Sáng kiến kinh nghiệm Các ứng dụng của định lý Viét

m x1; x2 thoả mãn các hệ thức:
	4x1x2 + 4 = 5 (x1+ x2)	(1)
	(x1 - 1) (x2 - 1) = 	(2)
Giải: * Để lập được 1 phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1 ; x2 ta phải tìm được x1 + x2 và x1.x2 theo a.
Ta có: (2) 	Û x1.x2 - (x1 + x2) + 1 = 
	Û x1.x2 - (x1 + x2) = 	(3)
	(1)	Û 4x1x2 - 5 (x1 + x2) = - 4	(4)
Từ (3) và (4) Þ 	Þ x1, x2 là nghiệm của phương trình: hay (a + 1)x2 - 4x + 4 - a = 0.
3. Viết phương trình bậc 2 có nghiệm x1; x2 thoả mãn:
* Ta cần tìm được x1 + x2 và x1 .x2 theo k.
Đặt x1 + x2 = S ; x1.x2 = P, ta có:
 Û 
Phương trình cần tìm là x2 + 2kx - 3k + 1 = 0 (
ĐK: S2 - 4P ³ 0 Û k2 + 4k - 1 ³ 0)
* Qua các ví dụ trên ta đã vận dụng định lý Viet đảo để lập 1 phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm cho trước hoặc hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm. Song cần chú ý điều kiện S2 - 4P ³ 0.
VI. XÉT DẤU CÁC NGHIỆM SỐ:
1. Phương pháp:
Dùng định lý Viet ta có thể xét dấu các nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) dựa trên kết quả:
* Nếu Û phương trình có 2 nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2	
* Nếu Û phương trình có 2 nghiệm cùng dấu.
* Nếu Û phương trình có 2 nghiệm dương 0 < x1 £ x2
* Nếu Û phương trình có 2 nghiệm âm: x1 £ x2 < 0
2. Các ví dụ:
a. Cho phương trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - 4 = 0	(1)
Xác định m để phương trình:
	- Có đúng 1 nghiệm âm
	- Có 2 nghiệm đối nhau.
Giải: Xét 2 trường hợp:
* TH1: Với m =0 ta có: (1) Û - 6x - 4 = 0 Û là nghiệm âm duy nhất của phương trình.
* TH2: Với m ¹ 0 khi đó để (1) có đúng 1 nghiệm âm cần điều kiện là:
 Û Û Û 
Vậy m Î (0; 4] hoặc m = thì phương trình có đúng 1 nghiệm âm.
b. Cho phương trình: 2x2 - (m - 1)x + m2 - 4m + 3 = 0 	(1)
* Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
* Xác định dấu của các nghiệm x1, x2 (x1 £ x2) với các giá trị tìm được của m.
Giải: * Vì (1) là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m có nghiệm số 
Û D’ ³ 0 Û (m - 1)2 - 2 (m2 - 4m + 3) ³ 0 Û - m2 + 6m - 5 ³ 0
Û m2 - 6m + 5 £ 0 Û (m - 1) (m - 5) £ 0 Û 1 £ m £ 5.
* Theo hệ thức Viet có: 	P = x1x2 = 
	S = x1 + x2 = m - 1
- Xét dấu của P = x1.x2.
Ta có: m2 - 4m + 3 = 0 Û m = 1 hoặc m = 3
m
	1	3
x1x2
+	0	-	0	+
Nếu m = 1 thì p = 0 và s = 0 Þ x1 = x2 = 0
Nếu m = 3 thì p = 0 ; s > 0 Þ 0 = x1 < x2
Nếu 3 0 ; s > 0 Þ 0 < x1 < x2
Nếu 1 < m < 3 thì p < 0 Þ x1 < 0 < x2.
c. Tìm giá trị của m để phương trình: (m - 1)x2 + 2x + m = 0	(1)
có ít nhất 1 nghiệm không âm.
* Giải: 	* Nếu m = 1 Þ x = < 0 vậy m = 1 (loại)
	* Nếu m ¹ 1 thì (1) là 1 phương trình bậc 2.
D’ = - m2 + m + 1 Þ có nghiệm Û D’ ³ 0
Û m2 - m - 1 £ 0 Û £ m £ 
* Xét S = có 2 trường hợp:
- Nếu m 0 Þ (1) có ít nhất 1 nghiệm dương 
- Nếu m > 1 Þ S 1 
Þ P > 0 kết hợp với S 1.
* Kết luận: Giá trị của m cần tìm là: £ m < 1.
* Cách giải 2:
Xét 
- (1) có nghiệm x = 0 Û P = 0 Û m = 0 	(1)
- (1) có 2 nghiệm trái dấu Û P < 0 Û 0 < m < 1 	(2)
- (1) có 2 nghiệm dương Û Û 
Û £ m < 0	 (3)
Từ (1), (2), (3) Þ £ m < 1
ỨNG DỤNG KHÁC
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (D): Y = AX + B (A ¹ 0) VỚI PARABOL (P): 
y = mx2 (m ¹ 0):
1. Dạng 1: 
Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (a ¹ 0) đi qua 2 điểm A (xA; yA); B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2 (m ¹ 0)
* Cơ sở lý luận: Do đường thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: mx2 = ax + b Û mx2 - ax - b = 0.
Từ đó theo Viet ta có: 	(*)
Từ (*) tìm a và b Þ PT (d)
2. Dạng 2:
Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm M (xM; yM)
* Cơ sở lý luận: Do (d) và (P) có duy nhất 1 giao điểm nên phương trình:
mx2 - ax - b = 0 có nghiệm kép: x1 = x2. Vận dụng hệ thức Viet, ta có:
	Þ a và b
Þ phương trình tiếp tuyến.
3. Ví dụ:
a. Cho parabol (P) có phương trình: (P): y = x2.
Gọi A và B là 2 điểm Î (P) có hoành độ lần lượt là xA = - 1 ; xB = 2. Lập phương trình dường thẳng đi và A và B.
* Giải: (Ta có thể ứng dụng hệ thức Viet).
* Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b 
Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là: x2 = ax + b 
Û x2 - ax - b =0	(*).
Ta có: xA = - 1 ; xB = 2 là nghiệm của phương trình (*).
Theo Viet ta có:
	Û 
Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 2
b. Cho (P): ; A Î (P) có hoành độ xA = 2 lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A.
Giải:
Giả sử phương trình tiếp tuyến tại A là (d): y = ax + b. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
= ax + b Û x2 - 4ax - 4b = 0 	(*)
Ta có: xA = 2 là nghiệm kép của (*) (x1 = x2 = 2)
Theo Viet ta có: Þ 
Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x - 1
II. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT:
1. Từ hệ thức S = x1 + x2 ; P = x1.x2.
a. Nếu S = x1 + x2 không đổi còn P thay đổi.
Do: S2 - 4P ³ 0 Û P £ 
Nên Pmax = Û x1 = x2 = (Vì PT: x2 - Sx + P = 0 có nghiệm kép)
* Vậy: Nếu 2 số có tổng không đổi tích lớn nhất Û 2 số bằng nhau.
b. Giả sử: x1 > 0 ; x2 > 0 và x1.x2 = P (không đổi) còn S = x1 + x2 (thay đổi)
vì S2 - 4P ³ 0 Û (S - ) (S +) ³ 0
Û S - ³ 0 Û S ³ Þ> Min S = Û x1 = x2 = 
* Vậy: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau.
2. Tìm cực trị của biến số trong hệ điều kiện ràng buộc.
a. Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số thực thoả mãn điều kiện:
	 Tìm GTNN của a (Xác định b, c khi a min)
* Giải: Từ giả thiết bài toán ta có: 
Theo Viet: b, c là nghiệm của phương trình bậc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = 0
Þ D = (a3 - a)2 - 4a2 ³ 0 Û a2 [(a2 - 1)2 - 4] ³ 0
Û (a2 - 3) (a2 + 1) ³ 0 Û a2 - 3 ³ 0 Û a2 ³ 3
Þ a ³ (a > 0) Þ min a = tại b = c = 
Vậy: amin = tại b = c = 
* Ở bài toán trên do vai trò của a, b, c như nhau nên có thể yêu cầu tìm min của1 trong các biến a, b, c.
Mặt khác, trong bài toán trên ta đã dựa vào điều kiện tồn tại của hệ thức Viet là S2 - 4P ³ 0 (Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2) từ đó suy ra GTNN.
III. BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
* Liên quan tới nghiệm của 1 phương trình bậc 2 ta có thể sử dụng hệ thức Viet để chứng minh bất đẳng thức có chứa các nghiệm của 1 phương trình bậc 2 đã cho. Hoặc chứng minh các bất đẳng thức có hệ điều kiện ràng buộc cho trước.
1. Ví dụ 1: Cho phương trình: mx2 - (m + 2)x + 1 = 0 (1) (m là tham số).
a. Chứng minh rằng (1) có nghiệm với mọi m.
b. Giả sử (1) có 2 nghiệm là a và b.
Chứng minh rằng: (ma - 1)2 + (mb + 1)2 ³ 
Giải:
a. Với m = 0 thì (1) trở thành - 2x + 1 = 0 Û x = 
(Phương trình có nghiệm với m = 0).
Với m ¹ 0: Þ (1) là 1 phương trình bậc 2 có D = (m + 2)2- 4m = m2+ 4 > 0
"m Þ (1) có nghiệm với "m ¹ 0
* Vậy (1) có nghiệm với "m.
b. Muốn phương trình đã cho (1) có 2 nghiệm a, b thì m ¹ 0.
Do a, b là các nghiệm của (1) nên theo Viet ta có:
a + b = 
Đặt: X = am - 1; Y = bm + 1 Þ X + Y = m(a + b)
Þ X + Y = m(m + 2) : m = m + 2
Chứng minh được: 2 (X2 + Y2) ³ (X + Y)2 với mọi X, Y
Þ X2 + Y2 ³ (X + Y)2 / 2 "X, Y
Thay: X + Y = m + 2 ta có: X2 + Y2 ³ (m + 2)2 /2 
Hay (am - 1)2 + (bm - 1)2 ³ (m + 2)2 /2
2. Ví dụ 2: Cho x, y, z thoả mãn 	(*)
Chứng minh rằng: 1 £ x, y, z £ 
Giải: Từ hệ (*) ta có: 
	Û 
Theo Viet: y. z là nghiệm của phương trình: t2 - (5 - x)t + (x2 - 5x + 8) = 0
Vì phương trình trên có nghiệm Þ D ³ 0
Û (5 - x)2 - 4 (x2 - 5x + 8)³ 0 Û - 3x2 + 10x - 7 ³ 0
Û 3x2 - 10x + 7 £ 0 Û 1 £ x £ 
Bằng cách chứng minh tương tự ta có: 1 £ y, z £ 
* Ở bài toán trên ta đã dựa vào điều kiện tồn tại 2 số y và z chính là điều kiện phương trình (*) có nghiệm số là D ³ 0 hay S2 - 4P ³ 0. Từ đó suy ra các bất đẳng thức cần chứng minh.
CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
Xây dựng hệ thức Vi-ét
 - Sau khi học xong công thức nghiệm của PT bậc 2 tổng quát GV hướng dẫn HS tìm ra mối quan hệ giữa các nghiệm số với các hệ số thông qua biểu thức:
x1 + x2 = ?; x1. x2 = ? Từ đây, gợi ý HS tìm tòi thêm các mối liên hệ khác để khẳng định giá trị của 2 hệ thức trên.
2. Yêu cầu HS lập mệnh đề đảo của định lý và gợi ý cách chứng minh MĐ:
 Nếu có x1 + x2 = và x1. x2 = thì x1; x2 là nghiệm của PT bậc 2: 
ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0).
 Hướng dẫn: f(x) = ax2 + bx + c = a (x2 + x + ) =  = a (x – x1)(x – x2)
Vì a ¹ 0 nên f(x) = 0 Û x = x1 hoặc x = x2 Þ kết luận
3. Vận dụng định lý đảo của định lý Vi-ét vào bài toán tìm 2 số biết tổng và tích của chúng: a + b = S; a . b = P (S2 – 4P ³ 0) Þ a, b là nghiệm của PT bậc 2: x2 – sx + p = 0
Lưu ý: Trước hết xét s2 – 4p để khẳng định có tồn tại a và b hay không tồn tại a và b. Tuy nhiên nếu có 2 số x1; x2 là nghiệm của hệ PT: x1 + x2 = s và x1x2 = p
thì khẳng định được ngay x1 và x2 là nghiệm của PT: t2 – st + p = 0 
4. Tiến hành thường xuyên việc nhẩm nghiệm 1phương trình bậc2 trong các trường hợp: a+b+c= 0; a-b+c=0 
Từ đó hình thành thói quen quan sát các hệ số của 1pt bậc2 tiến hành nhẩm nghiệm nếu có; Xây dựng cho học sinh ý thức giải 1pt bậc2 đủ bằng cách Nhẩm nghiệm trước khi sử dụng công thức tổng quát; Tạo thói quen sử dụng ht Vi-ét để kiểm tra nghiệm pt bậc 2 
5. Xây dựng hệ thống bài tập có ứng dụng Vi-ét ngay sau khi học xong bài “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”.
Gồm các bài toán:
 - Không phải phương trình bậc 2 mà tính tổng, tích các nghiệm; tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm. Không đối xứng giữa 2 nghiệm
 - Cho trước 1 nghiệm số của phương trình bậc 2 Tìm nghiệm còn lại và tham số.
 - Tìm một số biết tổng và tích của chúng
 - Lập một phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm cho trước; hoặc hai nghiệm có liên quan tới 2 nghiệm của 1 phương trình đã cho.
 - Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của 1 phương trình bậc 2 không phụ thuộc tham số.
 - Tìm điều kiện của tham số (tìm tham số) sao cho các nghiệm của một phương trình bậc 2 đã cho thoả mãn 1 hệ thức (1 điều kiện cho trước).
 - Tìm điều kiện của tham số để các nghiệm của phương trình bậc 2 cho trước cùng dấu, trái dấu, dương, âm
6. Đưa hệ thức Viet vào giải 1 số phương trình, hệ phương trình “Không mẫu mực” như phương trình, hệ phương trình vô tỷ.
Ví dụ: Giải phương trình: (1)
 Giải hệ phương trình:	(2)
Từ đó ý thức cho HS thấy được có những phương trình, hệ phương trình có thể chuyển về vận dụng các ứng dụng của Định lý Viet. Như ở (1) đưa về tìm A vàB sao cho: A.B = 6 
 A + B = 5
 Ở (2) chỉ ra x > 0 ; y > 0 là điều kiện hệ có nghiệm rồi chuyển hệ về dạng
	(x + y) + 
	(x + y)(-
7. Đề xuất cho HS những bài toán tìm cực trị của 1 biểu thức đại số có ứng dụng hệ thức Viet như:
- Khai thác: S2 – 4p ³ 0 trong các trường hợp S thay đổi P không thay đổi, S hông đổi; P thay đổi.
Từ đó liên hệ với bất đẳng thức Côsi và ứng dụng của bất đẳng thức này.
- Đưa hệ thức Viet vào bài toán tìm cực trị của các biến trong hệ điều kiện ràng buộc như:
 x + y + z = 5 	
Tìm cực trị của x, y, z biết rằng:
 xy + yz + xz = 8
8. Cho HS làm quen với việc sử dụng hệ thức Viet vào bài toán chứng minh
 bất đẳng thức:
Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 2m2x + 2m2 –2 = 0 (| m| >1)
Chứng minh rằng: Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Giả sử: x1, x2 là nghiệm của phương trình đã cho và x1 > x2, hãy chứng minh: 
9. ứng dụng hệ thức Vi ét trong mặt phẳng toạ độ và trong hình học
a. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) : 2x- y = a2 và parabol 
(p): y= a x2 (a > 0). Tìm a để (d) cắt (p) tại 2 điểm phân biệt A và B.
Chứng minh rằng: Khi đó A và B nằm bên phải trục tung .
* Ở bài toán trên cần giúp cho học sinh chỉ ra pt hoành độ giao điểm :
a x2 = 2x – a2 Û a x2-2x + a2 = 0 (*) luôn có 2nghiệm phân biệt
Û D’= 1 –a3> 0 Û a<1 Vậy 0 < a < 1 là điều kiện cần tìm.
Từ đó gọi x1, x2 là nghiệm của (*) vận dụng hệ thức Vi-ét:
 Ta có: 	Þ x1 > 0 và x2 > 0
Þ A và B nằm bên phải trục tung.
b. Cho DABC (B = 900); đường cao BH = 3cm; AC = 7cm. Tính AB, BC. 
* Ở bài này nếu đặt vấn đề tìm AB, BC thông qua tìm AH, HC thì sự hỗ trợ của Vi-ét rất hữu hiệu.
Þ AH.HC là nghiệm PT: x2 – 7x + 9 = 0. 
Sau đó dễ dàng tìm được AB.AC nhờ hệ thức trong tam giác vuông 
A
B
H
C
 Mặt khác, có thể trực tiếp tính AB, BC nhờ vào Pitago và ứng dụng của Viet như sau:
AB2 + BC2 = AC Û (AB + BC)2 – 2AB . BC = AC2
Û (AB = BC)2 = 49 + 2AC . BH = 49 + 42 = 91 Þ AB + BC = 
kết hợp với AB . BC = 21 ta tìm AB và BC thông qua tìm nghiệm phương trình: 
x2 - x + 21 = 0
(chính là bài toán tìm 2 số có tổng là S và tích làP)
10. Sử dụng hệ thức Viet ở bài tập số học:
 Ví dụ: Tìm các số nguyên a để các phương trình sau có nghiệm nguyên.
 a) x2 – (a + 5)x +5a + 2 = 0 (1)
 b) x2 + ax + 198 = a (2)
Hướng dẫn:
Gọi x1,x2Î Z là nghiệm (1) theo Viet ta có:
 (*)
Từ đó (*) Û 
Þ (x1 – 5)(x2 – 5) = 2 = 1 .2 = 2 . 1 = - 1.(-2) = (-2).(-1)
Þ a = 8 hoặc a = 2.
b. Ta có: 	Þ x1 + x2 – x1 . x2 = -198
 	Û (x1 – 1) (x2 – 1) = 199
Do 199 là số nguyên tố nên:
(x1 – 1)(x2- 1) = 1.199 = 199.1 = -1.(-199) = -199.(-1) Þ a = 198 hoặc a = -2 
11. Gây động cơ nghiên cứu cho HS thông qua việc đặt vấn đề:
 Ta hãy dự đoán xem với phương trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) (*) khi có 3 nghiệm: x1; x2; x3 thì các nghiệm này có liên hệ với các hệ số a, b, c, d như thế nào ? sau đó GV giới thiệu định lý Viet mở rộng cho phương trình bậc 3. Nếu phương trình bậc 3 (*) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thì ta có 3 hệ thức sau giữa các nghiệm: 
 x1 + x2 + x3 = 
 x1x2 + x1x3 + x2x3 = 
 x1x2x3 = 
 (Định lý này không yêu cầu chứng minh vì sẽ được học ở chương trình toán cấp 3).
12. Thường xuyên nhấn mạnh việc tìm điều kiện cho mộtphương trình bậc hai có nghiệm số trước khi áp dụng hệ thức Vi-ét trong các bài toán về phương trình bậc hai có liên quan tới quan hệ giữa các nghiệm số; đặc biệt là phương trình bậc hai chứa tham số.
KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Kết quả:
Qua trắc nghiệm và khảo sát các đối tượng HS, sau khi cung cấp cho HS nội dung kiến thức kỹ năng các ứng dụng của Viet, kết quả bước đầu thu được:
-100% số HS biết kiểm tra nghiệm của 1 phương trình bậc 2 bằng hệ thức Viet.
- 98% số HS thành thạo nhẩm nghiệm phương trình bậc2 ở 2 trường hợp: 
a + b + c = 0 ; a – b + c = 0.
- 80% số HS biết nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 bằng định lý Viet đảo:
x1, x2 là nghiệm phương trình bậc 2
- 100% số HS biết tìm 2 số biết tổng, tích và lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm cho trước.
- 85% số HS tính được giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc 2 cho trước.
- 80% số HS tìm được hệ thức liên hệ giữa các nghiệm số không phụ thuộc tham số.
- 85% số HS tìm được điều kiện của tham số để 2 nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức (điều kiện cho trước). 
- 90% số HS xét dấu được các nghiệm số của một phương trình bậc 2. 
HS tìm được điều kiện của tham số để 2 nghiệm phương trình bậc 2 có dấu cho trước.
- 85% số HS sử dụng hệ thức Viet vào tìm phương trình đường thẳng đi qua A (xA, yA); B (xB,yB) thuộc parabôn y = mx2 (m ¹ 0).
 Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với parabôn (p) tại M(xM, yM).
- 90% số HS vận dụng hệ thức Viet vào tìm cực trị ở các trường hợp:
a) S = x1 + x2 (không đổi) P thay đổi, P = x1 . x2
b) P= x1 . x2(không đổi) S thay đổi
- 80% số HS biết tìm cực trị của biến trong hệ điều kiện ràng buộc.
- 90% số HS vận dụng được hệ thức Viet và ứng dụng vào bài tập chứng minh bất đẳng thức.
- 85% số HS biết vận dụng hệ thức Viet vào giải bài toán hình học.
- 90% số HS vận dụng được hệ thức Viet vào giải bài toán có liên quan đến số học.
BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1. Xây dựng mối quan hệ giữa các nghiệm số của một phương trình bậc hai tổng quát (khi có nghiệm số). Với các hệ số a, b, c từ đó hình thành các hệ thức Vi-ét đến phát biểu được nội dung của định lý Vi-ét là một công việc có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc dạy toán theo hướng đổi mới phương pháp giảng dạy trên cơ sở kiến tạo kiến thức mới sinh động và phong phú.
2. Từ định lý Vi-ét (thuận) nêu ra được các ứng dụng quan trọng như tìm tổng và tích các nghiệm số (không giải phương trình) Càng làm tăng thêm giá trị sử dụng của một định lý toán học cũng như ý nghĩa của định lý với những bài toán có liên quan.
3. Việc thiết lập mệnh đề đảo của định lý Vi-ét và chứng minh mệnh đề này đúng đã tạo ra một định lý đảo có nhiều ứng dụng vào các bài tập. 
- Tìm 2 số biết tổng và tích.
- Lập một phương trình biết hai nghiệm.
- Nhẩm nghiệm phương trình. 
4. Nêu ra một hệ thống ứng dụng của định lý Vi-ét vào các bài toán có ý nghĩa thiết thực trong rèn luyện kĩ năng và vận dụng hệ thức vào suy luận ở cấp độ tư duy cao như: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số 
5. Thường xuyên động viên HS có thói quen giải một phương trình bậc hai, trước tiên là sử dụng Vi-ét. Tạo cho HS một động hình, (tập quán), giải nhanh (hợp lí) bài toán có phương trình. Đặc biệt là thói quen tính nhẩm trong các trường hợp đã nêu. 
6. Thường xuyên “cảnh giác” cho HS trước khi sử dụng hệ thức Vi-ét là tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm số (hoặc điều kiện để có hai số) là một hoạt động có ý nghĩa vận dụng kiến thức trong suy luận và rèn luyện tính cẩn thận, chặt chẽ trong giải toán cho HS. 
7. Rèn luyện tính linh hoạt khi vận dụng hệ thức Vi-ét vào các bài toán như: Bất đẳng thức, cực trị, giải phương trình, hệ phương trình Đã làm phong phú và đa dạng hoá các bài tập có liên quan, càng tăng thêm ý nghĩa phong phú của định lý Vi-ét. 
8. Ghi nhớ cho HS kinh nghiệm giải các bài toán về phương trình bậc hai luôn nhớ đến việc vận dụng hệ thức Vi-ét một cách linh hoạt.
9. Khai thác triệt để, sâu sắc, phong phú một định lý toán học nói chung, định lý Vi-ét nói riêng về phương diện ứng dụng vào các bài tập đã tạo ra một hệ thống các bài tập phong phú, hấp dẫn HS giúp cho việc rèn luyện kĩ năng của các em được vững chắc hơn.
KẾT KUẬN
1. Với các ứng dụng phong phú, đa dạng. Định lý Viet đã có 1 vị trí quan trọng trong chương trình đại số 9 và giá trị sử dụng của nó vẫn còn có ý nghĩa với các lớp trên. Cũng như việc mở rộng nó với phương trình bậc 3. Định lý này không chỉ có giá trị về phương diện thực hành định lượng mà nó còn có giá trị định tính 1 cách phong phú cho các nghiệm số cả phương trình bậc 2.
2. Khai thác các ứng dụng của định lý Viet thuận và đảo vào các bài toán đại số lớp 9, đã làm phong phú và đa dạng các bài tập về phương trình bậc 2, bậc 3. Giúp cho người học rèn luyện các thao tác tư duy đặc biệt là khả năng suy luận 7 tính linh hoạt trong quá trình học tập môn toán. 
3. Cung cấp cho HS 1 cách có hệ thống các nội dung và phương pháp của hệ thức Viet và các ứng dụng phong phú của nó đã giúp HS hiểu sâu mối quan hệ giữa nghiệm số với các hệ số của 1 pt bậc 2, bậc 3. Từ đó hình thành ở HS 1 thói quen học định lý, thấy rõ vai trò của các định lý toán học trong chương trình toán. giúp cho các em rèn luyện được các phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt và độc đáo trong suy nghĩ. 
4. Nêu ra được các giải pháp giải từng loại toán ứng dụng định lý Viet. Giúp HS có được phương hướng giải quyết vấn đề có cơ sở lý luận. Xây dựng cho HS 1 niềm tin trong học tập chống tư tưởng ngại khó, sợ toán, giúp các em hăng say học tập, hứng thú tìm tòi cái mới, cái hay trong quá trình học troán.
5. Bước đầu hình thành ở HS những thói quen, kỹ năng làm toán, học toán có phương pháp. Trang bị cho HS phương pháp thực hành toán học 1 cách phong phú, đa dạng. Chuẩn bị cho HS những tiền đề để tiếp thu kiến thức và phương pháp mới ở các lớp sau. 
6. Góp phần quan trọng vào thời kỳ đổi mới phương pháp giáo dục. Đó là: việc đi tìm chân lý toán học không chỉ dừng ở chân lý mà cái quan trọng phải thấy được giá trị của chân lý đó, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học theo hướng phát huy tích cực của HS..
7. Trên đây là các ứng dụng phong phú của một định lý toán học (định lý Vi-ét) được xây dựng một cách có hệ thống và cơ sở lý luận, bước đầu đã được thực nghiệm và cho kết quả nhất định nhất là việc bồi dưỡng HS khá giỏi phần nào đã giúp người học hình thành được Angôrít giải toán ở các ứng dụng vào các bài tập của định lý Vi-ét góp phần phát huy được tính tích cực chủ động trong học toán, phẩm chất trí tuệ (tư duy) tạo đà cho HS đổi mới cách học trong giai đoạn hiện nay.
Tuy nhiên do hạn chế cá nhân nên bản sáng kiến kinh nghiệm nói trên cũng không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Vì vậy tôi kính mong sự quan tâm của hội đồng giám định sáng kiến kinh nghiệm của các cấp góp ý chân thành cho bản sáng kiến kinh nghiệm được hoàn mỹ hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!