Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học bất đẳng thức và giải toán cực trị hình học

Lời nói đầu
Bất đẳng thức và các bài toán cực trị đại số là hai chuyên đề ít được đề cập đến lí thuyết trong chương trình sách giáo khoa toán ở bậc trung học cơ sở.Ở lớp 8 chuyên đề bất đẳng thức được trình bày 2 tiết lý thuyết và 1 tiết luyện tập,do yêu cầu của chương trình mà hai chuyên đề này trong chương trình sách giáo khoa không đi sâu vào mô tả khái niệm bất đẳng thức và chứng minh các bất đẳng thức phức tạp,tuy nhiên trong sách bài tập lại đưa ra bài tập của hai chuyên đề này vào cuối của một số chương, đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi hoặc thi vào lớp 10 các trường chuyên thì học sinh lại gặp những bất đẳng thức rất phức tạp.Nhiều học sinh đã tỏ ra lúng túng khi đứng trước bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc bài toán tìm cực trị của một biểu thức có nhiều em đã chán nản khi phải học bất đẳng thức.Tự kiểm điểm lại bản thân, các em thấy rằng mình đã rất cố gắng trong quaù trình hoïc taäp, cứ nghĩ mình đã nắm rất vững kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong sách giáo khoa thế nhưng đứng trước bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm cực trị của một biểu thức thì lại bế tắc không tìm ra lời giải.về sau tham khảo lời giải của những bài toán ấy thì thấy không có gì khó khăn lắm vì chỉ toàn sử dụng kiến thức cơ bản về bất đẳng thức,có những bài giải rất đơn giản nhưng chỉ vì một chút thiếu sót hoặc không nghĩ đến cách ấy mà các em đã giải sai.Là giáo viên toán, ai cũng thấy rằng: học sinh thuộc bài trông sách giáo khoa thôi thì chưa đủ mà phải biết vận dụng kiến thức để giải quyết trong những tình huống cụ thể, phải biết phân loại các dạng toán và cách giải từng dạng toán. Các bài toán về bất đẳng thức và tìm cực trị của một biểu thức trong các sách bồi dưỡng học sinh giỏi, tạp chí toán học, báo toán học tuổi trẻ,.., và cả trên thư viện điện tử rất đa dạng, phong phú có những bài có nhiều hướng giải quyết và cũng không ít bài có cách giải độc đáo.song thời gian dạy và hướng dẫn cho học sinh học tập lại hạn chế, do đó đòi hổi người thầy phải biết tổng hợp,phân loại các dạng toán thường gặp và các phương pháp để giải chúng.Từ đó hướng dẫn học sinh rèn luyện ý thức định hướng và đúc rút kinh nghiệm.Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đã phân loại được một số dạng toán về bất đẳng thức, bài toán cực trị thường gặp và các phương pháp thích hợp để giải chúng.vì vậy tôi mạo muội viết ra những kinh nghiệm của bản thân để chia sẻ cùng các thầy(cô) dạy toán,các em học sinh và những ai yêu thích môn toán.
	Phạm vi chọn đề tài.
Do thời gian có hạn, nên đề tài này tôi chỉ nêu một số tính chất của bất đẳng thức, cách chứng minh một số dạng bất dẳng thức thường gặp trong chương trình toán ở bậc THCS và cách giải một số dạng bài toán cực trị đại số.Các dạng bất đẳng thức khác ở bậc THPT.Cách giải các dạng oán cự trị hình học chưa được đề cập đến.
Phaàn 1:	Thöïc traïng
Qua quan sát tình hình học tập bất đẳng thức và giải toán cực trị cũng như kiểm tra học sinh về phần này tôi thấy rằng, đại đa số học sinh lung túng khi đứng trước bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của một biểu thức đại số. Cụ thể nghiên cứu như sau:
Về chứng minh bất đẳng thức:
Ở mức độ kiến thức cơ bản, trong 115 học sinh thì có 52 học sinh (42%) chứng minh được.
Ở mức độ nâng cao thì trong 115 em chỉ có 2 em (2%) chứng minh được.
Về giải toán cực trị:
Ở mức độ cơ bản như sách giáo khoa và sách bài tập, trong 115 em thì có 9 em (0,8%) làm được ở mức độ nâng cao trong 115 em,không có em nào làm được.
Qua đây ta có thể rút ra một số nguyên nhân dẫn đến mức độ nắm bắt kiến thức về bất đẳng thức và vận dụng kiến thức về bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị của một biểu thức ở học sinh kém như sau:
Nhiều học sinh học yếu môn toán.
Học sinh chưa nắm vững khái niệm, cũng như các tính chất của bất đảng thức.
Chưa vậ dụng linh hoạt lí thuyết về bất đẳng thức vào giả các bài toán cụ thể.
Kinh nghiệm giả toán bất đẳng thức và toán cực trị còn ít.
Hệ thống bài tập tự giải tự tích lũy của các em chưa nhiều.
Các em chưa phân loại được các dạng toán cùng phương pháp chứng minh.
Từ thực trạng tình hình và phân tích nguyên nhân các em học sinh gặp vướng mắc khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học, tôi đã tổng hợp được một số dạng toán chứng minh bất đẳng thức và giải bài toán cực trị ở bậc THCS cùng với phương pháp giải chúng.Sau đây là phương pháp giải một số dạng toán về bất đẳng thức và tìm cực trị của một biểu thức đại số.
BẤT ĐẲNG THỨC
Khái niệm về bất đẳng thức:
 Một số tính chất:
* Với a,b,c,a>b, ta có:
a) a+c>b+c	b) ac>bc (nếu c>0)	
c) acb và b>c thì a>c	
* V ới a>b>0,n là số nguyên dương, ta có 
a) an> bn	b) 
* với mọi a,b, ta có: a>b a-b>0
Chú ý: Các tính chất trên vẫn đúng trong trường hợp dấu của bất đẳng thức là “ hoặc” 
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. 
VD 1: Chứng minh rằng:
a2+b2+c2 ab+ac+bc
bất đẳng thức hiển nhiên đúng.Dấu “=” x ảy ra khi a=b=c
VD 2: Chứng minh rằng 2a2+b2+c2 2(ab+ac) với mọi a, b, c
hiễn nhiên đúng với mọi a,b,c. dấu “=” xảy ra khi a=b=c
vậy 2a2+b2+c2 2(ab+ac) với mọi a,b,c
VD 3: chứng minh rằng:
Cm: 
hiển nhiên đúng.Dấu “=” xảy ra khi ad=bc 
vậy 
VD 4: chứng minh rằng 
cm: 
hiển nhiên đúng .
vậy 
VD 5: chứng minh rằng :
 Từ đó suy ra 
CM: 
hiển nhiên đúng . vậy
đặt x2+y2=X; 2xy=Y
theo chứng minh trên, ta có 
từ (1) và (2) suy ra 4 hay 
VD 6: chứng minh rằng: với mọi ab>1
CM: nhân cả hai vế của BĐT với (1+a2).(1+b2).(1+ab) thì 
(1+a2).(1+ab)+(1+b2). (1+ab)2(1+a2)(1+b2)
(1+a)(2+a2+b2)-2(1+a2)(1+b2) 0
2+a2+b2+2ab+ab.a2+ab.b2-2-2b2-2a2-2a2b20
ab.a2+ab.b2-a2-b2+2ab-2a2b20
(ab.b2 –b2)+(ab.a2-a2)+(2ab-2a2b2) 0
b2(ab-1) + a2(ab-1)-2ab(ab-1) 0
(b-a)2(ab-1) 0 hiển nhiên vì ab>1
vậy với mọi ab>1
Bài tập tự giải
Chứng minh rằng:
bài 1: a2 + b2 +c2+d2 + e2 a(b+c+d+e) 
bài 2: 
bài 3: 
bài 4: a3+b3 a4+b4 với a+b 
bài 5: với mọi a,b,c>0
bài 6: với 
trong quá trình học bất đẳng thức chúng ta còn gặp nhiều bất đẳng mà chứng minh nó bằng phương pháp biến đổi tương đương sẽ gặp rất nhiều khó khăn, cũng có những bài không thể làm được bằng phương pháp này. Để chứng minh những bất đẳng thức như vậy đôi khi ta phải nhờ đến một bất đẳng thức khác như bất đẳng thức cauchy (cô sy), Bunhiacopsky,sau đây là một số bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp áp dụng bất đẳng thức cô sy.
DỰA VÀO BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.
Với ta có 
	 Ta cũng có thể viết ta có 
Chứng minh:€€€Error! No bookmark name given.
BĐT đúng với n = 2. thật v ậy 
 Với mọi ta có 	(1)
 dấu “=” xảy ra khi .Bất đẳng thức đúng.
giả sử BĐT đúng với n=k (k bất kì). Ta phải chứng minh B ĐT đ úng với n=2k
 thật vậy giả sử ta có 
với 2k số không âm ta có 	(2)
dấu “=” xảy ra khi 
Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k (k bất kì) sẽ đúng với n=k-1
thật vậy với k-1 số không âm ta có 
 (3)
dấu “=” xảy ra khi 
từ (1),(2) và (3) suy ra BĐT luôn đúng với mọi n
ghi chú: Cách chứng minh trên là cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp kiểu cauchy
VD1: Chứng minh rằng (a+b) (1+ab) 4ab với mọi a,b>0
Phân tích: ta không thể áp dụng ngay BĐT cô sy trong trường hợp này vì ở vế trái là một tích . để áp dụng bất đẳng thức cô sy ta phải viết vế trái thành tổng.
CM: ta có (a+b)(1+ab) = a+a2b+b+ab2. vì a,b>0 nên a,ab2,b,a2b>0
Theo bất đẳng thức cô sy, ta có a+a2b+b+ab2
Dấu “=” xảy ra khi a=b=1
Vậy (a+b)(1+ab) 4ab với mọi a,b>0.
VD 2 Chứng minh rằng ()(
CM: ()(1+. Vì a,b>0 nên 
Áp dụng BĐT cô sy, ta có ()(1+.
dấu “=” xảy ra khi 
vậy ()(
VD 3: Chứng minh rằng a+b+1
phân tích: khác với hai ví dụ đã giải ở trên, ở trong B ĐT này cả hai v ế đều là một tổng ba hạng tử trong bất đẳng thức. trong BĐT cô sy chiều nhỏ hơn là n vì vậy mỗi hạng tử là một vế nhỏ hơn của ba bất đẳng thức cô sy khác. Căn cứ vào điều này ta có thể chứng minh bài toán như sau:
CM: với a,b>0 ta có:
 . Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có 
dấu “=” xảy ra khi a=b=1
VD 4: chứng minh rằng 
Phân tích: Trong BĐT này ở vế trái có ba hạng tử, vế phải có hai hạng tử vì vậy khi chứng minh bất đẳng thức này cần khéo léo tách các hạng tử ở vế trái một cách hợp lí, tuy nhiên nếu chỉ để ý vế trái thôi thì việc phân tích cũng sẽ gặp khó khăn, mà để làm được điều này ta cũng cần để ý vế phải để có cách phân tích phù hợp. Ta có thể giải bài tập này như sau:
CM: vì a,b0 nên 2a,2b0.
Áp dụng bất đẳng thức cô sy, ta có (1)
 (2)
cộng vế với vế của (1) và (2) ta được +
 + a++b+ a+b+
dấu”=” xảy ra khi 2a=2b= a=b=
Bài tập tự giải:
chứng minh rằng:
bài 1: 
bài 2: (ax+by)(ay+bx)
bài 3: 
bài 4: a+b+c
BẤT ĐẲNG THỨC “CỘNG MẪU” 
Với , ta có 
Chứng minh: Với ta có (1)
	 (2)
Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được:
()
 dấu “=” xảy ra khi a1=a2=a3==an.
VD 1: chứng minh rằng: 
Với a, b, c>0, a+b+c=1 thì 
Vì a,b,c>0 nên áp dụng bất đẳng thức “cộng mẫu”, ta có 
Mà a+b+c=1 (gt) nên . Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=
VD 2: cho a,b,c >0 chứng minh rằng 
Phân tích: Nếu dung bất đẳng thức “cộng mẫu” cho 3 số ở vế trái, ta không thể chứng minh được bài toán này.khi thực hiện phép nhân ở vế phải ta thấy vế phải là một tổng vì vậy ta suy nghĩ đến việc dùng ba bất đảng thức “cộng mẫu” sau đó cộng vế với vế của ba bất đẳng thức đó. Ta có thể giải bài toán trên như sau:
Ta có 
cộng vế với vế của (1),(2) và (3) ta có 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
VD 3: cho a,b,c,d>0 chứng minh rằng: 
Phân tích: Nếu viết vế trái thành và áp dụng bất đẳng thức “cộng mẫu” ta không được như ý muốn. nếu thực hiện phép nhân ở vế phải ta được 2 biểu thức có tử là 32 còn mẫu của mỗi biểu thức gồm ba số hạng. Do đó ta nghĩ đén việc chứng minh hai bất đẳng thức bằng cách áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu rồi cộng vế với vế của hai bất đẳng thức đó. Ta có thể chứng minh như sau:
Ta có cộng vế với vế của hai bất đẳng thức (1) và (2) ta được . Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=d
Bài tập tự giải: 
Bài 1: Cho a,b>0, a+b=12. Chứng minh rằng: 
Bài 2: Với a,b>0, a+b=1. Chứng minh rằng 
Bài 3: với a,b,c>0 chứng minh rằng :
Bài 4: cho a,b,c>0và a+b+c=. Chứng minh a+b+c+
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để chứng minh bất đẳng thức
Với hai bộ số (x1, x2, ,xn); (y1,y2,,yn), ta có 
cm: đặt =A ; =B; =C
Ta có (x1m-y1)2+(x2m-y2)2++(xnm-yn)2
 khi đó phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm. Do đó hay . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ :
VD 1: Chứng minh với x2+y2=u2+v2=1
cm: Ta có 
 (ĐPCM)
Dấu “=” xảy ra khi 
VD 2: Chứng minh rằng với 
Cm: dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
VD 3: Chứng minh với ,ta có 
VD 5 
Cm 
Baøi taäp töï giaûi:
Baøi 1: 
Baøi 2: 
Baøi 3:
Trong quaù trình daïy hoïc chöùng minh BÑT nhieàu khi ta coøn gaëp nhöõng baøi toaùn khoâng theå aùp duïng nhöõng baát ñaúûng thöùc coå ñieån nhö coâ sy hay Bunhiacopski maø ñoøi hoûi söï saùng taïo trong quaù trình phaân tích vaø chöùng minh baát ñaêûng thöùc.Coù khi chuùng ta phaûi taùch caùc soá haïng hoaëc caùc thöøa soá ôû moät veá naøo ñoù cuûa baát ñaúng thöùc cuõng coù khi phaûi ñöa vaøo trong baøi toaùn moat ñaïi löôïng trung gian ñeå so saùnh.Sau ñaây laø hai phöông phaùp ñeå giaûi moät soá baøi toaùn nhö ñaõ noùi.
Chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng phöông phaùp taùch caùc soá haïng hoaëc taùch caùc thöøa soá cuûa moät veá.
Trong moät soá tröôøng hôïp ta taùch soá haïng hoaëc thöøa soá cuûa moät veá roài töø ñoù thöïc hieän pheùp tính.
Ví duï 2:
Baøi taäp töï giaûi:
CM 
IV. Phöông phaùp laøm troäi:
§Ó chøng minh A ≥ B nhiÒu khi ta ph¶i chøng minh A ≥ C víi C lµ biÓu thøc lín h¬n hoÆc b»ng B, tõ ®ã ta cã A ≥ B; HoÆc chøng minh D ≥ B Víi D lµ biÓu thøc nhá h¬n hoÆc b»ng A, tõ ®ã ta cã A ≥ B.
2. VÝ dô:
VÝ dô 1. Chøng minh r»ng: > (Víi > 1 ).
Gi¶i:
 Ta cã: > 
T¬ng tù: > 
 ..................
Céng tÊt c¶ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn theo tõng vÕ (lu ý tõ sè h¹ng n + 1 ®Õn sè h¹ng thø n + n = 2n, cã tÊt c¶ lµ n sè), ta ®îc ®pcm.
VÝ dô 2. Chøng minh r»ng: > 
Gi¶i:
Ta cã: > = = Suy ra ®pcm.
Ví duï 3: 
Cm: Ta coù (2n+1)2=4n2+4n+1>4n2+4n=4n(n+1) suy ra 
Ví duï 4 
	 (Ñeà thi vaøo lôùp 10 cuûa sôû GD Ñaéc Laéc naêm hoïc 2007-2008)
Nhaän xeùt : 
Baøi taäp töï giaûi:
Baøi 1: Chöùng minh raèng vôùi moïi 
CHUYEÂN ÑEÀ TOAÙN CÖÏC TRÒ
Daïng 1: Tìm cöïc trò cuûa bieåu thöùc laø ña thöùc baäc hai.
Muoán tìm GTNN cuûa bieåu thöùc daïng ax2+ bx+c (a, b, c laø caùc soá, a) ta bieán ñoåi bieåu thöùc veà daïng (a’x+b’)2+c’, khi ñoù GTNN cuûa bieåu thöùc laø c’.
Muoán tìm GTLN cuûa bieåu thöùc ax2+ bx+c ta bieán ñoåi bieåu thöùc veà daïng – (a’x+b’)2+c’, khi ñoù GTLN cuûa bieåu thöùc laø c’.
VD 1: Tìm GTNN cuûa caùc bieåu thöùc sau:
x2+4x+9	b) 4x2-12x+12
2x2-x-13	d) 3x2+4x -5
	Chöùng minh
x2+4x+9= x2+4x+4+5=(x+2)2+5
4x2-12x+12 = (2x)2-12x+9+3=(2x-3)2+3.
V D 2: Tìm GTLN cuûa caùc bieåu thöùc sau:
4x-x2+5	b) -2x2+2x-15
Chöùng minh 
Baøi taäp töï giaûi: 
Baøi 1: Tìm GTNN cuûa caùc bieåu thöùc sau:
12x2-4x+22	b) 7x2+6x-11
Baøi 2: Tìm GTLN cuûa bieåu thöùc:
16x-4x2+12	b) -5x2+24x+35
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức: x(x+1)(x+2)(x+3).
Cuõng coù khi chuùng ta gaëp nhöõng baøi toaùn tìm cöïc trò cuûa moät ña thöùc nhieàu bieán khi ñoù ta cuõng bieán ñoåi bieåu thöùc veà daïng A(x,y)+c (neáu laø baøi toaùn tìm GTNN) trong ñoù A(x,y) khoâng aâm, c laø moât soá hoaëc bieán ñoåi veà daïng - A(x,y)+c (neáu laø baøi toaùn tìm GTLN) trong ñoù A(x,y) khoâng aâm, c laø moât soá.
VD: Tìm GTNN cuûa bieåu thöùc A=x2y2+x2-6xy+4x-3.
Giaûi: Baøi taäp töï giaûi: TÌm GTNN cuûa caùc bieåu thöùc sau:
B= x2y2+2x2+24xy+16x+191.
C=x2+2y2+9z2-2x+12y+6z+24.
Dạng 2: Tìm cực trị của một số biểu thức phân.
VD 1:
Coù khi ñeå tìm GTNN cuûa moät bieåu thöùc hoaëc chöùng minh moät baát ñaúng thöùc ta phaûi taùch haïng töû hoaëc theâm vaø bôùt vaøo bieåu thöùc cuøng moät bieåu thöùc khaùc
VD 2:
Nhaän xeùt: Caùch giaûi giaûi treân khoâng heà deã daøng gì ñoái vôùi hoïc sinh vì vieäc phaân tích vaø taùch bieåu thöùc nhö vaäy khoâng maáy hoïc sinh laøm ñöôïc. Ta coøn coù theå giaûi baøi taäp naøy baèng caùch ñôn giaûn sau:
VD 3:
Giaûi
Coù khi giaûi baøi toaùn cöïc trò cuûa bieåu thöùc phaân ta phaûi ruùt goïn bieåu thöùc phaân ñoù Ñeå ñöôïc bieåu thöùc ñôn giaûn, sau ñoù môùi tìm cöïc trò cuûa baøi toaùn.Sau ñaây laø ví duï veà baøi toaùn nhö vaäy:
VD 4:
VD 5: Tìm GTLN cuûa caùc bieåu thöùc sau:
Baøi taäp töï giaûi: tìm GTLN cuûa caùc bieåu thöùc sau:
Daïng 3: AÙp duïng baát ñaúng thöùc coâ sy ñeå giaûi baøi toaùn cöï trò
Töø baát ñaúng thöùc coâ sy, ta chöùng minh ñöôïc tính chaát sau:
Neáu toång cuûa hai soá khoâng ñoåi thì tích cuûa chuùng lôùn nhaát khi hai soá ñoù baèng nhau.
Neáu tích cuûa hai soá döông khoâng ñoåi, thì toång cuûa chuùng beù nhaát khi hai soá ñoù baèng nhau.
Trong tröôøng hôïp toång quaùt môû roäng ta coù:
Neáu a1.an=p=const thì Min (a1++an)=n
Neáu a1+a2++ an=s=const thì Max(a1an)=
VD 1: Tìm GTLN cuûa caùc bieåu thöùc sau:
A= x3(54-x3)	b) B=3x2(8-x2), (x laø soá döông)
Giaûi:
Ta nhaän thaáy x3+ (54-x3) =54 khoâng ñoåi.Do ñoù x3(54-x3) coù giaù trò lôùn nhaát khi x3= (54-x3) =>2x3=54 => x3=27 => GTLN cuûa bieåu thöùc A laø 27(54-27) =729
 phaân tích: Neáu ta xem 3x2 laø moät thöøa soá vaø 8-x2 laø moät thöøa soá thì toång cuûa chuùng laø 2x2+8 phuï thuoäc vaøo x. Neáu ta xem x2 vaø 8-x2 laø hai thöøa soá cuûa tích thì ta thaáy x2+(8-x2)= 8 khoâng ñoåi.
x2+(8-x2)= 8 khoâng ñoåi. Do ñoù x2(8-x2) ñaït GTLN khi x2 = (8-x2) suy ra x2=4. GTLN cuûa bieåu thöùc laø 4(8-4) =16 vaäy GTLN cuûa bieåu thöùc B=3x2(8-x2) laø 3.16 =48
VD 2: Cho x3.
Tìm min(x+
Tìm min(x+
Phaân tích: Ta thaáy x. =1= const tuy nhieân vôùi x3 thì x khoâng theå baèng .Vì vaäy ñeâû laøm baøi toaùn naøy ta phaûi tìm caùch laøm cho hai soá haïng coù giaù trò baèng nhau muoán laøm ñöôïc nhö theá ta coù theå taùch, theâm bôùt, nhaân hay chia vôùi moät soá naøo ñoù phuø phôïp.
Taïi x=3 thì 
Giaûi: 
VD 3: tìm GTNN cuûa f(x)=(x+1)2+
Giaûi: 
Baøi taäp töï giaûi: 
Baøi 1: cho a,b>0 vaø a+b=9. Tìm 
Max(a.b)	b) Max(a2.b5)	c)Max(
Baøi 2: cho a,b,c>0 a+b+c=9. Tìm
Max(a.b.c)	b) max(a2.b3.c4)	c) Max
Baøi 3: Tìm GTNN cuûa A= 
Gôïi yù: Baøi 3 aùp duïng baát ñaúng thöùc coäng maãu.
Daïng 4: Aùp duïng baát ñaêûng thöùc Bunhiacopski ñeå giả bài toán cöïc trị VD 1: Tìm GTLN cuûa 
Giaûi 
VD 2: Tìm GTLN cuûa 
Giaûi:
VD 3: Tìm GTNN cuûa bieåu thöùc D=x2+2y2; (x+y=1)
Giaûi: Aùp duïng , ta coù 
Baøi taäp töï giaûi:
Baøi 1:Tìm GTLN cuûa bieåu thöùc x+y+z; vôùi x,y,z thoûa maõn:
 (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1
Baøi 2: Tìm GTLN cuûa x
Baøi 3: tìm GTLN cuûa 
Daïng 5: GIaûi baøi toaùn cöïc trò baèng phöông phaùp khaùc
VD: Tìm GTNN cuûa caùc bieåu thöùc sau:
a)
Ñeán ñaây laøm töông töï nhö caâu a) ta ñöôïc GTNN cuûa bieåu thöùc laø 4.
Baøi taäp töï giaûi:
Tìm GTNN cuûa caùc bieåu thöùc sau:
Trên đây là phương pháp giải một số dạng toán về chứng minh BĐT và tìm cực trị của biểu thức.Tuy nhiên với thời lượng chương trình có hạn người thầy không thể truyền đạt hết những kinh nghiệm mà mình tích lũy được cho học sinh chỉ trong 3 tiết học.Vì vậy để học sinh học tốt hơn hai chuyên đề này thiết nghĩ các nhà trường cần phải có kế hoạch phụ đạo học sinh yếu kém, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi; mỗi giáo viên phải không ngừng tự học, phải thương yêu học sinh,tận tâm với nghề có như thế thì chất lượng đại trà và chất lượng mũi nhọn mới tăng lên được.
Phần 3: 	kết quả.
Bằng cách tổ chức phụ đạo học sinh yếu kém, bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề bất đẳng thức và toán cực trị, với những phương pháp giải các dạng toán như đã nêu ở trên cho thấy rằng học sinh đã có sự tiến bộ rất nhiều trong quá trình học tập chuyên đề bất đẳng thức và toán cực trị.Các em đã nhận được dạng toán và đã phần nào biết cách giải các dạng toán thường gặp, thậm chí có những học sinh còn có những cách giải độc đáo.Sau đây là kết quả thống kê điểm kiểm tra ( 90 phút) của 26 học sinh học sinh được áp dụng đề tài này.
Điểm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
số HS
0
0
4
5
6
5
3
2
1
0
Kết quả này là chưa cao,nhưng nếu so sánh kết quả này với kết quả kiểm tra trước khi áp dụng đề tài này thì đây là sự tiến bộ rất đáng kể của học sinh.Với những gì đã làm được khi dạy học ở trường THCS Lê Quý Đôn, thông qua đề tài này tôi mong muốn được đóng góp một phần rất nhỏ bé của mình vào kinh nghiệm dạy học toán, để công tác dạy học càng phất triển đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và thực hiện tốt mục tiêu giáo dục.
Trong phạm vi đề tài này, bản than tôi đã có nhiều cố gắng nhưng vì khả năng có hạn nên chắc chắn không tránh khỏi sai sót.Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tài liệu tham khảo
Trong quá trình viết đề tài này tôi đã tham khảo một số tài liệu sau:
Sách toán 8 tập 2 (Phan Đức Chính tổng chủ biên)
Toán nâng cao chọn lọc đại số 8 (Nguyễn Vĩnh Cận –Lê Khắc Bảo-vũ Thế Hựu-Lê Đình Phi-Phan Thanh Quang-Phạm Đan Quế)
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 chuyên Lê hồng phong (2003-2004) môn toán Và một số tài liệu khác.
Mục lục
	Trang
Lời nói đầu	1
Thự trạng 	2
Chuyên đề BĐT
Khái niệm và một số tính của BĐT	3
Chứng minh BĐT bằng phương pháp biến đổi tương đương	3
Chứng minh BĐT dựa vào BĐT cô sy	6
Bất đẳng thức “cộng mẫu”	8
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để chứng minh BĐT	10
Chứng minh BĐT bằng phương pháp tách các số hạng.	12
Chứng minh BĐT bằng phương pháp làm trội	13
Chuyên đề toán cực trị
Tìm cự trị của một đa thức bật hai một ẩn 	15
Tìm cực trị của một số biể thức phân	17
Áp dụng BĐT cô sy để giải bài toán cực trị	20
Áp dụng BĐT Bunhiacopski để giải bài toán cực trị	22
Giải bài toán cự trị bằng các phương pháp khác	23
Phần 3: kết quả	25
Tài liệu tham khảo	26