Sáng kiến kinh nghiệm Định lý Vi-Ét và ứng dụng

c:
(2-m)r+2(2-m)+mr-4 =0  r=m,
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 100
do đó :
m2 =2-m, ta được m=1; m=-2
Điều kiện đủ:
Với m=1, thử lại ta được:
P(x) = x3 +2x2 +x-4 = (x-1)(x2 +3x+4) không thỏa mãn.
Với m=-2 , thử lại ta được :
P(x) = x3 +2x2 -2x-4 = (x+2)(x2 -2)
Phương trình có 3 nghiệm x= 2 ; x=- 2 ; x=-2 thỏa mãn điều kiện.
Vậy m=-2.
Ví dụ 2:
Hãy lập đa thức bậc ba mà những nghiệm của nó là m;n;p của nó thỏa mãn các điều kiện
sau:
m
1 + n
1 + p
1 =-2; 1111 222  pnm ; 4
1
m 4
1
n 4
1
p =1.
Giải:
Ta gọi đa thức bậc ba cần tìm là : x3 +ax2 +bx+c.
Theo công thức Vi-et ta có:
m +n+p=-a; mn+np+mp =b; mnp=-c.
Biến đổi giả thiết ta được:
2mnp
mpnpmn 2 c
b .
1=  2
222222
222 )(
111
mnp
pnpmnm
pnm
=
2
2
2
2 2
)(
)(2)(
c
acb
mnp
pnmmnpmpnpmn 
1 = 4
444444
)(mnp
pnpmnm 
= 4
2222222222222
)(
)(2)(
mnp
pnmpnmpnpmnm 
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 101
= 4
2222 )2(2)2(
c
bacacb  .
Giải hệ phương trình trên ta được 3
8a ; 9
32b ; 9
16c .
Vậy đa thức cần tìm là: P(x) = x3 + 23
8 x + x9
32 + 9
16 .
Ví dụ 3:
Cho phương trình : x3 +px2 +qx +r =0.
Gọi x1; x2; x3 là các nghiệm của phương trình. Hãy biểu diễn các đa thức đối xứng sau
thông qua p;q;r:
A = x12 + x22 + x32 ; B= x13 + x23 + x33 ; C = x14 + x24 + x34 ;
Giải:
Theo định lý Vi-et ta có: x1 +x2 +x3 =-p;
x1x2+x2x3+x1x3 =q ; x1x2x3 = r
Ta có
A =( x1 +x2 +x3)2 -2(x1x2+x2x3+x1x3) = p2 -2q
Ta tính B bằng cách thay các nghiệm xi vào phương trình rồi cộng vế theo vế ta thu được:
x13 +x23 +x33 +p(x12 + x22 + x32 )+q(x1 +x2 +x3) +3r=0
 B +p.(p2 -2q) +q(-p) +3r=0
 B=-p3 +3pq-3r.
Tính C:
Ta nhân xi vào hai vế của phương trình để tạo ra xi4 rồi cộng vế theo vế . Từ đó làm tương
tự ta tính được
C= p4 -4p2q+2q2 +4rq.
Ví dụ 4:
Hãy tính diện tích tam giác mà 3 đường cao của nghiệm đúng phương trình: y3 –ay2
+by-c=0.(1)
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 102
Giải:
Gọi x1; x2; x3 là độ dài ba cạnh của tam giác và y1;y2; y3 là độ dài ba đường cao của tam giác.
Vậy thì y1;y2; y3 là ba nghiệm của (1) .
Gọi S là diện tích của tam giác, vậy thì yi =
ix
S
2 .
Thế vào phương trình ta có được:
(
ix
S
2 )
3 –a(
ix
S
2 )
2 +b(
ix
S
2 ) –c=0.
Quy đồng ta được xi là nghiệm phương trình :
x3 - 0842
32
2  c
Sxc
aSxc
bS (2).
Đặt P(x) là vế trái của (2).
Theo công thức He-rong ta có:
S2 =p(p-x1)(p-x2)(p-x3)= p.P(p), ở đây p= 2
321 xxx  = c
bS .
(Ta giải thích S2=p.P(p) như sau:
Đa thức bậc ba nhân x1; x2 ; x3 làm nghiệm là ( x-x1)(x-x2)(x-x3) =0 (3). Phương trình (3)
cũng chính là phương trình (2) ở trên.
Nên ta phải có (p-x1)(p-x2)(p-x3) = P(p) )
Thay vào ta được:
S2 = c
bS P( c
bS ) = )84( 2424
4
bcbcabc
S  , suy ra
S = 2422
2
84 bcbcabc
S  .
Ví dụ 5:
Cho p1; p2 ; q1; q2 là những số nguyên và  là nghiệm của phương trình :
x2 +p1x +q1 =0,
còn  là nghiệm của phương trình x2 +p2x +q1 =0.
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 103
Hãy tìm các số nguyên a,b,c,d sao cho  .  là nghiệm của phương trình x4 +ax3 +bx2 +cx+d
=0 .
Giải:
Ta gọi  ’;  ’ là các nghiệm tương ứng còn lại của (1) và (2). Để có thể liên hệ giữa các
nghiệm của phương trình , ta có thể xết đa thức sau nhận  .  làm nghiệm của nó. Đó là:
P(x) = (x-  )(x- ’  )(x-  ’)(x- ’  ’) = x4 +ax3 +bx2 +cx+d.
Đồng nhất hệ số đồng bậc ở hai đa thức ta thu được các giá trị của a;b;c;d. Chẳng hạn là hệ
số b
Ta có :
b =     ’+   ’  +   ’ ’+  ’ ’  ’
+  ’ ’ + ’   ’ .
Sử dụng định lý Vi-et cho (1) và (2) ta thu được
b= 2q1p2 +q2( 2 + ’2) +q1(  2 +  ’2)=
= 2 q1p2+q2(p12-2q1)+ q1(p22-2q2).
Ví dụ 6: ( vô địch mỹ 1977)
Giả sử a;b là hai trong 4 nghiệm của đa thức x4 +x3 -1 . Chứng minh rằng khi đó ab là
nghiệm của đa thức x6 +x4 +x3 –x2 -1.
Giải:
Giả sử các nghiệm còn lại của đa thức bậc P(x)= x4 +x3 -1 là c,d.
Theo định lý Vi-et ta có :
a+b+c+d=-1 ; abcd=-1.
Để ab là nghiệm của đa thức bậc 6 thì ta phải có:
(ab)6 +(ab)4 +(ab)3 -(ab)2 -1 =0
 0]11)()1()[()( 333  ababababab (*),
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 104
vì ab 0; cdab 
1 . Vậy nên (*) trở thành:
(ab)3 +(cd)3 +ab +cd+1=0 (**).
Nói tóm lại ta phải chứng minh (**).
Thật vậy , từ P(a) =P(b) =0. Ta có a3 = 1
1
a ; b
3 = 1
1
b ,
nên (ab)3 = )1)(1(
1
 ba = )1(
)1)(1(


P
dc =-(c+1)(d+1).
Bởi vì P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d),
nên P(-1) = (1+a)(1+b)(1+c)(1+d).
Tương tự ta có:
(cd)3 = -(a+1)(b+1).
Thay vào (** ) ta được
-(a+1)(b+1)-(c+1)(d+1)+ab+cd+1 = -1-a-b-c-d=0
( theo định lý Vi-et).
Ví dụ 7: ( Vô địch Balan 1979)
Hãy tìm tất cả các đa thức Pn(x) có hệ số nguyên và dưới dạng
Pn(x)=n!xn +an-1xn-1 ++a1x +(-1)nn(n+1)
có n nghiệm thực x1;x2; ; xn thỏa mãn điều kiện
xk [k; k+1], với k=1,2,n và n1.
Giải:
Với n=1, đa thức có nghiệm x=2 [1;2] ,nên n=1 thỏa mãn.
Với n=2 đa thức có dạng P2(x) =2x2 +a1x +6. Ta phải tìm a1 để phương trình có nghiệm thỏa
mãn
1x1 2x2  3.
Theo định lý Vi-et ta có x1+x2 = 2
1a ; x1 x2 =3. Ta suy ra a1 <0. Lại có
0x2-x1  2  0 ( x2-x1)2 4.
Lại vì ( x2-x1)2 = ( x2+x1)2 -4x1x2 = 124
2
1 a . Do đó:
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 105
0 124
2
1 a 4 48a12 64.
Tìm được a1 =-8; a1 =-7. Vậy đa thức cần tìm là
P2(x) = 2x2 -8x +6 ; P2(x) = 2x2 -7x +6
Thử lại ta thấy các đa thức này thỏa mãn.
Với n  3. Ta có :
Pn(x) = n!xn +an-1xn-1 ++a1x +(-1)nn(n+1)
= n!(x-x1).(x-x2)(x-xn) .
Cho x= 0 ta được :
(-1)nn(n+1) =n!(-1)nx1.x2xn.
Do đó
x1.x2xn = !
)1(
n
nn  = )!1(
1


n
n !2
1 nnn  .
Nhưng mặt khác vì xk [k;k+1], nên
x1.x2xn  1.2.3n =n!( vô lý).
Vậy khi n 3 không tồn tại đa thức như thế.
Ví dụ 8:
Tìm a, b nguyên để phương trình :
01234  axbxaxx (1)
Có hai trong số các nghiệm của nó có tích bằng -1.
(VMO )
Giải:
Ta để ý rằng nếu phương trình có nghiệm là x thì cũng có nghiệm là x
1 . Gọi u, v là các
nghiệm mà có tích uv 1
( vì nếu tích hai nghiệm bằng 1 thì có thể chọn là u và u
1 ).
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 106
Do đó ta gọi các nghiệm là u; v; u
1 ; v
1 . Ta sẽ chứng minh hai nghiệm có tích bằng -1 phải
là u; v.
Tức là ta phải chứng minh u.v=-1.
Thật vậy. Theo định lý Vi-et ta có:





buvu
v
v
uuv
avuvu
21
11






)2(1)(
)1()1)((
2
buv
vuuv
auv
uvvu
Giả sử rằng 1uv . Vì a, b là số nguyên nên từ (a) suy ra u+v hữu tỉ ,từ (b) suy ra (u+v)2
phải là số nguyên. Nên suy ra (u+v) cũng là số nguyên.
Vì uv+1 không chia hết cho uv nên từ (a) ta có u+v chia hết cho uv.
Cũng từ (b) ta có (u+v)2+1 chia hết cho uv.
Nhưng vì (u+v) và (u+v)2 +1 có ước chung là 1 hoặc -1 nên suy ra uv=1 hoặc uv=-1.
Vì ta giả sử 1uv nên suy ra 1uv .
Từ (1) suy ra a=0. Từ (2) ta có 22)( 2  vub .
Thử lại với 0a , 2b , Zb , phương trình trở thành :
0124  bxx (*).
Phương trình có nghiệm là: 2
42  bbu ; 2
42  bbv .
Đây là 2 nghiệm thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 9:
Cho đa thức cbxaxxxP  23)( có các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu có một
nghiệm bằng tích của hai nghiệm kia thì :
 ))0(1(2)1()1()1(2 PPPP  
(Canada 82)
Giải:
Giả sử phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn như đề bài nêu.
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 107
Ta gọi các nghiệm là u; v; uv.
Áp dụng định lý Vi-et ta có:






)3(
)2()1(
)1(
22 cvu
bvuuv
auvvu
(I).
Nếu a=-1 thì từ (1) ta có : 01  uvvu  0)1)(1(  vu .
Phương trình có nghiệm là -1 nên hiển nhiên 0)1(2 P , chia hết cho mọi số.
Nếu 1a , cộng vế theo vế (2) và (3) ta được :
)1()1( auvcbuvvuuv  ( do (1)).
Suy ra a
cbuv 
 1 là số hữu tỉ vì a,b,c là các số nguyên.
Ta có : 0)1)(1(2)1(2)1(2)0(1(2)1()1(  vuuvvuaPPP .
Mặt khác : vì ))()(()( uvxvxuxxP  nên:
)1)(1)(1(2)1)(1)(1(2)1(2 uvvuuvvuP  .
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. Cho hàm số 1
12

 x
xxy có đồ thị ( C ). Chứng minh rằng từ A (1;-1) luôn kẻ được
hai tiếp tuyến tới đồ thị và hai tiếp tuyên ấy vuông góc với nhau.
2. Cho hàm số 1
32

 x
xy có đồ thị (C). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
M(2; 5
2 ) sao cho d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B và M là trung điểm của AB.
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 108
3. Tìm m để hàm số xmxy
1 có cựa trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu tới tiệm cận
xiên bằng 2
1 .
4. Tìm m để hàm số 1
2

 x
mxxy có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ
thị hàm số bằng 10.
5. Chứng minh rằng hàm số )(2
4)12( 22
mx
mmxmxy 
 luôn có cực trị và khoảng
cách giữa chúng luôn là một hằng số.
6. Giả sử x1;x2 là hai nghiệm của phương trình x2+px-1=0 với p là số nguyên tố lẻ.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì x1n+x2n và x1n+1 +x2n+1 là các số nguyên tố cùng
nhau. (Ôlympic Balan 1964).
7. Chứng minh rằng n)83(  + n)83(  không chia hết cho 5 với mọi n.
8. Xét phương trình x3+ax2+bx+1=0; với a,b hửu tỉ.
a) chứng minh rằng với a=-5;b=3 là cặp số duy nhất làm cho phương trình có nghiệm
2+ 5 .
b) Kí hiệu x1; x2;x3 là 3 nghiệm của phương trình trên. Đặt Sn=x1n +x2n+x3n , n là số tự
nhiên. Chứng minh Sn cũng là số tự nhiên.
c) Tìm số dư phép chia S2005 cho 4.
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 109
9. Chứng minh rằng 3 3333 2
735
7
8cos7
4cos7
2cos  
10. Cho   = 4
 tan ; tan ; tan là 3 nghiệm của phương trình :
x3 +px2+qx+r =0. Chứng minh rằng p+1=q+r.
11. Chứng minh hệ thức : S= 4
7
5cos
1
7
3cos
1
7cos
1   .
12. Chứng minh rằng nếu tanu; tanv là hai nghiệm của phương trình: x2+px+q=0.
Thì sin2(u+v)+psin(u+v)cos(u+v)+qcos2(u+v)=q.
13. Chứng minh rằng nếu tanx;tany;tanz là 3 nghiệm phương trình t3+at2+bt+c=0; còn
tanu; tanv; tanw là ba nghiệm của phương trình t3+ct2+bt+a=0 thì ta có
x+y+z+u+v+w = k Zk ; .
14. chứng minh rằng :
a) cos200 là số vô tỉ.
b) tan6100+ tan6500 + tan6700 =433.
15) Hãy tìm bộ ba số hữu tỉ (a,b,c) là những nghiệm của phương trình x3+ax2+bx+c=0
( Olympic sinh viên MỸ 1940).
16) Chứng minh rằng nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình 0;2
1
2
2  pppxx , ta có bất
đẳng thức x14+x24 2+ 2 ( vô địch Bungari 1980).
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 110
17) Gỉa sử trong các nghiệm của đa thức P(x) =x3 +ax2 +bx+c, với a,b nguyên bằng tích
của hai nghiệm kia. Chứng minh rằng số 2P(-1) chia hết cho số P(1)+P(-1) -2[ 1+P(0)].
( vô địch Canada 1982).
18) Cho dãy  na với a1=a2 =1; an –an-1 -2an-2 =0; n3.
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Chứng minh rằng an+1 =2an +1 nếu n chẵn và an+1 =a1+a2++an nếu n lẻ.
19) Cho dãy (an) xác định như sau:
a1=1; a2=3; an = 3an-1 –an-2 ( n3).
a) Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có :
(an+2-2)(an-2) = (an+1 -3)2.
b) Chứng minh rằng với mọi k nguyên dương thì a2k-1 -2 là số chính phương.
20) ( Việt namMO 2002)
Cho đa thức P(x) = x3 +ax2 +bx+c=0 có 3 nghiệm thực. Chứng minh rằng
12ab+27c 6a3 +10 32 )2( ba  .
21) Giả sử ax3 +bx2 +cx+d=0 (a  0) cos nghiệm dương. Chứng minh rằng
3
23 383
a
dababc  0.
22) Giả sử phương trình x4 +ax3 +2x2 +bx+1 =0 có 4 nghiệm thực. Chứng minh rằng
a2 +b2  8.
23) Giả sử phương trình x3 –px2 +qx –p =0 với p;q >0 có ba nghiệm thực không nhỏ hơn 1.
Chứng minh rằng p ( )8
2
4
1  (q+3).
( 45 năm tạp chí toán học tuổi trẻ , bài 283)
24) Chứng minh rằng
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 111
14
5cos.14
3cos.14cos1214
5cos14
3cos14cos
222444   .
25) Giải hệ phương trình sau:






4
1111
1
txztyzxy
tzyxtzyx
xyzt
26) Giải hệ phương trình sau:











24
251111
2
91111
2
9
1
2222 tzyx
tzyx
tzyx
xyzt
PHẦN THỨ BA
PHẦN KẾT THÚC
I- KẾT QUẢ:
Sau khi ý tưởng của đề tài được thực hiện , tôi thấy đã thu được nhiều kết quả khả quan.
Cụ thể như sau:
- Về phía bản thân:
Tôi cảm thấy mình đã có cái nhìn sâu sắc và xuyên suốt hơn về định lý Vi-et. Thấy
được lợi ích to lớn của nó khi đem cho học trò áp dụng vào giải bài tập và làm bài kiểm tra,
bài thi. Bản thân cũng đã tạo cho mình một giáo trình riêng để có thể giảng dạy học sinh .
Khi đề tài được thực hiện xong, tôi đã có thể dùng một phần nào đó để giảng và lấy ví dụ
minh họa. Đặc biệt tài liệu đã hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi
ở trường THPT Phan Bội Châu.
Cũng trong khi đề tài thực hiện, tôi đã nhận được sự đóng góp nhiệt tình và quý báu từ
các đồng nghiệp. Do đó giữa chúng tôi đã có sự tích cực hơn về mặt trao đổi chuyên môn
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 112
và phương pháp. Bản thân cũng đã rút ra được nhiều kinh nghiệm từ đồng nghiệp của
mình.
- Về phía học sinh:
Khi ý tưởng mới hình thành từ những năm 2007-2008, tôi đã đem giới thiệu không
chính thức với các học sinh của mình, đặc biệt là các em trong đội tuyển học sinh giỏi. Tôi
quan sát và rút ra nhận định nếu mình trình bày những kiến thức này một cách hệ thống,
gắn kết chúng lại thì các em nhận ra bản chất vấn đề tốt hơn khi để chúng ở các dạng
riêng lẻ. Kể từ khi đề tài được tổng hợp lại, kết quả thi Đại học ( về môn Toán) và kết quả
học sinh giỏi có nhiều cải tiến. Điểm số 8; 9 về môn Toán ở kỳ thi Đại học thu hoạch được
nhiều hơn. Tất nhiên là các phần khác kinh nghiệm cũng phải được nâng lên tương ứng.
Đã bắt đầu xuất hiện học sinh đậu các giải Lương Thế Vinh. Trước đó tôi chưa từng có học
sinh đậu vòng tỉnh về môn Toán. Trong chương trình chính khóa, các em làm bài kiểm tra,
bài thi học kỳ về phần hàm số ( tiếp tuyến, cực trị ) trôi chảy hơn, kết quả cao hơn những
năm trước.
Đó là những tín hiệu khởi đầu đáng mừng của một giáo viên trẻ mới vào nghề như tôi.
Tôi tin rằng trong tương lai , với sự nổ lực của bản thân trong sự nổ lực chung của cả nhà
trường , thì những thành tích của nhà trường về dạy và học sẽ có nhiều cải tiến. Về phía
bản thân để đạt được những thành tựu mới , cần một sự nổ lực rất lớn ngay từ bây giờ.
II- VÀI LỜI KẾT :
Qua các dạng toán được đúc rút ra ở trên, thật ngạc nhiên và thú vị khi một định lý tưởng
chừng như chỉ hiện hữu trong vấn đề đa thức và phương trình, thì nay ta
thấy nó được sử dụng một cách hiệu quả ở hầu hết các mảng của Đại số và Số học. Thật là
thiếu sót nếu chúng ta chưa có một cái nhìn tổng thể về định lý Vi-et.
Sẽ còn rất nhiều mảng khác nữa mà định lý Vi-et có thể được sủ dụng tới, chẳng hạn như
Số phức hay Hình học tọa độ. Tuy nhiên do kinh nghiệm bản thân chưa nhiều nên chưa
thể có sự hệ thống trọn vẹn.
Việc tìm ra mối quan hệ thống nhất giữa các mảng của Đại số và số học nói riêng và
của Toán học nói chung là điều mà người dạy Toán và học toán luôn khao khát làm được.
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 113
Điều khiến tác giả thấy tâm đắc qua đề tài của mình là khi ta sử dụng định lý Vi-et thì
lời giải trở nên cô đọng và trong sáng. Một lần nữa tôi mong và tin tưởng đề tài này sẽ góp
thêm một phương pháp tốt cho học sinh khi làm toán.
Qua các ví dụ tác giả chắt lọc được, ta thấy rằng việc ứng dụng của định lý
Vi-et để giải bài tập xuất hiện trong đề thi rất nhiều. Bao gồm kì thi Đại học cao đẳng lẫn các
kỳ thi học sinh giỏi. Do đó thiết nghĩ việc chú trọng định lý Vi-et trong quá trình giảng dạy
học sinh là một điều cần thiết.
Do năng lực và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế , có thể các lời giải và cách trình bày
chưa thực sự hay và đặc sắc.Mong nhận được sự trao đổi từ các đồng nghiệp. Tác giả sẽ
cố gắng hoàn thiện hơn trong thời gian tới. Cuối cùng xin chân thành cảm ơn sự góp ý,
giúp đỡ chân tình của thầy cô trong tổ Toán trường THPT Phan Bội Châu, th.s Nguyễn
Quốc Vũ, Nguyễn Thị Ly Na, bạn bè , đồng nghiệp và những người yêu Toán đã giúp tôi
hoàn thành đề tài này.
MINH HÒA THÁNG 11 NĂM 2011
NGUYỄN THÀNH NHÂN
Đánh giá của Hội đồng khoa học
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 114
Tài liệu tham khảo
1) Các bài toán chọn lọc 45 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ
(NXB GD)
2) Các bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam (1990-2006), NXB GD.
3) Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học
( Trần Phương- NXB Tri Thức ).
4) Chuyên đề 2 : Số học và dãy số ( Phan Huy Khải- NXB GD)
5) Bài tập nâng cao và một số chuyên đề giải tích 11.
( Nguyễn Huy Đoan, Đặng Hùng Thắng, NXB GD)
6) Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ T2,3,4
(NXB GD).
7) Tuyển tập đề thi Olympic 30 THÁNG 4 các năm
( NXB Đại học sư phạm ).
8) Một số bài toán về dãy số trong các đề thi Olympic 30-4
( Võ Giang Giai- Nguyễn Ngọc Thu , NXB ĐHQG Hà Nội).
9) Các bài giảng luyện thi môn toán tập 1,2,3
( Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất, Tạ Mân,
NXBGD).
10) Bài tập nâng cao và một số chuyên đề giải tích 12
( Nguyễn Huy Đoan, Đặng Hùng Thắng , NXBGD)
11) Trọng tâm kiến thức giải tích 12 , Phan Huy Khải, NXB GD
12) Các chuyên đề toán phổ thông, chủ đề Hàm số
(Phan Huy Khải, NXBGD).
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 115
13) Bộ đề thi tuyển sinh đại học , môn Toán, NXB GD).
14) Đa thức và ứng dụng , Nguyễn Hữu Điển, NXB GD.
15) Báo Toán học và Tuổi trẻ.
PHỤ LỤC
1/. Phần mở đầu ................................................................................. 2.
SKKN Định lí Vi- ét và ứng dụng-----------------Nguyễn Thành Nhân
THPT Phan Bội Châu – Bình Dương 116
2/. Nội dung đề tài , giới thiệu về định lý Vi-et................................. 8
3/. Phần thứ hai: ứng dụng của định lý Vi-et..................................... 11
4/. Ứng dụng củ định lý Vi-et bậc hai................................................ 11
5/. Dạng 1: Biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm ..................................11
6/. Dạng 2: Giải hệ đối xứng kiểu 1................................................... 16.
4/. Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức.............................................. 19.
5/. Dạng 4: Khảo sát tính chất cực trị của hàm số..............................26.
6/. Dạng 5: Khảo sát tính chất tiếp tuyến........................................... 34.
7/. Dạng 6: Ứng dụng của một hệ thức truy hồi................................40.
8/. Dạng 7: Tương giao của hai đồ thị và tập hợp điểm.....................46
9/. Dạng 8: Tìm số hạng tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính
cấp hai .............................................................................................54
10/. Dạng 9: So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số.
11/. Ứng dụng của định lý Vi-et tổng quát.........................................87.
12/. Dạng 1: Ứng dụng vào giải hệ phương trình............................ .87
13/. Dạng 2: ứng dụng vào tính các biểu thức lượng giác................ 91
14/. Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức........................................... 96
15/. Một số bài tập tổng hợp ..............................................................114
16/. Phần kết thúc ...............................................................................119.
17/. Tài liệu tham khảo....................................................................... 122.
18/. Phụ lục......................................................................................... 124