Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

.12,9	b) 52.143 – 52.39 – 8.26
 Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
a) 15.91,5 + 150.0,85 	 b) x(x-1) – y(1 – x) tại x = 2001 ; y = 1999 
c) x2 + xy + x tại x = 77; y = 22 d) x(x-y) + y(y-x) tại x = 53; y = 3
3.2. Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
Phương pháp: - Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về “dạng tích” 
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B) 
4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 
5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
b. Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: 16x2 + 8xy + y2 = (4x2) + 2.4x.y + y2 = (4x + y)2
Ví dụ 2: 9x2 - 12x + 4 = (3x)2- 2.3x.2 + 22 = (3x - 2)2 
Ví dụ 3: a. (x - y)2 – (x + y)2 = [(x - y) – (x + y)].[(x - y) + (x + y)] 
 = (x - y – x - y)(x - y + x + y) = (- 2y).2x = - 4xy
 	 b. 9x2 - 4 = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2)
 	 c. 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2
	 = (x - 3y)(7x + y)
Ví dụ 4: 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 = (2x)3 - 3.(2x)2y + 3.2x.y2 - y3 = (2x - y)3
Ví dụ 5: 27 + 27x + 9x2 + x3 = 33 + 3.32.x +3.3.x2 + x3 = (3 + x)3
Ví dụ 6: 27x3 + y3 = (3x)3 + y3 = (3x + y)(9x2 – 3xy + y2)
Ví dụ 7: 1 - 8x3y6 = 13 – (2xy2)3 = (1 – 2xy2)[12 + 1. 2xy2 + (2xy2)2 ] 
	 = (1 – 2xy2)(1 + 2xy2 + 4x2y4 )
 c. Bài tập áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.
	Bài 1. a) x2 + 12x + 36 b) 100x – 2500 – x2
	Bài 2. a) x2 + 9y2 – 6xy b) 14x – 49 – x2
	Bài 3. a) 121x2 – 25	b) (7x + 1)2 - (2x + 1)2
3.3 Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
 a. Phương pháp: Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức. 
 b.Ví Dụ: 
 +) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung: 
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 a) x2 – xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22)
b) xy - 5y + 2x – 10	c) 2xy + z +2x +yz
Giải: a. Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y)
 x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)
 Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y )
	 x2 – xy + x – y = (x2 + x) - ( xy + y )
= x(x + 1) - y(x + 1)= (x + 1)(x - y)
 b. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) 
= y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2)
 c. Cách 1: nếu nhóm (2xy + z) và (2x +yz)
 Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) 
 (đa thức không thể phân tích được)
 Cách 2: nếu nhóm (2xy + 2x) và (z + yz)
 Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)
	= 2x(y + 1) + z(y + 1)
 = (y + 1)(2x + z)
 +) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức. 
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 
 x2 – 2x + 1 – 9y2 b) x2 + 4x – y2 + 4
Giải:
 a) x2 – 4x + 4 – 9y2 = (x2 – 2x + 1) – (3y)2 
 = (x – 1)2 – (3y)2 
 = (x – 1 – 3y)(x – 1 + 3y)
 b) Cách 1. Nhóm: (x2 + 4x) và – (y2 - 4 ) ta có
 x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x) - (y2 - 4 )
 	 = x(x + 4) – (y – 2)(y + 2) 
(Đa thức không thể phân tích tiếp)
 Cách 2. Nhóm x2 + 4x + 4) – y2 ta có 
 x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2
	 = (x + 2)2 – y2
	 = (x + 2 – y)(x + 2 +y)
 +) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: 
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 
a) x2 – 2x – 4y2 – 4y b) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y 
Giải: a) Cách 1: Nhóm (x2 – 2x) và (- 4y2 - 4y) ta có
 x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 2x) – (4y2 + 4y) 
	 = x(x - 2)–4y(y + 1)(Đa thức không phân tích tiếp được)
Cách 2: Nhóm (x2 – 4y2 ) và ( - 2x - 4y ) ta có
 x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - ( 2x + 4y ) 
 = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
 = (x + 2y)(x – 2y – 2)	 	 
b) Cách 1: Nhóm (x3 – x) và (3x2y + 3xy2 ) và (y3 – y ) 
Ta có x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
 = (x3 – x) + (3x2y + 3xy2 ) + (y3 – y )
 = x(x2 - 1) +3xy(x + y) + y(y2 - 1)
 = x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1)
	(Đa thức không thể phân tích tiếp )
 Cách 2: Nhóm (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) và (- x - y) ta có
 x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y)
	 	 = (x + y)3 – ( x + y) = (x + y)[(x + y)2 - 1]
	 	= (x + y)(x + y - 1)(x + y +1)
c. Bài tập áp dụng.
 Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x2 – 3x – y2 – 3y b) x2 – 4xy + 4y2 – z2
c) 3x2 – 3xy – 7x + 7y d) xz + yz – 11(x + y)
e) a3 – a2x – ay + xy f) xy(x + y) + yz(y+ z) + xz(x + z) + 2xyz
g) x2 + 16x – y2 + 16 h) x2 – 6xy + 9y2 –z2 + 6zt –9 t2
i) 5x2 + 10xy + 5y2 – 5z2 k) 2x3 – 5x2 + 2x – 5
Bài 2 Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức 
 A = x2 – 2xy – 9z2 + y2 	tại x = 6; y = -4; z = 30
B = 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 	tại x = 0,5
 Bài 3 Tìm x ; biết
 a) x(x - 15) + x - 15 = 0 b) 5x(x - 5) – x + 5 = 0
3.4. Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp
 a. Phương pháp: 
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.
Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:
- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức nếu có.
- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là hằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử.
b. Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1 : 5xy2 - 20xy + 20x = 5x( y2 - 4y + 4) (Đặt nhân tử chung)
 	 = 5x (y - 2 )2 (Dùng hằng đẳng thức)
Ví dụ 2: 3x2 + 6x + 3 – 3y2 = 3(x2 + 2x + 1 – y2) (Đặt nhân tử chung)
 = 3[(x2 +2 x + 1) – y2] (Nhóm các hạng tử)
	 = 3[(x + 1)2 – y2] (Dùng hằng đẳng thức)
 = 3(x + 1 - y)(x + 1 + y)
Ví dụ 3:	3x – 3y – x2 + 2xy – y2
	= (3x – 3y) – (x2 - 2xy + y2) (Nhóm các hạng tử)
	= 3(x - y) – (x - y)2 	(Dùng hằng đẳng thức)
	= (x - y)[3 – (x - y)]	(Đặt nhân tử chung)
	= (x - y)(3 – x + y)
Ví dụ 4: 	7x5y2 - 14x4y2 - 7x3y4 - 14x3y3z - 7x3y2z2 + 7x3y2 
	= 7x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)	(Đặt nhân tử chung)
	= 7x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] (Nhóm các hạng tử)
= 7x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] (Dùng hằng đẳng thức)
	= 7x3y2(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z) 
 Ví dụ 5: 	5x3y - 10x2y - 5xy3 - 10axy2 - 5a2xy +5xy
 =5xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1)	(Đặt nhân tử chung)
 =5xy (Nhóm các hạng tử)
 =5xy 	(Dùng hằng đẳng thức)
 =5xy(Dùnghằngđẳng thức)
 = 5xy( x - 1 - y - a)(x - 1 + y +a )
c. Bài tập áp dụng.
 Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x4 + 4x3 + 4x2 	 b)x3 – 6x2 + 9x
c) 7x2 – 14xy + 7y2 – 28z2 d) x3 + 2x2y + xy2 – 9x
e) x4- 2x2 f) x3 – 5x + 3x2y + 3xy2 + y3 – 5 y
g) 5x2 + 5xy – 3x – 3y h) 20z2 – 5x2 – 10xy – 5y2
 Bài 2 Tìm x .biết :
a) 5x(x - 2) = x – 2 b) 2(x + 4) – x2 – 4x = 0
c) 9x3- x = 0 d) (2x2 - 1) – (3x + 4)2 = 0
e) x2(x - 3) + 21 – 7x = 0
 Bài 3: Tính nhanh :
a) A= x2 + x + 	tại x = 49,75
b) B= x2 – y2 – 2y – 1 	tại x = 93 và y = 6
3.2.2 Các phương pháp khác (nâng cao)
3.2.2.1 Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đối với đa thức bậc hai ax2 + bx + c).
Phương pháp:
 - Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất hiện dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức. 
Ví dụ: 
	 Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử. 
Giải: Cách 1: (tách hạng tử bậc 2: x2) 
 x2 - 6x + 8 = 3x2 - 6x - 2x2 + 8
 = 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)] = (x - 2)(x - 4)
Cách 2: (tách hạng tử bậc 1: - 6x) 
x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
	Cách 3: (tách đồng thời hạng tử bậc nhất và hạng tử tư do:)
	 x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4= (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
	Cách 4: (tách hạng tử tự do:)	
 x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1= (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4)
	 x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
	 x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
 Gợi ý ba cách phân tích (chú ý có nhiều cách phân tích)
Giải: Cách 1 (tách hạng tử bậc hai : 3x2) 
3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 =(2x – 2)2 – x2 
 = (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2 (tách hạng tử bậc nhất: – 8x) 
 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 3 (tách hạng tử tử do : 4) 
 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16
 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2)
 = (x – 2)(3x + 6 – 8) = (x – 2)(3x – 2)
Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử ta đưa về dạng ax2 + b1x + b2x + c bằng cách tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho 
 = hay b1b2 = ac 
 Trong thực hành ta làm như sau: 
Bước 1: Lập tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
 Áp dụng: Phân tích đa thức: – 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử 
Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2 
Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12
Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
Bước 3: b = 7 = 4 + 3
Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3x
 Khi đó ta có lời giải: – 6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2
 = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) 
 = –2x(3x – 2) + (3x – 2) 
 = (3x – 2)(–2x + 1)
Chú ý: Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 khi phân tích cách làm tương tự như đa thức bậc 2 một biến
Ví dụ: 3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 
Giải
 Cách 1: 	4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 
 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)
Cách 2: 	4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2
	 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y)
	 = 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)
Đa thức bậc hai ax2 + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử trong phạm vi số hữu tỷ. Nếu:
- Khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách không có 2 thừa số nào có tổng bằng b.
Ví dụ 4: đa thức x2 + 4x + 6 có a = 1; b = 6 
 => a.c = 6 = 1.6 = 2.3 = (-1)(-6) = (-2)(-3) 
không có 2 thừa số nào có tổng bằng b = 4.
- Hoặc sau khi đưa đa thức bậc 2 về dạng a(x2 - k) thì k không phải là bình phương của một số hữu tỷ.
Ví dụ 5: x2 + 4x + 6 = (x2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2)2 + 2 = (x + 2)2 - (- 2);
(-2) không phải là bình phương của một số hữu tỷ nào. Vậy đa thức x2 + 4x + 6 không phân tích được thành tích.
 Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau ra thừa số : n3 – 7n + 6 
 Giải: n3 – 7n + 6 = n3 – n – 6n + 6 
= n(n2 – 1) – 6(n – 1) 
= n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) 
= (n – 1)[n(n + 1) – 6] 
 = (n – 1)(n2 + n – 6)
= (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) 
= (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) 
= (n – 1)(n – 2)(n + 3) 
Ví dụ 7: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử.
 Ta có cách tách như sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
 Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1)
 = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1)
 = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6)
 c. Bài tập áp dụng
	* Phân tích đa thức thành nhân tử:
 Bài 1: a) x2- 6x + 5 	 b) x2 + x – 10	 c) x2 + 7x + 8 	 d) x2 – 14x + 1 e) 6x2 – 11x + 3 f) 9x2 + 12x – 5 
 Bài 2 : a) 2x2 - 3xy + 27y2 b) 2x2 – 5xy + 3y2.
 Bài 3 : a) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
 b) xy(x + y) - yz(y + z) + xz(x - z) ;
 c) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2xyz ;
 d) (x + y)(x2 - y2) + (y + z)(y2 - z2) + (z + x)(z2 - x2) ;
 e) x3(y - z) + y3(z - x) + z3(x - y) ;
 f)x3(z - y2) + y3(x - z2) + z3(y - z2) + xyz(xyz - 1).
Bài 4) a) x3 – 4x + 3 ;	b) x3 + 7x – 6 ;	(áp dụng ví dụ 4)
3.2.2.2 Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Phương pháp: 
Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng a2- b2 sau khi thêm bớt .
Ví dụ: 
 Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện hằng đẳng thức
 Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
 Cách 1: thêm bớt hạng tử x2 (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
Ta có x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 
 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1)
 Cách 2: Thêm bớt hạng tử x3 (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung )
	 x4 + x2 + 1 = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) 
	 = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1)
 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) 
 = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1)= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
 Cách 3: Thêm x và bớt x: (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)
Giải: x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 
 = (x4 – x) + (x2 + x + 1)
 = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử. 
 Cách 1: Thêm x3 và bớt x3 (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung) Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + 1
= (x5 + x4 + x3 ) - (x3 - 1)
= x3(x2+ x + 1) - ( x - 1 )(x2+ x + 1)
= (x2+ x + 1)(x3 – x + 1 )
= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử. (Bài tập 57d)-SGK-tr 25)
 Gợi ý: ta nhận thấy: x4 = (x2)2 và 4 = 22 để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, ta cần thêm 2.x2.2 = 4x2 vậy cần bớt 4x2 để giá trị của đa thức không đổi. 
Giải:
 x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 + 2 – 2x)( x2 + 2 + 2x)
 Khai thác bài toán:
 Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có bài toán: x4 + 64y4
Hướng dẫn giải: 
Thêm 16x2y2 và bớt 16x2y2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 
 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy)
Thay x4 thành 4x4 và 4 thành 81 ta có bài toán : 4x4 + 81 
Hướng dẫn giải: Thêm 2. 2x2.9 = 36x2 và bớt 36x2
4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2
 = ( 2x2 + 9)2 - (6x)2
 = (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x)
Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 4: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử.
 Thêm x3, x2, x và bớt x3, x2, x (làm xuất hiện đặt nhân tử chung)
Giải: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1
 = (x5 + x4 + x3) + (– x3 – x2 – x ) + (x2 + x + 1)
 = x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 – x + 1 )
Ví dụ 5. Phân tích đa thức x5 + x - 1 thành nhân tử 
Giải:	Cách 1. Thêm x4 , x3 , x2 và bớt x4 , x3 , x2 
x5 + x - 1 = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1
 = x3(x2 - x + 1) - x2(x2 - x + 1) - (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
Cách 2. Thêm và bớt x2 :
x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1 = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)
 = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1).
 Ví dụ 6: Phân tích đa thức x7 + x2 +1 thành nhân tử.
 Giải : x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + 1 
= x(x6 - 1) + (x2+ x + 1)
 = x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1)
 = x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
 = (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1)
 Chú ý: Các đa thức có dạng x4 + x2 + 1, x5 + x + 1, x5 + x4 + 1, x7 + x5 + 1,.; tổng quát những đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 + 1 hoặc x3 – 1, x6 – 1 đều có chứa nhân tử x2 + x + 1. 
Bài tập áp dụng Phân tích đa thức thành nhân tử: 
Bài 1 : a) 9x4 + 1 ; 	 b) 16x4 + y4 ; c)25x4 – 324
Bài 2 a) x5 + x4 + 1 ;	b) x5 + x + 1 ;	 c) x8 + x7 + 1 
Bài 3 a) x5 - x4 - 1 ;	b) x7 + x5 + 1 ;	 c) x8 + x4 + 1.
4. Hiệu quả của đề tài
 Thông qua tiến hành nghiên cứu trên lớp 8 với đề tài “Dạy học các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở trường” tôi đã thu được một số kết quả đó là học sinh nắm vững kiến thức cơ bản của chương, biết cách làm các bài tập vận dụng trong sách bài tập.
 Để chứng minh tôi xin đưa ra kết quả sau:
Kết quả khảo sát chất lượng môn Toán 8 đầu năm:
Lớp
Số bài kiểm tra
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8A
32
2
6,3
9
28,1
18
56,2
3
9,4
8B
33
2
6,1
10
30,3
10
51,5
4
12,1
- Sau khi tiến hành nghiên cưú trên lớp 8A ,8B khi kiểm tra kết thúc tôi đã thu được kết quả sau:
Lớp
Số bài kiểm tra
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8A
32
7
21,9
12
37,5
11
34,4
2
6,3
0
0
8B
33
8
24,2
16
48,5
7
21,2
2
6,1
0
0
PHẦN III : KẾT LUẬN
1. Kết luận
Dạy học là một nghệ thuật, do đó để đạt được kết quả cao trong một giờ học thì người thầy phải đầu tư nhiều thời gian, với mỗi bài cần có phương pháp thích hợp riêng để trò tự tìm ra kiến thức bằng chính công sức của mình, như thế các em sẽ nhớ lâu và vận dụng tốt.
Đối với học sinh yếu kém: Cần có một quá trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng nắm được phương pháp, vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung SGK. 
Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ nắm chắc các phương pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng từng phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học, gợi sự suy mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức. 
Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt hơn. 
Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trong chương trình đại số 8 đã đề cập ở trên.
Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán mà học sinh phải liên hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý như đã đề cập, giúp học sinh nắm vững chắc hơn về các dạng toán và được rèn luyện về những kĩ năng phân tích một cách tường minh trong mỗi dạng bài tập để tìm hướng giải sau đó biết áp dụng và phát triển nhanh trong các bài tập tổng hợp, kĩ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách đa dạng hơn trong giải toán. Đồng thời tạo điều kiện để học sinh được phát triển tư duy một cách toàn diện, gợi sự say mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích và khơi dậy khả năng tự học của học sinh, chủ động trong học tập và trong học toán.
	Môn toán nói chung và phân môn đại số nói riêng là rất rộng, rất phong phú và bổ ích, để tiếp cận và tìm hiểu được nhiều hay ít còn tùy thuộc vào năng lực,lương tâm của mỗi thầy cô giáo đang hàng ngày đứng trên bục giảng. Đất nước đang cần và đang đặt niềm tin vào sự nghiệp giáo dục. Chính vì vậy mà mỗi chúng ta, mỗi thầy cô giáo cần làm tốt hơn nữa, thường xuyên học hỏi, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy để nâng cao trình độ chuyên môn góp phần đào tạo những thế hệ học trò có đức, có tài, xứng đáng với niềm tin yêu của Đảng và nhân dân.
2. Ý kiến đề xuất:
 Để đề tài trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả cần phải có lượng thời gian nhất định. Tuy nhiên trong phân phối chương trình của bộ môn toán 8 số tiết dành cho vấn đề nghiên cứu chỉ là 5 tiết (4 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Với lượng thời gian trên đề tài khó có thể áp dụng và đem lại hiệu quả mong muốn. 
Vì vậy : Tôi xin có một vài kiến nghị sau:
- Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức các chuyên đề cấp trường để giáo viên có thể áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy.
- Đối với phòng giáo dục: Tổ chức các chuyên đề về vấn đề nghiên cứu (phân tích các đa thức thành nhân tử ) để giáo viên được dự giờ, nghiên cứu trao đổi học hỏi các đồng nghiệp, cùng tìm ra các biện pháp hay. 
Hạ Hòa, ngày 10 tháng 2 năm 2014 NGƯỜI VIẾT
 Hoàng Quốc Huy
IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1 - Một số vấn đề đổi mới PPDH ở trường THCS môn toán – Bộ GD&ĐT 2008
 2 - Sách GV, SGK, SBT Toán8 THCS - Phan Đức Chính – Tôn Thân – Nhà xuất bản GD
 3 - Nâng cao và phát triển Toán 8 - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản GD
 4 - Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán – Nhà xuất bản GD
5 – Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS chu kì 1997 – 2000 và chu kỳ 2004 – 2007 môn Toán.
6 – Phương pháp dạy học đại cương môn Toán – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất bản ĐHSP
7 – Giáo trình phương pháp dạy học các nội dung Toán - Phạm Gia Đức – Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất bản ĐHSP