Sáng kiến kinh nghiệm Định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt

( Đề thi HSG toán 12 Tỉnh Bình Định năm 2019-2020) 
Định hướng: Ta thấy 1 3
3 3 3
2 2 2 2cos 2cos 2cos
4 8 2
u
  
      
2 1 4
3 3 3
2 2 2cos 2cos 2cos
8 16 2
u u
  
      
Tương tự: 3 5
3 3
2cos 2cos
32 2
u
 
  
Ta chứng minh được: 
2
3
2cos
2
n n
u


 bằng phương pháp quy nạp 
Suy ra   2
3
lim 2 2 lim 2 2 2cos
2
n n
n n
u


 
   
 
3
3
3
3
sin
3 3 32lim 2 .2sin lim .
32 4 4
2
n
n
n
n

  




 
  
    
   
 
Như vậy bài toán được giải quyết. 
Ví dụ 3: Cho dãy số  nu thỏa mãn: 
1
*
1 1
1
1 2 . ,n n n
u
u u u n N 


   
Tìm số hạng tổng quát nu theo n ? 
 ( Đề thi HSG toán THPT Tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019) 
Định hướng: 
Từ giả thiết, ta suy ra 1, 1nu n   
Ta có: 
2
1 1 1 11 2 . 1 2 .n n n n n nu u u u u u        
 2 2 2 21 1 12 . 1 1 *n n n n n n n nu u u u u u u u           
Để làm mất căn thức trong biểu thức  * , ta đặt: cot , 0; , 1
4
nu n

 
 
    
 
(do 1, 1nu n   ). 
 34 
Khi đó:  
2
1
2
1 1 2* cot cot
sin sin 2
2sin
2 2
n
cos
cos
u
cos

 

  


      
Vì 1 2 32 3 41 cot cot cot cot ; cot4 2 8 2 2
u u u
    
       ; 
Từ đó, ta tìm được công thức tổng quát của dãy số 
1
cot , 1
2
n n
u n


   
Như vậy bài toán được giải quyết. 
Ví dụ 4: Cho dãy số  nu thỏa mãn: 
1
2
*
1
3
3
1 1
,
n
n
n
u
u
u n N
u





    


Tìm công thức số hạng tổng quát nu theo n ? 
 ( Đề thi HSG toán 12 TP Hà Nội năm 2019-2020) 
Định hướng: Ta thấy, trong công thức truy hồi xuất hiện 2 1nu  nên ta nghĩ 
đến phép thế lượng giác để khử căn. 
Từ giả thiết, suy ra 
2
1 1
2
1 1
1 1
1 1
n n
n
n n
u u
u
u u
 
 
 
 
 
mà 21 1 1
3
0; 1 1 0 1, 1
3
n n nu u u u n           
Đặt tan , 0; , 1
4
nu n

 
 
    
 
Khi đó: 
2
1
1
1 2sin
1 2 tan
tan sin 2
2sin
2 2
n
coscosu
cos

 
  



    
Ta có: 1 21 2
3
tan tan tan tan ,...
3 6 3.2 12 3.2
u u
   
      
Ta chứng minh được tan , 1
3.2
n n
u n

   bằng phương pháp quy nạp toán học. 
Vậy tan , 1
3.2
n n
u n

   
Như vậy bài toán được giải quyết. 
 35 
Ví dụ 5: Cho dãy số  nu thỏa mãn: 
1
*
1
2 1
1
,
2
n
n
u
u
u n N
  

 
  

Hai dãy số    , wn nv xác định như sau: 
  1 2 34 1 ;w . . ... , 1
n
n n n nv u u u u u n     . Tìm các giới hạn lim ;limwn nv 
 ( Đề thi HSG toán 12 TP Hải Phòng năm 2019-2020) 
Định hướng: Ta thấy, để tìm các giới hạn yêu cầu, ta đi tìm công thức số 
hạng tổng quát nu của dãy số  nu . 
Từ công thức truy hồi của dãy số  nu , ta suy ra: 0 1, 1nu n    
Chọn 0;
2


 
 
 
 sao cho 12 1cos u    
2
1
2 2
cos
u cos
 
   , do 0;
2


 
 
 
Tương tự: 
3 2
1
2
2 4 2
cos
u cos cos

 

   
Bằng quy nạp, ta chứng minh được 
1
, 1
2
n n
u cos n


   
Từ đó ta tính được lim ;limwn nv 
Bài toán được giải quyết. 
Ví dụ 6: Cho dãy số  nu thỏa mãn: 
1
2
1
1
2
2 1, 1n n
u
u u n



    
Tìm công thức số hạng tổng quát nu theo n ? 
Định hướng: Từ công thức truy hồi: 21 2 1n nu u   , ta nghĩ đến công thức 
lượng giác: 22 1 2cos cos   
Ta có: 1
1
2 3
u cos

  
2 2 2
2 32 1 2. ; 2 2. 1 2 . ;...
3 3 3 3
u cos cos u cos cos
        
           
     
Ta chứng minh được bằng quy nạp: 12 . , 1
3
n
nu cos n
    
 
Bài toán được giải quyết. 
Ví dụ 7: Cho dãy số  nu thỏa mãn: 
1
2
1
3
2 1, 1n n
u
u u n


   
 36 
Tìm công thức số hạng tổng quát nu theo n ? 
Định hướng: Ở bài này, khi 
1 3 1u   thì không tồn tại  để 3cos  . Khi 
đó bài toán được giải quyết như thế nào? 
Ta tìm 1
3 2 21 1 1
0: 6
2 3 2 2
a
a u a a
a a a
   
        
   
Ta chọn 
1 1
3 2 2 3 2 2
3 2 2
a
a
     

Khi đó, ta có: 
2
2
2 2
1 1 1 1
2. 1
4 2
u a a
a a
   
       
   
2
2 4
3 2 4
1 1 1 1
2. 1
4 2
u a a
a a
   
       
   
 Bằng quy nạp, ta chứng minh được: 
1
1
2
2
1 1
, 1
2
n
nnu a n
a


 
    
 
    
1 12 21
3 2 2 3 2 2 , 1
2
n n
nu n
 
 
       
 
Nhận xét: Từ ví dụ 6, 7 trên, ta có các bài toán tổng quát như sau: 
1) Cho dãy số  nu thỏa mãn: 
1
2
1 2 1, 1n n
u a
u u n


   
Tìm công thức số hạng tổng quát nu theo n ? 
Định hướng: 
Nếu 1a  : đặt 
1u cos . Khi đó ta có: 
12 , 1nnu cos n
   
Nếu 1a  : đặt 
1
1 1
2
u a
a
 
  
 
, trong đó 0a  
Khi đó, a là nghiệm của phương trình: 2 12 1 0a u a   . 
Ta có: 
2
2
2 2
1 1 1 1
2. 1
4 2
u a a
a a
   
       
   
2
2 4
3 2 4
1 1 1 1
2. 1
4 2
u a a
a a
   
       
   
Bằng quy nạp, ta chứng minh được: 
1
1
2
2
1 1
, 1
2
n
nnu a n
a


 
    
 
 37 
Vậy bài toán được giải quyết. 
2) Cho dãy số  nu thỏa mãn: 
1
2
1 , 1n n
u a
u bu c n


   
 , trong đó 2bc   
Tìm công thức số hạng tổng quát nu theo n ? 
Định hướng: 
+) Nếu 1 2b c     dãy số đã cho trở thành: 
1
2
1 2, 1n n
u a
u u n


   
Khi đó, ta đặt 
2
2
1 2 2
1 1 1
2u a u a a
a a a
 
        
 
2
2 4
3 2 4
1 1
2u a a
a a
 
     
 
Bằng quy nạp, ta chứng minh được 
1
1
2
2
1
, 1
n
nnu a n
a


    
 +) Nếu 1b  : 
Tìm cách đưa công thức truy hồi về dạng 1) ở trên. 
Đặt 11n n
u a
u cv v
c c
       
 Từ công thức truy hồi, ta suy ra: 
 
2 2 2 2 2
1 12 2 1, 1n n n n n ncv b cv c bc v c cv c v v n               
Bài toán đã được giải quyết. 
3) Cho dãy số  nu thỏa mãn: 
1
3
1 4 3 , 1n n n
u a
u u u n


   
Tìm công thức số hạng tổng quát nu theo n ? 
Định hướng: 
Nếu 1a  : đặt 
1u cos . Khi đó, bằng quy nạp ta chứng minh được: 
 3 , 1nnu cos n   
Nếu 1a  : đặt 
1
1 1
2
u a
a
 
  
 
, trong đó 0a  . Tương tự dạng 1) ở trên, ta 
chứng minh được: 
1
1
3
3
1 1
, 1
2
n
nnu a n
a


 
    
 
 Ví dụ 8: Dãy số  nu thỏa mãn: 
1
2
1
3
2, 1n n
u
u u n


   
 38 
 Chứng minh  
2
1 25 ... 4nu u u  là số chính phương. 
 (Đề thi chọn HSG Tỉnh Nghệ An năm 2020-2021) 
Định hướng 1: 
Đặt đặt 1
1
u a
a
  , trong đó 0a  và 
1,a u cùng dấu. 
Ta có phương trình: 2
3 5
2
3 1 0
3 5
2
a
a a
a
 

   
 


Chọn 
3 5 1 3 5 1
; 5
2 2
a a
a a
 
     
Ta có: 
2
2
2 2
1 1
2u a a
a a
 
     
 
2
2 4
3 2 4
1 1
2u a a
a a
 
     
 
Bằng quy nạp, ta chứng minh được: 
1
1
2
2
1
, 1
n
nnu a n
a


    
Khi đó: 
1
1
2 2
1 2 2 2
1 1 1
... ...
n
nnu u u a a a
a a a


   
       
    
1
1
2 2
2 2
1 1 1 1
...
1
n
n
a a a a
a a a a
a
a


    
        
     

1
1
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
...
1 1
n n
n n
a a a a
a a a a
a a
a a


   
       
     
 
Suy ra:  
2
2
22
1 2
1
5 ... 4 5 4
1
n
n
n
a
au u u
a
a
 
 
   
  
 
  
2 2
22 2
12 2
1 1
4
n n
n n na a u
a a

   
        
   
Vì 
*, 1nu N n   nên ta suy ra điều phải chứng minh. 
 39 
Định hướng 2: 
Từ công thức truy hồi, ta suy ra: 
 2 4 2 2 4 2 2 21 14 4 4 4 4n n n n n n n nu u u u u u u u          
   2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 24 . . 4 . . 4n n n n n n n nu u u u u u u u           
   
1 1 1
22 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2. . ... 4 5. . . ... 5 ...n n n n n n nu u u u u u u u u u u u       
 
2 2
1 2 15 ... 4n nu u u u    là số chính phương. 
Nhận xét: Ở ví dụ này, có thể giải theo 2 định hướng trên. Tuy nhiên, nếu bài 
toán yêu cầu tìm số hạng tổng quát của dãy số hay các yêu cầu liên quan đến việc 
tìm số hạng tổng quát của dãy số thì ta thực hiện theo định hướng 1. 
Từ các định hướng giải trên, ta có thể đưa ra bài toán mới như sau: 
Dãy số  nu thỏa mãn: 
1
2
1
3
2, 1n n
u
u u n


   
 Tìm 1
1 2
lim
...
n
n
u
u u u
 ? 
Ở bài toán này, ta làm tương tự ví dụ 8 
Từ    
2
2 2 1
1 2 1 1 2 1
4
5 ... 4 ... , 4, 1
5
n
n n n n
u
u u u u u u u u n 

       
1 1
2
1 2 1
lim lim 5
... 4
5
n n
n n
u u
u u u u
 

  

2.3.3. Một số phương pháp tổng hợp tìm công thức số hạng tổng quát của 
dãy số. 
Ta có thể gặp những dãy số cho bởi các công thức truy hồi không có các dạng 
đặc biệt ở trên, nhưng bằng các kĩ năng biến đổi, phân tích, đặt dãy số phụ, ta có 
thể đưa các dãy số đó về một trong các dạng đặc biệt đã đưa ra ở trên hoặc về dạng 
đặc biệt nào đó mà ta đã biết cách giải. 
Ví dụ 1: Cho dãy số  nu thỏa mãn: 
1 2
2 1
1, 2
2 1 1
, 1
n n n
u u
n
u u u 
 


   

Tìm công thức số hạng tổng quát nu theo n ? 
 ( Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2020 - 2021) 
Định hướng: 
Ta phân tích : 
2 1 2 1 1
2 1 1 1 1 1 1
2
n n n n n n nu u u u u u u    
   
         
   
 40 
Đặt 
1
1
1 1 1
, 1 , 1
2
n n n
n n
v n v v n
u u


         
 nv là CSN có 1
1
2
v   , công bội 
1
2
q   
Từ 
1
1 1
n
n n
v
u u
  , ta có: 1
2 1
1 1
v
u u
  , 2
3 2
1 1
v
u u
  , , 1
1
1 1
n
n n
v
u u


  
1
1 2 1 1
1
1
1
1 1 12
... 1
3
2
n
n
n n
v v v v
u u u


 
  
          
1
1
1
2
1 1 1 2
1 1
3 2 3
n
n
nu


 
              
   
1
3
, 1
1
2
2
n n
u n

   
 
  
 
Vậy 
1
3
, 1
1
2
2
n n
u n

  
 
  
 
Nhận xét: Ở ví dụ này, ta đã sử dụng kết hợp phương pháp đặt dãy số phụ và 
phương pháp cộng dồn các số hạng của một CSN để tìm được công thức số hạng 
tổng quát của dãy số đã cho. 
Ví dụ 2: Cho dãy số  nu xác định như sau: 
   
1 2
2
1 1 1 1
1
1,
2
1 1 , 1n n n n n n
u u
n n u u nu u n u u n   

 

      
Tìm công thức số hạng tổng quát nu theo n ? 
 ( Đề thi HSG Tỉnh Bình Dương năm 2020 - 2021) 
Định hướng: Ta có thể phân tích, biến đổi công thức truy hồi đã cho về dạng 
tương tự công thức truy hồi của ví dụ 1. 
Ta có:    
2
1 1 1 11 1n n n n n nn n u u nu u n u u       
   
2
1 1 1 11 1 0n n n n n nn n u u n u u nu u         
   1 1 11 1n n n n nn u nu n u nu u          
 
 
1
1 1
1 1
1
n n
n n n
nu n u
nu u n u

 
 
 
 
 41 
  1 1
1 1 1
1 n n n
n
n u u nu 

   

 ( công thức có dạng tương tự công thức truy 
hồi của dãy số ví dụ 1 ở trên) 
   1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1n n n n n n n nn u u nu u n u u nu u   
       
 
Đặt  1
1
1 1
, 2n n n n
n n
v v v n v
nu u


       là một dãy số không đổi 
2n  
Mà 2
2 1
1 1
0
2
v
u u
   , suy ra 0nv  , 2n  
1
1 1
0
n nnu u 
   
        
1 2 3 2 22 1...
1 1 2 1 2 3 ...3 ! !
n n n
n
u u u u u
u
n n n n n n n n n n n n
         
     
Vậy 
1
, 1
!
nu n
n
   
Ví dụ 3: Cho dãy số  nu xác định như sau: 
1
2
1
2
, 1
2 1
n
n
n
u
u
u n
u




   
 Tìm công thức số hạng tổng quát nu theo n ? 
 ( Đề thi HSG Tỉnh Phú Yên năm 2020 - 2021) 
Định hướng: Từ công thức truy hồi, ta có thể nghĩ đến cách biến đổi đưa dãy 
số về dạng tương tự ví dụ 1 bằng cách nghịch đảo 2 vế của công thức truy hồi. 
Ta có: 
2
1 2
1
1 2 1
2 1
n
n
n n n n
u
u
u u u u


   

Khi đó, đặt 21
1
, 1 2n n n n
n
v n v v v
u
       
Đến đây, ta thấy có thể làm xuất hiện bình phương ở vế phải, ta biến đổi như 
sau:  
22
1 12 1 1n n n n nv v v v v         
Đặt 21 1 1
1
1, 1 1 ; , 1
2 n
n n nx v n x v x x n             
Ta có: 
1 2 1
2 2 4
2 3;x x x x x      
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được: 
1
1
1
2
2 1 , 1
2
n
n
nx x n

  
       
 
 42 
1 1
1 1
2 2
2 2
1 1 1 2
1 1 1 , 1
2 2 2 1
n n
n nn n n
n
v x u n
v
 
 
 
              
  
Bài toán được giải quyết. 
Ví dụ 4: Cho dãy số  nu xác định như sau: 
1
2
1
1
3 2, 1n n
u
u u n


   
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số  nu . 
b) Tính tổng 2 2 2 2
1 2 3 2020...S u u u u    
 ( Đề thi HSG Tỉnh Cà Mau năm 2020 - 2021) 
Định hướng: Từ công thức truy hồi, ta có thể nghĩ đến cách bình phương 2 
vế để mất căn. 
a) Ta có:  2 2 2 2 21 1 13 2 3 2 1 3 1n n n n n nu u u u u u           
Đặt  2 11 3n n n n nv u v v v     là CSN có 1 2v  , công sai 3q  
Khi đó: 1 12.3 2.3 1, 1n nn nv u n
       
b) Từ công thức số hạng tổng quát, ta có: 
 2 2 2 2 2 2019 20201 2 3 2020... 2 1 3 3 ... 3 2020 3 2021S u u u u            
Bài toán được giải quyết. 
Ví dụ 5: Cho dãy số  nu xác định như sau:  
1
1
4
1
4 4 1 2 , 1
9
n n n
u
u u u n



     
Tìm công thức số hạng tổng quát nu theo n ? 
 (Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2019 - 2020) 
Định hướng: Làm xuất hiện bình phương của một biểu thức ở vế phải của 
công thức truy hồi. 
 1 1
1
4 4 1 2 9 4 4 1 2
9
n n n n n nu u u u u u          
1 118 2 8 8 1 2 18 9 2 1 8 1 2 16n n n n n nu u u u u u             
   
*
02
1 19 2 1 1 2 4 3 2 1 2 1 4
nu
n n n n
n N
u u u u

 
 
          
Đặt 1 1
1 4
2 1 3 4
3 3
n n n n n nv u v v v v         
Ta đưa về dãy số dạng 1, mục 2.3.1 đã có cách giải. 
Bài toán được giải quyết. 
Ví dụ 6: Cho dãy số  nu xác định như sau: 
 43 
1
2
1
1
14 56, 1n n n
u
u u u n


    
Tìm công thức số hạng tổng quát 
nu theo n ? 
Định hướng: Làm xuất hiện bình phương của một biểu thức ở vế phải của 
công thức truy hồi. 
 
22 2
1 1 114 56 7 14 49 7 7n n n n n n n nu u u u u u u u              
Đặt 2
17 , 1n n n nv u v v n      
       
1 1
2
2 2 22 2
1 1... 6 *
n n
nn n
v v v v
 

       
  
12
7 6 , 1
n
nu n

      
Bài toán được giải quyết. 
Nhận xét: Phương pháp tìm công thức 
nv ở  * thường gọi là phương pháp 
hàm lặp. 
Ví dụ 7: Cho dãy số  nu xác định như sau: 
1
2
1
1
1
, 1
2
n n n
u
n
u u n


 
   

Tìm công thức số hạng tổng quát 
nu theo n ? 
 ( Đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên năm 2019 - 2020) 
Định hướng: Từ công thức truy hồi, ta có thể nghĩ đến cách bình phương 2 
vế để mất căn. 
 2 2 2 2 21 1 1
1 1
2 2 1 1
2 2
n n
n n n n n nn n
n n
u u u u u u n  
 
         
Nhân 2 vế của  1 với 2, ta có: 1 2 212 2.2 2 2
n n
n nu u n

     2 
Ta tìm  g n sao cho:    2 2 1 2n g n g n    
Giả sử    1 2 2g n an b g n an a b an a b n            
 
2
2 4
4
a
g n n
b
 
    
 
Khi đó, từ  2 ta suy ra: 
     1 2 2 1 2 21 12 2 6 2. 2 2 4 2 2 1 4 2. 2 2 4n n n nn n n nu n u n u n u n              
Đặt 2 12 2 4, 1 2 , 1
n
n n n nv u n n v v n         
Như vậy bài toán được giải quyết. 
 44 
PHẦN III. KẾT LUẬN 
3.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với 
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 
3.1.1. Đối với hoạt động giáo dục học sinh 
Đề tài có tính hiệu quả và thực tiễn cao trong công tác giáo dục học sinh. 
Trang bị tốt cho các em những hướng tư duy cơ bản, các năng lực tự học, năng lực 
giải quyết vấn đề, năng lực tư duy lập luận logic, khi đứng trước một bài toán 
khó, phức tạp. Đồng thời rèn luyện cho các em những kỹ năng cần thiết khi thực 
hiện giải toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số thông qua các phương 
pháp đặt dãy số phụ, phương pháp quy nạp, phương pháp thế lượng giác. 
Qua việc tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi tỉnh năm học 2019 - 2020; năm 
học 2020 - 2021 tại trường, tôi thấy tầm quan trọng và tính hiệu quả của việc định 
hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy 
số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt, 100 % các em đều làm đúng câu dãy số 
trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm học 2020 - 2021. 
Kết quả khảo sát bài kiểm tra đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh của trường năm 
học 2019-2020 khi chưa áp dụng đề tài như sau: 
Lần kiểm tra Số học sinh 
Số học sinh làm 
được câu dãy số 
Tỉ lệ 
1 5 1 20 % 
2 5 2 40 % 
3 5 1 20 % 
Kết quả khảo sát bài kiểm tra đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh của trường năm 
học 2020 -2021 khi áp dụng đề tài như sau: 
Lần kiểm tra Số học sinh 
Số học sinh làm 
được câu dãy số 
Tỉ lệ 
1 3 2 66,7 % 
2 3 3 100 % 
3 3 3 100 % 
Từ kết quả khảo sát, ta thấy, sau khi được trang bị cho các em các kĩ năng, 
phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số, các em làm bài tốt hơn, 
biết vận dụng linh hoạt kiến thức được học vào giải toán dãy số. Qua đó ta thấy 
 45 
được hiệu quả của việc vận dụng SKKN áp dụng vào giảng dạy, làm cho các em tự 
tin, hứng thú và say mê tìm tòi trong học tập. 
3.1.2. Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 
Đề tài giúp bản thân nâng cao trình độ chuyên môn cũng như nghiệp vụ sư 
phạm, trang bị cho bản thân thêm công cụ để giải toán và giáo dục học sinh. Đề tài 
đã được tổ Toán- Tin góp ý và đánh giá cao trong công tác giảng dạy, tham gia bồi 
dưỡng học sinh giỏi. Góp phần quan trọng trong phong trong nghiên cứu khoa học 
của tổ chuyên môn. Đề tài được công khai rộng rãi đến tập thể học sinh trong 
trường, giúp các em có thêm tư liệu để ôn tập, từ đó nâng cao chất lượng giảng dạy 
và giáo dục của nhà trường. 
3.2. Kiến nghị 
Đối với Sở Giáo dục: 
Kính mong Sở giáo dục và đào tạo tiếp tục chỉ đạo công tác nghiên cứu khoa 
học, triển khai những sáng kiến có chất lượng trong toàn tỉnh đến các trường THPT 
để chúng tôi học hỏi rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và giáo dục học 
sinh 
Đối với nhà trường: 
Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi về 
chuyên môn, xây dựng các tiết dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh, phải xem 
sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn là công việc để trau dồi về chuyên môn, tự học tập 
lẫn nhau giúp nhau cùng tiến bộ. 
Để đề tài thực hiện tốt thì cần có những buổi sinh hoạt, seminar về toán học 
để các em học sinh bày tỏ quan điểm của mình cũng như tự giúp các em phát hiện 
ra phương pháp giải thông qua các bài toán. 
Đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót và để hoàn thiện hơn nữa, 
tác giả rất mong được sự bổ sung và góp ý chân thành của các đồng nghiệp. 
 46 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Sách giáo khoa, sách bài tập đại số 11 cơ bản và nâng cao. 
2. Sách giáo viên toán 11. 
3. Các đề thi học sinh giỏi Tỉnh của các tỉnh, thành phố trong nước, đề thi học 
sinh giỏi Quốc Gia và đề thi thử THPT quốc gia. 
4. Báo toán học & Tuổi trẻ. 
5. Đề thi Olympic 30/4. 
6. Tài liệu tập huấn dạy học và kiểm tra đánh giá kết quả học tập theo định 
hướng phát triển năng lực cho học sinh. 
7. Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT môn Toán, tập 1 của các tác giả: Hà 
Duy Hưng, Nguyễn Sơn Hà, Nguyễn Ngọc Giang, Lê Minh Cường, Nxb 
ĐHQGHN. 
8. Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT môn Toán, tập 2 của tác giả: Trịnh 
Khắc Quân, Nxb ĐHQGHN. 
9. Phương pháp dạy học môn Toán của Nguyễn Bá Kim, Nxb ĐHSP. 
10. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể 2018 của Bộ Giáo Dục. 
11. Một số bài toán chọn lọc về dãy số, Nguyễn Văn Mậu, NXBGD 2003.