Sáng kiến kinh nghiệm Dùng ẩn phụ để giải một số bài toán có chứa căn thức

PHẦN THỨ NHẤT
ĐẶT VẤN ĐỀ 
I/ LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :
	Việc nâng cao chất lượng dạy học nói chung , tăng tỉ lệ học sinh khá , giỏi về môn toán và gây hứng thú học tập cho học sinh là một vấn đề đặc biệt quan trọng của người thầy cô giáo . Ở trường phổ thông dạy toán là dạy các hoạt động tư duy cho học sinh trong đó quá trình giải toán là hình thức chủ yếu , có một vị trí quan trọng trong dạy toán nhằm :
	+ Củng cố rèn luyện kỹ năng , kỹ xảo , tái hiện những vấn đề lý thuyết đã học , biết vận dụng kiến thức đã học vào các tình huống cụ thể .
	+ Có khi bài tập lại là một định lý , cho nên việc giải các bài tập nầy là rất cần thiết giúp học sinh mở rộng , hệ thống hoá kiến thức .
	+ Bài tập phát triển năng lực tư duy cho học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất tư duy khoa học . Chẳng hạn qua những bài tập có nội dung biến đổi , bài tập biện luận ,  bởi lẽ đó tôi đã chọn phương pháp giải toán “ Dùng ẩn phụ để giải một số bài toán có chứa căn thức ” làm sáng kiến nghiên cứu trong năm học nầy .
II/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
	1/ Đối tượng nghiên cứu :
	Dùng ẩn phụ để giải một số bài toán có chứa căn thức
	2/ Phạm vi nghiên cứu : 
	Học sinh khá , giỏi ở cấp THCS mà trọng tâm là học sinh THCS An Hải .
III/ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :
Tìm hiểu cơ sở lý luận của hoạt động dạy toán và các vấn đề lý luận có liên quan đến việc nâng cao chất lượng giải toán .
Tìm hiểu thực trạng học sinh có hứng thú trong việc tìm lời giải hay cho một bài toán bằng cách đặt ẩn phụ.
Đề xuất một số bài toán và cáh giải đặt ẩn phụ
IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .
	1/ Dùng phương pháp nghiên cứu bài giải cuả giáo viên,sản phẩm học tập của học sinh , các bài tập trong sách giáo khoa , giáo viên , sách bài tập , toán học tuổi trẻ .
	2/ Dùng phương pháp điều tra thực tiễn để tìm hiểu nhu cầu học tập của học sinh, trình độ nhận thức ,để xây dựng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm lời giải hay cho một bài toán .
 PHẦN THỨ HAI 
I/ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 
Do vị trí và nhiệm vụ của việc giải bài tập trong việc tiếp thu kiến thức của học sinh nên việc giải bài tập toán không thể xem nhẹ . Là một giáo viên dạy toán chúng ta luôn luôn chú ý đến quy trình giải một bài toán theo lượt đồ bốn bước của Polia .
	Bước 1 : Phải tìm hiểu kỹ nội dung bài tập .
	Bước 2 : Xây dựng chương trình giải ( đặt ẩn phụ cho phù hợp )
	Bước 3 : Thực hiện chương trình giải 
	Bước 4 : Nghiên cứu lời giải .
Đối với mỗi giáo viên chúng ta việc soạn một giáo án giải bài tập toán ( luyện tập ) làm thế nào có thể “ Chế biến ” những lời giải phù hợp với các loại học sinh khác nhau.
Lời giải mới có thể là lời giải mới hoàn toàn , cũng có thể là sự mở rộng , đào sâu những lời giải đã biết .
*Giải phương trình hoặc một bài toán có chứa dấu căn thường là dạng toán khó hay gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp cơ sở và tuyển sinh vào lớp 10. Với các dạng toán nầy đòi hỏi người giải phải có khả năng tư duy và khả năng sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học để sử dụng ẩn phụ vào giải các bài toán một cách hợp lý và hiệu quả thì bài giải sẽ ngắn gọn và đơn giản hơn . Với mỗi phương trình vô tỉ có nhiều cách giải khác nhau . Một số phương trình nếu nâng lên luỹ thừa để làm mất căn thức thì thường dẫn đến một phương trình bậc cao rất khó khăn tìm nghiệm . Trong sáng kiến kinh nghiệm nầy bản thân xin trình bày một số cách giải bằng cách đạt ẩn phụ. 
II/ MỘT SỐ MINH HOẠ “ DÙNG ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ CHỨA CĂN THỨC ”
Bài 1: Rút gọn biểu thức
Lời giải:
 Đặt : nên ta có:
Bài 2: Rút gọn biểu thức:	
Lời giai:
 Đặt:
Ta có: Vậy:
Bài 3: Rút gọn : 
Lời giải :
Đặt:
Bài 4 : Rút gọn biểu thức.
Lời giải:
 Đặt : 
Do đó :
Bài 5 : Rút gọn :
	 ; với 
Lời giải :
Đặt : 
 Do đó :
 Vì 
Bài 6 : Chứng minh rằng :
 Nếu :	 (*)
 Thì : 	
Lơì giải :
Đặt: 	
Điều kiện : 	
Thay x2 ,y2 vào (*) ta được :
Bài 7 : Chứng minh rằng :
 Nếu : ax3 = by3 = cz3 và	
 Thì : 	
Lời giải :
Đặt : 	 thì :
 	(vì: ax3 = by3 = cz3)
 	 (vì :)
Tương tự :
Vậy : 	
Bài 8 : Giải phương trình : 	
Lời giải :
	Đặt : 
Từ đó ta được : 
Với : 
Bài 9 : Giải hệ phương trình:
 Lời giải:
Đặt : 	thì: 	
* Với : t = 2 thì : 	
Ta có : 	
* Với : 	thì : 	
Ta có : 	
Bài 10 : Giải phương trình :
	 Điều kiện: 	
Lời giải :
 Đặt : ;	 với 	
Từ đó trở thành : 
Từ (1) và (2) suy ra :
Vì : nên phương trình có nghiệm : 	
Thay vào (2) ta được :
	 (vì )	
 và (vì )
Vậy phương trình có nghiệm :
Bài 11 : Giải phương trình :
 Lời giải :
Đặt : 
(*) trở thành 
Từ phương trình (2) 	
Giải hệ phương trình : 
Ta được : 
Từ đó suy ra :
Bài 12 : Giải phương trình.
	 (12) ( Điều kiện )	
Lời giải :
Đặt : 
Thì phương trình (12) trở thành :
Từ đó suy ra :	 (thỏa mản điều kiện)
Bài 13 : Giải phương trình : 
	Lời giải :
 ĐK : 
 Đặt : 
Phương trình (13) trở thành:
Từ đó tìm được : 	
+ Với : 	
+Với :
+Với :	thì: 	
Bài 14 : Giải phương trình :
Lời giải : Điều kiện : 	
 Đặt : 
	 Với:	
Và :
 hoặc 
+ Với : 	
 Phương trình vô nghiệm	
+ Với : 	 thì : 
 hoặc 	 (thỏa mản ĐK)
Vậy : 	
Bài 15: Giải phương trình : 
Lời giải : ĐK : 	
Đặt : Điều kiện : 	
Đặt : 	thì: 
 	(vì : )
 + với :
 thỏa mản ĐK	
 + với : (vì : )
	 (loại)	
Vậy tập hợp nghiệm của phương trinh (15) là : 	 
Bài 16 : Giải phương trình :
Đặt : với 	
Xem pt (16/) thỏa mản
với : với 	
	 ( loại)
Vậy pt (16) có nghiệm 
Baøi 17 : Giaûi heä phöông trình (17 )
Lôøi giaûi : Ñieàu kieän 
 	Ñaët a= a4 =257-x
 b= b4=x
(17) 
Töø a+b=5 
	a4 +4a3b +6a2b2+4ab3 +b4 =625
	4a3b +6a2b2+4ab3 =368
 2a3b +3a2b2+2ab3 =184
2ab(a2 +2ab +b2 )-a2b2 =184
(ab)2 -(a+b)2ab +184 =0
(ab)2 - 50ab +184 =0
 ab=46 hoaëc ab =4
Töø ñoù ta coù heä phöông trình (heä naày voâ nghieäm )
 Vaø 
Giaûi ra ta ñöôïc (a;b) = (1;4)
Hoaëc (a;b)= (4;1)
 Suy ra : x= 256 , hoaëc x=1 
Vaäy phöông trình coù nghieäm laø : x1= 256 , x2 = 1
Baøi 18 :Giaûi heä phöông trình
Lôøi giaûi :
Ñaët u= ,v=(uÕ0 ,vÕ0)
Heä ñaõ cho trôû thaønh
Töø (1) vaø (2) coù u2 - v2 + v – u = 0 suy ra (u-v)(u+v-1) = 0
*Neáu u-v=0 u=v neân töø (1) suy ra u2 +u –6=0
	u=2 hoaëc u=-3(Khoâng thích hôïp vôùi ñieàu kieän )
u=2 daãn ñeán v=2 =2 x=-1
vaø =2y=-1
*Neáu u+v-1=0 Töø (1) vaø (2) suy ra u2+v2 +u+v =12u2 +v2=11
Nhaän xeùt 2uv = (u+v)2 –(u2+v2) = -10 <0 ( khoâng thích hôïp )
Vaäy heä ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát laø ( x,y ) = (-1,-1)
Baøi 19 : Giaûi phöông trình
 (19)
Lôøi giaûi :
Ñieàu kieän : x Õ-1
(19)( * )
Ñaët :t = (t Õ 0)
( * )t2 –t – 20 = 0 t= -4 (loaïi ) , t= 5
Thay t= 5 vaøo t = ta ñöôïc
 =5
	2x +3 +x +1 +2 =25
2 =21 –3x ( Ñieàu kieän -1 Ô xÔ 7 )
Giaûi ra ta ñöôïc :
x1=73 + ( loaïi ) x2=73 - 
Vaäy phöông trình coù nghieäm : x=73 - 
Baøi 20 : Giaûi phöông trình
4x2 + 10x +9 = (20)
Lôøi giaûi :
Ñieàu kieän ; x Õ-1 hoaëc xÔ -
Ñaët t = t2 = 2x2 +5x +3
	2t2 +3 = 4x2 +10x +9
	2t2 +3 = 5t
2t2 –5t +3 = 0
t =1 , t= 
Vôùi t =1 thì = 1
 2x2 +5x +3 = 1
 2x2 +5x +2 = 0 
x = -2 , x = - ( caû hai ñieàu thoaû maõn ñieàu kieän )
Vôùi t = thì = 
8x2 + 20x +3 =0
x = , x = 
Vaäy phöông trình coù 4 nghieäm laøx1 = -2 , x2 = - 
 x3 = , x4 =
Baøi 21 : Giaûi phöông trình
 (21)
Lôøi giaûi :
Ñieàu kieän :x Õ0
Ñaët a = b=
	Giaûi heä treân ta ñöôïc a=b=1
suy ra : =1 x=0 ( thoaû maõn ñieàu kieän )
Vaäy phöông trình coù nghieäm x=0
Baøi 22 : Giaûi phöông trình
Lôøi giaûi : 
Ñieàu kieän : 0 Ô xÔ 97
Ñaët a= , b=( aÕ0 ,bÕ0 )
 	Giaûi ra ta ñöôïc : a = 3 , b=2 hoaëc a=2 , b= 3
	Suy ra x =16 , x =81
Vaäy phöông trình coù nghieäm x1 = 16 , x2= 81
Baøi 23 : Giaûi phöông trình
Lôøi giaûi : Ñieàu kieän :x Õ0
 Ñaët a = b = (b Õ0)
Neân suy ra : a+b=1 vaø a3+b2 =1
Giaûi heä phöông trình :
Ta ñöôïc caùc nghieäm :(a=0 , b=1) ,(a=1 , b=0),(a=-2 , b=3)
Töø ñoù ta coù caùc nghieäm : x1=2 ,x2=1, x3=10 (Thoaû maõn ñieàu kieän )
Baøi 24 Giaûi phöông trình
5 (24)
Lôøi giaûi :
Ñieàu kieän 1+x3 Õ0 (1+x)(x2-x+1) Õ 0 xÕ-1
Ñaët u = v = ( uÕ 0 vaø vÕ 0 )
Phöông trình (24) trôû thaønh
5uv =2(u2 + v2) chia hai veá cuûa phöông trình cho v2 ta ñöôïc
=0
giaûi ra ta ñöôïc hoaëc
*/Vôùi u=2v =
	 x+1 = x2 –x +1
 x2 –2x =0
	 x=0 hoaëc x=2 (phöông trình( 24) voâ nghieäm )
*/ Vôùi v=2u 
= 2
 x2 –x +1 = 4x+4
x2 –5x +3 = 0
Giaûi ra ta ñöôïc , laø nghieäm cuûa 
phöông trình (24)
Baøi 25: Chöùng minh raèng 
Lôøi giaûi :
Ñaët x= , y= a= x+y ta caàn chöùng minh a8 > 36
Ta coù x3+ y3 =6 xy=1 
Töø ñoù a3= (x+y)3 = x3+y3 +3xy(x+y) =1 +3a = 3(1+1+a) >3() 
(vì x>1,y>1 neân a>1) do ñoù a9 >(32)3.a a8 > a6 ( ñpcm)
TAØI LIEÄU THAM KHAÛO
	MUÏC LUÏC