Sáng kiến kinh nghiệm Căn thức bậc hai và các bài toán liên quan ôn thi cho Lớp 9

CHUYÊN ĐỀ :
CĂN THỨC BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ÔN THI CHO LỚP 9
Ngày báo cáo: 17 /6/2020 GV báo cáo: Trần Thị Hòa
ĐẶT VẤN ĐỀ:
Chương I : Căn bậc hai - là một trong những phần kiến thức trọng tâm của phân môn Đại số lớp 9, đặc biệt là đối với việc ôn luyện để thi vào lớp 10. Qua một thời gian giảng dạy tôi thấy nhiều học sinh không nắm vững phần lý thuyết nên việc vận dụng vào làm bài tập rất khó khăn . Sau đây tôi đưa ra một số bài toán đơn giản liên quan đến căn bậc hai.
NỘI DUNG:
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN :
a
Khái niệm: x là căn bậc hai của số không âm a Û x2 = a. Kí hiệu: x =	.
A
A
Điều kiện xác định của biểu thức
Biểu thức
xác định( có nghĩa ) Û A ³ 0.
Hằng đẳng thức căn bậc hai
A2
í-A	khi A < 0
= A = ìA	khi A ³ 0
î
Các phép biến đổi căn thức:
A.B
1)	=
A
B
A
B
2)	=
A2B
3)	= A
A
B
4)	=
(A ³ 0; B ³ 0)
A. B
(A ³ 0; B > 0)
B
(B ³ 0)
1	A.B B
(A.B ³ 0; B ¹ 0)
A
 	C	
± B
C ( 
A	B )
=	A - b 2

(với A ³ 0 và A ¹ B2 )
A
B
 	C	
±
C ( 
A	B )
=	A - B

(với A ³ 0 , B ³ 0 và A ¹ B )
A ± 2 B
7)
với
=	=	=	±
m ± 2 m.n + n
(
m ±
n )2
m
n
ím.n = B
ìm + n = A ( m,n > 0 )
î
Nếu A ³ 0
thì A = (
A)2 =	= A
A2
*Chú ý :	Khi áp dụng các công thức trên ta thường áp dụng một cách linh hoạt theo chiều thuận hoặc đảo phù hợp với từng bài .
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP :
Dạng 1: Tính toán,thu gọn biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai số học
20
18
45
72
Bài 1: Tính: a.	- 3	-	+
b.	5.
Giải :
20
1
5
a.	- 3
b 5.
1
1
5
+ 2 . 20 +	5
18
45
72
-	+	= 2
 5 52
1

- 9	- 3	+ 6
5
2
5
1

= -	- 3
2
5
2
5	2
+ 2 . 20	5 =5.
 Bài 2 : Tính :
+ 2 . 4.5 +	5 = 5	5 + 2	5 + 5 = 3 5
3 - 2 2
3 + 2 2
1) ( 3 -
2 )2
2) (
2 -1)2 - (
2 +1)2
3) (3 - 2
2).(3 + 2 2)
4) (
2
2
Giải:
3 - 2)2 -
( 3 + 2)2
5)	-
1) ( 3 -
2 )2 =
3 - 2.
+	2	= 3 - 2
+ 2 = 5 - 2
3. 2
6
6
2) (
2 -1)2 - (
2 +1)2 = (
2 -1+
+1).(
2 -1-
-1)= 2
2.(-
2 )= -4
2
2
3) (3 - 2
2 ).(3 + 2
2 )= 32 - (2
2 )2 = 9 - 8 = 1
4) (
3 - 2)2 -
( 3 + 2)2 =

3
- 2 -

3
+ 2 = 2 -

3
3
3
2
2
2
- (	+ 2) = 2 -	-

3
3
2
- 2 = -2
3 - 2 2
3 + 2 2
( 2 -1)2
( 2 + 1)2
5)	-	=	-
=	-1 -
+ 1 =
-1 -
-1 = -2
Bài 3 :Tính, trục căn thức :
2
2
5
2 3
-2
3 +1
6
3 2 - 2 3
1
2 -1
1)	2)	3)	4)	5)
Giải:
2
2
( 2)2
2
1)	=	=

2)	5	=	5 3

= 5 3 = 5 3
2
2 3	2 3. 3
2.3	6
 -2 
 	-2 ( 
-1))	
-2 ( 
-1))
-2 ( 
-1))
3 
3 
3 
3
3)	=	=	=	= 1-
3
3
3
2
3
+1	(
+1))(
-1))
3 -1	2
6
3 2 - 2 3
4)	=
= 6.(3 2 - 2 3) = 6.(3 2 - 2
3) = 3	+ 2
6.(3 2 + 2 3)
(3 2 - 2 3).(3 2 - 2 3)
Bài tập áp dụng :
8
50
Bài 1 : Tính :
18 -12	6
12
27
1)	+
45
80
245
2	+	-
12
27
4)3	-

5)	+
2)3
2
1
3
1
12
+
+ 5	- 2
3)
0,4
2,5
6)	+
+ 108
3
4
2
72
7)(	+
- 18)
8)(3
+	2)(3
-	2)
2
5
5
Bài 2 : Tính
12
1) 2 3 - 3

75
63
2) 2 2 -

20
5 + 18 -

3
3) 3

125
- 12 +
24
4) 2 27 - 6 48 + 4
5)	28 - 2 14 + 7 +
6) 3 5 + 4 20 - 2
1
3
4
3
Bài 3 : Tính :
12
27
+ 25)
4
3
3
6
3
1)(	+
-	3) :
2)(
+	3) (	-
+	3) :
3
27
12
- 108) :
3
3
4
16
4)(	-
5)(4
+ 2)(4
- 2)
6)(
+ 2)(
-	2)
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau :
4 + 2 3
6 - 2 5
3 + 5
3 - 5
1)	2) 2 +	3)	-
8 + 4 3
8 - 4 3
9 - 4 5
9 + 4 5
6 + 2 5
5 + 1
4)	-	5)	-	6)
16 - 6 7
16 + 6 7
7)	-
Dạng 2: Rút gon tổng hợp.
Bài 5: Rút gọn biểu thức
A = æ a + 3 
- ö æ a -1 +1ö, với

a ³ 0; a ¹ 1
a
a
a
ç	+ 3
2 ÷.ç
-1	÷
è	ø è	ø
Giải:
a 
a 
( 
Với a ³ 0; a ¹ 1 ta có
a
a + 3
(
æ	a A = ç
+ 3)
ö æ
- 2 ÷.ç
-1)( 
+1)
+1÷ = (
- 2).(
+ 2) = a - 4
a
a
ç	÷ ç
-1	÷
a
ö
è	ø è	ø
Vậy A = a - 4
Bài 6:	Cho biểu thức
Rút gọn P
a3 +1
P =	+
a2 - a +1
a3 -1
a2 + a +1

(víi a Î R )
Tìm A để P > 3.
Giải:
Vì a Î R

ta có
(a +1)(a2 - a +1)	(a -1)(a2 + a +1)
=	+
P
= (a +1) + (a -1)

=2a
a2 - a +1	a2 + a +1
Vì a Î R ,

p > 3 Û
2a > 3 Û 2a - 3 > 0 Û a > 3
2
x + 4
x + 2
Bài 7 .	1) Cho biểu thức A =	. Tính giá trị của A khi x = 36
x
x + 4
x +16
x + 2
Rút gọn biểu thức B = æ	+	4	ö :
(với x ³ 0; x ¹ 16 )
ç	x - 4 ÷
è	ø
Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên
Giải:
Với x = 36 (Thỏa mãn đk x ³ 0; x ¹ 16 ), Ta có : A =
Với x ³ 0, x ¹ 16 ta có :
= 10 = 5
36 + 4
36 + 2
8	4
B = æ x( x - 4) + 4( x + 4) ö x + 2
= (x +16)( x + 2) =	x + 2
ç	x -16	x -16	÷ x +16
(x -16)(x +16)	x -16
è	ø
Ta có:
B(A -1) = x + 2 .æ x + 4 -1ö = x + 2 .	2	= 2	.
x
x
x -16 ç	+ 2	÷	x -16	+ 2	x -16
è	ø
Để B( A -1) nguyên, x nguyên thì
x -16
là ước của 2, mà Ư(2) ={±1; ±2 }
Ta có bảng giá trị tương ứng:
x -16
1
-1
2
-2
17
15
18
14
Kết hợp ĐK
x ³ 0, x ¹ 16 , để
B( A -1) nguyên thì
x Î{14; 15; 17; 18 }
Bài 8: Cho biểu thức :
x
1 +	x
æ	x	ö
3 -	x
Q = ç	+
è1 -	x
÷ +
ø	x - 1
với x ≠ 1, x > 0
Rút gọn Q
Tìm x để Q > -1.
x
1 +	x
æ	x	ö
3 -	x
Giải : a) Q = ç	+
è1 -	x
÷ +
ø	x - 1
Q = é
x (1 +
x ) +
x (1 -
x ) ù - 3 -	x
ë
û
ê	(1 -
æ	x + x +
x )(1 +	x )	ú
x - x ö	3 -	x
1 - x
Q = ç
è
Q = 2
÷ -
1 - x	ø
2 x - (3 -	x )
x - 3 -	x =
1 - x
1 - x
3 x - 3
Q =	1 - x
1 - x
1 +	x
=	- 3
1 - x
1 +	x
Q = -	3
x
x
b)	Q > -1 nên ta có
1 +	x
1 +	x
-	3	> -1 Û
3	< 1 Û 1+
> 3 Û
> 2 Û x > 4.
Vậy với x > 4 thì Q > - 1.
Bài tập áp dụng:
Bài 9: Rút gọn biểu thức sau:
b
a	+ b a
 	 ab
1
a)	:	,	víi
a > 0, b > 0 vµ
a ¹ b.
æ	a +
a -	b
a
a
öæ	a -	ö
b) ç1 +
è
a
a
֍1 -
a + 1 øè
a
- 8 + 2a - 4
a - 4
÷, a - 1 ø
;
víi
a > 0 vµ
a ¹ 1.
5a 4 (1- 4a + 4a2 )
1	×
2a - 1
3x2 + 6xy+ 3y2
4
2	×
x 2 - y 2
x - 3
x -1 -	2
Bµi 10: Cho biểu thức P =
Rút gọn P.
3
Tính giá trị của P khi x = 4(2 -	).
Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Kết luân :
Phần kiến thức về căn bậc hai trong chương I- Đại số 9 rất rộng, tương đối khó với học sinh. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học được tốt phần này thì cần phải biết được những sai lầm của học sinh thường mắc phải để sữa chữa kịp thời và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cửa các lớp dưới và kiến thức về căn bậc hai thì khi đó mới có thể vận dụng vào làm bài tập được.