Sáng kiến kinh nghiệm Định hướng giải một số dạng toán khó về hàm số trong kì thi THPT Quốc gia

a 
Lời giải
Ta có 
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng (như hình vẽ bên dưới).
Dựa vào đồ thị, suy ra 
Nhận xét:+ Trên các miền , , đường thẳng d nằm trên đường .
	 + Trên các miền , , đường thẳng d nằm dưới đường 
Lập bảng biến thiên
 hàm số đồng biến trên và . So sánh 4 đáp án Chọn B
Ví dụ 7. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số như hình vẽ.
Đặt với là tham số thực. Gọi là tập các giá trị nguyên dương của để hàm số đồng biến trên khoản . Tổng các phần tử của bằng:
A. .	B. 11.	C. .	D. 20.
Lời giải
Định hướng: Từ ví dụ 6 ta thấy nếu bài toán cho đồ thị và phương trình không giải được thì ta thường so sánh vị trí tương đối của các đồ thị, thường là đồ thị với đường bậc hai hoặc bậc nhất.
Ta có 
Đặt . Từ đồ thị và đồ thị trên hình vẽ ta suy ra 
Ta có 
Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng và 
Do vậy, hàm số đồng biến trên khoảng 
Do nguyên dương nên , tức 
Vậy tổng các phần tử của bằng 14.
Nhận xét: Đối với các dạng toán này, ta thường không đưa ra được một quy trình để giải. Trong quá trình dạy giáo viên nên định hướng, phân tích lời giải cho học sinh đúc rút kinh nghiệm, đồng thời cho học sinh rèn luyện qua các bài tập tương tự để các em phát triển được tư duy và hình thành được kỹ năng giải toán. 
Dạng 2. Biết hàm số xét cực trị của hàm số hoặc 
Định hướng: Đối với dạng toán này ta thường đạo hàm hàm số dựa vào quy tắc đạo hàm của hàm hợp và biểu thức, sau đó lập bảng biến thiên của để xác định các yếu tố về cực trị. Để làm rõ định hướng trên ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1. Cho hàm số có đạo hàm với mọi . Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 0.	B. 1.	C. 2.	D. 3.
 Lời giải.
Từ giả thiết, ta có .
Ta có bảng biến thiên của hàm số 
Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số có một điểm cực đại.
Từ đó suy ra phương án B
Ví dụ 2. Cho hàm số xác định, liên tục, có đạo hàm trên và . Khi đó hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Phân tích: Khi đếm số điểm cực trị của hàm số học sinh thường mắc sai lầm: cho rằng số nghiệm của chính là số cực trị. 
Ta có .
Mặt khác . 
Suy ra: 
. 
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có tất cả 3 điểm cực trị.
Từ BBT ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Phân tích: Khi lập bảng biến thiên, như chú ý trong dạng 1, ta cần để ý tính chất bội chẵn hay lẻ của các nghiệm. Trong ví dụ 2 ta thấy các điểm là các nghiệm bội chẵn trong biểu thức , nên qua các điểm này không đổi dấu. 
Ví dụ 3. Cho hàm số có đạo hàm , với mọi Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số có điểm cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Phân tích: Trong bài toán đếm số cực trị, cần phải nhìn thấy các nghiệm bội chẵn và tính chất nghiệm để làm đơn giản bài toán, đặc biệt là các bài toán có tham số.
Ta có , suy ra .
Suy ra.
Nhận thầy các nghiệm của (1), (2) và (3) không trùng nhau, từ biểu thức của ta thầy các nghiệm của (1) đều là nghiệm bội bậc chẵn, nên các nghiệm của (1) không thể là điểm cực trị của hàm số. 
Các phương trình (2) và (3) không thể có nghiệm trùng nhau nên hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi (2) và (3) có 2 nghiệm phân biệt khác .
 mà nguyên dương nên có giá trị.
Ví dụ 4. Cho hàm số có đạo hàm . Có bao nhiêu giá trị nguyên của không vượt quá để hàm số có đúng 1 điểm cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có: 
; 
Khi đó: .
Ta thấy nghiệm của nếu có sẽ khác . Nên là 1 cực trị của hàm số.
Đặt , ta có phương trình (2)
Do đó để hàm số có 1 điểm cực trị thì hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, hoặc 
có hai nghiệm âm. 
Từ đó suy ra hệ điều kiện: .
Kết hợp: có giá trị nguyên của .
Phân tích: Một số bài toán yêu cầu từ giả thiết là biểu thức hàm số xét cực trị của hàm số . Dạng toán này biểu thức thường có mối liên hệ với để ta có thể giải phương trình hoặc xét dấu 
Ví dụ 5. Cho hàm số có đạo hàm . Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Xét hàm số .
+ .
+ 
Ta có 
Suy ra .
 có nghiệm (không có nghiệm bội chẵn). Vậy hàm số có cực trị.
Ví dụ 6. Cho hàm số có đạo hàm , . Biết hàm số đạt cực tiểu tại . Chọn khẳng định đúng?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Xét hàm số , .
Ta có 
.
.
Hàm số đồng biến trên nên phương trình (1) nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất. Dễ thấy là nghiệm duy nhất của (1).
Ta có bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại . Vậy .
Dạng 3: Cho đồ thị, BBT của hàm số , tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng, đoạn.
Định hướng: Đối với các bài toán dạng này, ta thường căn cứ vào đồ thị để xác định BBT của trên cơ sở đó xác định được GTLN hoặc GTNN, đồng thời kết hợp thêm giả thiết đề xác định thêm yếu tố còn lại.
Ví dụ 1. Cho hàm số có đạo hàm . Đồ thị hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của trên đoạn lần lượt là
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Bảng biến thiên: 
 x
 0 2 5 
0 -	 0 + 
Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên, ta có 
Phân tích: Như vậy từ BBT ta xác định được GTNN. GTLN là một trong hai giá trị hoặc . Ta sử dụng thêm các giả thiết khác để xác định GTLN.
Vì đồng biến trên đoạn nên
Do đó , vậy , vậy đáp án là D
Ví dụ 2. Cho hàm số . Đồ thị như hình bên dưới.
Biết . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
A. . B. . C. . D. 
Lời giải
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số 
Vậy 
Từ bảng biến thiên ta có vậy 
Khi đó 
Vậy 
Khi đó .
Ví dụ 3. Cho hàm số . Đồ thị như hình bên dưới.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
A. . B. . C. . D. 
Lời giải
Phân tích: Bài toán không có thêm các giả thiết khác ngoài đồ thị, trong các trường hợp như thế này ta cần khai thác thêm các so sánh về diện tích các hình phẳng.
Từ đồ thị của , ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
Từ BBT suy ra .
Đề tìm max ta cần so sánh giá trị và , trong ví dụ 3 không có hệ thức liên hệ nào thể hiện mối quan hệ giữa và , khi đó ta thường quan sát đồ thị để đưa ra các so sánh về diện tích
Dựa vào đồ thị ta có .
. Vậy .
Ví dụ 4. Cho hàm số . Biết hàm số có đồ thị như hình vẽ .
Hỏi giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là
A..	B..	C..	D. .
Lời giải
Xét hàm số trên đoạn .
Phân tích: Ngoài đồ thị , bài toán không cho thêm các giả thiết khác, từ đó ta định hướng có thể sử dụng thêm các so sánh về thể tích, muốn vậy ta cần bổ sung thêm các cận tích phân, tương ứng là giao điểm của đồ thị với trục hoành.
Gọi a là hoành độ giao điểm của và trục hoành trên . 
Gọi b là hoành độ giao điểm của và trục hoành trên . 
Ta có bảng biến thiên của hàm số trên như sau:
 + -
Từ BBT ta sẽ so sánh giá trị và 
Mặt khác ta có .
Suy ra . Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại .
Ví dụ 5. Cho hàm số xác định và liên tục trên đoạn , có đồ thị hàm số như hình vẽ sau. 
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. . B. . C. . D. 
Lời giải
Gọi a là hoành độ giao điểm của đường cong và trục ox trên .
Ta có bảng biến thiên
Phân tích: Tuy nhiên từ bảng biến thiên vẫn không xác định được đáp án. Từ đó ta cần khai thác thêm các yếu tố khác
 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và đồ thị 
 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các thẳng và đồ thị .
 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và đồ thị 
 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và đồ thị 
Ta có: , do 
, do 
Suy ra .
Dạng 4: Cho đồ thị, hoặc bảng biến thiên của ,Tìm tiệm cận của hàm số 
Định hướng:Phương pháp giải đối với dạng toán này là sử dụng đồ thị hoặc bảng biến thiên 
Để xác định tiệm cận đứng ta cần xác định số nghiệm của phương trình và luôn chú ý đến các nghiệm chung của tử số và mẫu số.
Để xác định tiệm cận ngang ta tính 
Ví dụ 1. Cho hàm số có bảng biến thiên sau:
	 	1	 
 +
+
2	
	5
3
 Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng
 A. . B. . C. . D. . 
Lời giải
Đặt .
- Tiệm cận đứng: 
Từ BBT ta có đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
- Tiệm cận ngang:
Ta có ; 
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng .
Vậy tổng số TCĐ và TCN của đồ thị hàm số bằng .
Ví dụ 2. Hàm số xác định trên , có đạo hàm trên và có
bảng biến thiên như sau:
Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
- Tìm tiệm cận đứng:
Xét phương trình . Từ BBT ta thấy:
+ Trên , phương trình vô nghiệm
+ Trên , phương có nghiệm duy nhất 
+ Trên , phương có nghiệm duy nhất , với .
Mặt khác . (Vì khi ).
Tương tự , nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là 
hai đường thẳng ; .
Tiệm cận ngang: Nhìn vào bảng biến thiên ta có
; .
 đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng ; .
Vậy hàm số có 4 đường tiệm cận . 
Trong một số trường hợp khi tìm tiệm cận đứng ta cần chú ý xem mẫu số và tử số có nghiệm trùng nhau hay không, và bậc của các nghiệm để thực hiện việc giản ước khi tính các giới hạn. 
Ví dụ 3. Cho hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong hình bên dưới. 
Đồ thị hàm số có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta xét mẫu số: .
Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:
+) Phương trình có nghiệm (nghiệm đơn) và (nghiệm kép) .
+) Phương trình có nghiệm , và .
Do đó 
 đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng
Phân tích: Khi gặp các bài toán này có một sai lầm học sinh thường mắc phải đó là cho rằng số đường tiệm cận đứng bằng số nghiệm của phương trình . Để tính chính xác số tiệm cận đứng ta cần để ý nghiệm chung của tử và mẫu, đồng thời lưu ý tới bậc nghiệm của tử và mẫu để giản ước. Để làm rõ hơn ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 4. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây. 
Hỏi đồ thị hàm số có tổng bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 3.	B. 4.	C. 5.	D. 6.
Lời giải
Xét phương trình: 
+) Từ điều kiện không là tiệm cận đứng.
+) Từ đồ thị phương trình Suy ra 
Từ đồ thị ta có 
Suy ra 
Từ đó suy ra , suy ra đồ thị có tiệm cận ngang ;
 Mặt khác điều kiện xác định của là , suy gián đoạn tại các điểm , do đó đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng.
Vậy tổng các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 4. 
IV.Hiệu quả mang lại của sáng kiến:
	- Sáng kiến thuộc lĩnh vực phương pháp dạy học môn toán bậc trung học phổ thông. 
- Sáng kiến được áp dụng cho đối tượng là các học sinh khối 12 có năng lực khá và giỏi.
- Qua quá trình thực nghiệp được tiến hành như sau:
	+ Dạy thử nghiệm ở lớp 12 với thời gian 4 buổi (16 tiết) cho đối tượng học sinh khá và giỏi.
	+ Nhờ các đồng nghiệp ở các trường khác đang dạy các đối tượng học sinh khá và giỏi ở lớp 12 tiến hành thực nghiệm đề tài.
- Kết quả thực nghiệm: Phần lớn các em học sinh sau khi tiếp cận đề tài đã có khả năng định hướng tốt hơn về cách giải các dạng toán khó về hàm số đã nêu. Kỹ năng tiến hành giải các bài toán thuộc các dạng toán đã nêu cũng tốt hơn. 
V. Khả năng ứng dụng và triển khai: 
- Sáng kiến được áp dụng trong việc bồi dưỡng kiến thức cho học sinh khối 12 trong các trường THPT để thi HSG cũng như thi THPT QG (thi tốt nghiệm THPT).
- Đề tài có thể tiếp tục nghiên cứu để phát triển theo hướng tìm số lượng nghiệm của các phương trình dạng khi biết một số dấu hiệu của hàm hoặc .
VI. Ý nghĩa của sáng kiến: 
- Sáng kiến được áp dụng cho đối tượng là học sinh khá và giỏi của lớp 12.
- Sáng kiến góp phần rèn luyện tư duy và kỹ năng giải các bài toán về hàm số ở mức vận dụng, vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia (thi tốt nghiệm THPT) và thi học sinh giỏi.
Phần kết luận
I. Những bài học kinh nghiệm: 
Qua quá trình nghiên cứu và áp dụng sáng kiến vào dạy học bản thân tôi nhận thấy:
- Việc hướng dẫn học sinh giải các bài toán nhỏ lẻ thiếu hệ thống và dấu hiệu đặc trưng sẽ rất khó hình thành nền tảng kiến thức và kỹ năng cho các em.
- Để quá trình dạy học mang lại hiệu quả cần phải dành nhiều thời gian tìm hiểu các đề thi, các tài liệu tổng hợp nghiên cứu các dạng toán, đưa ra các định hướng giải cho mỗi dạng toán, đồng thời xây dựng hệ thống bài tập tương ứng với mỗi dạng để cũng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng cho học sinh.
- Qua quá trình thử nghiệm nhận thấy đề tài có ý nghĩa trong việc góp phần định hướng giải một số dạng toán về hàm số trong kỳ thi THPT QG cho học sinh. 
II.Những kiến nghị, đề xuất: 
Để đề tài thực sự mang lại hiệu quả tôi xin kiến nghị và đề xuất một số nội dung sau:
	- Tạo điều kiện cho các giáo viên toán trong các trường THPT tiếp cận với đề tài và áp dụng đề tài trong quá trình dạy học. 
	- Mong muốn nhận được sự phản hồi và góp ý của giáo viên và học sinh để tiếp tục mở rộng, phát triển và hoàn thiện đề tài.
PHẦN BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài tập bổ sung dạng 1. 
Bài 1.1 Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 1.2. Cho hàm số có đạo hàm . Khi đó hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 1.3. Cho hàm số có đạo hàm với . Số giá trị nguyên âm của để hàm số đồng biến trên là
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 1.4. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số đồng biến trên khoảng
A. .	B. .	C. .	D. 
Bài 1.5. Cho hàm số có Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 	B. 	C. 	D. 
Bài tập bổ sung dạng 2.
Bài 2.1. Cho hàm số có đạo hàm , . Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 2.2. Cho hàm số có . Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên không vượt quá sao cho hàm số có 7 điểm cực trị?
A. 2019.	B. 2016.	C. 2017.	D. 2018.
Bài 2.3.Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số có điểm cực trị ?
A. 15.	B. 16.	C. 17.	D. 18.
Bài 2.4. Cho hàm số có đạo hàm Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số có 3 điểm cực trị.
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 2.5. Cho hàm số có với mọi . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để hàm số có điểm cực trị?
A. 18.	B. 17.	C. 16.	D. 15.
Bài tập bổ sung dạng 3.
Bài 3.1. Cho hàm số có đạo hàm . Hàm có đồ thị như hình vẽ.
Biết rằng . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của trên đoạn .
A. .	B. .
C. .	D. .	 
Bài 3.2. Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn .
	A. .	B. .
	C. 	D. 
Bài 3.3. Cho hàm số có đạo hàm . Đồ thị hàm số được cho như hình
vẽ bên. Biết rằng . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của trên đoạn lần lượt là
A. . B. . C. . D. .
Bài 3.4. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số trên đoạn như hình vẽ bên. 
Khẳng định nào sau đây là đùng? 
A. . B. . C.. D. .
Bài 3.5. Cho hàm số xác định và liên tục trên có đồ thị của hàm được cho như hình bên dưới và , . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên . Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài tập bổ sung dạng 4.
Bài 4.1. Hàm số xác định trên có bảng biến thiên như hình vẽ sau
Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận đứng. Chọn đáp án đúng
A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Bài 4.2. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ
Tìm số giá trị nguyên để số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 4.3. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. 
Đồ thị hàm có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A..	B. .	C. .	D. .
Bài 4.4. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ 
Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 2.	B. 3.	C. 4.	D. 5.
Bài 4.5. Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình vẽ
Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận đứng?
A. .	B. .	C. .	D. .
HƯỚNG DẪN PHẦN BÀI TẬP BỔ SUNG
Bài tập bổ sung dạng 1. 
Bài 1.1. Đáp án C
Ta có .
Mặt khác ta có .
Vẽ BBT suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng .
Bài 1.2. Đáp án C
Ta có .
Mặt khác . 
Nên .
Lập bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng 
Bài 1.3. Đáp án B
Ta có .
Hàm số đồng biến trên khi , 
, 
, .
Đặt với , do .
, , , 
. Do nguyên âm nên .
Bài 1.4. Đáp án C
Tịnh tiến đồ thị hàm số sang trái đơn vị, ta được đồ thị hàm số như sau
Xét hàm số . Tập xác định .
; .
Ta có bảng biến thiên như sau
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng .
Bài 1.5. Đáp án A
Ta có 
Khi đó Lập Bảng xét dấu của hàm số . Suy ra nghịch biến trên 
Bài tập bổ sung dạng 2.
Bài 2.1. Đáp án C
Ta có: ; 
 .
Bảng xét dấu như sau:
Vậy hàm số có 5 điểm cực trị.
Bài 2.2. Đáp án C
Ta có: 
Do là nghiệm bội lẻ và là các nghiệm đơn nên để có 7 điểm cực trị thì phương trình phải có 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác , hay phương trình phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.
Kết hợp với điều kiện nguyên, không vượt quá 2018 suy ra có 2017 giá trị của .
Bài 2.3. Đáp án A
Xét 
Ta có 
Yêu cầu bài toán có nghiệm bội lẻ mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt khác 
Xét đồ thị của hàm số và hai đường thẳng (như hình vẽ).
Khi đó cắt tại bốn điểm phân biệt 
Vậy có giá trị nguyên dương thỏa.
Bài 2.4. Đáp án C
Ta có ( là nghiệm đơn; là nghiệm bội chẵn).
Ta có 
Do có nghiệm luôn là nghiệm bội chẵn; các phương trình có nghiệm không chung nhau và 
Hàm số có 3 điểm cực trị có ba nghiệm bội lẻ .
Vì . Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m bằng 3. 
Bài 2.5. Đáp án C
Theo đề bài 
Ta có ..
Ta thấy và không có nghiệm chung.
Hàm số có năm điểm cực trị khi mỗi phương trình ,có hai nghiệm phân biệt khác , suy ra .
Vậy có 16 giá trị nguyên của m để hàm số có điểm cực trị.
Bài tập bổ sung dạng 3.
Bài 3.1. Đáp án A
Ta có bảng biến thiên trên [0;4]
Dựa vào bảng biến thiên ta có .	
Mặt khác có 
MàDo vậy . 
Bài 3.2. Đáp án D
Bảng biến thiên của f(x) trên 
0
2
5
0
0
Dựa vào đồ bảng biến thiên, ta có Và 
Vì đồng biến trên đoạn nên
Do đó , vậy 
Bài 3.3. Đáp án D
Dựa vào đồ thị hàm số lập bảng biến thiên, ta có 	
Và .
Vì đồng biến trên nên.
Do đó , vậy .
Bài 3.4. Đáp án C
Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên như sau:
Ta có
.
Bài 3.5. Đáp án A
Ta có . 
Mặt khác hàm số là hàm số chẵn. 
Ta có bảng biến thiên của hàm số và .
Từ hình vẽ của đồ thị ta có .
Suy ra:.
Tương tự:
Suy ra: 
Vậy: .
Mặt khác từ bảng biến thiên hàm số ta có: .
.
Bài tập bổ sung dạng 4.
Bài 4.1. Đáp án A
Xét phương trình 
TH1: nếu thì phương trình vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
TH2: nếu thì phương trình vô nghiệm. Nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
TH3: nếu m > 0 thì phương trình 
Với : khi thì có 2 nghiệm; thì có nghiệm duy nhất
Với : do nên vô nghiệm.
Vậy để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng thì 
Bài 4.2. Đáp án B
Từ đồ thị ta có và .
Suy ra .
Xét .
Xét hàm số .
Bảng biến thiên
Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng phương trình có nghiệm phân biệt phương trình có nghiệm phân biệt.
Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện ta có .
Do nguyên nên . Vậy có số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 4.3. Đáp án C
Ta thấy phương trình bậc ba có 3 nghiệm phân biệt là , . với và .
Và phương trình bậc ba có nghiệm kép và nghiệm đơn với .
Do và nên không mất tính tổng quát, ta giả sử
 và .
Ta có: .
Khi đó: .
...
. không tồn tại.
Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng là ; ; ; .
Bài 4.4. Đáp án C
Từ đồ thị ta có 
 đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng.
Lại có là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận.
Bài 4.5. Đáp án A
Hàm số xác định . 
Xét 
.
* Với . Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt .
Từ điều kiện thì phương trình có 1 nghiệm .
* Với . Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt .
Từ điều kiện thì phương trình có 2 nghiệm và và cả 2 nghiệm này đều khác .
Suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 [1]. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2008), Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn Toán, Hàm Số, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội.
[2]. Đề thi và đáp án chính thức kỳ thi THPT QG các năm 2018, 2019 môn Toán của Bộ GD&ĐT.
[3]. Một số đề thi thử THPT QG của các trường THPT trên cả nước
[4]. Trần Phương (2012), Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn Toán, Hàm Số, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội.
[5]. Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Hữu Trí, Lê Bích Ngọc (2006), Bộ đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng môn Toán, Nxb Hà Nội
[6]. Lê Xuân Sơn, Lê Khánh Hưng (2014), Phương pháp hàm số trong giải Toán, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội.