Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp tính tích phân và những sai lầm thường gặp

DỤNG SÁNG KIẾN
Lời giới thiệu 
 Trong nhà trường phổ thông, môn Toán có vai trò, vị trí và ý nghĩa quan trọng. Đặc biệt môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông, môn Toán góp phần phát triển nhân cách học sinh. Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá... Rèn luyện những đức tính, phẩm chất của con người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ.
 	Nhiệm vụ của dạy học môn Toán là: trang bị tri thức cơ bản cần thiết cho học sinh, rèn luyện kỹ năng Toán học và kỹ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn, phát triển trí tuệ cho học sinh, bồi dưỡng những phẩm chất đạo đức tốt đẹp cho học sinh, đảm bảo trình độ phổ thông, đồng thời chú trọng bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về Toán. 
Trong chương trình toán học phổ thông, mạch kiến thức về nguyên hàm, tích phân đóng một vai trò vô cùng quan trọng. Nó không chỉ liên quan đến các phần khác của toán học mà còn liên quan đến các môn học khác. Đây là những phần kiến thức có ý nghĩa lớn trong việc phát triển các năng lực cho học sinh trong đó có năng lực phân tích, tổng hợp. Trong các đề thi THPT Quốc Gia gần đây luôn xuất hiện các câu về nguyên hàm và tích phân.
 Mặc dù có nhiều tài liệu sách tham khảo viết về vấn đề nêu trên nhưng hầu như chưa có sự phân tích tỉ mỉ hoặc các dạng toán đã trở nên quá quen thuộc với học sinh. Việc hệ thống hóa về loại toán này cũng chưa thật kỹ. Do đó khi vận dụng vào các bài thi học sinh thường lúng túng.
Chính vì những lý do trên nên mạch kiến thức về nguyên hàm, tích phân
 cần phải được chuẩn hóa. Và do đó tôi chọn nghiên cứu về vấn đề này. Trong khuôn khổ của sáng kiến, tôi sẽ trình bày các kiến thức về nguyên hàm và tích phân mang tính cập nhật nhất, phù hợp với các bài thi hiện nay giúp cho học sinh rèn luyện năng lực phân tích, tổng hợp trên cơ sở đó hình thành và phát triển các năng lực chung như: tự học, giải quyết vấn đề, tư duy sáng tạo, bám sát chương trình và nội dung kiến thức cơ bản của hai bộ sách giáo khoa và nội dung thường gặp trong các đề thi quốc gia.
2. Tên sáng kiến: 
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Hà Thị Thanh
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên Toán trường THPT Xuân Hòa
- Số điện thoại: 0974673955 
- E_mail: hathithanh.gvxuanhoa@vinhphuc.edu.vn
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: (Nêu rõ lĩnh vực có thể áp dụng sáng kiến và vấn đề mà sáng kiến giải quyết)
Do khuôn khổ và thời gian có hạn, với điều kiện thực tế của người thực hiện đề tài, tôi chỉ mới dừng lại nghiên cứu và hệ thống các phương pháp tính tích phân và những sai lầm mà học sinh dễ mắc trong quá trình làm bài tập.
- Sáng kiến tập trung nghiên cứu các phương pháp tính tích phân và những sai lầm mà học sinh dễ mắc được áp dụng cho hai lớp 12A2 và 12A3 trường THPT Xuân Hòa.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 
 Học kì 1 năm học 2019 -2020.
7. Bản chất của sáng kiến: 
Thứ nhất: Về nội dung
 VẤN ĐỀ I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
PHẦN I: KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định nghĩa: Cho hàm số liên tục trên K, a,b là hai số bất kỳ thuộc K, nếu F là một nguyên hàm của trên K thì được gọi là tích phân của từ a đến b và kí hiệu là .
Trong trường hợp thì được gọi là tích phân của trên 
Như vậy : trong đó F là một nguyên hàm của trên K
Từ ĐN ta thấy bài toán tính tích phân thực chất là bài toán tìm nguyên hàm sau đó thay cận vào.
Cho hàm số liên tục và nhận giá trị không âm trên , khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b là 
Các tính chất của tích phân: Giả sử là hai hàm số liên tục trên K và a,b,c là ba số thực tùy ý thuộc K. Ta có:
Các phương pháp tính tích phân:
 Phương pháp 1: Tìm bằng định nghĩa.
 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích phân (đưa tích phân cần tìm về tổng, hiệu của những tích phân đã tính được)
 Phương pháp 3: Phương pháp đổi biến số 
 Phương pháp 4: Phương pháp tích phân htừng phần.
PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
 Phương pháp 1: Tìm bằng định nghĩa.
Ví dụ 1: Tìm .
Lời giải: Ta có 
Vậy 
Ví dụ 2: Tính 
Lời giải: Ta có 
Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp này thì bài toán tính tích phân chính là bài toán tìm nguyên hàm chỉ thêm một bước là thế cận để ra kết quả.
Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích phân (đưa tích phân cần tìm về tổng, hiệu của những tích phân đã tính được)
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:
a) b) c) 
Lời giải: 
a) 
b) 
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau 
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 
3. Phương pháp 3: Phương pháp đổi biến số 
 Loại 1: Đặt 
 Cần tìm
 B1: Đặt , đổi cận
 B2: Ta có 
 Như vậy cách tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số, cơ bản sẽ giống hệt như bài toán tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số, chỉ khác là ta cần đổi cận. Vì thế các kinh nghiệm đã biết ở phần tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số vẫn tiếp tục được vận dụng.
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
a) b) c) 
 Lời giải: a) 
Đặt 
Đổi cận : 
Ta có 
Như vậy ta vẫn sử dụng kinh nghiệm: có lũy thừa đặt u= cơ số như ở bài tập tìm nguyên hàm. Theo tư duy này ta có thể làm tiếp b, c một cách đơn giản như sau:
b) (Có dạng phân thức hoặc chứa căn)
Đặt 
Đổi cận : 
Ta có 
c) . Trên nên ( Chứa )
Đặt 
Đổi cận: 
Ta có 
Loại 2: Đặt x=u(t)
Cần tính 
 Với điều kiện liên tục trên [a;b], có đạo hàm liên tục trên sao cho và 
 B1: Đặt . Chọn miền D sao cho 
 B2: Từ phương trình , 
 đổi cận: x=a; x=b 
 B3: 
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:
a) b) c) d)
Lời giải
a) 
Đặt ; 
Đổi cận: 
b) 
Đặt ; 
Đổi cận: 
c) 
Đặt ; 
Đổi cận: 
d) 
Đặt ; 
Đổi cận: 
Đặt 
Đổi cận: 
Ghi nhớ: 
1) Có đặt hoặc 
2) Có đặt hoặc .
3) Có đặt Hoặc 
4) Có đặt 
5) Có đặt 
6) Có đặt ; 
Bài tập tự luyện
Tính các tích phân sau:
 	b) 
 c) 	d) 
 e) 	f) 
 g) 	h) 
2) Tính các tích phân sau:
 a) b) 
 c) d) 
 e) f) 
 g) 	h) 
 	i) 	l) 
 	m) 	o) 
 	p) 	q) 
3) Tính các tích phân sau:
 	 	4) 
 	 	10) 
Phương pháp 4: Tích phân từng phần 
Cần tìm 
 Trong đó : f(x) dễ tìm đạo hàm còn g(x) dễ tìm nguyên hàm
 B1: Đặt (v là nguyên hàm đơn giản nhất của g(x))
B2: Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần
 Chú ý: Nguyên hàm sau phải dễ hơn hoặc “đồng dạng” với nguyên hàm ban đầu.
Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:
Lời giải: 
Đặt 
Đặt 
Ta có 
 Đặt 
Ta có 
 Đặt 
Ta có 
 .Đặt 
Ta có 
Ví dụ 7: Tính các tích phân sau:
Lời giải: Đặt 
Tìm J ?
Đặt 
Vậy: 
(phương pháp truy hồi)
Đặt 
Tính : Đặt 
Vậy: 
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính các tích phân sau
Bài 2: Tính các tích phân sau
;
; 
PHẦN III: KIẾN THỨC MỞ RỘNG
MỘT SỐ KỸ THUẬT CÓ TÍNH CHẤT MẸO KHI TÍNH TÍCH PHÂN
Kỹ thuật 1: Tích phân liên kết 
Ví dụ 8: Tính 
Lời giải: Để tính I ta liên kết với 
Ta có:
Vậy 
Kinh nghiệm: Cần tính trong một số bài tập cảm thấy không áp dụng những phương pháp thường làm thì thử đặt xem có sử dụng được tích phân liên kết không?
Bài tập tự luyện: 
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) 
7) ; 8) 9) ;
10) 11) 12);
13) 14) 15)
16) Cho f(x) liên tục trên R và với mọi x thuộc R ta có . Tính I=; 
17) Cho f(x) liên tục trên (2;2) và với mọi x thuộc (2;2) ta có . Tính I=.
Kỹ thuật 2: Tách tích phân cần tìm về tổng các tích phân có thể tính được bằng phương pháp đồng nhất hệ số.
Ví dụ 9: Tính 
Lời giải: Ta có
Kỹ thuật 3: Tách tích phần thành hai phần sao cho khi TP từng phần của phần thứ nhất thì phần thứ 2 sẽ khử được -vdu.
Ví dụ 10: Tính 
Lời giải : Bình thường ta phải tính Nguyên hàm từng phần 2 lần, nhưng để ý: để khử -vdu ta phải thêm bớt để tạo ra 
Như sau: 
Đặt 
Tương tự ta xét ví dụ 11: Tính 
Lời giải : Ta có
Ta đặt 
Suy ra =+
 = 
Kỹ thuật 4: Thêm hằng số cho v khi tính tích phân từng phần 
Trong các bài mà du có mẫu số ta nên chọn v thêm một hằng số thích hợp để vdu khử bớt mẫu số.
Ví dụ 12: Tính 
Lời giải :
 Đặt 
Lẽ ra ta thường lấy nhưng rõ ràng thêm hằng số 1 vào v việc tính tích phân tiếp thep nhàn hơn rất nhiều 
==
 =
Ví dụ 13: Tính 
Lời giải : Đặt 
Bình thường ta hay lấy v=tanx nhưng với cách thêm vào số 1 ta thấy thuân lợi gì?
= 
Sau đây là một số bài tập về tích phân đã theo dạng và đề thi Đại học của các năm để bạn đọc tự luyện. 
PHẦN IV:
CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐH 2002-2015
(03-A)	(03-B)	
(03-D)	(04-A)	
(04-B)	(04-D)	
(05-A)	.	(05-B)	I = .
(05-D)	I = 	(06-A)	.
(06-B)	.
(06-D)	(07-D)	 .
(08-A)	 .	(08-B)	.
(08-D)	 .	(09-A)	
(09-B)	(09-D)	
(10-A)	(10-B)	
(10-D) 	 	(11-A) 
(11-B)	(11-D)	
(12-A)	(12-B)	
(12-D)	 (13-A)	
(13-B)	 (13-D)	
 (14-B)	 (14-D)	
(15- QG) 
CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN (ĐỀ DỰ BỊ)
02-A1	.	02-A2	
02-B2	.	02-D2	.
03-A1	.	03-A2	.
03-B1	 . 	03-D1	 .
03-D2	 . 	04-A2	.
04-B1 	. 	04-B2	.
04-D1	. 	04-D2	.
05-A1	. 	05-A2	 .
05-B1	. 	05-B2	.
05-D1	. 	05-D2	 	
06-A1	 . 	06-B1	 	.
VẤN ĐỀ II: MỘT SỐ SAI LẦM
CỦA HỌC SINH KHI TÍNH TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính tích phân: I = 
* Sai lầm thường gặp: I = = =-=1 = 
* Nguyên nhân sai lầm:
Hàm số y = không xác định tại x=1 suy ra hàm số không liên tục trên nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên.
* Lời giải đúng
Hàm số y = không xác định tại x= 1 suy ra hàm số không liên tục trên do đó tích phân trên không tồn tại.
* Chú ý đối với học sinh:
Khi tính cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên không? nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
* Một số bài tập tương tự:
Tính các tích phân sau:
1/ . 	 2/. 
 	3/ 	 4/
Bài 2: Tính tích phân: I = 
* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan thì dx = ;=
==d(t+1) = + c
 I = = = - 
do tankhông xác định nên tích phân trên không tồn tại
*Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tan x tại x = thì tan không có nghĩa.
* Lời giải đúng:
I = = = tan.
* Chú ý đối với học sinh:
Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên .
*Một số bài tập tương tự:
 Tính các tích phân sau:
1/ 2/
Bài 3: Tính I = dx
* Sai lầm thường gặp:
I = dx =
* Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi với x là không tương đương.
* Lời giải đúng:
I = dx 
 =
 = -
* Chú ý đối với học sinh:
I = ta phải xét dấu hàm số f(x) trên rồi dùng tính chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Một số bài tập tương tự: 
1/ I = dx 2/ I = dx 
3/ I = dx 4/ I = dx
Bài 4: Tính I = 
* Sai lầm thường gặp:
I = 
* Nguyên nhân sai lầm:
Học sinh không học khái niệm arctanx trong sách giáo khoa hiện thời
* Lời giải đúng:
Đặt x+1 = tant 
với x= 1 thì t = 0
với x = 0 thì t = 
Khi đó I = 
* Chú ý đối với học sinh:
Các khái niệm arcsinx, arctanx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng ta dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tanx hoặc t = cotx ;
 thì đặt x = sint hoặc x = cost
*Một số bài tập tương tự:
1/ I = 2/ I = 3/ I =
Bài 5: Tính: I = 
*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt
Đổi cận: với x = 0 thì t = 0
với x= thì t = ?
* Nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân của hàm số có chứa thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = không tìm được chính xác t = ?
* Lời giải đúng:
Đặt t = dt = 
Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = thì t = 
 I =	=
* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa thì thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác.
*Một số bài tập tương tự:
1/ Tính I = 2/ Tính I = 
Bài 6: Tính I = 
* Sai lầm thường mắc: I = 
Đặt t = x +
Đổi cận với x = 1 thì t = 2 ; với x = 1 thì t = 2;
I ===(ln-ln)
 = ln 
* Nguyên nhân sai lầm: là sai vì trong chứa x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được
* Lời giải đúng: 
xét hàm số F(x) = 
 F’(x) = 
Do đó I = = 
*Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0.
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN TÍCH PHÂN
Câu 1. Kết quả của tích phân là: 
A. 	B.	C.D.
Câu 2. Kết quả của tích phân là: 
A. 	B.	C.	D.
Câu 3. Đổi biến thì tích phân thành: 
A. 	B.	
C.	D.
Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và các đường là:
A. 	B.	C.	D.
Câu 5. Kết quả của tích phân là: 
A. 0	B.1 	C. 2	 	D.3 
Câu 6. Kết quả của tích phân là: 
A. 	B.	C.	D.
Câu 7. Kết quả của tích phân là: 
A. 	B. 0 	C.	D.
Câu 8. Kết quả của tích phân là: 
A.2 	B. 4 	C.1 	 	D.3 
Câu 9. Kết quả của tích phân là: 
	B.	C. 	D.
Câu 10. Kết quả của tích phân là: 
1	B. 3	 	C. 2	 	 	D. 4
Câu 11. Kết quả của tích phân là: 
A.	B.	C.	 	D.
Câu 12. Kết quả của tích phân là: 
A.	B.	C. 	D. Đáp án khác
Câu 13. Kết quả của tích phân là: 
A.	B. 	C. 	D. 
Câu 14. Kết quả của tích phân là: 
A. 4	B. 3	 	C. 2 	D. 1
Câu 15. Đổi biến thì tích phân thành: 
 A.	B. 	C.	 	D. 
Câu 16. Kết quả của tích phân là: 
4	B. 2	 	C. 1	 	D. 3
Câu 17. Đặt . Dùng công thức tích phân từng phần để tính J ta được:
	B. 	C. 	D. 
Câu 18. Kết quả của tích phân là: 
	B. 	C. 	 	D. 
Câu 19. Kết quả của tích phân là: 
 A.	 	B. 	C.	 	D. 
Câu 20. Kết quả của tích phân là: 
	 	B. 	C. 	D.
Câu 21. Kết quả của tích phân là: 
 A.1	B. 2	C.3	D.4
Câu 22. Kết quả của tích phân là: 
 A.0	B. 1	 	C.	D. 2
Câu 23. Kết quả của tích phân là: 
 A.	B.	C.	D.
Câu 24. Kết quả của tích phân là: 
 A.	 	B. 	C.	D. 
Câu 25. Cho, thì I là: 
 A.	B. 	 	C.	D. 
Câu 26. Cho các tích phân và , phát biểu nào sau đây sai:
 A.	B. 	 	C.	D. Đáp án khác
Câu 27. Cho tích phân , giá trị của a là: 
1	B. 2	 	C. 3	 	D.4
Câu 28. Kết quả của tích phân là: 
 A.	 	B. 	C.	D. 
Câu 29. Kết quả của tích phân I=223dxxx2-3 là: 
 A.	 	B. 	C.	D. Đáp án khác.
Câu 30. Kết quả của tích phân là: 
	 	B. 	C. 	D. 
Câu 31. Kết quả của tích phân là: 
 A.	B. 	C.	D. 
Câu 32. Kết quả của tích phân là: 
 A.1	B. 	C.	 	D. 0
Câu 33. Kết quả của tích phân là: 
 A.-1	B. 0	 	C. 1	 	D. 
Câu 34. Kết quả của tích phân là: 
 A.	B. 	C.	 	D. 
Câu 35. Kết quả của tích phân khi đó a bằng: 
 a = 7 	B. a = 8 	C. a = 9 	D. a = 10
Câu 36. Kết quả của tích phân là: 
 A.	B. 	 	C.0	 	D.1
Câu 37. Kết quả của tích phân là: 
 A.	B. 	C.	 	D. 
Câu 38. Cho hai tích phân và . Biết thì bằng bao nhiêu:
 A.	B. 	C.	D. 
Câu 39. Kết quả của tích phân là: 
 A.	B. 	C.	 	D. 
Câu 40. Kết quả của tích phân là: 
1	 	B. 2	C.	 	D. 
Câu 41. Kết quả của tích phân là: 
 A.12	B.14	C.10	 	D. 7
Câu 42. Kết quả của tích phân là: 
 A.1	B. 2	 	C.3	D. 4
Câu 43. Kết quả của tích phân là: 
 A.	B. 	 	C.	 	D. 
Câu 44. Kết quả của tích phân là: 
 A.1	B. 	C.	D. 2
Câu 45. Kết quả của tích phân thì a là: 
 A.	B. 	C.1	D. 12
Câu 46. Kết quả của tích phân là: 
 A.ln2	 	B. 	C.	D. 
Câu 47. Kết quả của tích phân là: 
 A.	 	B. 	 	C.	D. 
Câu 48. Đổi biến thì tích phân thành:
 A.	B. 	 C.	 D. 
Câu 49. Kết quả của tích phân là: 
 A.	B. 	C.	 	D. 
Câu 50. Kết quả của tích phân là: 
 A.	B. 	 	C. 	D. 
Câu 51. Kết quả của tích phân là: 
 A.	B. 	C.	 	D. 
Câu 52. Kết quả của tích phân là: 
 A.	B. 	C.	D. 
Câu 53. Kết quả của tích phân là: 
A. 	 	B. 	 	C.	D. 
Câu 54. Kết quả của tích phân là: 
 A.	 	B. 	C.	D. 
Câu 55. Kết quả của tích phân là: 
A. 	 	B. 	C.	D. Đáp án khác
Câu 56. Kết quả của tích phân là: 
 A.	B. 	C.	 	D. 
Câu 57. Kết quả của tích phân là: 
 A. 	B. 	C.	D. 
Câu 58. Kết quả của tích phân là: 
 A.1	 	B. 	 	C.	 	D. 2
Câu 59. Kết quả của tích phân là: 
A. 	 	B. 	C. 	D. 
Câu 60. Kết quả của tích phân là: 
 A. 	B. 	C. 	D.
Câu 61. Kết quả của tích phân là 
A. 	 	B. 	C.	D. Đáp án khác
Câu 62. Kết quả của tích phân là 
A. 	B. 	C.	D. 
Câu 63. Kết quả của tích phân là:
A. 	B. 	C.	D. 
Câu 64. Kết quả của tích phân là: 
 A.	 	B. 	C.	 	D. 2
ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
C
B
D
A
B
A
B
D
A
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
B
B
C
D
A
C
A
C
B
B
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
B
C
C
B
D
C
A
C
D
D
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
C
C
B
B
B
D
C
A
B
B
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
A
A
C
C
B
C
A
B
A
C
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
B
A
A
D
C
B
C
B
C
B
61
62
63
64
D
D
D
B
Thứ hai: Về khả năng áp dụng của sáng kiến
 	Sáng kiến đã được áp dụng cho hai lớp 12 A2, 12A3 mà tôi dạy và cũng có thể áp dụng cho các đối tượng học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia vì đây là nội dung quan trọng và cần thiết để ôn thi THPT Quốc Gia.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Nêu các điều kiện về vật chất, phương tiện.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả:
Sau khi thực hiện xong sáng kiến kinh nghiệm, bản thân tôi nhận thấy rằng:
- Đa số học sinh đã có phương pháp giải mạch lạc, hạn chế được việc chọn đáp án ngẫu nhiên trong các đề thi trắc nghiệm khách quan (TNKQ).
- Nhiều em không chỉ giải đúng mà còn giải nhanh được các bài tập về tích phân, đáp ứng yêu cầu về thời gian làm bài thi TNKQ.
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
- Để giải nhanh dạng bài tập này, ngoài yêu cầu hiểu đúng bản chất của vấn đề cần có kĩ năng về tính toán và tư duy nhanh.
- Với bài tập khó phức tạp cần phân tích thật kĩ giả thiết để xây dựng được mối quan hệ giữa các yếu tố, tìm cách để biến một bài toán phức tạp thành các bài toán đơn giản nhất trong mối tương quan với nhau. Để làm được điều này nên bắt đầu từ những vấn đề đơn giản và gần gũi, sau đó xét đến những vấn đề phức tạp dần để cuối cùng có thể đi đến khái quát chung.
- Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện ở 2 lớp 12 kết quả như sau:
Lớp
Giỏi
Khá
TB
Yếu, kém
Lớp
Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A2
37
07
19
16
43,2
12
32,4
2
5,4
12A3
39
11
28,2
18
46,2
10
25,6
0
0
SKKN được áp dụng trong học kì I năm học 2019 - 2020 trên đối tượng học sinh thuộc 2 lớp 12A2, 12A3 là những lớp theo ban tự nhiên, học sinh có lực học khá giỏi và kết quả thu được khả quan.
SKKN có khả năng áp dụng cho mọi đối tượng học sinh thuộc các lớp khác nhau, tuy nhiên tùy thuộc vào trình độ của học sinh mà giáo viên có thể vận dụng phương pháp của chuyên đề này theo các mức độ bài tập khác nhau để mang lại hiệu quả cao nhất.
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):
Số TT
Tên tổ chức/ cá nhân
Địa chỉ
Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
1
2
............., ngày.....tháng......năm......
Thủ trưởng đơn vị/
Chính quyền địa phương
(Ký tên, đóng dấu)
Xuân Hòa, ngày 10tháng 2 năm 2020
Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)
Hà Thị Thanh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đoàn Quỳnh(Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Duy Liêm, Đặng Hùng Thắng - Sách giáo khoa Giải Tích 12-Nâng cao- Nhà xuất bản Giáo dục. 
[2] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất- SGK Giải Tích 12 Cơ bản- Nhà xuất bản Giáo dục. 
[3] Dương Bửu Lộc, Đặng Phúc Thanh- Rèn luyện giải toán Giải Tích 12- Nhà xuất bản Giáo dục. 
[4] Đề thi Đại học và Cao đẳng các năm từ 2002-2019