Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện

Các quy ước viết tắt 
1-ĐPCM	:	 điều phải chứng minh
2-BĐT : 	 Bất đẳng thức 
3-CMR : 	 Chứng minh rằng 
4-GTNN : 	Giá trị nhỏ nhất 
5-GTLN : 	Giá trị lớn nhất 
6-THCS : 	Trung học cơ sở 
ĐặT Vấn đề
I)lý do chọn đề tài
 Khi giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ,học sinh thường gặp dạng toán ²Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện “.Tôi thấy học sinh thường e ngại hoặc làm bài không tốt dạng toán này.Lý do là học sinh không chứng minh được các bài toán đó vì không tìm được cách chứng minh .Để đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra tôi đã nghiên cứu và mạnh dạn trình bày “ Sáng kiến về biến đổi để chứng minh bất đẳng thức có điều kiện . Đây là một trong các cách giải cho bài toán bất đẳng thức có điều kiện và qua thử nghiệm tôi thấy phương pháp này có hiệu quả nhất định trong quá trình giảng dạy học sinh .
II) Điều tra thực trang trước khi nghiên cứu :
 Để đánh giá được khả năng giải toán về chứng minh bất đắng thức , tôi đã tiến hành kiểm tra 20 em học sinh giỏi lớp 8 ở trường ra đề cho học sinh làm bài trong 30 phút như sau: 
Bài1: (6đ) a) Ch o a + b = 2 Chứng minh rằng a2 + b2 ³ 2
 b) Cho a > 2 , b > 2 .Chứng minh rằng ab - 2a - 2b + 4 > 0
Bài 2 : ( 4 đ ) Cho a + b > 1 
 CMR : a4 + b4 > 
Kết quả cụ thể : 
Điểm dưới 5
5 đ 6
7
8đ10
5đ10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10
50
7
35
2
10
1
5
10
50
 Qua kiểm tra tôi thấy đa số học sinh không làm được bài 2. Qua kết quả có thể thấy học sinh không có biện pháp giải dạng toán kiểu chứngminh BĐT có điều kiện 
Từ thực tế trên , tôi đã mạnh dạn nghiên cứu phương pháp dạy học sinh chứng minh BĐT có điều kiện , nhằm giúp học sinh có phương pháp tư duy trong việc tìm lời giải của bài toán chứng minh BĐT
III) Cơ sở phương pháp 
 Phương pháp chính của đề tài này là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý trên cơ sở các điều kiện đề bài cho đồng thời vận dụng đúng các đẳng thức được học trong sách giáo khoa , các bất đẳng thức đơn giản . Học sinh có thể đưa ra lời giải chứng minh ngắn gọn đơn giản cho các bài toán chứng minh bất đẳng thức , hay tìm cực trị của biểu thức đại số 
IV) Phạm vi áp dụng của đề tài .
 Bản kinh nghiệm sáng kiến này được áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên đề trong trường học hoặc sử dụng để bồi dưỡng nâng cao vốn kiến thức cho các đội tuyển học sinh giỏi môn toán lớp 8 , lớp9 và các lớp bậc trung học phổ thông .
 Dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức có điều kiện có thể sử dụng phương pháp này .Song tuỳ theo từng bài cụ thể . ( Còn có những bài chưa áp dụng được phương pháp này ).
 Chuyên đề này còn để ngỏ để tiếp tục khai thác nên chuyên đề vẫn còn nhiều vấn đề để mở không đi sâu hết các dạng đề bài.
Giải quyết vấn đề
A ) Các công thức cơ bản:
I)Các hằng đẳng thức:
 (a ± b)2 =a2 ± 2ab +b2
( a ± b)2 = a2 ± 3a2b +3ab2 ± b2
 (a+b)(a-b) = a2 - b2
( a+ b )( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 
 ( a - b ) (a2 + ab +b2 ) = a3 - b3
(a ± b)4 =a±4a3 + 6a3 b3 4ab3 +b4
II) Các bất đẳng thức:
 (a ± b)2 ³ 0 với " a ,b
 a2 ³ 0 với " a .
B)Các ví dụ minh hoạ :
I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức:
 Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a4 + b4 ³ 162
Giải 
Do a + b = 6 nên có thể đặt 
 với m tuỳ ý
Ta có : a4 + b4 = (3 + m)4 + (3 - m)4 = 
 =
Với mọi m .Đẳng thức xảy ra khi m = 0
Hay a = b = 3 Suy ra ĐPCM
Bài 2: Cho a + b = 4 chứng minh: a4 + b4 ³ 32
 Giải: Do a + b = 4 nên có thể đặt 
 với m tuỳ ý
 Ta có : a4 + b4 = (2 + m )4 + (2- m)4 = 32 + 48m2 +2m4 ³ 32
Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM. 
Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tương ứng như trên với
 Với m tuỳ ý 
Bài 3: Cho x + y + z = 3
 Chứng mỉnh rằng: x2 + y2 + z2 +xy +yz +zx ³ 6
Giải: Do x + y + z = 3 nên ta đặt
 Với a,b tuỳ ý
Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
 x2 + y2 + z2 +xy +yz +zx = (1 + a)2 + (1 + b )2 + (1 - a - b)2 + + (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a2 + ab + b2 
Với mọi a , b . Dấu” = “xảy ra khi a = b = 0 hay x =y =z =1 suy ra ĐPCM . 
Nhận xét 2: Nếu giả thiết cho: x + y + z = k Thì ta nên đặt:
 Hoặc với a +b +c = 0
 Hai cách đặt này đều có thể vận dụng cho bài toán trên . 
Bài 4: cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng :
 ( a + c) ( b + d ) + 2ac +2bd Ê 
Giải: Do a + b +c + d = 1 nên ta có thể đặt :
Với x ,y ,z tuỳ ý. Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
 (a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd = 
Vớii mọi x , y . z .
Dấu ” = “ xảy ra khi x - y = z = 0 hay a = c và b = d suy ra ĐPCM.
Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k . 
 Ta có thể đặt theo 2 cách :
 Hoặc với m + n + p + q = 0
Bài 5: Cho a + b = c + d chứng minh rằng.
 a2 + d2 + cd ³ 3ab
 a2 + b2 + ab ³ 3cd
 Giải
 Phần a , b tương tự nhau, ta chứng minh phần a.
Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt
 Với x tuỳ ý
 Ta có 
	 "a,b,x
 Dấu ” = “ xảy ra khi x = a - b + = 0 hay a = b = c = d
 Với c2 + d2 +cd ³ 3ab với " a, b thoả mãn a + b = c + d
Bài 6 : Cho a + b + c + d = 2 CMR a2+ b2 + c2 + d2 ³ 1
Vì a + b + c + d = 2 nên đặt 
Với : x + y + z + t = 0 
Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t Khi đó a = b = c = d =
Nhận xét 4:
Nếu cho điều kiện là
CMR: 
Ta nên đặt .... 
II. Các bài toán có điều kiện là đẳng thức kết hợp bất đẳng thức.
Bài 7: Cho x + y =3 và y ³ 2 .Chứng minh rằng:
 a) x3 + y3 ³ 9
 b) 2x4 + y4 ³ 18
Giải: Do y ³ 2 nên đặt y =2 + t ³ 0	với t ³ 0
 Do x +y = 3 nên đặt y = 2 + t Thì x = 1 - t Thay x = 1 - t và y = 2 + t vào vế trái ta có:
 x3 + y3 = (1 -t )3 + ( t + 2)3= 9 +9 t +9t2 ³ 9 vì t ³ 0
Dấu “ = “ xảy ra khi t = 0 hay x = 1 và y = 2 suy ra ĐPCM
b) 2x4 + y4 =2 (1 - t)4 + ( 2 + t) 4 =18 +24t + 36 t2 + 3t4 ³ 18 vì t ³ 0
 Dấu “ = “xảy ra khi t = 0 hay x =1 và y =2 Suy ra ĐPCM
Nhận xét 5: Với điều kiện x + y = k và y ³ l (hay x Ê n) thì nên đặt y = 1 + m với m ³ 0 ( hay x = n - m với m ³ 0)
Từ đó suy ra x = k - l - m (hay y = k - n - m) 
 suy ra: Hay 
Rồi thay các ẩn vào các vế bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 8: Cho x 5 . Chứng minh rằng: 5x2 + 2y2 + 8y > 62
Giải 
Do x 5 nên ta đặt 
 Với t ,k > 0
 Suy ra 
Thay vào vế trái của bất đẳng thức ta có
 5x2 +2y2 +8y = 5 (2 - t )2 + 2(3 + k + t )2 +8 (3 + k + t) =
 = 62 + 2 (k + t )2 +5t2 +20 k > 62 " k , t Suy ra ĐPCM . 
Bài 9 Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng:
 27a2 +10 b3 > 945
 Giải Do a + b > 8 và b > 3 Nên ta đặt 
 Với k,t > 0
 ị 
Thay vào vế trái của BĐT ta có: 
 27a2 + 10b3 = 
Vì ,t,k >0 Suy ra ĐPCM
Nhận xét6:Nếu điếu kiện cho là:
 Ta nên đặt 
Với m,n > 0 từ đó ị
 Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Nếu điếu kiện cho là:
 Thì ta đặt
 với n,m > 0 đ 
Thay vào BĐT suy ra ĐPCM
Bài10: Cho a + b + c ³ 3 .Chứng minh rằng a4 +b4+c4 ³ a3 + b3 + c3
Giải:
Do a + b + c ³ 3 nên ta đặt : 
 Thoả mãn x + y + z ³ 0
 Xét hiệu : 
Vậy: 
Dấu'' = ''xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Nhận xét 7
Đây là đề thi học viện bưu chính viễn thông.Ta thấy nếu biết cách đặt ẩn phụ hợp lý học sinh vẫn có thể chứng minh được đối với học sinh THCS
III)các bài toán có điều kiện phức tạp:
 Bài11: cho : a3 + b3 < 2 Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phương pháp phản chứng.
Giả sử ta đặt với 
Ta có:
 =
Vì Suy ra Trái giả thiết.Vậy a + b < 2
Bài 12 Cho a4+ b4 < a3 + b3 Chứng minh rằng: a + b < 2
Giải Phương pháp phản chứng:
Giả sử .Đặt với 
Xét hiệu: 
hay với a + b ³ 2 Thì: a4 + b4 ³ a3 + b3 Trái với giả thiết . Vậy a + b < 2
Bài toán 13
Cho a,b,c là 3 số dương Chứng minh :
Giải:
Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b Khi đó:
 Cho nên
(áp dụng BĐT CÔ SI ) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
 Hay a = b = c
Bài toán 14
Cho u,v là các số dương và u+v=1. chứng minh rằng
Giải
Đặt a = u + và Ta có a> 0, b > 0
Và < (1)
 Vì < 0
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
vì uvÊ do đó) 
Dấu đẳng thức xảy ra khi : u = v =
bài toán:15
Cho a.b Chứng minh rằng:
Giải : Đặt x = ta có : 
Bất đẳng thức trở thành:
Nếu ab< 0 Thì ta có
 Chia cả hai vế cho ab ta được
 Vậy x
Trong cả hai trường hợp thì 
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b
c) Kết quả thực hiện
1)Kết quả chung 
Sau khi học sinh được thực hành '' Sáng kiến đổi biến để chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ''đa số các học sinh khá giỏi không những học sinh nắm vững cách đặt ẩn phụ mà còn biết vận dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt qua đó giải được các dạng toán như :
-Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của một biểu thức biết điều kiện tham số.
 -Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ,đẳng thức có điều kiện .
-Sáng tao ra bất đảng thức mới. 
 Qua kết quả của các bài toán trên đã giúp cho học sinh cũng như giáo viên có phương pháp giải mới cho các bất đẳng thức có điều kiện ,đó chính là một dạng toán khó và từ trước tới nay chưa có cách giải tổng quát
 2)Kết quả cụ thể:
Kiểm tra 20 em học sin khá ,giỏi lớp 8 theo ba đợt có đề bài lần lượt như sau 
Đề 1
a)cho a + b + c = 1 .Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 ³ 
b)cho x + y + z =3 Tìm GTLN của C =xy + yz + zx
Đề 2
b) Cho a + b + c + d = 3 Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 ³ 
b)Cho a + b = 1tìm GTNN của M = a3 + b3 + ab
Đề 3
Cho x + y = 3 và x Ê 1.chứng minh rằng:
a)2x2 + y2 ³ 6
b) xy Ê 2
c) x3 + y3 - 6x2 - 3y2 + 9 ³0
Kết quả thực hiện như sau :
Điểm
Dưới5
5đ6
7
8đ10
5đ10
Đề
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
10
50
6
30
3
15
1
5
10
50
2
4
20
10
50
4
20
2
10
16
80
3
0
0
8
40
5
25
7
35
20
100
Kiểm Tra 20 học sinh khá giỏi lớp 9 theo 3 đợt với đề bài thứ tự như sau:
Đề 1:
a)Cho3x + y = 1 chứng minh rằng x2 + y2 ³ 
b)Cho x + y = 3 và y Chứng minh rằng2x2 + y2 ³ 3x
Đề 2:
a) Cho x + y = c + d = 1 Chứng minh rằng < 1
b)Cho a + b + c + d ³ 2 Chứng minh rằng 
Đề 3
a) Cho a2 + b2 Ê 2 chứng minh rằng a + b Ê 2
b) Cho a + b ³ 2 Chứng minh rằng 
Kết quả cụ thể như sau 
Điểm
Dưới 5
5 - 6 đ
7đ
8-10
5-10
Đề
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
9
45
7
35
3
20
0
0
11
55
2
5
25
10
50
4
20
1
5
15
75
3
0
0
5
25
7
35
8
40
20
100
Nhận xét: Kết quả trên tôi thu được từ việc kiểm tra hai đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện của trường sau khi các em được làm quen và trực tiếp các em thực hành sáng kiến “ Đổi biến để chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện”
Sau khi thu được kết quả có thể nhận thấy phương pháp giải toán ử trên không khó đố với học sinh khá giỏi ,mà điều cần lưu ý ở đây là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý thì lời giải mới ngắn gọn 
KếT LUậN Và KIếN NGHị
A)ý nghĩa ,tác dụng của đề tài:
 Như đã trình bày ở phần đặt vấn đề tôi viết đề tài này chỉ nhằm một mục tiêu đơn giản là giúp cho giải toán “Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện “ có thêm một cách giải mới vừa đơn giản dễ nhớ và hiệu quả 
 Qua đề tài giúp cho bản thân tôi cũng như các thầy co giáo và học sinh thấy được mọi vấn đề đều có hướng giải quyết , nếu như ta biết đơn giản hoá các vấn đề phức tạp . 
B.) Kiến nghị , đề xuất hướng nghiên cứu . 
Qua thực tế áp dụng đề tài tôi xin lưu ý các đồng chí khi vận dụng đề tài trên đây cần :
Dạy cho học sinh nắm chắc các đẳng thức , các bất đẳng thức cơ bản .
Đặt ẩn phụ hợp trên cơ sở điều kiện đề toán có lời giải chứng minh ngắn gọn nhất cho bài toán .
Mở rộng phương pháp cho các dạng toán khác như các bất đẳng thức khó , các bài giải phương trình , các bài giải hệ phương trình có đều kiện kèm theo .
Từ kết quả đúc rút kinh nghiệm từ bản thân tôi xin kiến nghị .
Đối với hội đồng khoa học cấp trường , cấp huyện cần xem xét phương pháp mà tôi trình bầy trong đề tài này để có những nhận xét , đánh giá những ưu nhược điểm của đề tài , và hướng chỉ đạo trong thời gian tới . Tôi hy vọng đề tài sẽ đóng góp một phần trong công tác nghiên cứu khoa học và áp dụng vào giảng dạy ở nhà trường .
Các tài liệu tham khảo
1) Tạp trí toán học tuổi trẻ tháng 1/2002
(Hội toán học Việt Nam)
2) Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9
(Tác giả Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản Giáo dục 2002)
3) 500 bài toán bất đẳng thức 
(TG. Phan Huy Khải - NXB Giáo dục 1996)
4) Tuyển tập các đề thi đại học cao đẳng
(TG. Lê Thống Nhất - NXB Giáo dục 2001)
5) Phương pháp giảng dạy Toán
( TG. Hoàng Chúng - NXB Giáo dục)