Sáng kiến kinh nghiệm Dãy số

 sinh lớp 11 đã học hết chương III và IV tức là khi đã nghiên cứu khá đầy đủ về dãy số và giới hạn của dãy số theo chương trình trung học phổ thông không chuyên tôi cho học sinh lớp 11A2 và 11A5 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong giờ tự chọn nâng cao với đề kiểm tra như sau:
Câu I (3 điểm) Cho dãy số xác định bởi: . 
Hãy tìm giới hạn 
Câu II (3,5 điểm) Tìm công thức thu gọn tính theo biết:
Câu III (3,5 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi: 
Với đáp án và thang điểm như sau :
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
 I 
 (3đ)
 Theo đề suy ra 
1.0
Cộng theo vế đẳng thức trên ta được
1,0
Vậy 
1,0
 II
(3,5đ)
Ta có ,
thay lần lượt bới 1, 2, 3, , ta được :
Cộng các đẳng thức trên theo vế ta được 
1,5
Ta có (theo cấp số cộng)
0,5
Và (học sinh phải chứng minh đẳng thức này theo quy nạp)
1,0
0,5
 III 
(3,5 đ)
 Theo đề bài 
Ta nghĩ đến 
Mà nên ta phải có 
Đặt và 
2,0
 là cấp số nhân có công bội 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
1,5
Chó ý: NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®­îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh­ ®¸p ¸n quy ®Þnh.
Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau: 
 Điểm
 Lớp
1 – 2,5
3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
Lớp 11A2
( 50 HS )
4,0%
20%
60%
12%
4,0%
Lớp 11A5
( 49 HS )
6,1%
30,6%
51,3%
10%
2%
Học sinh có điểm kiểm tra thấp như trên vì các lí do sau :
Câu I. – Một số học sinh không có lời giải
- Một số học sinh có lời giải tương tự đáp án nhưng tính toán không chính xác
Câu II. – Nhiều học sinh không có lời giải
- Một số học sinh có các giải tương tự đáp án trên nhưng tính toán không chính xác hoặc chưa đi đến kết quả cuối cùng hoặc 
Câu III. – Hầu hết học sinh không có lời giải
- Một số ít học sinh rất chăm học đã làm nhiều bài tập trong Sách bài tập Cơ bản và Nâng cao đã có dự đoán và chứng minh theo quy nạp được đẳng thức như đáp án
- rát ít học sinh có cách giải như đáp án.
3. Các phương pháp đã tiến hành
 Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 11A2 năm học 2012 – 2013 khi dạy chương III và IV tức là phần dãy số và giới hạn của dãy số với một số tiết tự chọn nâng cao tội đã tiến hành triển khai việc thực hiện đề tài sáng kiến này. Nhưng vì thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em thảo luận, trao đổi và về nhà nghiên cứu tìm lời giải. Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải. Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng.
 Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của mình thành ba phần sau:
- Dãy số với phương pháp quy nạp toán học
- Dãy số quy về cấp số cộng và cấp số nhân
- Bài tập về dãy số trong một số đề thi Học sinh giỏi. 
PHẦN I: DÃY SỐ VỚI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bài 1. hãy chứng minh các đẳng thức sau: 
a) (1) 
b) (2)
c) (3)
 Ba bài tập trên là các bài toán rất cơ bản dễ dàng giải quyết theo phương pháp quy nạp. 
Ta thực hiện lời giải cho ý b).
Bước 1: Khi thì (2)
Vậy (2) đúng với 
Bước 1: Giả sử đẳng thức (2) đúng với tức là 
 (giả thiết quy nạp)
Ta phải chứng minh (2) đúng với tức là phải chứng minh:
 (*)
Thật vậy. Vế trái của (*) bằng 
 suy ra (*) đúng
Theo nguyên tắc quy nạp suy ra đẳng thức (2) đúng 
Các ý a) và c) được chứng minh hoàn toàn tương tự
 Từ bài tập trên ta có lời giải khá đẹp cho các bài tập sau đây:
Bài 2. Rút gọn các biểu thức biểu thức  
a) 
b) 
Giải
a) ta có 
Khi 
Khi 
Khi 
Khi 
Cộng theo vế đẳng thức trên ta được
b) ta có 
Khi 
Khi 
Khi 
Khi 
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
Bài 3. Tìm công thức tính giá trị của các biểu thức sau theo 
a) 
b) 
c) 
d) 
Giải 
a) ta có 
Khi 
Khi 
Khi 
Khi 
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
b) ta có 
Khi 
Khi 
Khi 
Khi 
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
Vậy 
Từ đó dễ dàng dự đoán được công thức tính tổng và 
c) 
d) 
Tổng và được chứng minh theo phương pháp quy nạp.
 Trong quá trình giải quyết các bài toán trên ta đã khai thác khá sau các đẳng thức (1), (2) và (3) đã nêu trong bài 1 nhưng có học sinh lại đặt ra câu hỏi nếu không biết đến các đẳng thức (1), (2) và (3) thì bài toán được giải quyết như thế nào ? Vấn đề này có thể giải quyết như sau :
Đặt 
Và 
Trừ hai đẳng thức trên theo vế suy ra
Vậy 
Tương tự như vậy
Và 
Trừ hai đẳng thức trên theo vế suy ra
Vậu 
Theo cách đó ta sẽ tìm được 
Đến đây ta sẽ sử dụng các tổng ,vàđể xây dựng các đẳng thức (2) và (3)
Từ 
 (đây là đẳng thức (2) đã nêu)
Từ 
Ta có 
Khi 
Khi 
Khi 
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
Mà suy ra
(đây là đẳng thức (3) đã nêu)
Bài 4. Tìm công thức thu gọn tính theocủa các dãy số 
a) 
b) ; 
c) 
d/ 
e) 
Giải 
a) ta có 
Khi 
Khi 
Khi 
Khi 
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được 
b) ta có 
Khi 
Khi 
Khi 
Khi 
Cộng đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được
c) ta có 
Khi 
Khi 
Khi 
Khi 
Cộng đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được
d) ta có
Khi 
Khi 
Khi 
Khi 
Cộng đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được
e) ta có 
Khi 
Khi 
Khi 
Cộng đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được
Bài 5. Tìm số hạn tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi dưới đây
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Giải
a) Theo đề bài suy ra ;
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
Mà 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
b) Từ công thức truy hồi suy ra 
Từ đó ta có 
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
c) Từ công thức truy hồi suy ra 
Từ đó ta có 
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
Mà 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
d) Theo đề bài suy ra ;
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
Mà 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
e) Từ công thức truy hồi suy ra
... ...
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
 (*)
Từ đề bài và (*) ta lại suy ra
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài tập tương tự
1. Tìm cồng thức thu gọn tính theocủa các dãy số 
a) 
b) 
c) 
d) 
2. Tìm số hạn tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi dưới đây
a) 
b) 
c) 
d) 
PHẦN II: DÃY SỐ QUY VỀ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
 Trước hết ta giải quyết một số bài toán rất cơ bản để khai thác định nghĩa và tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân
Bài 1. Cho dãy số xác định bởi công thức: 
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra là một cấp số cộng có và công sai nên số hạng tổng quát là 
 Vậy 
Bài 2. Cho dãy số xác định bởi công thức: 
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải 
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra là một cấp số nhân có và công 
bội nên số hạng tổng quát là 
Vậy 
Bài 3. Cho dãy số xác định bởi công thức: 
 . Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Theo đề bài suy ra 
... ...
Cộng đẳng thức trên theo vế suy ra 
Trong đó 
Và tổng là tổng số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ nhất , công bội 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là 
Bài 4. Cho dãy số có . 
Tìm a để là cấp số cộng.
Giải
Theo đề bài suy ra 
Dãy số là cấp số cộng 
Ta phải thử lại
Với thì theo đề bài suy ra 
Nên là cấp số cộng với cồng sai 
Bài 5. Cho dãy số có : với 
Tìm a để () là cấp số nhân
Giải 
Theo đề bài suy ra 
Dãy số là cấp số nhân 
Lưu ý là phải thử lại
+) với thì theo đề bài suy ra 
nên là cấp số nhân có công bội 
+) với thì theo đề bài suy ra 
nên là cấp số nhân có công bội 
Vậy dãy số là cấp số nhân khi 
Bài 6. Cho dãy số có số hạng tổng quát .
Đặt . Hãy rút gọn theo 
Giải 
Ta có 
Trừ theo vế hai đẳng thức trên ta được
Theo công thức tổng các số hạng của cấp số nhân suy ra 
 Vậy 
Nhận xét: 
 Với cách làm như trên ta có bài toán tương tự đối với dãy số , trong đó là các hằng số bất kì cho trước.
Chẳng hạn: Rút gọn biểu thức với 
 Trên cơ sở của cấp số cộng và cấp số nhân và cách tư duy tương tự các bài trên ta sẽ giải quyết một số bài toán về dãy số khá phức tạp dưới đây mà bản thân nó không phải cấp số cộng hoặc cấp số nhân
Bài 7. Cho dãy số xác định bởi công thức: 
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải 
Ta xét 
Két hợp với đề bài 
Vậy 
Đặt và 
Suy ra dãy số là cấp số nhân có , công bội 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Theo cách giải của bài toán trên ta có thể tìm được số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi có dạng: 
Trong đó là các hằng số đã cho, là đa thức theo biến số n
* Nếu ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong phần I
* Nếu ta phải tìm một đa thức có bậc bằng bậc của sao cho phương trình 
Khi đó việc tìm sẽ trở thành tìm trong đó dãy số là một cấp số nhân
Bài 8. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi
a) 
b) 
c) 
Giải
a) Theo đề bài suy ra 
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
b) Từ đề bài suy ra là đa thức bậc nhất ẩn nên ta xét đa thức sao cho 
Mà nên ta phải có 
Do đó 
Đặt và 
Suy ra là cấp số nhân có , công bội 
 mà 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
c) Từ đề bài suy ra là đa thức bậc hai ẩn nên ta xét đa thức sao cho 
Mà nên ta phải có
 suy ra 
Do đó 
Đặt và 
Suy ra là cấp số nhân có , công bội 
 mà 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài tập tương tự: 
Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi 
a) 
b) 
c) 
Bài 9. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi 
Giải 
Cách 1. Theo đề bài suy ra 
Cộng đẳng thức trên theo vế ta được
Trong đó tổng là tổng số hạng đầu của một cấp số nhân có phần tử thứ nhất , công bội 
Xét 
Trừ theo vế hai đẳng thức trên suy ra 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là 
Cách 2. Xét hàm số sao cho 
Mà nên ta phải có 
Do đo 
Đặt và 
Suy ra là cấp số nhân có , công bội 
 mà 
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là 
Chú ý: Dãy số thỏa mãn 
 Tương tự cách giải của bài tập 8 và 9 ta có thể tìm được số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hôi như sau:
Trong đó là các hằng số đã cho, là một đa thức theo biến số n
Với một số lưu ý sau:
* Nếu ta sẽ tìm đa thức có bậc bằng bậc của cộng với 1 sao cho . Khi đó ta sẽ đưa về bài toán tìm số hạng tổng quát của một cấp số nhân.
* Nếu và , ta có đề bài với cách giải tương tự bài tập số 8.
* Nếu , , ta sẽ tìm đa thức có bậc bằng bậc của sao cho . 
* Nếu , ta sẽ tìm đa thức có bậc bằng bậc của cộng với 1 sao cho . 
 Vấn đề này được thể hiện rất rõ ràng qua các ví dụ sau đây theo thứ tự tương ứng
Bài 10. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi 
Giải
Theo đề bài , bậc bằng 2 bậc bằng 3
Xét sao cho 
Mà nên ta phải có 
Do đó 
Đặt và 
Suy ra là cấp số nhân có , công bội 
mà 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là 
Chú ý: bài tập này có thể giải theo cách của bài số 8a.
Bài 11. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi 
Giải
Theo đề , bậc của bằng 2 suy ra bậc của bằng 2
Xét sao cho: 
Mà nên ta phải có 
 và 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 12. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi 
Giải 
Theo đề , bậc của bằng 2 suy ra bậc của bằng 2
Xét hàm số sao cho 
Mà nên ta phải có 
 và 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 13. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi 
Giải 
Theo đề , bậc của là 1 suy ra bậc của là 1
Xét hàm số sao cho 
Mà nên ta phải có 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 14. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi 
Giải
Theo đề , bậc của là 1 suy ra bậc của là 2
Xét hàm số sao cho
Mà nên ta phải có 
Và 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 15. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi 
Giải
Theo đề , bậc của bằng 1 bậc của bằng 1
Xét sao cho: 
Mà nên ta phải có :
 và 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài tập tương tự
Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 Bây giờ ta sẽ xét một bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách quy về cấp số nhân theo một khía cạnh khác 
Bài 16. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi
Giải
Từ giả thiết suy ra 
Do đó 
Cộng theo vế đẳng thức trên ta được
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 17. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi
Giải
Theo đề bài suy ra 
Đặt và 
Xét sao cho 
Mà nên ta phải có 
 và 
Đặt và 
Do đó là cấp số nhân có công bội nên 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
 Theo cách tư duy của các bài tập nêu trên ta có thể tìm được số hạng tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi có dạng sau:
Trong đó là các số thực cho trước, ; và là các đa thức theo biến số tự nhiên . 
Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số cho bới công thức truy hồi:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
PHẦN III : MỘT SỐ BÀI TẬP DÃY SỐ THI HỌC SINH GIỎI
 Sau đây là những bài tập về dãy số được trích ra từ một số đề thi Học sinh giỏi để học sinh tham khảo qua đó nhận thấy việc thực hiện lời giải không quá phức tạp trong khi nhìn đề bài có vẻ rất phức tạp.
Bài 1. (Học sinh giỏi Hà Nội 2012 – 2013)
Cho dãy số xác định bởi .
1) Chứng minh rằng dãy số giảm và bị chặn.
2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số .
Giải
1) Ta có , 
Giả sử (giả thiết quy nạp)
Ta sẽ chứng minh (*)
Theo công thức truy hồi, (*) (vì )
đúng (vì )
Vậy suy ra bị chặn dưới
+) Xét hiệu (vì )
giảm
bị chặn trên
 Vậy dãy số giảm và bị chặn.
2) Từ 
Đặt và 
Từ đó suy ra , , , 
Gải sử (giả thiết quy nạp)
. Do đó 
Mà 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số là 
Bài 2 . (Học sinh giỏi Hà Nội 2011 – 2012)
Cho dãy số thỏa mãn . Hãy tìm 
Giải 
Theo đề bài ta có 
Cộng theo về đẳng thức trên ta được
 Vậy 
Bài 3. (Học sinh giỏi Hà Nội 2011 – 2012)
Cho dãy số thỏa mãn: . 
Chứng minh rằng: 
Giải
Theo đề bài suy ra 
Cộng theo vế các đẳng thức trên theo vế ta được
Và 
Ta phải chứng minh 
Ta sẽ chứng minh tăng và không bị chặn trên
+) Ta có 
Giả sử (giả thiết quy nạp)
Xét (*)
Bất đẳng thức (*) (vì )
Vậy (*) đúng 
Theo nguyên tắc quy nạp suy ra tăng và 
+) giả sử bị chặng trên . Đặt 
Mà 
 hoặc (cả hai nghiệm này đều bị loại)
Vậy không bị chặng trên 
Do đó 
Bài 4. (Học sinh giỏi Hà Nội 2010 – 2011)
Cho dãy số xác định bởi . Đặt 
Tìm .
Giải 
Ta có 
+) Xét là tổng số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ nhất công bội 
+) 
Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: 
 ta có 
Vậy 
Bài 5. (Học sinh giỏi Hà Nội 2009 – 2010)
Cho dãy số xác định bởi trong đó là số hoán vị của phần tử, là số chỉnh hợp chập của phần tử. Đặt 
Tìm .
Giải
Ta có , 
Bài 6. Cho dãy số xác định bởi 
Với là số thực dương cho trước. Hãy tìm 
Giải
Theo đề bài , 
Giả sử (giả thiết quy nạp)
Ta sẽ chứng minh (*)
Theo đề bài (*) đúng (theo giả thiết quy nạp).
Vậy dãy số tăng và 
Vì tăng 
Mà 
Do đó dãy số tăng và bị chặng trên 
Đặt và 
Mà 
 (vì ). Vậy 
Bài 7. (Học sinh giỏi Hà Tây 2004 – 2015)
Cho dãy số xác định bởi 
Hãy tìm 
Giải
Ta có 
Theo đề bài 
Giả sử (giả thiết quy nạp)
Ta sẽ chứng minh (*)
Theo đề bài, (*) đúng (theo giả thiết quy nạp). 
Vậy dãy số tăng 
Ta lại chứng minh không bị chặn trên.
Giả sử bị chặn trên . Đặt và 
Mà 
 loại) suy ra giả sử bị chặn trên là sai 
Do đó . 
 Vậy 
Bài 8. Cho dãy số có : 
Tìm số hạng tổng quát 
Giải
Theo đề bài 
Đặt và 
Do đó là một cấp số nhân có công bội 
Nên 
Mà suy ra 
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 9. Cho dãy số có: 
Tìm số hạng tổng quát 
Giải
Từ 
Đặt và 
Suy ra là cấp số nhân có công bội 
Nên 
Mà 
 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là 
Bài 10. (Học sinh giỏi Việt Nam 2001)
Cho dãy số xác định bởi: và 
với mọi . Hãy tính tổng 2001 số hạng đầu tiên của dãy số
Giải
Cách 1. Theo đề bài 
Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh được 
 Vậy 
Cách 2. Từ 
Nên ta có 
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được
Từ đó 
Bài 11. (Học sinh giỏi Việt Nam 1991)
Cho dãy số xác định bởi:
Đặt . Chứng minh rằng là một số chính phương
Giải 
Giả sử (giả thiết quy nạp)
Ta sẽ chứng minh 
Thật vậy, theo đề bài 
Theo giả thiết quy nạp 
Theo nguyên tắc quy nạp suy ra 
Và 
 Vậy là một số chính phương
Nhận xét:
 Trong khi giải các bài tập về dãy số nêu trên ta thấy cách biến đổi khá đa dạng, đội khi có phép biến đổi rất khéo không tự nhiên. Nhưng việc tính toán một số phần tử đầu của dãy số sau đó dự đoán và chứng minh theo phương pháp quy nạp xem ra khá tốt.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số bài tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có được sự kết luận toàn diện nên giữa học kì II năm học 2012 – 2013 khi học sinh đã học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tôi đã cho các lớp 11A2, 11A5 làm bài kiểm tra 45 phút với đề bài tương tự phần khảo sát thực tiễn chỉ thay đổi về mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết quả thu được. 
 Trong đó lớp 11A2 là lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài còn lớp 11A5 là lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài. 
 Sau khi chấm bài kiểm tra tôi thu kết quả với mức điểm được tính phần trăm như sau: 
Lớp thực nghiệm 11A2 (50 học sinh) 
Lớp đối chứng 11A5 (50 học sinh)
 Điểm
Lớp
1 1 – 2,5
3 3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 – 10
 Lớp 11A2
0%
2%
18%
20%
60%
 Lớp 11A5
4%
28%
52%
14%
2%
 Căn cứ vào kết quả kiểm tra. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của lớp thực nghiệm và lớp còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội dung đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 11 có cái nhìn bao quát về cách giải các bài toán về dãy số thuộc chương trình trung học phổ thông không chuyên giúp các em tự tin hơn khi đứng trước các bài toán về dãy số đồng thời góp phần làm cho học sinh thấy hứng thú hơn nữa với môn Toán vì trong đó thường có các phép thế tuyệt đẹp các suy luận rất rất logic.
III. KẾT LUẬN
 Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 11 trong một số giờ tự chọn nâng cao, chủ yếu là hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày. Tôi thấy các em học sinh đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán về dãy số và các phép biến đổi trong dãy số sẽ góp phần đáng kể nâng cao khả năng tư duy đó là một yêu cầu rất cần thiết đối với người học Toán nói riêng và học môn tự nhiên nói chung.
 Tôi rất vui vì nhiều năm gần đây tôi và các bạn đồng nghiệp trong trường và một số trường lân cận đã viết sáng kiến kinh nghiệm đều nhận thấy rằng việc chấm sáng kiến kinh nghiệm rất khách quan, chính xác, việc phổ biến sáng kiến trong nhà trường đều góp phần khích lệ tinh thần làm việc và say mệ nghiên cứu.
 Với thời gian ngắn, tuổi nghề chưa nhiều nên việc thực hiện đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
Xác nhận của Hiệu trưởng trường Trung học phổ thông Mĩ Đức A.
Hà Nội ngày 5 tháng 3 năm 2013
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này do tôi tự viết chứ không phải đi sao chép. Nếu sai tôi xin chịu mọi trách nhiệm! 
 Tác giả 
 Nguyễn Hà Hưng 
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo viên, Sách giáo khoa và Sách bài tập Đại số, Giải tích 11 theo chương trình chuẩn và chương trình nâng cao của nhà xuất bản Giáo Dục.
Chuyên đề chọn lọc Dãy số và áp dụng của tác giả Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) – Nhầ xuất bản giáo dục.
Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông của tác giả Hoàng Chúng – Nhà xuất bản Thành phố Hồ Chí Minh.