Sáng kiến kinh nghiệm Dạy dãy số viết theo quy luật

 a, b Î Z
xn = 	(x Î N*)
	(b ≠ 0, n ≠ 0)
xo = 1
xm . xn = xm+n
	(x ≠ 0)
x-n = 	(x ≠ 0)
	(xm)n = xm.n
	(x.y)m = xm. ym
	(y ≠ 0)
2.2.1.5. Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a < b
Tính chất:
- Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c thì a > c
- Tính chất đơn điệu của phép cộng: Nếu a > b thì a + c > b + c
- Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0)
- Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều:
 Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d
2.2.1.6. Dãy số cách đều
a. Định nghĩa: Dãy số cách đều là một dãy số trong đó mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số d không đổi
- Dãy số cách đều có thể là hữu hạn có thể là vô hạn
- Các số hạng của dãy số cách đều thường được kí hiệu là U1; U2; U3 ..... Un
- Dãy số cách đều còn được gọi là một cấp số cộng, số d không đổi nói tới trong định nghĩa gọi là công sai của cấp số cộng
b. Tìm số hạng thứ n của dãy số cách đều 
Công thức Un = U1 + (n-1)d
Tìm số số hạng của một dãy số cách đều hữu hạn:
Công thức 	n = 
d. Tính tổng các số hạng của một dãy số cách đều 
Công thức: Sn= 
2.2.2 Trang bị các dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải:
2.2.2.1. Dạng 1: Tính tổng, tính số số hạng của dãy
Phương pháp giải
a. Công thức tính số hạng thứ n của một dãy số cộng (khi biết n và d)
Xét dãy số cộng trong đó . Ta có:
 ; ;...
Tổng quát: (I)
	Trong đó: n gọi là số số hạng của dãy cộng
	 d hiệu giữa hai số hạng liên tiếp
Từ (I) ta có: (II)
Công thức (II) giúp ta tính được số số hạng của một dãy cộng khi biết: Số hạng đầu , số hạng cuối và hiệu d giữa hai số hạng liên tiếp.
b. Để tính tổng S các số hạng của dãy cộng: . Ta viết:
Nên 
Do đó: (III)
c. Để tìm số số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng một số đơn vị, ta dùng công thức:
Số số hạng = (số cuối – số đầu):(khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp) +1
d. Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng một số đơn vị, ta dùng công thức:
Tổng = (Số đầu + số cuối).(số số hạng):2
* Bài tập áp dụng
Bài 1. Tìm chữ số thứ 100 khi viết liên tiếp liền nhau các số hạng của dãy số lẻ 1; 3; 5; 7;...
Bài 2. Có số hạng nào của dãy sau tận cùng bằng 2 hay không?
Hướng dẫn: Số hạng thứ n của dãy bằng: 
 Nếu số hạng thứ n của dãy có chữ số tận cùng bằng 2 thì n(n + 1) tận cùng bằng 4. Điều này vô lí vì n(n + 1) chỉ tận cùng bằng 0, hoặc 2, hoặc 6. 
Bài 3. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số 100! chứa thừa số nguyên tố 7 với số mũ bằng bao nhiêu?
Bài 4. Tính số hạng thứ 50 của các dãy sau:
	a. 1.6; 2.7; 3.8; ...
	b. 1.4; 4.7; 7.10;..
Bài 5. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của các dãy sau:
	a. 	b. 
Hướng dẫn: 
b. Ta thấy 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16; 336 = 16.21,
 Do đó số hạng thứ n của dãy có dạng (5n – 4)(5n + 1).
Bài 6. Tìm tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy:
Hướng dẫn: các số hạng đầu tiên của dãy được viết dưới dạng:
 Hay 
Do đó số hạng thứ 98 có dạng . 
Ta cần tính: Kết quả 
2.2.2.2. Dạng 2: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên
* Bài toán tổng quát:
- Tính tổng: S = 1 + a + a2 + a3 +  + an-1 + an . 
Ta nhân cả 2 vế của S với a. Rồi trừ vế với vế ta được S=.
 - Tính tổng: P = 1 – a + a2 - a3 +  + a2n . 
Ta nhân cả 2 vế của P với a. Rồi cộng vế với vế ta được P=.
* Khai thác bài toán: Vì S, P là các số nguyên nên và . 
Ví dụ 1: Tính các tổng sau:
a. A = 1 + 5 + 52 + 53 +  + 599 + 5100
b. B = 1 – 10 + 102 – 103 + 104 –  – 1099 + 10100
Giải:
	a. Ta có: 5A = 5 + 52 + 53 +  + 599 + 5100 + 5101
	=> 5A - A= 5101 - 1 => A=
	b. 10B = 10 – 102 + 103 - 104 + 105 -  - 10100 + 10101
	=> 10B + B = 10101 + 1 => 11B = 10101 + 1 => B=
Ví dụ 2: Chứng minh rằng 
	a. 
	b. 
Giải:
a. Xét tổng S = 1 + 109 + 1092 + 1093 +  + 10939 + 10940 (SN)
	=> 109.S = 109 + 1092 + 1093 +  + 10940 + 10941
	=> 109.S - S= 10941 - 1
	=> S = N 
b. S = 1 – 109 + 1092 - 1093 +  + 109108 (SN)
	=> 109.S = 109 - 1092 + 1093 -  - 109108 + 109109
	=> 109.S + S = 109109 + 1
	=> S = N 
* Bài toán tổng quát:
- Tính tổng: S = 1 + ad + a2d + a3d +  + and . 
Ta nhân cả 2 vế của S với ad. Rồi trừ vế với vế ta được S = .
- Tính tổng: P = 1 - ad + a2d - a3d +  + a2nd . 
Ta nhân cả 2 vế của P với ad. Rồi cộng vế với vế ta được P=.
	* Khai thác bài toán: Vì S, P là các số nguyên nên và . 
Ví dụ 3: Tính tổng
a. A = 1 + 42 + 44 +  + 498 + 4100
b. B = 1 – 53 + 56 - 59 +  + 596 - 599
Giải:
a. Ta thấy số mũ của hai số liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 42, rồi trừ cho A, ta được:
	42.A - A = (42 + 44 +  + 498 + 4100 + 4102) - (1 + 42 + 44 +  + 498 + 4100)
	15.A = 4102 - 1 => A = 
b. Tương tự câu a, ta nhân cả hai vế của B với 53 rồi cộng vế với vế cho B ta được:
53.B + B = (53 - 56 + 59 -  + 599 - 5102) + (1 – 53 + 56 - 59 +  + 596 - 599)
	126.B = - 5102 + 1à B = 
* Bài tập áp dụng: 
Bài 1.Tính tổng:
	a. A = 3 + 33 + 35 +  + 399 + 3101
	b. B = 1 - 73 + 76 - 79 +  + 796 - 799
Bài 2. Chứng minh rằng:
	 a. 
	 b. 
2.2.2.3. Dạng 3: Tính tổng của các tích:
Phương pháp giải 1: 
* Tổng của tích hai thừa số . 
Nhân cả biểu thức với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng. 
Sau đó tách n(n + k)k = n(n + k)(n + 2k) – (n - k) n(n + k). Xuất hiện các hạng tử đối nhau trong tổng, ta gộp các hạng tử đó với nhau.
Ví dụ 1: Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 98.99 + 99.100 + 100.101
Giải:
	3A = 3. (1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 98.99 + 99.100+ 100.101)
	= 1.2(3 - 0) + 2.3(4 - 1) +  + 99.100(101 - 98) + 100.101(102 - 99)
= 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 +  + 99.100.101 - 98.99.100 + 100.101.102 – 99.100.101
	= 100.101.102
	=> A = = 343 400
	Ta chú ý tới đáp số 100.101.102 là tích của 3 số, trong đó 100.101 là số hạng cuối của A và 102 là số tự nhiên liền sau của 101, tạo thành tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta có kết quả tổng quát như sau:
	A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + (n - 1)n = 
Vận dụng 1: Tính tổng 12 + 22 + 32 + ... + 1002 
Giải: 
12 + 22 + 32 + ... + 1002 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + .... + 100.100 
= 1.(2 – 1) + 2.(3 – 1) + 3.(4 – 1) + ..... + 100.(101 - 1)
= 1.2 – 1.1 + 2.3 – 2.1 + 3.4 – 3.1 +  + 100.101 – 100.1
= 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 100.101 – 1.1 – 2.1 – 3.1 – .... – 100.1
= (1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 100.101) – (1 + 2 + 3 + .... + 100)
= 343 400 - (1 + 100). 100:2 = 343 400 - 5050 = 338 350
*Bài toán tổng quát: 12 + 22 + 32 + ... + n2 
= – (1 + 2 + 3 + .... + n) 
Vận dụng 2: Tính tổng 22 + 42 + 62 + ... + 2002 
Hướng dẫn: 22 + 42 + 62 + ... + 2002 = (1.2)2 + (2.2)2 + (2.3)2 + ... + (2.100)2 
= 22 .(12 + 22 + 32 + ... + 1002 ) 
*Bài toán tổng quát: 22 + 42 + 62 + ... + (2n)2 = 22(12 + 22 + 32 +  + n2) 
=
Vận dụng 3: Tính tổng 12 + 32 + 52 + ... + 992 
Hướng dẫn: 
12 + 32 + 52 + ... + 992 = (12 + 22 + 32 + ... + 1002) – (22 + 42 + 62 + ... + 1002 )
*Bài toán tổng quát: 12 + 32 + 52 + ... + (2n + 1)2 
= 
= 
= 
= = 
= 
Ví dụ 2: Tính: A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + 97.99
Giải:
6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + ... +97.99.6
= 1.3(5 + 1) + 3.5(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + ... + 97.99(101 - 95)
= 3 + 97.99.101
àA = 
* Tổng của tích ba thừa số . 
Nhân cả biểu thức với 4 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng. 
Sau đó tách 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)(n + k)n(n +2k).
Xuất hiện các hạng tử đối nhau trong tổng, ta gộp các hạng tử đó với nhau.
Ví dụ 3: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 +  + 98.99.100
Giải:
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 +  + 98.99.100.4
 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) +  + 98.99.100(101 - 97)
 = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 +  + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 = 98.99.100.101
A = = 24 497 550
* Bài toán tổng quát:
 A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + (n - 1)n(n + 1) = 
Ví dụ 4: Tính: A = 1.3.5 + 3.5.7 +  + 5.7.9 +  + 95.97.99
Giải:
8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 +  + 95.97.99.8
 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + + 95.97.99(101 - 93)
 = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 +  + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101
 = 11 517 600
 Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán:
Phương pháp giải 2: Tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. 
Ví dụ 5: Tính: A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 99.100
Lời giải 1:
A = 2 + (2 + 1)4 + (4 + 1)6 +  + (98 + 1).100
 = 2 + 2.4 + 4+ 4.6 + 6 +  + 98.100+100
 = (2.4 + 4.6 +  + 98.100) + (2 + 4 + 6 + 8 + ... + 100)
 = 98.100.102:6 + 102.50:2
 = 166600 + 2550
 = 169150
Lời giải 2:
A = 1(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) +  + 99(101 - 1)
 = 1.3 - 1 + 3.5 – 3 + 5.7 – 5 +  + 99.101 - 99
 = (1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99)
 = 171650 - 2500
 = 169150
Ví dụ 6: Tính: A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 +  + 99.100.101
Giải:
A = 1.3(5 - 3) + 3.5(7 - 3) + 5.7(9 - 3) +  + 99.101(103 - 3)
 = (1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + ... + 99.101.103) - (1.3.3 + 3.5.3 + ... + 99.101.3)
 = (15 + 99.101.103.105):8 - 3(1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + 99.101)
 = 13517400 - 3.171650
 = 13002450
Vận dụng 1: Tính: A = 13 + 23 + 33 + ... + 1003
Giải:
Sử dụng: (n - 1)n(n + 1) = n3 - n
 n3 = n + (n-1)n(n+1)
 A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + ... + 100 + 99.100.101
 = (1 + 2 + 3 + ... + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + ... + 99.100.101)
 = 5050 + 101989800
 = 101994850
Vận dụng 2: Tính: A= 13 + 33 +53 + ... +993
Giải:
Sử dụng (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n
 n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n
 A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + ... + 97.99.101 + 4.99
 = 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + ... + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + ... + 99)
 = 1 + 12487503 + 9996
 = 12497500
Với khoảng cách là a ta tách: (n - a)n(n + a) = n3- a2n
Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 8 ta có:
Vận dụng 3: Tính: A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + ... + 99.1002
Giải:
A = 1.2(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + ... + 99.100(101 - 1)
 = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + ... + 99.100.101 - 99.100
 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100)
 = 25497450 - 333300
 = 25164150
* Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tính A = 1.79 + 2.78 + 3.77 + ... + 39.41 + 40.40
Bài 2. Tính B = 1.99 + 3.97 + 5.95 + ... + 49.51
Bài 3. Tính C = 1.3 + 5.7 + 9.11 + ... + 97.101
Bài 4. Tính D = 1.3.5 - 3.5.7 + 5.7.9 - 7.9.11 + ... - 97.99.101
Bài 5. Tính E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + ... + 49.513
Bài 6. Tính F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + ... + 49.512
2.2.2.4. Dạng 4: Dãy phân số
Phương pháp giải: Sử dụng các công thức tổng quát sau, áp dụng vào từng bài toán cụ thể.
Các kiến thức 
1) .
2) .
3) .
4) .
5).
6) .
7).
(Trong đó: , )
Mở rộng với tích nhiều thừa số:
Ví dụ 1: Tính tổng: 
Giải:
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: +++...+< 1
* Hướng dẫn tìm cách giải. 
Ta thấy các phân số trong tổng ở vế trái là các phân số có tử là 1 còn mẫu là bình phương của một số tự nhiên n. (n).
<= ; <=; <=; ... 
<=
Sau đó áp dụng tính chất: => a+c < b+d
Từ đó ta có điều phải chứng minh: +++...+< 1
<= ; <=
<=; ... <=
Vậy +++...+<+++...+
+++...+<+++...+
+++...+<1=<1
Hay +++...+< 1 (Điều phải chứng minh).
Mở rộng bài toán: Chứng minh rằng: A = +++...+< 1
Ví dụ 3: Tính 
Giải:
* Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tính tổng: 
Hướng dẫn giải: 1 . 2 = 2; 2 . 3 = 6; ...; 43 . 44 = 1892; 44 . 45 = 1980 
Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược. 
Bài 2. Cho . Tìm phần nguyên của B.
Bài 3. Cho. Chứng minh 97 < N < 98.
Bài 4. Tìm x thuộc N biết: 
 Hơn nữa ta có: 
 Ta có bài toán:
Bài 5. Chứng minh rằng: .
 Mặt khác 0 < 
 Do vậy, cho ta bài toán “tưởng như khó” 
Bài 6. Chứng tỏ rằng tổng: không phải là số nguyên. 
 Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1; a2; ...; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác nhau thì 
 Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau: 
Bài 7. Tìm các số tự nhiên khác nhau a1; a2; a3; ...; a43; a44 sao cho 
 Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài 4 như sau: 
Bài 8. Cho 44 số tự nhiên a1; a2; ...; a44 thỏa mãn 
 Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau. 
Bài 9. Tìm các số tự nhiên a1; a2; a3; ...; a44; a45 thỏa mãn a1 < a2 <a3 < ... < a44 < a45 và 
Bài 10: Tính tổng: 
a. .
b. .
Bài 11: Chứng minh với mọi n N; n > 1 ta có: 
Bài 12: Tính 
Ngoài ra còn có những bài tập tổng dãy các phân số, nhưng không áp dụng được các công thức tổng quát ở trên, ta áp dụng phương pháp sau: 
Với bài toán chứng minh đẳng thức, ta phải biến đổi vế trái bằng vế phải. Ở bài này ta thấy vế phải của đẳng thức là tổng của các phân số có mẫu lớn hơn tử 1 đơn vị. Để tổng mỗi phân số đó với một phân số nào đó bằng 1 thì ta phải cộng vế phải với biểu thức trong ngoặc của vế trái. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 
100 - 
Giải:
100 - 
Cộng vào hai vế của đẳng thức trên với ta được đẳng thức mới như sau:
100 - + = 
+
100 = 1 + + + +  + 
100 số 1
100 = 1 + 1 + 1 + 1 +  + 1
100 = 100 (đpcm)
Ví dụ 2: Cho . Chứng minh rằng: 
* Hướng dẫn tìm cách giải. 
Chia S thành 3 nhóm: 
 ; 
2.2.2.5. Dạng 5: Dãy luỹ thừa với n tự nhiên.
* Bài toán tổng quát:
- Tính tổng: . Ta nhân cả 2 vế của S với . Rồi trừ vế với vế, sau đó ta rút ra S.
 - Tính tổng: Ta nhân cả 2 vế của P với . Rồi cộng vế với vế, sau đó ta rút ra P.
Ví dụ 1: Tính nhanh: 
a. .
b. 
Giải:
a. 
b. 
Ví dụ 2: Tính: 
* Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính nhanh: 
a. .
b. .
c..
Bài 2: Tính: 
Bài 3: Cho . Chứng minh 
Bài 4: Cho . Chứng minh B < 100.
2.2.2.6. Dạng 6: Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật
Phương pháp giải: 
Viết biểu thức thành tích của các phân số nhỏ hơn, đơn giản hơn. Tách hoặc nhóm các thừa số (phân số) và tìm các nhân tử chung ở tử và mẫu để giản ước.
Ví dụ 1: Tính: 	
Giải:
Ví dụ 2: Tính: .
Giải:
Ví dụ 3: Tính: .
Giải: 
* Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho . So sánh K với 
HD Giải: Kết hợp ví dụ 1 và ví dụ 2
Bài 2: Cho . Chứng minh: 
Bài 3: Tính: .
Bài 4: So sánh với 
Bài 5: Tính .
Bài 6: Tính: 
Bài 7: Tính: 
 với n N
2.2.2.7. Dạng 7: Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp
Phương pháp giải:
Hầu hết các biểu thức có nội dung phức tạp đều có dạng , ta biến đổi M hoặc N, hoặc cả hai về dạng của biểu thức còn lại hoặc về dạng của một biểu thức đơn giản hơn.
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức:
	a. .
	b. .
Giải:
a. Biến đổi số bị chia: 
Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50.
b. Biến đổi số chia:
Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy .
* Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Tính: 
Hướng dẫn: Tách 100 ở tử thức thành 1 + 1 + 1 +  + 1 rồi gộp mỗi số hạng 1 đó với một số hạng trong ngoặc.
Bài 2: Tính 
Hướng dẫn: 
Biểu thức bị chia: Tách 99 ở tử thức thành 1 + 1 + 1 +  + 1 rồi gộp mỗi số hạng 1 đó với một số hạng còn lại. 
Biểu thức chia: Tách 92 ở tử thức thành 1 + 1 + 1 +  + 1 rồi gộp mỗi số hạng 1 đó với một số hạng còn lại. Mẫu thức đưa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài 3: Tính 
Hướng dẫn: Đưa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.
Bài 4: Tính 
Hướng dẫn: Đưa nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc.
2.2.2.8. Dạng 8: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức chứa dãy số.
Phương pháp giải:
Bài toán tính tổng hữu hạn: S = S1 + S2 + S3 +  + Sn
Ta biết được kết quả (bằng cách dự đoán, hoặc bài toán chứng minh được).
Ví dụ 1: Tính tổng: Sn = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1)
Thử trực tiếp ta thấy: 
Ta dự đoán: S = n2 .
Với n = 1, 2, 3 ta thấy kết quả đúng.
Giả sử bài toán đúng với n = k( ) ta có: (2)
Ta cần chứng minh (3)
Thật vậy cộng 2 với vế của (2) với 2k + 1 ta có:
1 + 3 + 5 +  + (2k - 1) + (2k + 1) = 
Vì nên ta có (3) tức là 
Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh:
Vậy 
Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học:
a. 
b. 
c.
d. 
2.3. Kết quả đạt được 
Sau khi áp dụng đề tài tôi tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan đến Dãy số viết theo quy luật trên 15 học sinh khối 6. Kết quả đạt được như sau:
0 - < 2
2 - < 5
5 - < 6,5
6,5 - < 8
8 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
/
/
03
20,0
05
33,3
05
33,3
02
13,3
*Nhận xét:
- Sau khi áp dụng đề tài thì số lượng học sinh yếu, kém giảm, số lượng học sinh đạt điểm khá, giỏi tăng lên.
- Đa số học sinh nắm được các dạng toán và trình bày được lời giải bài toán logic, nhiều em vận dụng vào làm bài tập khá tốt.
- Khả năng suy luận và chứng minh các dãy số viết theo quy luật đã được nâng lên. Hầu hết các em chứng minh và giải được những bài toán từ vận dụng thấp trở lên, nhiều em còn đưa ra được những bài toán tổng quát, những bài toán ở mức độ vận dụng cao 
2.4. Bài học kinh nghiệm: 
Từ kết quả nghiên cứu trên tôi đã rút ra những bài học kinh nghiệm sau:
- Việc phân loại các dạng bài tập và hướng dẫn học sinh làm tốt các dạng bài tập đã giúp cho giáo viên nắm vững mục tiêu, chương trình từ đó nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán.
 - Giúp giáo viên không ngừng tìm tòi, sáng tạo những phương pháp phân loại và giải bài tập phù hợp đối với đối tượng học sinh, từ đó nhằm nâng cao trình độ chuyên môn và nghiệp vụ của người giáo viên.
3. PHẦN KẾT LUẬN 
3.1. Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài
Từ bước đầu nghiên cứu đề tài“Dãy số viết theo quy luật” tôi thấy vấn đề này rất cần thiết không những đối với học sinh mà cả đối với giáo viên, nhất là giáo viên đang BDHSG.
Đề tài“Dãy số viết theo quy luật”tôi đãthực hiện trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng HSG nhiều năm trở lại đây tại đơn vị hiện công tác và đã đem lại những kết quả khá tốt: Hầu hết học sinh, (chủ yếu là học sinh khá, giỏi) khi được trang bị đề tài“Dãy số viết theo quy luật " đều trở nên tự tin khi gặp những bài toán dãy số, có em đã đưa ra được nhiều phương pháp giải hay, khai thác, mở rộng được nhiều bài toán. Bước đầu phát hiện học sinh có năng lực, từ đó giáo viên có phương pháp dạy, bồi dưỡng nhằm phát huy trí tuệ, tính say mê sáng tạo của các em.Trước khi được áp dụng đề tài này nhiều em không làm được cũng như không biết hướng giải bài toán dãy số viết theo quy luật. Nhưng khi áp dụng đề tài nhiều em làm tốt những bài toán dãy số viết theo quy luật.
 Qua thực tế triển khai thực hiện đề tài này vào trong giảng dạy với những kết quả đạt được ở trên, có thể khẳng định rằng: Sáng kiến kinh nghiệm này đã có tính khả thi cao, hy vọng các giáo viên dạy Toán và các em học môn Toán trong cụm và trong huyện Lệ Thủy sẽ vận dụng tốt và phát huy hơn nữa năng lực học tập bộ môn để đạt được những kết quả cao hơn. Đề tài trên chỉ mới áp dụng ở địa bàn hẹp, chưa có sức lan toả tới những vùng miền khác. Vì vậy đề tài còn tiếp tục được nghiên cứu, còn nhiều biện pháp khác chưa có điều kiện đề cập tới, đó là hướng nghiên cứu tiếp tục của đề tài trong tương lai.
	3.2. Những kiến nghị, đề xuất.
Hiện nay hầu hết các giáo viên ở trường tôi nói riêng và trên địa bàn Huyện nói chung đã tích cực trong việc đổi mới phương pháp vào giảng dạy các môn học để nâng cao hơn nữa hiệu quả giáo dục. Tuy nhiên, việc vận dụng quan niệm dạy học này cũng gặp phải những khó khăn nhất định. Vì vậy tôi xin có một vài đề xuất nhỏ như sau:
* Đối với nhà trường: 
 Cần đầu tư thêm trang thiết bị dạy học đặc biệt cho môn Toán, các tài liệu phong phú để học sinh tìm thêm tư liệu, sách tham khảo phục vụ cho việc nghiên cứu.
 Cần có phòng học bộ môn dành riêng cho môn Toán, trong đó có các mô hình Toán học, để giáo viên có thể ứng dụng công nghệ thông tin một cách thành thạo.
* Đối với ngành giáo dục
Thường xuyên tổ chức các cuộc thi nhằm nâng cao kĩ năng, phương pháp cho giáo viên và học sinh.
 Bản thân với trăn trở của một người giáo viên trẻ trực tiếp giảng dạy môn Toán học, tôi xin mạnh dạn đưa ra những suy nghĩ của mình, mong góp một phần nhỏ vào thực hiện đề tài“ Dãy số viết theo quy luật " để nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THCS hiện nay. Trong quá trình tích lũy kinh nghiệm và viết đề tài không tránh khỏi những khiếm khuyết, hạn chế. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của bạn bè, đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn đánh giá, bổ sung để đề tài của tôi thêm hoàn thiện, khả thi và có giá trị hơn nữa trong thực tiễn. 
Xin trân trọng cảm ơn !