Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học các bài toán về hàm ẩn cho học sinh Trung học Phổ thông

án trên hoặc phát triển một bài toán mới từ bài toán đã cho
Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: Học sinh không nắm vững kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, không trở thành cơ sở của kĩ năng. Muốn hình thành được kĩ năng, đặc biệt là kĩ năng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Do quen với tư duy cụ thể, nên khi tiếp cận với kiến thức mới trừu tượng đòi hỏi tư duy cao, suy luận logic, các em sẽ gặp nhiều khó khăn. Từ đó giảm đi hứng thú học tập của các em.
Ví dụ: Kĩ năng vận dụng định nghĩa, định lý. Sau khi học xong bài “ Sự biến thiên của hàm số” làm rõ cho học sinh nắm được định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b). Qua đó HS sẽ nắm được hàm số đồng biến trên khoảng K nếu trên K đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên K đồ thị hàm số sẽ đi xuống từ trái sang phải trên khoảng này. Khi sử dụng định lý GV hướng dẫn HS tránh mắc sai lầm khi giải toán sử dụng hai dạng toán này. Khi xét sự biến thiên của hàm số, GV đưa hai bài tập về đồ thị hàm số y=f(x) và đồ thị hàm số của đạo hàm GV cần hướng dẫn cho HS mối liên hệ của đồ thị hàm số và tính đơn điệu của hàm số. Mối liên hệ của đồ thị đạo hàm của hàm f(x) và dấu của đạo hàm. Xác định rõ nguyên nhân sai lầm các dạng toán đối với mỗi học sinh là một việc rất quan trọng, sau đó giáo viên có biện pháp để xóa bỏ dần các nguyên nhân, tạo nên sự tự tin và niềm hứng thú cho học sinh đối với việc học môn toán nói chung.
5.1.2. Một số kinh nghiệm của GV khi dạy học phần hàm ẩn cho HS
+ Để dạy học hàm ẩn cho HS có hiệu quả, GV cần quan tâm đến việc xây dựng hệ thống bài tập. 
- Hệ thống bài tập về hàm ẩn được xây dựng với mục đích rèn luyện kĩ năng giải toán cần thiết cho học sinh trung học phổ thông với những yêu cầu sau đây:
- Bám sát nội dung chương trình sách giáo khoa, khai thác và sử dụng hiệu quả hệ thống bài tập trong sách giáo khoa và cách bài tập. Bổ sung các kiến thức cơ bản cho HS.
- Hệ thống bài tập được chọn lọc, phân loại hợp lí, có tính phân hóa, phù hợp với nhiều loại đối tượng học sinh. Đối với từng đối tượng HS, GV cần có bài tập phù hợp năng lực. Đối với HS ôn thi THPT Quốc gia cần có các bài tập đủ các mức độ. Đối với HS ôn thi HS giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc Gia cần các bài tập với cấp độ vận dụng cao để tăng sáng tạo và tăng cường tư duy cho HS. 
- Bài tập có tính tổng hợp, đề cập đến nhiều nội dung kiến thức trong chương trình học. GV cần tổng quát hóa các bài tập và tạo cho HS biết tổng quát hóa và đặc biệt hóa khi học các bài toán về hàm ẩn.
- Bài tập giúp học sinh nâng cao tính độc lập, chủ động, tích cực, sáng tạo trong học tập, gắn thực tiễn.
+ Một trong các hoạt động cơ bản của học sinh học tập môn toán ở trường phổ thông là hoạt động giải toán. Hoạt động học và giải toán của học sinh thường diễn ra theo trình tự: quan sát, tiếp thu kiến thức, làm bài có sự hướng dẫn, tự làm theo mẫu, độc lập làm bài. Qua thực tế tình hình chất lượng học sinh tôi đã đưa ra một số phương pháp để dạy học sinh môn toán như sau:
- Nắm chắc đối tượng học sinh.
-Trên cơ sở điều tra phân loại ban đầu, giáo viên có cách nhìn nhận và thái độ phù hợp đối với từng học sinh: nhẹ nhàng khích lệ, động viên đối với học sinh có hoàn cảnh đặc biệt hoặc bị hổng kiến thức. GV cần bổ sung và cung cấp thêm các kiên thức cho HS trong quá trình học để lấp lỗ hổng kiến thức. 
- Luyện tập vừa sức đối với học sinh.
 Gia tăng số lượng bài tập cùng thể loại và mức độ. Để hiểu một kiến thức, rèn luyện một kỹ năng nào đó cho học sinh trung bình, yếu kém cần những bài tập cùng thể loại và cùng mức độ với số lượng nhiều hơn so với các em khá, giỏi, phần gia tăng này thực hiện trong những tiết học dạy tự chọn hay những tiết học phụ đạo học sinh trung bình, yếu. Đối với HS khá giỏi, GV cần ra các bài tập mức độ tăng dần cho các HS khá giỏi phát triển tư duy. Cần bổ sung bài tập khái quát hóa và tổng quát hóa các bài toán, yêu cầu HS tìm các quy trình giải toán.
- Giúp đỡ học sinh học tập: Rèn luyện kỹ năng học tập thực sự cần thiết đối với học sinh. Vì vậy, một trong những biện pháp nâng cao kết quả học tập của HS là giúp đỡ các em về phương pháp học tập. Đối với học sinh cần hướng dẫn cho các em về cách thức học tập toán như: nắm được lý thuyết mới làm bài tập, đọc kỹ đề bài. 
5.2. Một số sai lầm thường gặp khi dạy học các bài toán về hàm ẩn
Trong phần này đề tài nêu ra các sai lầm phổ biến khi HS giải các bài toán về hàm ẩn và giúp HS có định hướng cách giải tránh gặp sai lầm. Mỗi chuyên đề, mỗi bài tập HS đều có sự nhầm lẫn phổ biến. Đối với người GV cần phải tìm ra lỗi sai để nhắc HS không mắc sai lầm.
Ví dụ: Khi dạy bài tính đơn điệu của hàm số, đề ra cho đồ thị hàm số f(x) thì dựa vào đồ thị HS cần nhìn vào đồ thị thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng nào là hàm đồng biến trên khoảng đó, đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó. Tuy nhiên nếu đề ra cho đồ thị của đạo hàm, HS cần chú ý nếu đồ thị của đạo hàm nằm trên trục hoành trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu đồ thị đạo hàm nằm dưới trục hoành thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó. 
Ví dụ: Khi dạy bài cực trị của hàm số, nếu đề ra cho đồ thi hàm số f(x) thì để xác định điểm cực trị cần dùng định nghĩa cực trị, còn khi cho cho đồ thị của đạo hàm thì HS cần xác định cực trị dựa vào dấu của đạo hàm, sự đổi dấu của hàm số này. Trong bài này, HS hay sai lầm ở chỗ nghĩ hàm số đạt cực trị tại điểm nào thì tại đó đạo hàm bằng 0 tuy nhiên chỉ cần đạo hàm qua điểm đó dổi dấu và hàm số xác định tại điểm đó. GV hướng dẫn cho HS tổng quát hóa bài tập số cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ: Khi dạy bài GTLN và GTNN của hàm số, GV hướng dẫn HS hiểu định nghĩa và định lý từ đó sẽ làm được các bài tập mức độ từ thấp đến cao.
Ví dụ: Khi dạy bài tiệm cận GV cần cho HS nắm định nghĩa tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. HS dễ nhầm lẫn giũa tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.GV chốt điều kiện để một đường thẳng là tiệm cận của đồ thị hàm số.
Ví dụ: Khi dạy bài toán hàm ẩn về đồ thi hay tích phân, GV có thể hướng dẫn HS tìm hàm số phù hợp rồi thực hiện như các bài không còn hàm ẩn.
Vì các bài toán hàm ẩn HS thấy trừu tượng nên GV cần hướng dẫn từ định nghĩa, định lý. Các phương pháp khi làm bài, GV có thể cho HS chọn hàm phù hợp. Đặc biệt hóa cũng là cách giải phương pháp trắc nghiệm. GV hướng dẫn HS cách chọn hàm đặc biệt.
6. Kiểm tra thực nghiệm đề tài 
6.1. Phương pháp kiểm tra thực nghiệm
Sử dụng hình thức đề thi kiểm tra gồm các bài tập chương I, chương III giải tích lớp 12, làm bài trong 45 phút, thang điểm 10. Mỗi năm khảo sát 2 lớp học sinh khối 12, trong đó cụ thể là :
- Lớp 12A1, 12B1 (Năm học 2016-2017) và các lớp 12A1, 12B3 (Năm học 2017-2018) làm lớp đối chứng (ĐC): Lớp chưa tiến hành sử dụng kết quả trong SKKN.
- Lớp 12A2, 12B1 (Năm học 2019-2020) và lớp Lớp 12A, 12A2 (Năm học 2020-2021) làm lớp thực nghiệm (TN): Lớp được tiến hành sử dụng kết quả trong SKKN.
6.2. Kết quả kiểm tra thực nghiệm
Khảo sát học sinh, ở 04 lớp 12 ở các năm học 2016 - 2017; 2017 – 2018 (lớp đối chứng : không sử dụng các kinh nghiệm trong đề tài này) qua bài kiểm tra chuyên đề lớp 12. Khảo sát học sinh mức độ học tương đồng với các lớp đối chứng ở 04 lớp 12 năm học 2019 - 2020 ;2020-2021 (lớp thực nghiệm: sử dụng các kinh nghiệm trong đề tài này) qua bài kiểm tra chuyên đề hàm số và nguyên hàm tích phân, kết quả về điểm số như sau:
 6.2.1. Kết quả kiểm tra của lớp đối chứng (Lớp chưa sử dụng các kinh nghiệm trong đề tài này).
a. Năm học 2016 - 2017.
STT
Lớp
Sĩ số
Đạt điểm loại giỏi
Đạt điểm loại khá
Đạt điểm trung bình
Đạt điểm loại yếu
Đạt điểm loại kém
Đạt điểm TB, Yếu, Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
12A1
40
2
5
4
10
12
30
10
25
8
20
4
10
2
12B1
40
1
2.5
2
 5
11
27,5
10
25
10
25
6
15
b. Năm học 2017 - 2018.
STT
Lớp
Sĩ số
Đạt điểm loại giỏi
Đạt điểm loại khá
Đạt điểm trung bình
Đạt điểm loại yếu
Đạt điểm loại kém
Đạt điểm TB, Yếu, Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
12A1
41
2
4,8
3
7,3
10
24,4
8
19,5
9
22
8
19,5
2
12B3
38
1
2,6
2
5,3
12
31,6
10
24,4
4
10,5
7
18,4
6.2.2. Kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm (Lớp sử dụng các kinh nghiệm trong đề tài này)
a. Năm học 2019 - 2020.
STT
Lớp
Sĩ số
Đạt điểm loại giỏi
Đạt điểm loại khá
Đạt điểm trung bình
Đạt điểm loại yếu
Đạt điểm loại kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
12A2
36
12
33
14
39
8
22
1
2,8
1
2,8
2
12B1
37
12
32
18
49
 6
16,2
1
2,8
0
0
b. Năm học 2020 - 2021.
STT
Lớp
Sĩ số
Đạt điểm loại giỏi
Đạt điểm loại khá
Đạt điểm trung bình
Đạt điểm loại yếu
Đạt điểm loại kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
12A
41
10
24,4
14
34,1
15
36,6
1
2,4
1
2,4
2
12A2
42
8
19
12
28,6
20
47,6
1
2,4
1
2,4
So sánh kết quả của lớp đối chứng và lớp thực nghiệm ở cả 2 năm cho thấy:
- Tỉ lệ điểm giỏi: Lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng.
- Tỉ lệ điểm khá: Lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng.
- Tỉ lệ điểm trung bình và yếu: Lớp thực nghiệm thấp hơn so với lớp đối chứng.
- Tỉ lệ điểm kém: Lớp thực nghiệm thấp hơn so với lớp đối chứng.
Như vậy ở lớp đối chứng số học sinh có điểm trung bình và yếu cao hơn, trong khi đó ở lớp thực nghiệm có điểm khá và giỏi cao hơn vượt trội. Kết quả này chứng tỏ sử dụng kết quả của SKKN có hiệu quả rất tốt, có tính ứng dụng rộng rãi và dễ áp dụng cho rất nhiều đối tượng học sinh.
7. GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM
Luyện tập: Ôn tập: Các bài toán về hàm ẩn về hàm số và tích phân 
I/ Mục tiêu bài dạy: Qua bài học HS cần:
1) Về kiến thức: Ôn tập lại kiến thức cơ bản: + Về hàm số: Tính đơn điệu, cực trị, Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tiệm cận của đồ thị hàm số. Bài toán về đồ thị hàm số. + Về tích phấn
2) Về kĩ năng: 
- Áp dụng được lý thuyết vào giải các bài tập: Tính đơn điệu, cực trị, Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tiệm cận của đồ thị hàm số. Bài toán về đồ thị hàm số
- Tính tích phân hầm ẩn.
3) Về tư duy và thái độ:
Phát triển tư duy trừu tượng, khái quát hóa, tư duy lôgic,
Học sinh có thái độ nghiêm túc, say mê trong học tập, biết quan sát và phán đoán chính xác, biết quy lạ về quen.
4) Về phát triển năng lực cho học sinh:
Đưa các ví dụ và đặt các tình huống nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực thực nghiệm, năng lực khái quát hóa, năng lực đánh giá kết quả.
II/ Chuẩn bị: 
1. Giáo viên: Giáo án, Sách giáo khoa, đồ dùng dạy học, thiết bị dạy học.
2.Học sinh: Ôn tập lí thuyết và làm bài tập trước ở nhà
III/ Phương pháp: Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm. Kết hợp với cách thức tổ chức rèn luyện kĩ năng cho học sinh giải toán về hàm ẩn.
III/ Tiến trình bài dạy:
1/ Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số 
2/ Kiểm tra bài cũ, tìm hiểu năng lực học sinh và chia nhóm (Chia nhóm dựa vào năng lực học tập của học sinh) 
- Giáo viên: Phát phiếu học tập cho học sinh (Lần 1 phát phiếu học tập số1 cho mỗi học sinh, lần 2 phát tiếp hiếu học tập số2 cho học sinh nếu đã làm xong phiếu học tập số 1. Tiếp tục lần 3, 4... cho đến hết thời gian quy định 6 phút).
- Học sinh: Hoàn thành các bài tập trong phiếu học tập (trong tổng thời gian quy định 6 phút, nếu học sinh hoàn thành trước thời gian quy định thì nạp bài và tiếp tục nhận phiếu học tập tiếp theo).
 Phiếu học tập số 1.
+ Hãy nêu định nghĩa tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số, Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tiệm cận của đồ thị hàm số. 
+ Hãy nêu định lý tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số, Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tiệm cận của đồ thị hàm số. 
+ Nêu định nghĩa, tính chất về tích phân.
Phiếu học tập số 2.
- Giáo viên thu bài và chia nhóm học sinh theo năng lực. (Từ 4- 6 nhóm) (Thời gian 1 phút) HS làm phiếu học tập số 2 ( Bài 1)
Nhóm 1,2: Đối tượng học sinh trung bình, yếu và kém (Điểm đạt được dưới 6,5 điểm)
Nhóm 3,4: Đối tượng học sinh khá, giỏi (Điểm đạt được từ 6,5 điểm trở lên) 
3/Tiến trình dạy học bài mới 
Hoạt động của GV và HS
Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1: Chữa bài tập phiếu học tập số 1,(Thời gian 5 phút):
 - Giáo viên: Yêu cầu học sinh nhóm 1,2 trình bày. Học sinh nhóm 3,4 nhận xét và bổ sung. 
Sử dụng máy chiếu hỗ trợ, chiếu kết quả.
- Học sinh: Trả lời và nhận xét
- Máy chiếu: Chiếu kết quả yêu cầu trả lời.
Hoạt động 2: Chữa bài tập phiếu học tập số 2, (Thời gian 5 phút):
- Giáo viên: Yêu cầu học sinh nhóm 1,2 trình bày. Học sinh nhóm 3,4 nhận xét và bổ sung. 
Sử dụng máy chiếu hỗ trợ, chiếu kết quả.
- Học sinh: Trả lời và nhận xét
- Máy chiếu: Chiếu kết quả yêu cầu trả lời.
Hoạt động 3: Chữa bài tập phiếu học tập số 3:
Yêu cầu học sinh nhóm 3 trình bày. Học sinh nhóm 4 nhận xét và bổ sung. 
*Khi dạy học sinh giải các bài tập trong tiết dạy giáo viên tiến hành theo các bước:
Bước 1: Học sinh xác định mục đích bài toán. Bài toán cần giải quyết điều gì?
Bước 2: Giáo viên làm mẫu. Giáo viên chọn bài toán đơn giản. Yêu cầu học sinh khá giỏi trình bày và trao đổi kết quả cho cả lớp, hoặc giáo viên sử dụng phương pháp gợi mở để dạy cho cả lớp.
Bước 3: Yêu cầu cả lớp giải bài tập tương tự.
Bước 4: Hình thành quy trình giải toán
- Giáo viên: Giáo viên chốt lại cách giải để hình thành kĩ năng cho học sinh khi giải dạng toán ..
- Học sinh: Trả lời và nhận xét
- Máy chiếu: Chiếu kết quả yêu cầu trả lời.
Giáo viên :chốt lại cách giải để hình thành kĩ năng cho học sinh 
Hoạt động 4: Chữa bài tập 4( Cả 4 nhóm làm bài)
+ Giáo viên:- tổ chức cho các nhóm tích cực hoạt động
-Yêu cầu học sinh các nhóm thảo luận.
-Giáo viên cho học sinh nhắc lại các bước tính xác suất của biến cố
+ Học sinh: Độc lập làm bài theo mẫu.
-Học sinh nhóm 1, 2 trình bày bài giải câu a. 
Học sinh nhóm 3, 4 nhận xét và bổ sung.
Luyện tập
Phiếu số 1: 
Phiếu số 2: Làm bài 1
Phiếu số 3: Làm bài 2
Phiếu số 4: Làm bài 3
Bài 1. Trích đề THPT năm 2018.
 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
 A. B. .	 C. .	 D. .
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng .
Chọn A.
Bài 2. Cho hàm số xác định trên , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau.
Hàm số đã cho có bao nhiêm điểm cực trị? A. .	 B. . 	C. .	 D. .
Bài 3. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. 	B. 
C. 	D. 
Lời giải
Cách 1. Ta có 
Hàm số đồng biến 
Đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
Cách 2. Ta có 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
Chú ý: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 
. 
Với 
Từ và suy ra trên khoảng nên mang dấu .
Nhận thấy các nghiệm của là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu. 
Bài 4. Cho hàm số xác định trên R và hàm số có đồ thị như hình bên dưới:
Xét các khẳng định sau:
(I) Hàm sốcó ba cực trị.
(II) Phương trình có nhiều nhất ba nghiệm. 
(III) Hàm sốnghịch biến trên khoảng .
Số khẳng định đúng là:
A. B. 	 C. 	D. 
Lời giải
Chọn B
Phương pháp: Từ đồ thị hàm số lập BBT của đồ thị hàm số và kết luận.
Cách giải: Ta có 
BBT:
Từ BBT ta thấy (I) đúng, (II) sai.
Với Hàm sốnghịch biến trên khoảng.
=> (III) đúng. Vậy có hai khẳng định đúng. Chọn phương án B.
 Hoạt động 6: Củng cố: Để tránh các sai lầm đáng tiếc trong khi giải bài toán, nhìn bài toán ở nhiều góc độ để tìm các cách giải khác nhau của bài toán đó.
Hoạt động 7: Bài tập về nhà: Bài tập sách bài tập, các đề luyện thi THPT ở các trường
Bài tập (Trích đề minh họa của Bộ Giáo Dục năm 2017) 
Cho hàm sốxác định, liên tục trên và có bảng biến thiên:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng .
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng .
C. Hàm số đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại .
D. Hàm số có đúng một cực trị.
Lời giải
Đáp án A sai vì hàm số có điểm cực trị.
Đáp án B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu khi .
Đáp án C sai vì hàm số không có GTLN và GTNN trên .
Đáp án D đúng vì hàm số đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại . Vậy chọn phương án C.
Phần III. KẾT LUẬN
1. Kết luận.
Trong giai đoạn hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là một nhiệm vụ hết sức quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội một nguồn nhân lực thực sự. Chúng tôi mong muốn làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập của học sinh nên chúng tôi luôn cố gắng tìm ra giải pháp để giảng dạy có kết quả tốt. Đề tài cũng giúp ích cho công việc giảng dạy của chúng tôi, góp phần giúp học sinh hiểu kĩ hơn và vận dụng tốt hơn vào giải toán, nâng cao khả năng vận dụng các kiến thức thực tiễn và nâng cao chất lượng học trong bộ môn giải tích đặc biệt bài toán về hàm ẩn. Thông qua các tiết dạy, lý thuyết, luyện tập, sử dụng giải pháp của sáng kiến kinh nghiệm cho thấy:
+ Học sinh nắm được các dạng toán trong chương và biết cách giải các dạng toán, từ đó kết quả học sinh được nâng lên.
+ Tinh thần và thái độ học tập của học sinh tốt hơn.
+ Học sinh đã chủ động sáng tạo khi học bộ môn giải tích các bài toán về hàm ẩn và khắc phục được một số sai lầm khi giải toán.Học sinh cảm thấy yêu thích học tập môn toán hơn và đặc biệt là bộ môn giải tích các bài toán về hàm ẩn .
+ Khi dạy học sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này kết quả học tập của học sinh với mức độ học tương đồng có sự thay đổi rõ rệt. Số lượng điểm 9; 10 và 7; 8 tăng đáng kể, tỉ lệ học sinh dưới điểm trung bình trở xuống giảm rõ rệt. Bước đầu cho thấy tính khả thi của sáng kiến kinh nghiệm.
Với nhiều năm giảng dạy ở trường THPT, chúng tôi thấy sự khó khăn khi học sinh giải các bài toán về hàm ẩn và sự khó khăn của giáo viên khi giảng dạy các bài toán về hàm ẩn Với sự trăn trở đó, chúng tôi đã nêu lên một số biện pháp để khắc phục khó khăn khi dạy bộ mộn hàm ẩn. 
2. Kiến nghị
- Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập cần hiểu đối tượng học sinh, các định nghĩa, các tính chất, cách giải các dạng toán để có thể vận dụng có hiệu quả SKKN trong nhiều dạng bài tập liên quan khác.
- SKKN đã được triển khai có hiệu quả ở nhiều lớp 12 tại trường THPT Nghi Lộc 3. SKKN cũng được chúng tôi chia sẻ chuyên môn với các đồng nghiệp tại nhiều trường THPT như: THPT Nguyễn Trường Tộ, THPT Hà Huy Tập, THPT Nghi Lộc 2, THPT Cửa Lò 2 và thấy có kết quả tốt. Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để SKKN có nhiều kết quả tốt hơn nữa cho HS và là tài liệu có ich cho GV. Mong rằng trong thời gian tới SKKN tiếp tục được áp dụng với nhiều trường, nhiều lớp, nhiều đối tượng học sinh hơn nữa, đồng thời kính mong các đồng nghiệp góp ý xây dựng để SKKN được hoàn thiện hơn.
 Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo và bạn đọc !
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Bộ Giáo dục và Đào tạo, Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội.
2. Tài liệu tập huấn dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo định hướng phát triển năng lực học sinh.
3. 	Nguyễn Hữu Châu, Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá trình dạy học, NXB Giáo dục, Hà Nội 2006. 
4. 	Nguyễn Bá Kim, Tôn Thân, Vương Dương Minh, Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán, NXB Giáo dục, Hà Nội 1999. 
5.	Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Phạm Văn Kiều, Phát triển Lí luận dạy học môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội 1997. 
6.	Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên. 
7.	Trần văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, SGK Giải tích lớp 12 cơ bản, NXB Giáo dục 2007.
8. Tài liệu tập huấn phương pháp và kĩ thuật tổ chức hoạt động học theo nhóm và hướng dẫn học sinh tự học.
9. Trần văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương Sách Giáo viên Giải tích lớp 12 cơ bản, NXB Giáo dục 2007.
10. 	Chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán lớp 12.
11. Các bài tập trong các đề thi THPT của Bộ giáo dục và các đề thi thử các trường THPT và bài tập trong diễn đàn Giáo viên Toán.
12. Nguồn tài liệu Internet.
13. Bộ Giáo Dục, Chương trình tổng thể môn Toán, 2018.