Sáng kiến kinh nghiệm Các ứng dụng của định lý Vi-Ét trong giải một số bài toán

A. Đặt vấn đề.
I. Lời mở đầu:
 Trong lịch sử phát triển của các khoa học thì Toán học là một trong những khoa học ra đời sớm nhất . Từ những yêu cầu của thực tế mà nảy sinh ra kiến thức toán . Toán học có ảnh hưởng sâu rộng đến nhiều môn khoa học khác, đặc biệt là các môn khoa học tự nhiên như : Vật lý , hóa học, sinh học, tin học , thiên văn học...
	Ngày nay để theo kịp với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật thì việc nâng cao kiến thức toán học cho mọi người nói chung và học sinh nói riêng là vô cùng cần thiết .
	Trong chương trình phổ thông các dạng bài tập toán rất phong phú và đa dạng. ở sách giáo khoa Toán lớp 9 THCS, học sinh được làm quen với phương trình bậc hai một ẩn : Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là định lý Vi-ét và các ứng dụng trong việc giải một số bài toán. 
Qua một số năm giảng dạy môn Toán 9 bản thân tôi nhận thấy việc áp dụng công thức nghiệm vào giải và biện luận các phương trình bậc hai được các em HS thực hiện khá tốt , tuy nhiên việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán thì các em làm chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Vi-ét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán.
Đứng trước vấn đề đó, tôi quyết định đi sâu vào nghiên cứu đề tài: 
“các ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số bài toán” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Vi-ét, góp phần nâng cao kết quả học tập , bồi dưỡng năng lực học toán , kích thích hứng thú học tập bộ môn của học sinh và đạt kết quả cao trong các kỳ thi 
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
1) Thực trạng của vấn đề
Với mỗi em học sinh lớp 9 thì ước mơ và cũng là mục tiêu đặt ra cho mình là thi đậu vào lớp 10 công lập, nhưng cũng có không ít học sinh đã không thực hiện được mục tiêu đó vì thiếu điểm .
 Trong những năm gần đây, các đề thi vào lớp 10 PTTH thường có những câu liên quan đến phương trình bậc hai và ứng dụng của hệ thức Vi- ét , mỗi câu đều chiếm 1 đến 2 điểm trong đề thi. Vậy tại sao ta không ôn cho học sinh dạng toán nâng cao về ứng dụng của hệ thức Vi-ét?
Bản thân tôi luôn suy nghĩ : Trong điều kiện kinh tế gia đình của nhiều em học sinh còn nhiều khó khăn, nên sự quan tâm và tạo điều kiện cho con em mình học tập còn nhiều hạn chế . Vì vậy phần nhiều HS còn thiếu tài liệu ôn tập và các sách nâng cao để học và ôn thi. 
 Qua các năm dạy học sinh lớp 9 và hướng dẫn HS ôn thi vào lớp 10 PTTH, bản thân tôi và các đồng nghiệp luôn có những trăn trở là nên chọn tài liệu nào cho phù hợp với trình độ học sinh và mục tiêu của kỳ thi.Từ thực tế nêu trên tôi mạnh dạn đưa ra đề tài : “các ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số bài toán”
 Đề tài chỉ là một phần trong các các phần cơ bản để ôn tập cho học sinh trong quá trình học và ôn thi vào lớp 10 PTTH. Mong rằng nó sẽ giúp cho các bạn đồng nghiệp có thêm một phần để tham khảo , giúp cho cac em học sinh có cách nhìn bao quát hơn về phương trình bậc hai và ứng dụng của hệ thức Vi-ét. Vận dụng nó một cách có hiệu quả trong việc giải các bài tập có liên quan. 
2) Kết quả, hiệu quả của thực trạng
Đứng trước thực tế đó ban giám hiệu nhà trường đã có nhiều phương pháp cải tiến trong khâu quản lý , chỉ đạo về chuyên môn. Tích cực đổi mới phương pháp dạy và học. Bên cạnh đó cần tăng cường sự kết hợp giữa nhà trường và gia đình để nắm bắt thông tin hai chiều trong việc quản lý việc học của HS . 
Việc ôn tập cho học sinh các ứng dụng của hệ thức Vi-et là rất cần thiết đối với các em. Bởi các dạng toán liên quan đến hệ thức Vi-et rất đa dạng và phong phú, nếu không được hướng dẫn thì học sinh sẽ không khỏi lúng túng khi gặp một dạng toán lạ hoặc một bài toán khó. Vì vậy, sự định hướng trước cho học sinh khi gặp các bài toán liên quan đến hệ thức Vi-et là một việc làm thiết thực.
 Từ thực tế nêu trên, để dạy học sinh lớp 9 phần hệ thức Vi-et và hướng dẫn học sinh ôn thi vào lớp 10 có kết quả cao hơn, tôi đã nghiên cứu đề tài: “các ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số bài toán”.
 Trong phạm vi của đề tài này, tôi chỉ đưa ra một số ứng dụng của định lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS. Đó là :
1) ứng dụng của định lý Vi-ét để tìm điều kiện của tham số thỏa mãn các điều kiện của bài toán
2) ứng dụng của định lý để giải bài toán lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn.
3) ứng dụng của định lý Vi-ét để giải toán chứng minh.
4) ứng dụng định lý Vi-ét để giải phương trình và hệ phương trình.
5) ứng dụng định lý Vi-ét để giải một số bài toán cực trị.
B. giảI quyết vấn đề
I) Các giảI pháp thực hiện:
 Trước hết trong quá trình dạy học giáo viên cần làm sao để học sinh nắm vững Định lý Vi-ét và một số trường hợp đặc biệt. Bởi vì đó là cơ sở, là tiền đề, cũng là chìa khóa để giải quyết các bài tập.
 *Định lý Vi-ét: 
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) thì: 
* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) có a + b + c = 0 thì phương 
trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = 
* Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) có a - b + c = 0 thì phương 
trình có một nghiệm là x1 = - 1 , còn nghiệm kia là x2 = - 
 * Nếu hai số u và v thỏa mãn điều kiện : u + v = S , u.v = P , thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 - Sx + P = 0.
điều kiện để có hai số u và v là : S2 - 4P ³ 0.
 Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ minh hoạ và một số bài tập vận dụng về các ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số bài toán.
I. ứng dụng 1 : Tìm điều kiện của tham số thỏa mãn các điều kiện của bài toán
1- Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình
mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện 
Bài giải:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2(phân biệt hoặc nghiệm kép) là : m ạ 0 ; D' ≥ 0
 D' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4
 D' ³ 0 Û - m + 4³ 0 Û m Ê 4.
Với 0 ạ m Ê 4, theo định lý Vi-ét, ta có:
x1 + x2 = ; 	 x1.x2 = 
Do đó: 1 = = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = - 
Û m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m
Û m2 - 10m + 16 = 0
Û m1 = 2 hoặc m2 = 8
Giá trị m1 = 8 không thoả mãn điều kiện: 0 ạ m Ê 4
Giá trị m2 = 2 thoả mãn điều kiện: 0 ạ m Ê 4
Vậy với m = 2 thì = 1
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 
Bài giải:
Ta phải có: 
(1) Û D' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 Û m < 
(2) Û m2 + 2m - 3 ạ 0 Û (m - 1)(m + 3) ạ 0 Û m ạ 1; m ạ - 3
(3) Û
* Trường hợp: x1 + x2 = 0 Û x1 = - x2 ị m = 2 không thoả mãn điều kiện (1)
* Trường hợp: 5 - x1.x2 = 0 Û x1.x2 = 5
Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5 Û (m - 2)(m + 4) = 0
Vậy với m = - 4 phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 
Ví dụ 3: Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào giá trị của m?
Bài giải:
(1)
(2)
(3)
(4)
a) Ta phải có:
Từ (1) và (3) tính được: 
Thay vào (2) được Û 2m2 - 17m + 8=0
Giải phương trình 2m2 - 17m + 8 = 0 được m1 = 8; m2 = thoả mãn điều kiện (4). 
Vậyvới m =8 hoặc m =thì các nghiệm của phươngtrình thoả mãn x1 + 4x2 = 3.
b) Theo hệ thức Viét:
x1 + x2 = 2 + 
x1 . x2 = 1 - 	(*)
Thay = x1 + x2 - 2 vào (*) được x1x2 = 1 - 2(x1 + x2 - 2)
Vậy x1.x2 = 5 - 2(x1 + x2)
Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x2 + 2x + m = 0	(1) 
x2 + mx + 2 = 0	(2) 
Bài giải:
Gọi x0 là một nghiệm chung của 2 phương trình đã cho, khi đó ta có: 
Trừ theo từng vế hai phương trình ta được (m - 2)x0 = m - 2
 - Nếu m = 2 cả hai phương trình là x2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm
 - Nếu m ạ 2 thì x0 = 1 từ đó m = - 3
Với m = - 3: PT(1) là: x2 + 2x - 3 = 0; có nghiệm x1 = 1 và x2 = - 3
và PT(2) là: x2 - 3x + 2 = 0; có nghiệp x1 = 1 và x2 = 2
Vậy với với m = - 3 thì hai phương trình đã cho có nghiệm chung x = 1.
2- Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 	(1)
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2.
Bài 2: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài 3: a) Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó?
x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0	(1)
x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0	(2)
b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại.
II. ứng dụng 2: lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn số:
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho x1 = 	; x2 = 
Lập phương trình bậc hai có nghiệm là : x1, x2
Ta có: x1 = ; x2 = = 
Nên 	x1.x2 = . = 
x1 + x2 = + = 
Vậy phương trình bậc hai có 2 nghiệm: x1; x2 là x2 - x+ = 0
Hay 2x2 - 2x + 1 = 0
Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 5x - 1 = 0	(1)
Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1)
Bài giải:
Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệ thức viét, ta có:
x1 + x2 = -5;	x1.x2 = - 1
Gọi y1; y2 là các nghiệm của phương trình phải lập, ta có:
y1 + y2 = 	
y1..y2 = 	
Ta có: 	 = (x12 + x22)2 - 2x12.x22 = 729 - 2 = 727
 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = 1
Vậy phương trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0
Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phương trình: x2 + px + q = 0 sao cho hai nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn hệ:
Bài giải:
Điều kiện D = p2 - 4q ³ 0 (*) ta có:
x1 + x2 = -p; x1.x2 = q. 
Từ điều kiện: Û 
Û Û 
Giải hệ này tìm được: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6
Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) ở trên.
2- Bài tập vận dụng:
Bài 1: Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là + và 
Bài 2: Lập phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện:
 Có tích hai nghiệm: x1.x2 = 4 và + = 
Bài 3: Xác định các số m, n của phương trình: x2 + mx + n = 0
Sao cho các nghiệm của phương trình là m và n.
III. ứng dụng 3 : giải các bài toán chứng minh.
1- Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phương trình x2 + qx + 2 = 0
Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6.
Bài giải:
Theo bài ra a,b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0
và b,c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0, nên theo định lý Vi-ét ta có:
 và 
 Do đó: (b - a)(b - c) = b2 + ac - 3	(1)
pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3
Suy ra: pq - 6 = b2 + ac + 3 - 6 = b2 + ac - 3	(2)
Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm)
Ví dụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện:
a + b + c = - 2 (1) ;	a2 + b2 + c2 = 2	(2)
Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn khi biểu diễn trên trục số:
Bài giải:
Bình phương hai vế của (1) được:
 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4
Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1
ị bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a2 + 2a + 1
Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phương trình:
X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0 (*)
Để (*) có nghiệm thì ta phải có:
D = (a+2)2 - 4(a2+2a+1) ³ 0
Û a(3a + 4) Ê 0 Û - Ê a Ê 0
Chứng minh tương tự ta được: - Ê b Ê 0; - Ê c Ê 0
2- Bài tập vận dụng:
Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 + px + 1 = 0. Gọi c, d là hai nghiệm của phương trình: y2 + qy + 1 = 0
Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2
Bài 2: Giả sử phương trình: ax2+ bx+ c = 0có hai nghiệm phân biệt.
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tỉ số hai nghiệm của phương trình bằng k (kạ1) là : (k+ 1)2 .ac - kb2 = 0 (*)
 IV. ứng dụng 4 : giải phương trình và hệ phương trình.
1- Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: =6
Bài giải:
 ĐKXĐ: {x ẻ R ẵ x ạ - 1}
Đặt:(*) ị ị 
 u, v là nghiệm của phương trình: 	x2 - 5x + 6 = 0
D = 25 – 24 = 1
x1 = = 3
x2 = = 2
u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3
Nếu: thì (*) trở thành: 	x2 - 2x + 3 = 0 có D' = 1 - 3 = - 2 < 0
 Phương trình vô nghiệm:
Nếu: thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0
Suy ra: x1 = 1; x2 = 2
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình:
a)	 b)	
 Bài giải:
a) x,y là nghiệm của phương trình:	 x2 - 11x +31 = 0
D=(-11)2 - 4.1.31 = 121 - 124 = - 3 < 0
 Phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Đặt x + y = S và xy = P
Ta có hệ: 
Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2 - 7t + 12 = 0.
Giải phương trình này được t = 4 và t = 3.
 + Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
u2 - 4u + 3 = 0
 ị u = 1 và u = 3
 Suy ra (x; y) = {(1;3) ; (3; 1)}
 + Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
v2 - 3v + 4 = 0
Phương trình này vô nghiệm vì D = 9 - 16 = - 7 < 0
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là : (x; y) = {(1;3) ; (3; 1)}
2- Bài tập vận dụng:
Bài 1: Giải phương trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0
Bài2: Giải các hệ phương trình sau:
a) 	 b) 	
V. ứng dụng 5 : GiảI một số bài toán cực trị :
1- Các ví dụ:
Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: 
x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0
Tìm m để có giá trị nhỏ nhất
Bài giải:
Xét: D = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0
Nên phương trình đã cho có hai nghiệm với mọi m
Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2
ị = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2)
=4m2 - 6m + 5 = (2m - )2 + ³ 
Dấu “=” xảy ra khi m = 
Vậy Min(x12 + x22) = khi m = 
Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =ẵx1x2 - 2x1 - 2x2ẵ
Bài giải:
Để phương trình đã cho có nghiệm thì:
D' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) ³ 0
ị - 5 Ê m Ê - 1	(*)
Khi đó theo hệ thức Viét ta có:	x1 + x2 = - m - 1
x1 .x2 = 
Do đó: A = ẵẵ
Ta có: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì:
 (m + 1)(m + 7) Ê 0.
Suy ra: A = = Ê 
Dấu bằng xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4
Vậy A đạt giá trị lớn nhất là: khi m = - 4, giá trị này thoả mãn điều kiện (*).
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của 
A=(x4 + 1) (y4 + 1), biết x, y ³ 0; x + y = 
Bài giải:
A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + 1
Ta có: x + y = ị x2 + y2 = 10 - 2xy
ị x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2
ị x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2
Đặt : xy = t thì x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2
Do đó A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101
a) Tìm giá trị nhỏ nhất:
A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45 
 = (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45 ³ 45
Min(A) = 45 Û t = 2, khi đó xy = 2; x + y = nên x và y là nghiệm của phương trình X2 - X + 2 = 0.
Tức là x = ; y = hoặc x = ; y = 
b) Tìm giá trị lớn nhất:
Ta có: 0 Ê xy Ê == ị 0 Ê t Ê 	(1)
Viết A dưới dạng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101.
Do (1) nên t3 Ê ; 2t Ê 5 ịt3 +2t - 40 Ê +5- 40 < 0 còn t ³ 0 nên A Ê 101
Max(A) = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0; y = hoặc x = ; y = 0
2- Bài tập vận dụng:
Bài 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.
x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0
Tìm m để có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bài 3: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số). Tìm m sao cho 2 nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn 10x1x2 + đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
II. Các biện pháp tổ chức thực hiện
1. Khảo sát, tìm hiểu thực tế học sinh.
2. Nghiên cứu SGK, tài liệu hướng dẫn cần thiết.
3. Xây dựng phương pháp khi soạn giáo án chính khoá và tự chọn
4. áp dụng vào các tiết dạy lý thuyết cũng như các tiết luyện tập , các tiết dạy tự chọn, dạy bồi dưỡng HS khá , giỏi .
5. Hoàn thành phương pháp sau khi đã cho học sinh thực hành qua đó rút ra bài học kinh nghiệm.
C. Kết luận.
I. kết quả nghiên cứu 
 Việc tìm hiểu nghiên cứu ứng dụng của định lý Vi- ét trong việc giải toán là một vấn đề lớn, nhiều bài toán tương đối phức tạp đòi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt thì mới có thể hiểu sâu và hiểu rộng vấn đề. Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng dạng bài tập để học sinh hiểu rõ bản chất và biết cách vận dụng. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập. Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung những thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau.Sau khi áp dụng đề tài tại trường tôi công tác tôi thấy phần lớn các em học sinh đã hiểu rõ bản chất các bài toán liên quan đến hệ thức Vi-ét và biết cách vận dụng khi giải bài tập . Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh trong việc học và giải các bài toán ứng dụng của hệ thức Vi-ét. Qua đó các em có phương pháp giải nhất định cho từng dạng toán, tránh tình trạng định hướng giải chưa đúng, lúng túng trong trình bầy lời giải, hạn chế sai lầm khi giải bài tập. Tạo cho học sinh niềm đam mê, tích cực học tập và đạt kết quả cao hơn trong các kỳ thi. 
 Nghiên cứu đề tài “các ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số bài toán” không chỉ giúp cho học sinh yêu thích bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy. 
II. Kiến nghị - đề xuất
Để hoàn thành đề tài này ngoài việc nghiên cứu SGK và các tài liệu liên quan, sự nỗ lực của bản thân còn có sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và ban giám hiệu nhà trường. Tôi hy vọng đề tài “các ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải một số bài toán” sẽ là một tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp và các em học sinh .
Rất mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp khi đọc sẽ có những góp ý, phê bình thiết thực để đề tài được phong phú và đầy đủ hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
 Định Bình, ngày 30/3/2009.
 Người thực hiện:
 Đỗ Tuấn Long 
E-tài liệu tham khảo
1) Học tốt Đại số 9(NXB Giáo Dục)
2) Nâng cao và phát triển Toán 9(NXB Giáo Dục)
3)Toán nâng cao chuyên đề Đại số 9(NXB Giáo Dục)
4) SGK Toán 9. Tập 2(NXB Giáo Dục)
5) SBT Toán 9.Tập 2(NXB Giáo Dục)
6) Tổng ôn tập Toán THCS & thi vào lớp10 (NXB Đại học Quốc gia Hà Nội)
7) Các đề thi tuyển sinh môn Toán vào lớp 10 & những chủ đề thường gặp
 (NXB Đại học Sư phạm)
8) Bồi dưỡng học sinh Đại số 9(NXB Giáo Dục)