Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp

tử của . 
Phương án này có cách.
+ Phương án 2: Chọn phần tử của , 1 phần tử của .
Phương án này có cách.
+ Phương án 3: Chọn phần tử của , 2 phần tử của .
Phương án này có cách.
+ Phương án 4: Chọn phần tử của , 3 phần tử của .
Phương án này có cách.
Có cách chọn k phần tử của tập .
Mặt khác, có chọn phần tử của tập .
Vậy 
¶ Ví dụ 4.1 Chứng minh với .
Nhận xét: Trong các Ví dụ trên nếu bài toán cho dưới dạng chứng minh đẳng thức tổ hợp thì các chỉ số dưới của các tổ hợp giúp ta định hướng được việc chọn số phần tử của hai tập hợp và . Tuy nhiên nếu bài toán cho dưới dạng tính tổng , khi đó ta viết lại .
Tổng quát, ta có bài toán sau:
¶ Ví dụ 5.1 Chứng minh với .
Hướng dẫn
+ Cho hai tập hợp gồm phần tử và gồm phần tử, trong đó .
+ Xét tập hợp gồm tất cả các phần tử của và và tập có phần tử.
+ Số cách lấy phần tử từ là .
+ Nếu lấy theo và thì số cách lấy là .
II. Tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp dựa và khai triển Nhị thức Niu – tơn.
A – Kiến thức chuẩn bị
Sử dụng khai triển Nhị thức Niu – tơn để tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp cần lưu ý một số điểm sau:
1. Chọn hợp lí trong khai triển: sẽ cho ta các đẳng thức tổ hợp. Vấn đề ngược lại, đề bài cho ta các đẳng thức tổ hợp hoặc tổng các tổ hợp, chúng ta phải hướng dẫn cho học sinh chọn khai triển để có được đẳng thức cần chứng minh.
2. Phân tích biến đổi phần tử đại diện (số hạng tổng quát trong tổng) để đưa tổng cần tính về dạng cơ bản của khai triển nhị thức Niu – tơn.
3. Ứng dụng đạo hàm trong khai triển: Với một số bài toán tính tổng mà các số hạng không có dạng mà có xuất hiện thêm hệ số tự nhiên (không phải lũy thừa) thì ta phải sử dụng đạo hàm kết hợp với khai triển nhị thức Niutơn. Việc sử dụng đạo hàm (cấp 1 hoặc cấp 2) của khai triển nhị thức Niutơn nào hoàn toàn phụ thuộc vào tính chất số hạng trong tổng cần tính. Trong đó đặc biệt chú ý đến hệ số tự nhiên (không phải lũy thừa) và hệ số tổ hợp tương ứng.
Thông thường ta áp dụng khai triển
.
Với số hạng có lũy thừa thì , tức là sau khi đạo hàm cấp 1 ta được hệ số tự nhiên là tương ứng với hệ số tổ hợp . Nếu hệ số tự nhiên tương ứng với là thì ta phải tạo ra lũy thừa bằng cách nhân hai vế với trước khi đạo hàm. Ngoài ra, nếu hệ số tự nhiên là tích của hai số thì ta áp dụng đạo hàm cấp hai.
4. Ứng dụng tích phân trong khai triển: Với một số bài toán tính tổng mà các số hạng không có dạng mà có xuất hiện thêm hệ số hữu tỉ (không phải lũy thừa, không là số nguyên) thì ta phải sử dụng tích phân kết hợp với khai triển nhị thức Niutơn. Việc sử dụng tích phân của khai triển nhị thức Niutơn nào hoàn toàn phụ thuộc vào tính chất số hạng trong tổng cần tính. Trong đó đặc biệt chú ý đến mẫu của hệ số hữu tỉ và hệ số tổ hợp tương ứng.
Thông thường ta áp dụng khai triển
.
Với số hạng có lũy thừa thì , tức là sau khi tích phân ta được hệ số hữu tỉ có mẫu là tương ứng với hệ số tổ hợp . Nếu mẫu hệ số hữu tỉ tương ứng với là thì ta phải tạo ra lũy thừa bằng cách nhân hai vế với trước khi đạo hàm. Ngoài ra, ta nhìn vào dạng của tử số của số hạng hữu tỉ để chọn cận phù hợp
5. Ứng dụng số phức trong khai triển: Các bài toán về ứng dụng số phức trong khai triển nhị thức Niu – tơn vẫn là những bài toán mới đối với học sinh. Dấu hiệu nhận diện tập trung chủ yếu vào sự thay đổi chỉ số trên của các tổ hợp và sự thay đổi về dấu của các số hạng trong tổng.
	Thông thường ta sử dụng bài toán sau:
Nếu , với . Khi đó, 
Với , thì 
Với , thì 
Vì 
B – Ví dụ minh họa
¶ Ví dụ 1.2 Tính .
Phân tích: Các số hạng trong tổng đều có dạng với . Vì vậy, ta xét khai triển với .
Đáp số: 
¶ Ví dụ 2.2 Tính .
Phân tích: Các số hạng trong tổng đều có dạng với . Vì vậy, ta xét khai triển với .
Đáp số: 
¶ Ví dụ 3.2 Tính .
Phân tích: Các số hạng trong tổng đều có dạng với . Vì vậy, ta xét khai triển với .
Đáp số: 
¶ Ví dụ 4.2 Tính .
Phân tích: Các số hạng trong tổng đều có dạng với . Vì vậy, ta xét khai triển với .
Đáp số: 
¶ Ví dụ 5.2 Tính 
Phân tích: Các số hạng trong tổng đều có dạng với . Vì vậy, ta xét khai triển với .
Đáp số: 
¶ Ví dụ 6.2 Tính 
Phân tích: Các số hạng trong tổng đều có dạng với . Vì vậy, ta xét khai triển với .
Đáp số: 
¶Ví dụ 7.2 Tính và 
Phân tích: Vì chỉ số trên của các tổ hợp trong tổng là chẵn, lẻ nên xuất hiện tổng đầy đủ các số hạng của khai triển nhị thức ta xét và để tạo ra hệ phương trình ẩn số là .
Đáp số: 
Nhận xét: Qua các ví dụ trên thấy
Hệ số đứng trước các tổ hợp là các lũy thừa của một hoặc hai cơ số được viết dưới dạng tăng hoặc giảm về số mũ.
Chỉ số trên là các số tự nhiên liên tiếp tăng dần.
Chỉ số dưới của các tổ hợp quyết định số mũ trong khai triển nhị thức.
Nếu chỉ số trên hơn kém nhau 2 đơn vị (nghĩa là chỉ chứa chỉ số trên là số lẻ hoặc chẵn) thì xét thêm một tổng mới (chỉ chứa chẵn hoặc lẻ) để được 1 tổng đủ của khai triển Niu – tơn.
Vì vậy, chỉ cần hướng dẫn học sinh lựa chọn hợp lí trong công thức khai triển nhị thức Niu-tơn là giải quyết được bài toán và đưa ra các bài toán tương tự.
¶ Ví dụ 8.2 Tính 
Phân tích: Vì các số hạng trong tổng đều có dạng với nên không thể sử dụng trực tiếp khai triển với hợp lí để tính được .
Hướng dẫn:
Cách 1. 
+ Ta có với 
+ Khi đó 
Cách 2. 
+ Áp dụng tính chất của tổ hợp với .
+ Ta có 
Cách 3. 
+ Xét khai triển (1)
+ Lấy đạo hàm hai vế (1) theo biến ta được (2)
+ Với trong (2) ta có 
Nhận xét: 
- Trong ví dụ trên ta thấy hệ số của các tổ hợp bằng chỉ số trên của tổ hợp trong từng số hạng.
- Nếu nhân hai vế của đẳng thức (1) với rồi lấy đạo hàm hai vế ta sẽ được đẳng thức có chứa các số hạng mà hệ số của các tổ hợp hơn chỉ số trên của các tổ hợp đơn vị.
	+ Nhân hai vế của (1) với ta có (3)
	+ Lấy đạo hàm hai vế (3) theo biến ta được
 (4)
	+ Với trong (4) ta có 
¶ Ví dụ 9.2 Tính 
Hướng dẫn
Cách 1. 
+ Ta có với (*)
Nhận xét: Để chứng minh công thức (*) ta có thể hướng dẫn học sinh hai hướng suy nghĩ như sau:
Hướng thứ 1 
Hướng thứ 2
+ Áp dụng liên tiếp hai lần công thức ta có 
+ Khi đó 
Cách 2. 
+ Xét khai triển (1)
+ Lấy đạo hàm hai vế (1) theo biến ta được (2)
+ Lấy đạo hàm hai vế (2) theo biến ta được 
 (3)
+ Với trong (3) ta có 
+ Tương tự quá trình trên ta có thể lấy đạo hàm hai vế của (3) để được các kết quả khác, ví dụ như tính tổng .
+ Nếu sử dụng đạo hàm cho khai triển và chọn hợp lí ta có thể tính được tổng sau:
¶ Ví dụ 10.2 Tính 
Hướng dẫn
Cách 1. 
+ 
+ Khi đó 
Cách 2. 
+ Xét khai triển (1)
+ Lấy đạo hàm hai vế (1) theo biến ta được (2)
+ Nhân hai vế của (2) với ta được (3)
+ Lấy đạo hàm hai vế của (3) ta có 
 (4)
+ Với trong (4) ta có 
Nhận xét: Nếu tiếp tục nhân 2 vế của (4) với và lấy đạo hàm hai vế, thay ta tính được tổng .
¶ Ví dụ 11.2 Tính 
Hướng dẫn
Cách 1. 
+ Ta có với 
+ Vậy 
+ Xét khai triển (1)
	Với và trong (1) ta có
+ Xét khai triển (2)
Với và trong (2) ta có
+ Vậy 
Cách 2. (Ứng dụng đạo hàm)
+ Xét khai triển (3)
+ Lấy đạo hàm 2 vế của (3) theo biến ta có
 (4)
+ Với và trong (4) ta có
	Trong các ví dụ trên, khi sử dụng công thức sẽ giúp đưa các bài toán về dạng cơ bản của khai triển nhị thức Niu – tơn. Tuy nhiên, nếu viết lại công thức đó dưới dạng ta có thể tạo ra được một số bài toán khác. Ta xét ví dụ sau: 
¶ Ví dụ 12.2 Chứng minh 
Hướng dẫn
Từ công thức với với 
Khi đó (1) 
Áp dụng công thức với , ta có (2)
Cộng (1) với (2) theo vế ta có (đpcm)
¶ Ví dụ 13.2 Tính .
Hướng dẫn
- Tìm số hạng tổng quát của các số hạng trong tổng ?
- Sử dụng biến đổi thích hợp cố định các hệ số đứng trước tổ hợp trong các số hạng của tổng ?
Cách 1. 
+ Ta có với 
+ Khi đó 
Cách 2. (Ứng dụng tích phân)
+ Xét khai triển (1)
+ Lấy tích phân hai vế của (1) trên đoạn ta được 
¶ Ví dụ 14.2 Tính 
Hướng dẫn
Cách 1. 
+ Áp dụng công thức ta có 
Cách 2. 
Lấy tích phân của (1) trên 
¶ Ví dụ 15.2 Tính .
Hướng dẫn
Cách 1. 
+ Áp dụng công thức ta có 
+ Vậy 
Cách 2. 
Lấy tích phân của (1) trên 
¶ Ví dụ 16.2 Tính và 
¶ Ví dụ 17.2 Tính 
Hướng dẫn
Cách 1. 
+ Ta có với .
+ Vậy 
Cách 2. 
+ Xét khai triển (1)
+ Nhân 2 vế của (1) với ta được (2)
+ Lấy tích phân 2 vế của (2) trên đoạn ta có
¶ Ví dụ 18.2 Tính 
Hướng dẫn
Cách 1. 
+ Ta có 
+ Vậy 
Cách 2. 
+ Xét khai triển (1)
+ Lấy đạo hàm hai vế (1) theo biến ta được (2)
+ Nhân 2 vế của (2) với ta được (3)
+ Lấy tích phân 2 vế của (3) trên ta được
¶ Ví dụ 19.2 Tính 
Hướng dẫn
+ Với , ta có
	Qua các ví dụ trên ta thấy đối với học sinh lớp 11, việc xác định được số hạng tổng quát trong tổng các tổ hợp là rất quan trọng. Ta xét tiếp các ví dụ sau:
¶ Ví dụ 20.2 Tính 
Hướng dẫn
+ Ta có , với .
+ Vậy .
Bài toán tương tự. 
1) Tính 
Hướng dẫn: , với .
2) Tính 
¶ Ví dụ 21.2 Tính .
Hướng dẫn
¶ Ví dụ 22.2 Tính với 
Hướng dẫn
+ Ta có 
+ Khi đó với 
¶ Ví dụ 23.2 Tính , là số nguyên dương, .
Hướng dẫn
+ Ta có 
+ Vậy 
¶ Ví dụ 24.2 Tính với 
Hướng dẫn
+ Ta có 
	 (1)
+ Đồng nhất hệ số của ở 2 vế của (1) ta có 
¶ Ví dụ 25.2 Tính 
Hướng dẫn
Kết quả trên có được là do ta chọn trong Ví dụ 23.2
¶ Ví dụ 26.2 Tính 
Hướng dẫn
+ 
+ Ta có (1)
+ Khai triển đa thức hai vế (1) và đồng nhất hệ số của số hạng chứa ta có
¶ Ví dụ 27.2 Tính 
Hướng dẫn:
Vì nên 
+ Ta có hệ số của trong khai triển là (1)
+ Mặt khác, hệ số của trong khai triển 
là (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Vậy 
¶ Ví dụ 28.2 Chứng minh rằng, với mọi ta có
¶ Ví dụ 29.2 Chứng minh rằng, với mọi ta có
¶ Ví dụ 30.2 Chứng minh rằng, với mọi ta có
¶ Ví dụ 31.2 Chứng minh rằng, với mọi ta có
¶ Ví dụ 32.2 Tính tổng
¶ Ví dụ 33.2 (Đạo hàm) Chứng minh rằng, với mọi ta có
¶ Ví dụ 34.2 (Tích phân) Chứng minh rằng, với mọi ta có
¶ Ví dụ 35.2 (Tích phân) Chứng minh rằng, với mọi ta có
Hướng dẫn
Ä Xét các khai triển nhị thức Newtơn
 (*)
Với ta có 
 (**)
Vậy ta có 
Nếu ta tính môđun của hai số phức trong (**) ta được
Ta có lời giải cho Ví dụ 28.2
Nếu trong (*) ta được 
Nếu trong (*) ta được 
Vậy ta có 
Cộng (1) với (3) ta được 
Trừ (3) cho (1) ta được 
Tương tự đối với (2) và (4).
Ta có lời giải cho Ví dụ 29.2
Ä Xét Ví dụ 30.2, ta thấy khoảng cách giữa hai chỉ số trên liên tiếp là 3 nên ta xét số phức
Đặt . Khi đó, 
Với , 
Ta có
Vì 
Cộng theo vế (5), (6) & (7) ta có 
Ä Nhân thêm vào hai vế của (6) và vào hai vế của (7) ta có 
Vì 
Cộng (5), (8) & (9) theo vế ta có 
Ä Nhân thêm vào hai vế của (6) và vào hai vế của (7) ta có 
Vì 
Cộng (5), (10) & (11) theo vế ta có 
Ta có lời giải cho Ví dụ 30.2
Ä Xét Ví dụ 31.2, ta thấy khoảng cách giữa hai chỉ số trên liên tiếp là 6 nên ta xét số phức
Đặt . Khi đó, 
Với , 
Vì 
Cộng theo vế ta có
Ta có lời giải cho Ví dụ 31.2. Tương tự, yêu cầu học sinh về làm Ví dụ 32.2.
Ä Lấy đạo hàm 2 vế của (*) ta được
 	(15)
Với ta được 	(16)
Với ta được 	(17)
Cộng (16) với (17) ta được 	 	(18)
Từ (17) ta có 	 	(19)
Với ta có 
Cộng (18) với (20) ta được 
Ta có lời giải cho Ví dụ 33.2
Ä Lấy tích phân 2 vế của (*) với cận từ 0 đến z ta có
 (**)
Vì (**) đúng với nên cũng đúng với . Vậy cho , ta có
Mặt khác
Suy ra .
Ta có lời giải cho Ví dụ 34.2
Ä Ta thấy các chỉ số trên của hai số hạng liên tiếp hơn kém nhau 3 đơn vị
Đặt Đặt . Khi đó, 
Với , 
 (*)
 Lấy tích phân 2 vế của (*) với cận từ 0 đến 1 ta có
	(22)
Lấy tích phân 2 vế của (*) với cận từ 0 đến z ta có
	(23)
Lấy tích phân 2 vế của (*) với cận từ 0 đến ta có
	(24)
Vì 
Cộng theo vế (22), (23) và (24) ta có
Nhân hai vế của (23) với z2, của (24) với z rồi cộng 2 vế ta được:
Ta có lời giải cho Ví dụ 35.2
Ä Tương tự, ta có thể vừa lấy đạo hàm vừa lấy tích phân sẽ được những đẳng thức đẹp!
Nhận xét:
- Trong Ví dụ 7.2 ta thấy khoảng cách giữa các chỉ số trên bằng 4 nên ta có thể giải tương tự các bài toán trên với số phức .
- Trong Ví dụ 29.2 ta thấy khoảng cách giữa các chỉ số trên bằng 4 nên ta có thể giải tương tự các bài toán trên với số phức .
III. Bài tập tự luyện
Bài tập 1. Tính tổng .
Bài tập 2. Tính tổng .
HD: Sử dụng đồng thời đạo hàm và phương pháp đồng nhất hệ số.
Bài tập 3. Tính tổng
.
Bài tập 4. Tính tổng .
Bài tập 5. Cho là các số nguyên dương thỏa mãn: 
Chứng minh rằng: 
Bài tập 6. (ĐHKA.2005)
Tìm số nguyên dương sao cho
.
( là số tổ hợp chập của phần tử).
Bài tập 7. Với là số nguyên dương, chứng minh rằng:
Bài tập 8. Với là số nguyên dương, chứng minh rằng:
Bài tập 9. (Trích đề thi HSG lớp 12 - Ninh Bình, Vòng 2 năm học 2010 - 2011)
Cho là các số tự nhiên và . Chứng minh rằng .
Bài tập 10. (Trích đề thi HSG lớp 11 - Hà Tĩnh, năm học 2012 - 2013)
Cho khai triển . Chứng minh rằng
.
HD: Xét .
Bài tập 11. Cho khai triển .
Tính tổng .
Chứng minh đẳng thức sau: .
Hướng dẫn
a) Từ khai triển trên lần lượt cho ta được 
Cộng từng vế hai đẳng thức trên và chia cả hai vế cho 2 ta được
.
b) Xét từ khai triển trên ta có 
Hệ số của trong vế trái bằng 
Hệ số của trong vế phải bằng 
Từ đó ta có đẳng thức .
Bài tập 12. Xét khai triển: . 
Tính .
Hướng dẫn
Ta có 
Suy ra 
.
Bài tập 13. (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 – 2014)
Tính tổng .
Bài tập 14. Với là số nguyên dương, chứng minh 
Bài tập 15. Tìm số nguyên dương thỏa mãn .
Bài tập 16. Với là số nguyên dương, chứng minh
.
Bài tập 17. Tính tổng với .
Bài tập 18. Tính tổng 
CHƯƠNG III
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm
	Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của một số hệ thống câu hỏi và bài tập được xây dựng nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh.
2. Nội dung thực nghiệm
Dạy thử nghiệm một số hệ thống câu hỏi và bài tập đã xây dựng được ở chương II theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, tạo hứng thú để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa  từ đó bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT.
3. Tổ chức thực nghiệm
Thiết kế phiếu học tập cho một tiết dạy minh họa:
Phiếu học tập số 1
Viết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ?
..
Em hãy chọn hợp lí trong công thức khai triển trên để tính các tổng sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
Tìm tòi, mở rộng (Phiếu học tập số 1)
GV: Yêu cầu học sinh nhận xét về hệ số đứng trước các tổ hợp của các số hạng trong tổng cần tính?
HS: Hệ số là các lũy thừa với số mũ tự nhiên tăng dần hoặc giảm dần.
GV: Bằng cách chọn trong khai triển
Em hãy đưa ra các bài toán ở dạng chứng minh đẳng thức tổ hợp.
GV: Yêu cầu học sinh nhận xét về chỉ số trên của các tổ hợp trong các tổng từ ?
HS: Chỉ số trên là các số tự nhiên liên tiếp tăng dần.
GV: Với cách chọn hợp lí trong khai triển, em có thể tính được các tổng sau không?
Phiếu học tập số 2
Cho 
Với cách chọn tương tự như Phiếu học tập số 1, em có thể tính được không?
Sử dụng đạo hàm trong khai triển Niu-tơn để tính tổng .
Một học sinh nhận xét rằng số hạng tổng quát trong tổng có dạng với và ta có thể sử dụng công thức (1) với để tính . Theo em nhận xét đó có đúng không? Nếu đúng em hãy chứng minh công thức (1) và vận dụng nó để tính . 
Em hãy sử dụng công thức với để tính tổng .
Tìm tòi, mở rộng (Phiếu học tập số 2)
GV: Tương tự, yêu cầu học sinh chứng minh đẳng thức sau:
GV: Em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa hệ số và chỉ số trên của các tổ hợp trong tổng ?
HS: Hệ số bằng chỉ số trên của các tổ hợp trong tổng ?
GV: Qua cách tính tổng nhờ sử dụng đạo hàm, em có thể đưa ra một ví dụ về tổng tương tự như mà có hệ số hơn chỉ số trên của các tổ hợp đơn vị? 
HS: Tính , ở đây ta có thể chọn cụ thể.
GV: Sử dụng đạo hàm cấp hai đối với khai triển nhị thức hãy tính tổng
GV: Sử dụng đạo hàm cấp 3 đối với khai triển nhị thức , tính tổng 
GV: Nhấn mạnh về cách sử dụng công thức (1) với 
	+ Ta thấy sau khi sử dụng công thức (1) thì mỗi số hạng trong tổng sẽ có hệ số đứng trước các tổ hợp là một hằng số không đổi, do đó bài toán đưa về dạng tính tổng các tổ hợp trong Phiếu học tập số 1.
+ Áp dụng liên tiếp hai lần công thức ta có 
	Từ đó tính được tổng 
	+ Sử dụng linh hoạt công thức , tính tổng 
	+ Sử dụng linh hoạt công thức , chứng minh đẳng thức
GV: Qua các cách giải trên ta thấy, điểm mạnh của cách giải theo đạo hàm có thể giúp ta sáng tạo ra các bài toán mới. 
Phiếu học tập số 3
Cho 
Xác định số hạng tổng quát trong tổng ?
Tương tự như Phiếu học tập số 2, em hãy tìm một cách biến đổi thích hợp đối với số hạng tổng quát để đưa tổng về dạng tính tổng trong Phiếu học tập số 1?
Ta có công thức nguyên hàm . Em hãy sử dụng công thức đó kết hợp với khai triển nhị thức để tính tổng . 
Tìm tòi, mở rộng: Hướng dẫn HS về tiếp tục phát triển bài toán theo hướng của Phiếu học tập số 2
Đối tượng thực nghiệm: Học sinh lớp 12 một số trường THPT. Số lượng học sinh trong mỗi lớp là 35. Lớp thực nghiệm là 12A, lớp đối chứng là 12B. Trình độ nhận thức ở hai lớp này được đánh giá là tương đương.
Đặc điểm đối tượng thực nghiệm: Là học sinh khu vực nông thôn.
Tiến trình tổ chức thực nghiệm: Tác giả trực tiếp giảng dạy những hệ thống bài tập này tại lớp những lớp 11A, 12A (lớp chọn của khối) từ năm 2014 đến năm 2016.
4. Đánh giá thực nghiệm
a) Kiểm tra
	Sau khi hoàn thành đợt thực nghiệm sư phạm, để đánh giá kết quả thực nghiệm tác giả đã tiến hành cho học sinh hai lớp 12A, 12B (được đánh giá là tương đương nhau) làm bài kiểm tra 45 phút. Nội dung đề kiểm tra như sau:
Bài kiểm tra
Thời gian làm bài: 45 phút
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: 
Bài 2. 
Bài 3. Tìm số tự nhiên thỏa mãn hệ thức:
Mục tiêu của bài kiểm tra này nhằm kiểm tra xem học sinh sau khi được học tập chuyên đề (sáng kiến) có linh hoạt trong việc xử lý các tình huống không; có vận dụng được phương pháp giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp không; có biết cách phân tích giả thiết của bài toán để lựa chọn phương pháp giải toán không.
b) Đánh giá kết quả thực nghiệm
Về thái độ học tập của học sinh
Học sinh rất hứng thú việc học tập theo hướng phát huy tính tích cực, bồi dưỡng năng lực tự học, học sinh là người chủ động lĩnh hội kiến thức. Học sinh đã cuốn hút vào các hoạt động một cách chủ động, tích cực, sáng tạo nhằm lĩnh hội tri thức. Đa số các em nắm vững kiến thức cơ bản và có ý thức hoàn thành hoạt động và công việc mà giáo viên giao cho.
Về kết quả bài kiểm tra
Điểm/Lớp
Yếu
TB
Khá
Giỏi
Đối chứng 12B
21,3%
53,2%
14,9%
10,6%
Thực nghiệm 12A
6,4%
38,3%
34%
21,3%
Phân tích kết quả kiểm tra
Lớp đối chứng có 78,7% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 25,5% đạt khá, giỏi.
Lớp thực nghiệm có 93,6% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó 55,3% đạt khá, giỏi.
	Nhận xét
Lớp đối chứng: Khả năng tiếp cận các bài toán có tính tư duy, sáng tạo chưa cao, nhiều em trình bày lời giải còn nhiều thiếu xót.
Lớp thực nghiệm: Khả năng vận dụng linh hoạt hơn, có sự sáng tạo hơn. Một số em trình bày lời giải gọn gàng, rõ ràng, lập luận chặt chẽ. 
Bên cạnh đó, ở cả hai lớp đều có những học sinh chỉ dừng lại ở việc bắt chước một số bài tập mẫu, chưa hiểu rõ bản chất vấn đề và chỉ làm được ý a) trong mỗi bài tập.
Kết luận
 Kết quả thực nghiệm bước đầu đã thể hiện tính hiệu quả và tính khả thi của đề tài.
KẾT LUẬN
Sáng kiến đã có các kết quả chính sau đây:
1. Sáng kiến đã trình bày các kinh nghiệm, phương pháp giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp.
 2. Kết quả thực nghiệm cho thấy tính khả thi và hiệu quả của sáng kiến. Việc tự giải quyết hệ thống bài tập giúp học sinh hiểu rõ bản chất, phương pháp giải bài toán tính tổng và chứng minh các đẳng thức tổ hợp. Từ đó, học sinh có thể tự xây dựng các bài toán tương tự, hoặc các bài toán mới. Chính điều đó kích thích sự say mê, tìm tòi khám phá, nâng cao năng lực tự học ở mỗi học sinh. Sáng kiến được kết tinh những kinh nghiệm đã được kiểm chứng qua các hoạt động giảng dạy các lớp ôn bồi dưỡng HSG trong nhiều năm và đã đạt được những kết quả đáng khích lệ. 
3. Xây dựng bộ tài liệu tham khảo bổ ích cho các em học sinh ôn thi ôn thi học sinh giỏi THPT, cũng như các bạn đồng nghiệp. 
Tuy nhiên chắc chắn nội dung sáng kiến không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý, phê bình của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp.
Xác nhận của BGH
Tổ trưởng chuyên môn
Tống Thị Nguyệt
Ninh Bình, ngày 9 tháng 5 năm 2016
NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN
Nguyễn Mạnh Hà Nguyễn Tử Phúc