng ( số các bước dựng phải hữu hạn )
 Bước 3: Chứng minh
 Bằng lập luận đó với cách dựng như trên hình đã dựng thoã mãn cắc điều kiện của đề bài.
 Bước 4 : biện luận
 xét xem khi nào thì bài toán dựng được và dựng được bao nhiêu hình thoả mãn đề bài.
 *Theo chương trình quy định, không yêu cầu học sinh viết các phân tích và biện luận trong bài làm.
B. các giải pháp
 1: Dạy học lí thuyết dựng hình bằng phương pháp tương giao:
 trong chương trình hình học lớp 9 các bài toán dựng hình không nhiều nhưng để học sinh giải được các bài tập đó giáo viên phải làm cho học sinh nắm vững các bước giải ? Từng bước yêu cầu các em phải làm gì? Trong các bước đó bước nào là quan trọng nhất? 
 Bước phân tích 
- Bước này tuy không yêu cầu trình bày trong lời giải nhưng lại là bước quan trọng nhất trong toàn bộ lời giải vì nó cho ta biết phải dựng như thế nào mới có hình thoả mãn các điều kiện của đề bài . Nắm vững phương pháp phân tích là cơ sở để học sinh giải toán các bài toán dựng hình. Chính vì thế tôi đã hướng dẫn cho học sinh nắm chắc phương pháp phân tích dựng hình bằng phương pháp tương giao mà tôi cho là có hiệu quả cao như sau :
 - Trước hết các em phải đọc kĩ đầu bài xem bài toán cho biết điều gì? yêu cầu dựng hình gì nó phải thoả mãn điều nào? Sau đó các em giả sử đã có hình thoả mãn các điều kiện của đề bài bằng cách vẽ phác một hình tương tự hình cần tìm. Hình này tuy không được chính xác lắm nhưng vẫn có ích dựa vào hình đó các em có thể biết rõ vị trí của các điểm với các đường và những mối tương quan giữa chúng. Còn nếu không vẽ phác hoạ thì khó tưởng tượng khó nhìn thấy các mối quan hệ trên.
 - Sau đó dựa vào hình vẽ này các em hãy quan sát hình vẽ xem những điểm nào, bộ phận nào trong hình vẽ có thể dựng được ngay ,và còn phải dựng những điểm nào nữa.
 Nếu mỗi điểm phải dựng phụ thuộc phụ thuộc vào 2 tính chất nào đó :
Chẳng hạn :
 + Điểm M phụ thuộc 2 tính chất độc lập nào đó a và b.
 + Chỉ ra các tập hợp điểm Fa có tính chất a và Fb có tính chất b- 
Thì điểm M là giao của 2 tập hợp Fa và Fb 
 Bước dựng hình 
 Đây là bước quan trọng trong lời giải bài toán dựng hình và học sinh phải trình bày trong lời giải. Cho nên tôi luôn nhắc học sinh phải căn cứ vào bước phân tích nên xem dựng yếu tố nào trước, yếu tố nào sau và phải theo một thứ tự xác định, tránh lộn xộn các bước dựng phải dựa vào các phép dựng hình cơ bản, các bài toán dựng hình cơ bản, số các bước dựng phải hữu hạn. 
 Bước chứng minh 
 Đây là bước quan trọng học sinh phải trình bày trong lời giải của bài toán dựng hình để chứng minh xác định hình đã dựng thoả mãn đầy đủ các điều kiện của bài toán phải dựa vào các bước dựng và các định lý đã học, điều kiện dễ chứng minh trước, điều kiện khó chứng minh sau.
 bước biện luận
 bước biện luận tuy không có trong trình bày lời giải nhưng là bước giúp học sinh phát triển khả năng suy luận rất tốt nên sau khi chứng minh song tôi luôn hỏi học sinh: theo em sẽ dựng được bao nhiêu hình thoả mãn điều kiện đề bài? Tôi thấy có rất nhiều học sinh tìm câu trả lời. từ đó giúp cho học sinh nắm vững cách giải bài toán dựng hình .
 ví dụ : Dựng ABC thoả mãn các điều kiện của bài toán BC = a , 
 góc Â= 90o, ah= h. 
 Phân tích:
 Giả sử đã dựng được tam giác ABC
thoả mãn các điều kiện của bài toán :
 BC= a , Â = 90o , AH = h 
- Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích như sau:
- Quan sát hình vẽ yếu tố nào trong bài toán các em dựng được luôn ?
- Đỉnh B,C coi như dựng được luôn và thoả mãn BC= a 
- = 900 ,đoạn thẳng BC đã biết thì ta suy ra được điểm A nằm ở đâu? 
- = 900 => Â ẻ( O ; ) .
 * Đường tròn tâm O,đường kính BC là hình Fa 
 (O là trung điểm của đoạn thẳng BC) 
 - AH = h nên A nằm trên đường nào?
 - AH = h nên A nằm trên đường thẳng d // BC và cách BC một khoảng bằng h.
 * Đường thẳng d là hình Fb 
-Vậy điểm A là giao điểm của 2 đường nào?- Do đó A là giao điểm của 2 quỹ tích : Quỹ tích những điểm nhìn đoạn BC cố định 1 góc vuông và quỹ tích những điểm cách BC cố định 1 đoạn không đổi bằng h.
 Nói cách khác A là giao điểm của đường tròn ( O ; a/2 ) và đường thẳng d// BC và cách BC một khoảng bằng h.
 Cách dựng:
- Từ kết quả phân tích em hãy nêu các bước dựng ?
- Dựng đoạn thẳng BC = a
 - Dựng đường tròn ( O ; ) .
- Dựng đường thẳng d song song với BC
 và cách BC một khoảng bằng h
- Gọi A là giao điểm của ( O ; ) và d .
- Nối A với B, A với C ta được tam giác ABC cần dựng.
 Chứng minh:
-Từ cách dựng giáo viên yêu cầu học sinh nêu cách chứng minh tam giác ABC là tam giác thoả mãn các yêu cầu của bài toán .
-Vì sao BC= a, Â=900 , AH = h ?
-Theo cách dựng BC =a, A ẻ ( O ; ) => = 900 (vì là góc nội tiếp chắn nủa đường tròn )
-Lại có A ẻ d ; d// BC và cách BC một khoảng bằng a 
nên từ A kẻ AH ^ BC thì AH= a
- Vậy D ABC thoả mãn các yêu cầu của đề bài.
 Biện luận :
Ta vẽ được 2 đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng h -Nếu h < thì ta vẽ được 4 tam giác thoả mãn bài toán
-Nếu h = thì ta vẽ được 2 tam giác thoả mãn bài toán
-Nếu h > thì đường thẳng d không cắt ( O ; ) sẽ không vẽ được tam giác thoả mãn yêu cầu bài toán.
 2: Dạy học giải bài tập dựng hình
Ví dụ 1: dựng cung chứa góc 55o trên đoạn AB= 3cm
 a/ Phân tích 
 Giả sử bài toán đã dựng xong ta được đường tròn đi qua AB và chứa góc 55o . Tâm O của đường tròn này nằm trên đường trung trực d của AB và nằm trên đường vuông góc với tiếp tuyến At tại A của đường tròn này . Tiếp tuyến At này hợp với AB một góc bằng 55o hay
 = 55o Như thế OA ^ At 
 b/ Cách dựng 
 - Dựng đoạn thẳng AB=3cm 
 -Dựng tia At hợp với AB một góc = 55o
 -Dựng tia Ax ^ At tại A 
 -Dựng đường trung trực d của AB . 
 - Gọi O là giao điểm của d và Ax.
 -Dựng (O;OA) thì cung AmB nằm
 trên nửa mặt phẳng chứa tia At có
 bờ AB là cung chứa góc 55ophải dựng
 Tương tự ta có cung AnB chứa góc 550 
 c/ chứng minh
 Ta có At ^ AO ( do At ^ A x)
 nên At là tiếp tuyến của (O; OA) tại A
 Ta có là góc tạo bởi
 tia tiếp tuyến At và dây AB nên = sđ Û sđ = 2.55o = 110o
 Vậy là cung chứa góc 55o
d/ Biện luận 
 Từ A ta có thể vẽ được 2 tia At và At' hợp với AB một góc bằng 55o nên ta xác định được 2 tâm O và O' đối xứng với nhau qua AB.
 Vậy có 2 cung chứa góc 55o là ; đối xứng với nhau qua AB.
Ví dụ 2 : Dựng ABC biết AC = 6cm; Â =50o ; đường cao AH = 4cm
 a/ Phân tích
 Giả sử bài toán đã dựng xong ta được D ABC có BC= 6cm, Â=50o và đường cao AH=4cm. như thế B và C dựng được ngay.
 - =50o nên A nằm trên cung chứa góc 50o vẽ trên đoạn BC
 -AH ^ BC và AH = 4cm như thế A cách BC cho trước 1 khoảng bằng 4cm nên A nằm trên đường thẳng d ( hoặc d')// với BC cách BC 1 khoảng bằng 4cm. Do đó A là giao điểm của 2 quỹ tích .
Quỹ tích những điểm nhìn đoạn BC cố định dưới 1 góc bằng 50o (không đổi)
Quỹ tích những điểm cách BC cố định 1 khoảng không đổi bằng 4cm 
 Nói cách khác A là giao điểm của cung chứa góc 500 vẽ trên đoạn BC và đường thẳng d// BC và cách BC một khoảng bằng 4cm.
 b/ Cách dựng
-Dựng đoạn BC=6cm 
-Dựng cung tròn BmC chứa góc 50o 
vẽ trên đoạn BC
-Dựng đường thẳng d // BC và cách 
BC một khoảng bằng4cm 
-Gọi A là giao điểm của cung BmC 
và đường thẳng d.
- Nối AB và AC ta được D ABC
 hoặc D A' BC phải dựng.
 c/Chứng minh 
Theo cách dựng ta có BC = 6cm ; 
 A ẻ nên = 50o 
 (vì là góc nội tiếp chắn cung ) 
 A ẻ d ; d// BC và cách BC 1 khoảng bằng 4cm nên từ A kẻ AH ^ BC
 thì AH=4cm.
Vậy D ABC thoả mãn các yêu cầu của đề bài.
 d/ Biện luận
 Vì có 2 cung tròn chứa góc 50o vẽ trên đoạn BC và có 2 đường thẳng 
Song song với BC và cách BC 1 khoảng bằng 4cm nên có 4 giao điểm. Vậy bài toán có 4 nghiệm hình.
 Ví Dụ 3
 Dựng ABC , biết BC=3cm, Â = 45o và trung tuyến AM= 2.5cm
 a/ Phân tích 
 Giả sử bài toán đã dựng xong, ta dựng được DABC có BC =3cm ,
 = 45o trung tuyến AM =2,5cm. Với M là trung điểm của BC.
 Như vậy: 
BC xem như đã dựng được. Gọi M là trung điểm của BC
 =45o nên A nằm trên cung chứa góc 45o vẽ trên đoạn BC
AM =2,5cm nên A ở trên đường tròn (M; 2,5cm)
 Vậy A là giao điểm của 2 quỹ tích :
 +) Quỹ tích những điểm nhìn BC cố định dưới 1 góc bằng 45o (không đổi)
+) Quỹ tích những điểm cách M cố định 1 đoạn không đổi bằng 2,5 cm. nói cách khác A là giao điểm của cung chứa góc 45o vẽ trên đoạn BC và đường tròn (M; 5cm).
 b) Cách dựng 
-Dựng đoạn thẳng BC =3cm.
 -Gọi M là trung điểm của BC
Dựng cung tròn BmC chứa góc 45o 
vẽ trên đoạn BC 
-Dựng đường tròn (M; 2,5) 
-Gọi A là giao điểm của cung BmC 
và đường tròn (M; 2,5).
 Nối AB với AC 
ta được ABC phải dựng
 c) Chứng minh 
 - Theo cách dựng, ta có BC =3cm ;
A nên =45o 
và A(M; 2,5cm) nên AM =2,5cm 
Với M là trung điểm của BC 
nên trung tuyến AM = 2,5cm.
 Vậy D ABC thoả mãn các yêu cầu của bài toán.
 d) Biện luận 
 Vì có 2 cung tròn chứa góc 45o vẽ trên đoạn BC và đối xứng nhau qua BC (cung BmC và nên 2 cung này cắt (M; 2,5cm) tại 4 điểm nên bài toán có 4 nghiệm.
 Ví Dụ 4
 Dựng ABC biết BC =a, và đường cao BH =hb, đường cao CK =hc. 
a) Phân tích .
 Giả sử bài toán đã dựng xong, ta được DABC có BC=a, đường cao BH =hb, đường cao CK =hc. 
Như vậy B ,C dựng được ngay.
 Bài toán chỉ cần xác định đỉnh A.
 Ta thấy {A} = BK ầ CH ,và góc =90o (do CK AB)
 nên K nằm trên đường tròn đường kính BC, tâm O là trung điểm của BC.
 Mặt khác CK =hc nên K nằm trên đường tròn ( C; hc).
 Do đó K là giao điểm của đường tròn ( O ;a/2 ) và ( C; hc).
Tương tự : H là giao điểm của (O ; a/2 ) và ( B ; h b).
 b)Cách dựng 
 Dựng BC=a , Gọi O là trung điểm của BC 
 Dựng ( O ; a/2 ) 
 dựng (B; hb) , đường tròn này cắt (O ;a/2 ) tại H 
 Dựng ( C ; hc) đường tròn này cắt ( O ; a/2 ) tại K 
Nối BK và CH kéo dài cắt nhau tại A ta được D ABC phải dựng. 
c)Chứng minh
Theo cách dựng
Ta có BC=a
 H ẻ(B ; hb) 
ị BH= hb; 
 = 900 (góc nội tiếp 
 chắn nửa đường tròn (O; )
 nên BH ^ AC
Tương tự CK= hc; CK ^ AB 
 Vậy D ABC thoã mãn các yêu cầu của đề bài.
d)Biện luận 
 Bài toán có 2 nghiệm hình khi hb < a , hc < a.
Ví Dụ 5
 Dựng hình vuông ABCD biết đỉnh A, điểm M ẻ BC và N ẻ CD.
a) Phân tích .
- Giả sử bài toán đã dựng xong, ta được hình vuông ABCD có đỉnh A cho trước và Mẻ BC, Nẻ CD.
Ta có =90o nên C nằm trên đường tròn đường kính MN. 
Ta lại có AC là đường phân giác của nên = 45o.
 Do đó C nằm trên cung AmN chứa góc 45o vẽ trên đoạn AN. vậy C là giao điểm của đường tròn đường kính MN và cung AmN chứa góc 45o vẽ trên đoạn AN .
b) Cách dựng
A
B
-Dựng đường tròn đường kính MN
-Dựng cung AmN chứa góc 45o vẽ 
trên đoạn AN 
-Gọi C là giao điểm của
đường tròn đường kính MN
M
 và cung AmN chứa góc 45o vẽ trên
đoạn AN ,nối CA, kẻ đường thẳng 
 CM, CN.
D
 -Từ A dựng Ax^ CM tại Bvà
N
C
 Ay ^ CN cắt CN tại D.
 Tứ giác ABCD là hình vuông 
phải dựng.
 c)Chứng minh 
 Ta có =90o( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MN) 
 và = = 90o (do AB ^CM và AD ^ CN ) . 
 Do đó ABCD là hình chữ nhật. 
 Ta lại có =45o (vì C chứa góc 45 vẽ trên đoạn AN) 
 =90o - 45o= 45o hay 
=> AC là tia phân giác của 
 Vậy tứ giác ABCD là hình vuông.
Biện luận : Bài toán có 1 nghiệm hình
C. Hiệu quả.
 Qua quá trình giảng dạy trong các năm học nhờ áp dụng sáng kiến : “giải bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao” đã giúp cho các em học sinh có khả năng tự mình giải quyết được các bài tập dạng trên mà không phụ thuộc vào thầy cô giáo.Từ đó tạo cho các em thói quen tự giác ,độc lập trong suy nghĩ. Do vậy lòng tin vào khả năng của bản thân mình trong việc học toán sẽ được nhen nhóm dần và ngày một nâng cao hơn. Cụ thể kết quả giảng dạy năm học 2010-2011: Lớp 9A1 có 28 HS, lớp 9A2 có 30 HS .
Số
Kết quả:
lượng
học sinh
Đầu năm
Cuối năm
Giỏi
Khá
TB 
Yếu
Kém
Giỏi
Khá
TB 
Yếu
Kém
58
5
29
14
10
7
23
28
0
0
 Trong đó: có 02 học sinh giỏi cấp huyện .
Phần thứ ba: kết luận chung
 Qua giảng dạy học sinh lớp 9 liên tục trong 8 năm tôi thấy có nhiều học sinh không giải được bài toán dựng hình do không nắm vững phương pháp giải. Thúc đẩy cho học sinh hiểu và nhớ được phương pháp giải là cơ sở để học sinh giải tốt các bài toán dựng hình. Vì vậy định hướng cho học sinh phương pháp giải nào cho phù hợp với khả năng tư duy và suy luận của các em là vô cùng quan trọng. Theo tôi giải bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao là dễ hiểu nhất đối với học sinh THCS. Vì vậy tôi đã hướng dẫn cho học sinh nắm vững phương pháp giải bài toán dựng hình bằng phương pháp tương giao . Từ đó mỗi tiết học có yêu cầu giải bài toán dựng hình trở nên nhẹ nhàng hơn. Học sinh biết cách phân tích để chỉ ra các bước dựng một cách tự tin hơn. Đặc biệt các em không còn ngại và lo sợ khi giải bài toán dựng hình nữa. 
 Giải bài toán dựng hình là dạng toán khó đối với học sinh. Để học sinh giải tốt được các bài toán dựng hình bằng phương pháp quen thuộc: Dựng hình bằng phương pháp tương giao thì giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh hiểu được phương pháp giải.
 Bởi vậy giáo viên phải nghiên cứu kỹ lý thuyết dựng hình bằng phương pháp tương giao. Từ đó hướng dẫn cho học sinh các bước giải qua một số ví dụ cụ thể, qua đó hình thành cho thói quen khi làm bài.
 Trên đây là những biện pháp và kết quả đạt được qua quá trình giảng dạy một số bài tập dựng hình ở lớp 9 của tôi, tuy chưa phải là tối ưu song nó giúp rất nhiều học sinh giải tốt các bài toán dựng hình và nâng cao chất lượng bộ môn.
 Rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp để giúp tôi giảng dạy đạt kết quả cao hơn.
 Xuất Hoá, ngày 6 tháng 5 năm 2011
 	 Người viết
 	 Phạm Thị Ngọc
 HĐKH Trường THCS Xuất Hoá
 Xếp loại :