Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học theo chuyên đề: Cực trị hình học và ứng dụng

2 3 3 2 .w i w i+ - £ - + Gọi 
( )2C là tập hợp các số phức z thỏa mãn 2 4 1.z i- + £ Giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức P w z= - bằng 
 A. 2 3 1.- B. 2 3 1+ . C. 3 2 1- . D. 3 2 1+ . 
Lời giải:Đặt ( ); , , , .z x yi w a bi x y a b= + = + Î ¡ 
Ta có 
+) 2 3 3 2w i w i+ - £ - + 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 3 3 2 0.a y a b a bÛ + + - £ - + + Û - £ 
 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức w thuộc nửa mặt 
phẳng bờ : 0x yD - = và kể cả bờ (miền tô đậm như 
hình vẽ). Gọi miền này là ( )1 .C 
+) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 4 1 2 4 1 2 4 1.z i x y i x y- + £ Û - + + £ Û - + + £ Tập hợp điểm 
N biểu diễn số phức z là hình tròn ( )2C có tâm ( )2; 4 ,I - bán kính 1.R = 
Khi đó biểu thức P z w MN= - = là khoảng cách từ một điểm thuộc ( )1C đến 
một điểm thuộc ( )2C . 
Từ đó suy ra [ ]min , 3 2 1.P d I R= D - = - Chọn C. 
4. Đường tròn và đường tròn 
Câu 9. Xét các số phức 1 2, z z thỏa mãn 1 4 1z - = và 2 2 1.iz - = Giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 1 22P z z= + bằng 
 A. 2 5 2.- B. 4 2.- C. 4 2 3.- D. 4 2 3.+ 
Lời giải: 
 Đặt ( )3 2 1 2 1 2 1 32 2 2 .z z P z z z z z z= - Þ = + = - - = - 
Từ 3 2 2 3
1
2
2
z z z z= - Þ = - , thay vào 2 2 1iz - = ta 
được 3 3
1
2 1 4 2.
2
iz z i- - = Û - = 
Gọi , A B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức 3 1, .z z 
+) 3 4 2z i A- = Þ Î đường tròn tâm ( )0;4 ,I bán kính 
3 1.R = 
+) 1 4 1z B- = Þ Î đường tròn tâm ( )4;0 ,J bán kính 
1 1.R = 
41 
Khi đó 
min 1 2
1 3
max 1 2
4 2 3
.
4 2 3
P IJ R R
P z z AB
P IJ R R
ìï = - - = -ïï= - = Þ í
ï = + + = +ïïî
Chọn C. 
Cách 2. Biến đổi 
2
2 2 2 2
2 2
2 1 1 1 2 1 2 4 2.
iz
iz z z i z i
i i
-
- = Û = Û - = Û + = Û + = . 
Ta có ( ) ( ) ( )1 2 1 22 4 2 4 4 4P z z z z i i= + = - + + + - 
( ) ( )2 1 2 12 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 2 3.z i i z i z i z³ + + - - - ³ - - + - - = -
 Câu 10.Có bao nhiêu giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa 
mãn . 1z z = và 3z i m- + = ? 
 A. 0. B. 1 . C.2 . D. 3 . 
Lời giải:Gọi A là điểm biểu diễn cho số phức .z 
+)
2
. 1 1 1z z z z= Û = Û = AÞ Î đường tròn( )1C có 
tâm ( )0;0 ,O bán kính 1 1.R = 
+) Ta thấy 0 3m z i= Þ = - không thỏa mãn . 1z z = 
nên suy ra 0.m > 
+) 3z i m- + = AÞ Î đường tròn ( )2C có tâm 
( )3; 1 ,I - bán kính 2 .R m= 
Nhận thấy 12OI R= > suy ra I nằm ngoài ( )1C 
Để có duy nhất số phức z thì ( )1C và ( )2C tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong, 
điều điều này xảy ra khi 1 2
2 1
1 2 1
.
1 2 3
OI R R m m
R R OI m m
é é é= + + = =
ê ê êÛ Û
ê ê ê= + = + =ë ëë
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn. 
Chọn C. 
5. Elip 
Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn 
4 4 10z z    . 
Tổng của giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của 
z bằng 
 A. 6. B. 10. 
C. 5. D.8. 
Lời giải:
42 
Gọi      1 2; , , , 4;0 , 4;0M a b a b F F ¡ là điểm biểu diễn của số phức , 4,4z  
Ta có :   1 24 4 , 4z z MF z MF       
1 24 4 10 10.z z MF MF       
Theo định nghĩa đường Elip thì tập hợp M là đường Elip có hai tiêu điểm là 
1 2,F F :
2 24,2 10 5, 3c a a b a c       . Phương trình  
2 2
: 1.
25 9
x y
E   
Mặt khác 3 5z OM b z a z       
Vậy z đạt Min bằng 3 và đạt Max bằng 5. Chọn D. 
Câu 12. Cho số phức z thỏa mãn    2 1 2 1 6z i z i      . Tổng của giá trị nhỏ 
nhất và lớn nhất của z bằng 
A.
5 5 2
.
2
-
 B. 
5 5 2
.
2
+
 C. 5 5 2.- D. 5 5 2.+ 
Lời giải: 
Đặt ; ,z x yi x y   ¡ 
   2 1 2 1 6z i z i     
       
2 2 2 2
2 1 2 1 6x y x y         
Gọi      ; , 2;1 , 2;1M x y A B 
Ta có 6MA MB  . Suy ra tập hợp M là 
elip có hai tiêu điểm là A, B 
2 2
2 6 3
2 4 2
5
a a
c c
bb a c
  
 
   
 
  
Phương trình elip là : 
 
22 1
1
9 5
yx 
  tâm 
đối xứng là  0;1I 
Ta có 5 1 5 1z OM IM OI b OI Min z m           đạt được khi 
 0;1 5M E  
Xét 
 
 
2
2 2 2 2
1
9 1
5
y
z x y y f y
 
       
  
   
18 8 18
' 2 1
5 5 5
f y y y y

     
 
9 9 180
' 0
4 4 4
f y y f
 
      
 
180 3 5
ax
16 2
M z M    
Vậy 
5 5 2
.
2
M m

  Chọn A. 
43 
6. Một số dạng tổng hợp khác 
( lấy đối xứng, tâm tỷ cự, cân bằng hệ số) 
Câu 13.Xét các số phức ( ) ;z a bi a b= + Î ¡ thỏa mãn 5 3 1 5 .z i z i- - = - + 
Khi biểu thức 2 2 3 7P z i z i= - - + + - đạt giá trị nhỏ nhất thì a b+ bằng 
 A. 1.- B.0. C. 1. D. 2. 
Lời giải: 
Đặt z x yi= + ( ), .x y Î ¡ 
Từ suy ra tập hợp điểm ( );M x y biểu diễn số phức z là 
đường thẳng : 2 1.x yD + = 
Khi đó 2 2 3 7P z i z i MA MB= - - + + - = + với 
( ) ( )2;2 , 3;7 .A B - 
Gọi C là điểm đối xứng của A qua đường thẳng ,D khi đó 
ta tìm được ( )0; 2C - và phương trình đường thẳng 
: 3 2 0.BC x y+ + = 
Ta có .P MA MB MC MB BC= + = + ³ Dấu '' ''= xảy ra 
khi khi ( )1;1M BC M= ÇD Þ - 
1
0.
1
a
a b
b
ì = -ïïÞ Þ + =í
ï =ïî
Chọn B. 
Câu 14.Xét các số phức z thỏa mãn 1 2 3 2.z i+ - = Gọi , m M lần lượt là giá 
trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức 
2 2
3 2 2 2 .P z i z i= - + - - - Tổng 
m M+ bằng 
 A. 30.- B. 12.- C. 14. D. 68. 
Lời giải: 
 Từ 1 2 3 2z i+ - = Þ tập hợp điểm M biểu diễn 
số phức z là đường tròn ( )C có tâm ( )1;2 ,C - bán 
kính 3 2.R = 
Ta có 
2 2 2 23 2 2 2 2P z i z i MA MB= - + - - - = - 
với ( ) ( )3; 2 , 2;1 .A B- 
Trong mặt phẳng Oxy chọn điểm I thỏa 
( )
2 10
2 0 1;4 .
10
IA
IA IB I
IB
ìï =ï- = Þ Þ í
ï =ïî
uur uur r
Có ( ) ( )
2 2
2 22 2MA MB MI IA MI IB- = + - +
uuur uur uuur uur
( )2 2 2 22 2 2 20 .MI MI IA IB IA IB MI= - + - + - = -
uuur uur uur
44 
Do đó 
22
min 2min max
22
max min
max 1
20 20 30
20 20 18
P IM CI RP MI
P MI P IM CI R
ìïì = - = - + = -Ûï ïï ïÞí í
ï ïÛ = - = - - =ï ïî ïî
30
12.
18
m
m M
M
ì = -ïïÞ Þ + = -í
ï =ïî
Chọn B. 
Câu 15. Xét các số phức z thỏa mãn 1.z = Giá trị lớn nhất của 
1 2 1T z z= + + - bằng 
 A.2 5. B. 2 10. C. 3 2. D. 3 5. 
Lời giải: Từ 1z = suy ra tập hợp điểm M biểu diễn 
số phức z là đường tròn ( )C có tâm ( )0;0O , bán kính 
1.R = 
Gọi ( ) ( )1;0 , 1;0 .A B- Nhận thấy AB là đường kính 
của ( )C nên 2 2 2 4.MA MB AB+ = = 
Khi đó 
( )( )2 2 2 22 1 2 5.4 2 5.T MA MB MA MB= + £ + + = = Chọn A. 
Nhận xét. Bài này rơi vào trường hợp đặc biệt là AB là đường kính của đường 
tròn. 
Nếu bài toán hỏi giá trị nhỏ nhất thì ta có đánh giá 2 .MA MB MA+ ³ Dấu '' ''= 
xảy ra khi và chỉ khi .M Bº Khi đó ( )min 2 .MA MB AB+ = 
Để cụ thể hóa, chúng tôi đưa ra hệ thống bài tập trắc nghiệm nhằm làm tư 
liệu tham khảo cho giáo viên, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng làm bài, đáp 
ứng cho kỳ thi Trung học phổ thông Quốc gia ( các đáp án đúng được gạch 
chân). 
Câu 1.Tìm số phức z sao cho  3 4 5z i   và biểu thức 
2 2
2P z z i    đạt 
giá trị lớn nhất. 
A. 2z i  . B. 5 5z i  . C. 2 2z i  . D. 4 3z i  . 
Câu 2.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
2 3
1 1.
3 2
i
z
i
 
 

 Giá trị lớn nhất của z 
bằng 
A. 3 . B. 2 . C. 2 . D. 1. 
45 
Câu 3.Cho các số phức 1 1 3z i  , 2 5 3z i   . Tìm điểm  ;M x y biểu diễn số 
phức 3z , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng 
2 1 0x y   và mô đun số phức 3 2 13 2w z z z   đạt giá trị nhỏ nhất. 
 A.
3 1
;
5 5
M
 
  
 
. B.
3 1
;
5 5
M
 
 
 
. C.
3 1
;
5 5
M
 
 
 
. D.
3 1
;
5 5
M
 
 
 
. 
Câu 4.Gọi  H là tậphợp tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ 0xy biểu diễn 
số phức  , ,z a bi a b  ¡ thỏa mãn 2 2 1a b a b    . Diện tích hình  H bằng 
A. 
3 1
4 2

 . B. 
4

. C. 
1
4 2

 . D. 1. 
Câu 5.Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ 
Oxy sao cho 2 3z z  , và số phức z có phần ảo không âm. Diện tích hình H 
bằng 
A. 3 . B. 
3
4

. C. 
3
2

. D. 6 . 
Câu 6. Cho số phức z thỏa điều kiện  2 4 2z z z i   . Giá trị nhỏ nhất của 
z i bằng 
 A. 2. B.1. C. 3. D. 4. 
Câu 7.Xét số phức z thỏa mãn 2 4 2 .z i z i    Tìm giá trị nhỏ nhất của z 
 A. 4. B.2 2. C. 10. D. 8. 
Câu 8.Cho số phức z thỏa mãn 
2 2
4
1 1
   
 
iz iz
i i
. Gọi M và n lần lượt là 
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tích .M n bằng 
 A. 2 . B. 1. C. 2 2 . D. 2 3 . 
Câu 9.Cho số phức ( , ; 0, 0)z a bi a b a b    ¡ . Đặt đa thức   2 2f x ax bx   . 
Biết  1 0f   , 
1 5
4 4
f
 
 
 
. Giá trị lớn nhất của z bằng 
A. 2 5 . B. 3 2 . C. 5 . D. 2 6 . 
Câu 10.Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và 
22
z
w
z


 là số thực. 
Giá trị lớn nhất của biểu thức 1P z i   là 
A. 2 2 . B. 2 . C. 2 . D. 8 . 
46 
Phần III. Kết luận 
Tóm lại, chuyên đề này sẽ đưa ra một số ý tưởng về việc phát triển tư duy 
sáng tạo cho học sinh nhờ bài toán cực trị hình học. Thông qua việc lựa chọn ví 
dụ một cách phù hợp, chuyên đề đã cho thấy việc tương ứng 1-1 xuất hiện như 
thế nào , được phát hiện ra sao được xử lý theo cách nào trong một bài toán cực 
trị hình học. 
Chuyên đề cũng đưa ra được một số hướng mở để có thể tiếp tục hoàn 
thiện và phát triển. Chẳng hạn: 
+ Tiếp tục khai thác cực trị hình học phẳng ở các phần như hệ thức lượng 
trong tam giác, trong đường tròn. 
+ Khai thác cực trị hình học không gian: góc, khoảng cách, thể tích và 
hình học giải tích .Oxyz .. 
 Chuyên đề cực trị hình học trong mặt phẳng và ứng dụng là một chuyên 
đề đòi hỏi nhiều kiến thức, bao gồm cả kiến thức Hình học, kiến thức Đại số và 
kiến thức Tọa độ phẳng Có những bài toán phải sử dụng các tính chất đã được 
chứng minh trong hình học phẳng cấp 2 để giải, có bài toán lại quy về bài toán 
đại số để giải và có bài toán phải kết hợp cả kiến thức Đại số và Hình học. Vì 
vậy để giải tốt các bài toán thuộc chuyên đề này đòi hỏi học sinh phải nắm vững 
kiến thức của cả ba phần đó. Đề tài này đã hệ thống một cách cô đọng kiến thức 
của các phần đó và xây dựng được một hệ thống các bài toán đa dạng, minh họa 
cho các tình huống thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc 
gia . Qua thực tế giảng dạy, học sinh đã nắm chắc kiến thức, không còn tâm lý e 
ngại khi giải các bài toán thuộc chuyên đề này, đa số học sinh đã dám làm và 
làm được. 
Chuyên đề được áp dụng khá rộng rãi ở các khối lớp 9, 10, 11 và 12 của 
các trường THPT. Áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, từ học sinh trung bình 
khá đến học sinh giỏi.Tùy theo đối tượng, trình độ học sinh mà người sử dụng 
có thể khai thác, mở rộng, tăng độ khó, dễ cho phù hợp. Trong hai năm học qua, 
chuyên đề đã được áp dụng tại một số trường trong và ngoài thành phố Vinh,tác 
giảđã trao đổi, thảo luận với nhiều đồng nghiệp trong và ngoài tỉnh, tiếp thu 
nhiều ý kiến hay để hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này. Qua đây, tác giả xin 
cám ơn sự động viên, giúp đỡ của các đồng nghiệp trong và ngoài tỉnh. 
 Việc áp dụng SKKN này đã góp phần tạo nên những thành quả đáng ghi 
nhận trong hai năm học qua. Ở đây, tác giả xin nêu lên một số kết quả đã đạt 
được tại nơi tác giả trực tiếp triển khai áp dụng sáng kiến, cụ thể như sau: Từ kết 
quả cao của học sinh giỏi Tỉnh đến kết quả thi trung học phổ thông quốc gia 
môn Toán năm 2019, 2020 các lớp được áp dụng sáng kiến đạt kết quả rất cao. 
Đặc biệt hơn, SKKN này là tài liệu ôn thi THPT Quốc gia các năm 2019, 2020, 
2021 được rất nhiều đồng nghiệp trong và ngoài tỉnh quan tâm và số đông học 
sinh cũng được học tập tài liệu này. 
47 
Về cách thức thực hiện, chúng tôi đã tiến hành vận dụng phương pháp 
dạy học khám phá và nội dung bài học như trong SKKN đã trình bày đối với lớp 
thực nghiệm và không áp dụng đối với lớp đối chứng. 
 Các tiết dạy thực nghiệm là một số tiết ôn tập về chuyên đề cực trị hình 
học trong mặt phẳng và ứng dụng. Sử dụng các bài tập trong hệ thống bài tập đã 
xây dựng ở mỗi chương. Giáo viên đã tổ chức được các hoạt động khám phá cho 
học sinh trong giờ học, sử dụng phương pháp dạy học hợp lí. Học sinh có khả 
năng tiếp thu và nắm được cách làm một số dạng bài tập về cực trị hình học 
trong mặt phẳng và ứng dụng. Bằng các hoạt động khám phá học sinh có thể 
giải phần lớn các bài tập trong SKKN. 
 Sau đợt thực nghiệm, học sinh nắm bắt và vận dụng được các hoạt động 
trí tuệ cơ bản trong toán học như phân tích, so sánh, tương tự...hạn chế được 
những khó khăn , sai lầm khi giải các bài toán về cực trị hình học trong mặt 
phẳng và ứng dụng, phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện 
nay. 
Qua bài kiểm tra ta thấy lớp thực nghiệm có kết quả cao hơn lớp đối 
chứng. Điều đó chứng tỏ rằng phương pháp này đã tác động rất hiệu quả tới quá 
trình học tập của học sinh. 
Bài toán về cực trị hình học trong mặt phẳng và ứng dụng ở mức độ vận 
dụng thấp và vận dụng cao là một mảng khó trong đề thi học sinh giỏi Tỉnh, thi 
trung học phổ thông quốc gia . Thông qua các bài toán được sắp xếp một cách 
có chủ định với mục đích tăng dần liều lượng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến 
phức tạp, đã từng bước kích thích niềm say mê học toán của học sinh. 
 Kết quả thu được sau khi áp dụng sáng kiến này là học sinh THPT tự tin 
hơn khi giải bài toán về Tọa độ phẳng và ứng dụng trong các đề thi học sinh giỏi 
Tỉnh, THPT Quốc gia. Các em học sinh có định hướng tốt hơn hướng giải của 
các bài toán đó và hoàn thành tốt bài thi của mình. 
Tuy nhiên, trong thời gian hạn hẹp, cũng như dưới góc độ nhìn nhận của 
một cá nhân, chắc chắn chuyên đề vẫn còn một số khiếm khuyết. 
Xin nhận được các ý kiến đóng góp của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp, 
những ai quan tâm đến chuyên đề để chuyên đề tiếp tục được hoàn thiện. 
Tôi xin chân thành cảm ơn! 
Nghệ An, tháng 03/2021 
48 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Sách giáo khoa Hình học 10 ( cơ bản và nâng cao ), NXB giáo dục, 2015. 
[2]. Sách giáo khoa giáo khoa chuyên toán Hình học10, NXB giáo dục, 2012. 
[3]. Tài liệu chuyên toán - Bài tập Hình học10, NXB giáo dục, 2012. 
[4]. Sách giáo khoa Giải tích 12 ( cơ bản và nâng cao ), NXB giáo dục, 2015. 
[5]. Nguyễn Phú Khánh , Ngân hàng đề thi môn Toán, NXB Đại học quốc gia 
Hà Nội, 2015 . 
[6]. Tạp chí toán học tuổi trẻ 
[7]. Các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT trên toàn quốc. 
[8]. Các đề thi học sinh giỏi Tỉnh . 
49 
Phần III. Kết luận 
Tóm lại, chuyên đề này sẽ đưa ra một số ý tưởng về việc phát triển tư duy 
sáng tạo cho học sinh nhờ bài toán cực trị hình học. Thông qua việc lựa chọn ví 
dụ một cách phù hợp, chuyên đề đã cho thấy việc tương ứng 1-1 xuất hiện như 
thế nào , được phát hiện ra sao được xử lý theo cách nào trong một bài toán cực 
trị hình học. 
Chuyên đề cũng đưa ra được một số hướng mở để có thể tiếp tục hoàn 
thiện và phát triển. Chẳng hạn: 
+ Tiếp tục khai thác cực trị hình học phẳng ở các phần như hệ thức lượng 
trong tam giác, trong đường tròn. 
+ Khai thác cực trị hình học không gian: góc, khoảng cách, thể tích và 
hình học giải tích .Oxyz .. 
 Chuyên đề cực trị hình học trong mặt phẳng và ứng dụng là một chuyên 
đề đòi hỏi nhiều kiến thức, bao gồm cả kiến thức Hình học, kiến thức Đại số và 
kiến thức Tọa độ phẳng Có những bài toán phải sử dụng các tính chất đã được 
chứng minh trong hình học phẳng cấp 2 để giải, có bài toán lại quy về bài toán 
đại số để giải và có bài toán phải kết hợp cả kiến thức Đại số và Hình học. Vì 
vậy để giải tốt các bài toán thuộc chuyên đề này đòi hỏi học sinh phải nắm vững 
kiến thức của cả ba phần đó. Đề tài này đã hệ thống một cách cô đọng kiến thức 
của các phần đó và xây dựng được một hệ thống các bài toán đa dạng, minh họa 
cho các tình huống thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi THPT Quốc 
gia . Qua thực tế giảng dạy, học sinh đã nắm chắc kiến thức, không còn tâm lý e 
ngại khi giải các bài toán thuộc chuyên đề này, đa số học sinh đã dám làm và 
làm được. 
Chuyên đề được áp dụng khá rộng rãi ở các khối lớp 9, 10, 11 và 12 của 
các trường THPT. Áp dụng cho nhiều đối tượng học sinh, từ học sinh trung bình 
khá đến học sinh giỏi.Tùy theo đối tượng, trình độ học sinh mà người sử dụng 
có thể khai thác, mở rộng, tăng độ khó, dễ cho phù hợp. Trong hai năm học qua, 
chuyên đề đã được áp dụng tại một số trường trong và ngoài thành phố Vinh,tác 
giảđã trao đổi, thảo luận với nhiều đồng nghiệp trong và ngoài tỉnh, tiếp thu 
nhiều ý kiến hay để hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này. Qua đây, tác giả xin 
cám ơn sự động viên, giúp đỡ của các đồng nghiệp trong và ngoài tỉnh. 
 Việc áp dụng SKKN này đã góp phần tạo nên những thành quả đáng ghi 
nhận trong hai năm học qua. Ở đây, tác giả xin nêu lên một số kết quả đã đạt 
được tại nơi tác giả trực tiếp triển khai áp dụng sáng kiến, cụ thể như sau: Trong 
năm học 2017 -2018, kết quả thi học sinh giỏi Tỉnh của lớp 11A1 (tác giả trực 
tiếp chủ nhiệm và giảng dạy) đạt 03 giải nhất ( có 1 thủ khoa ), 06 giải nhì, 10 
giải ba và 4 giải khuyến khích. Kết quả thi trung học phổ thông quốc gia môn 
Toán năm 2018, 2019 các lớp được áp dụng sáng kiến đạt kết quả rất cao. Đặc 
biệt hơn, SKKN này là tài liệu ôn thi THPT Quốc gia các năm 2018, 2019, 2020 
50 
được rất nhiều đồng nghiệp trong và ngoài tỉnh quan tâm và số đông học sinh 
cũng được học tập tài liệu này. 
Về cách thức thực hiện, chúng tôi đã tiến hành vận dụng phương pháp 
dạy học khám phá và nội dung bài học như trong SKKN đã trình bày đối với lớp 
thực nghiệm và không áp dụng đối với lớp đối chứng. 
 Các tiết dạy thực nghiệm là một số tiết ôn tập về chuyên đề cực trị hình 
học trong mặt phẳng và ứng dụng. Sử dụng các bài tập trong hệ thống bài tập đã 
xây dựng ở mỗi chương. Giáo viên đã tổ chức được các hoạt động khám phá cho 
học sinh trong giờ học, sử dụng phương pháp dạy học hợp lí. Học sinh có khả 
năng tiếp thu và nắm được cách làm một số dạng bài tập về cực trị hình học 
trong mặt phẳng và ứng dụng. Bằng các hoạt động khám phá học sinh có thể 
giải phần lớn các bài tập trong SKKN. 
 Sau đợt thực nghiệm, học sinh nắm bắt và vận dụng được các hoạt động 
trí tuệ cơ bản trong toán học như phân tích, so sánh, tương tự...hạn chế được 
những khó khăn , sai lầm khi giải các bài toán về cực trị hình học trong mặt 
phẳng và ứng dụng, phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện 
nay. 
Qua bài kiểm tra ta thấy lớp thực nghiệm có kết quả cao hơn lớp đối 
chứng. Điều đó chứng tỏ rằng phương pháp này đã tác động rất hiệu quả tới quá 
trình học tập của học sinh. 
Bài toán về Tọa độ phẳng và ứng dụng ở mức độ vận dụng thấp và vận 
dụng cao là một mảng khó trong đề thi học sinh giỏi Tỉnh, thi trung học phổ 
thông quốc gia . Thông qua các bài toán được sắp xếp một cách có chủ định với 
mục đích tăng dần liều lượng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, đã từng 
bước kích thích niềm say mê học toán của học sinh. 
 Kết quả thu được sau khi áp dụng sáng kiến này là học sinh THPT tự tin 
hơn khi giải bài toán về Tọa độ phẳng và ứng dụng trong các đề thi học sinh giỏi 
Tỉnh, THPT Quốc gia. Các em học sinh có định hướng tốt hơn hướng giải của 
các bài toán đó và hoàn thành tốt bài thi của mình. 
 Tuy nhiên, trong thời gian hạn hẹp, cũng như dưới góc độ nhìn 
nhận của một cá nhân, chắc chắn chuyên đề vẫn còn một số khiếm khuyết. 
Xin nhận được các ý kiến đóng góp của quý thầy cô, các bạn đồng nghiệp, 
những ai quan tâm đến chuyên đề để chuyên đề tiếp tục được hoàn thiện. 
Tôi xin chân thành cảm ơn! 
Nghệ An, tháng 03/2021 
51 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Sách giáo khoa Hình học 10 ( cơ bản và nâng cao ), NXB giáo dục, 2015. 
[2]. Sách giáo khoa giáo khoa chuyên toán Hình học10, NXB giáo dục, 2012. 
[3]. Tài liệu chuyên toán - Bài tập Hình học10, NXB giáo dục, 2012. 
[4]. Sách giáo khoa Giải tích 12 ( cơ bản và nâng cao ), NXB giáo dục, 2015. 
[5]. Nguyễn Phú Khánh , Ngân hàng đề thi môn Toán, NXB Đại học quốc gia 
Hà Nội, 2015 . 
[6]. Tạp chí toán học tuổi trẻ 
[7]. Các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường THPT trên toàn quốc. 
[8]. Các đề thi học sinh giỏi Tỉnh . 
[9]. Phan Văn Thái, Sáng kiến kinh nghiệm :Phát triển tư duy sáng tạo cho học 
sinh THPT thông qua việc khai thác các tính chất hình học và đại số của số 
phức, Nghệ An 2018.