Sáng kiến kinh nghiệm Các giải pháp khắc phục một số thiếu sót nhằm nâng cao kết quả việc học Toán ở trung học phổ thông

 biến thiên suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 10: Tính tích phân I = 
Sai lầm thường gặp:
I = = = = -- 1 = -
Phân tích và chỉ ra sai lầm:
Do hàm số y = không xác định tại x = -1 , nên hàm số gián đoạn trên [-2; 2]. Do đó không được sử dụng định lí Newton – Leibnitz để tính tích phân như cách giải trên.
Lời giải đúng là: 
Hàm số y = không xác định tại x = -1 , nên hàm số gián đoạn trên [-2; 2]. Do đó tích phân trên không tồn tại.
Ví dụ 11: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với đáy. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
 A
S
D
C
B
Sai lầm thường gặp: 
SA AB => SAB vuông ở A
SA AD => SAD vuông ở A
Ta cũng có: => SB BC (Theo định lí ba đường vuông góc) 
Vậy SBC vuông tại B.
Chứng minh tương tự, ta có SDC vuông góc tại D.
Vậy các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
Phân tích và chỉ ra sai lầm:
Thiếu sót chủ yếu ở lí luận trên đây là đã phát biểu những điều kiện của định lí ba đường vuông góc một cách không chính xác
Lời giải đúng là:
SA (ABCD) ;
SB có hình chiếu trên (ABCD) là AB
BC AB
Do đó: BC SB.
Vậy SBC vuông tại B.
Chứng minh tương tự, ta có SDC vuông góc tại D.
Vậy các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
Ví dụ 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC, đáy ABC là một tam giác vuông tại đỉnh B. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Từ A ta kẻ các đường AKSB và AH SC; K SB; H SC. Chứng minh rằng: SC HK và AK HK.
 A
B
C
S
H
K
Sai lầm thường gặp:
Theo giả thiết: => SC mp(AHK)
Mặt khác: HK (AKH). Từ đó suy ra SC HK.
Ta có: => AK mp(SBC)
=> AK HK.
Phân tích và chỉ ra sai lầm:
Những lí luận trên dựa trên một mệnh đề sai là: “Một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng ấy”
Cần phải nhớ: Một đường thẳng không nằm trong mặt phẳng mà vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Lời giải đúng là:
=> BC mp(SAB) => BC AK (1)
Theo giả thiết, ta lại có: SB AK (2)
Từ (1) và (2) suy ra AK mp(SBC) = > AK HK.
Từ AK mp(SBC) => AK SC (3)
Theo giả thiết: AH SC (4)
Từ (3) và (4) suy ra : SC mp(AKH) => SC HK.
Ví dụ 13: Cho một hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Qua đỉnh C của đáy, ta dựng một mặt phẳng vuông góc với cạnh bên SA. Mặt phẳng này cắt cạnh SA, SB, SD ở các điểm M, N, P. Chứng minh: NP // BD. 
B
 S
N
P
A
C
D
M
H
Sai lầm thường gặp:
Kẻ đường cao SH.
SH mp(ABCD) => SH BD.
ABCD là hình vuông => AC BD. Vậy BD mp(SAC) => BD SA.
Theo giả thiết: SA mp(CPMN) nên ta có: NP SA.
Hai đường thẳng BD và NP cùng vuông góc với SA nên chúng song song với nhau. Vậy BD // NP.
Phân tích và chỉ ra sai lầm:
Trong ví dụ này, kết luận đã dựa trên định lí: “Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”. Đó là một định lí của hình học phẳng. Nhưng việc mở rộng ra trong hình học không gian thì đó lại là một mệnh đề sai.
Lời giải đúng là:
Kẻ đường cao SH.
SH mp(ABCD) => SH BD.
ABCD là hình vuông => AC BD. Vậy BD mp(SAC) => BD SA (a)
Theo giả thiết: SA mp(CPMN) (b)
Vì (a) và (b) nên theo định lí “Một đường thẳng và một mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau”, ta có:
 BD // mp(CPMN)
Ta lại có: mp(SBD) chứa BD và mp(CPMN) // BD cho nên giao tuyến của chúng là NP phải song song với BD.
Hay: NP // BD.
(Ta cũng có thể chứng minh NP và BD cùng vuông góc với mặt phẳng (SAC))
Ví dụ 14: Cho 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = + 
Sai lầm thường gặp:
A = + 2. = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2.
Phân tích và chỉ ra sai lầm:
Giá trị nhỏ nhất của A bằng 2 khi và chỉ khi:= = 1 mâu thuẫn với giả thiết a 3
Lời giải đúng là: 
A = + = ( ) + 2. = .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng khi = 3.
Bài tập vận dụng:
Hãy phân tích và chỉ ra sai lầm trong mỗi bài giải của các bài toán sau:
Bài 1: Giải phương trình: 2x + = 16
Bài giải:
Điều kiện: x 3. Ta có:
Phương trình = 16 – 2x x - 3 = 256 – 64x + 4x2
	 	 4x2 – 65x + 259 = 0 thoả mãn x 3.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 7 hoặc x = .
Bài 2: Giải phương trình: 
Bài giải : 
Phương trình 
 (2x - 1) + (x - 1) + 3. = 1 
 3x – 2 + 3. . 1 = 1 
 = 1 – x 
 ()3 = (1 - x)3 (2x - 1)(x - 1) = (1 - x)3
 (1 - x)[(x - 1)2 + (2x - 1)] = 0 x2(1 - x) = 0 
Bài 3: Giải phương trình: 2 = (x + 5) 
Bài giải : 
Phương trình đã cho
2 
 x = 11.
Bài 4: Giải phương trình: 
Bài giải:
Điều kiện căn thức có nghĩa: 
	 x 1.
Khi đó phương trình có dạng:
Vì x 1 nên , chia cả hai vế cho 
Ta có: .
Vì với x 1 thì , nên .
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 5: Giải phương trình: 
Bài giải:
Phương trình = 0 = 0 
	 3x2 – 5x – 2 = 0 
Bài 6: Giải phương trình: 
Bài giải:
Phương trình 
 sin2x = 1 2x = x = 
Bài 7: Giải phương trình: 
Bài giải:
Phương trình 
 x = 2
Bài 8: Giải bất phương trình: 
Bài giải:
Bất phương trình 
 x > 3
Bài 9: Tìm các điểm của trục tung mà từ đó kẻ được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị y = x4 – x2 + 1
Bài giải 1:
Đồ thị có trục đối xứng là Oy. Do đó nếu d là tiếp tuyến của đồ thị không vuông góc với Oy thì d’ đối xứng với d qua Oy cũng là tiếp tuyến của đồ thị. Suy ra từ một điểm trên Oy kẻ được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị thì trong các tiếp tuyến đó phải có tiếp tuyến vuông góc với Oy. Gọi tiếp tuyến này là y = m thì hệ : có nghiệm.
Ta có (2) 
Nếu x = 0 thay vào (1) ta có m = 1 => Tiếp tuyến y = 1 cắt Oy tại A(0;1) nên A(0; 1) thoả mãn.
Nếu x = thay vào (1) ta có : m = => Tiếp tuyến y = cắt Oy tại B(0; ) nên B(0; ) thoả mãn.
Tóm lại: A(0; 1) và B(0; ) .
Bài giải 2:
Giả sử A(0; m) là điểm của trục tung. Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A thì m = f’(x0)(0 – x0) + f(x0)
 3x04 – x02 + m – 1 = 0 (*)
Từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phương trình (*) có đúng 3 nghiệm khác nhau.
Điều kiện cần để (*) có 3 nghiệm là x0 = 0 thoả mãn phương trình (*)
=> m = 1
Thử lại : Với m = 1 thì (* ) trở thành : 3x04 – x02 = 0 
Vậy A(0; 1) thoả mãn. 
Bài giải 3: 
Giả sử A(0; m) là điểm của trục tung. Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A thì m = f’(x0)(0 – x0) + f(x0)
 3x04 – x02 + m – 1 = 0 (*)
Từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phương trình (*) có đúng 3 nghiệm khác nhau. Đặt t = x02 0 dẫn đến phương trình g(t) = 3t2 – t + m – 1 = 0 có nghiệm t1 = 0 và t2 > 0 
	 m = 1
Vậy A(0; 1) thoả mãn.
Bài 10: Cho {un} với un = (-1)n. Chứng minh {un} không có giới hạn.
Bài giải:
 Ta có: u1 = -1 u3 = -1.
Chứng tỏ {un} không tăng, không giảm. Theo định lí Vai- ơ- xtơ- rat- xơ thì {un} không có giới hạn.
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ABCD vuông góc tại A và B, SA vuông góc với đáy. Cho biết AB = BC = a; AD = SA = 2a. Một mặt phẳng (P) qua CD và qua trung điểm M của cạnh SA.
1. Tính diện tích mặt cắt của hình chóp do mặt phẳng (P) tạo ra.
2. Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được chia bởi mặt phẳng (P)
Bài giải: 
1. Để dựng thiết diện, ta kéo dài AB và DC cho cắt nhau tại một điểm B’. Nối MB’ cắt SB ở N. Tứ giác MNCD là thiết diện phải dựng.
Ta có: AC = a;
AD = 2a; DAC = 450.
Từ đó suy ra : AC CD.
 => SC CD => CD MC
Vậy góc MAC là góc phẳng của nhị diện hợp bởi thiết diện và đáy.
Ta lại có: MC2 = AC2 + MA2 = 2a2 + a2 = 3a2
	MC = a
Có : Cos( = = = 
S
A
B
C
D
M
B’
Để tính diện tích thiết diện, vì MA (ABSD) 
Nên có thể sử dụng công thức S’ = , tức là: 
	S(MNCD) = ; mà SABCD = ( + 2 ) = 
Vậy S(MNCD) = = 
2.Trong bài tập 4 sách giáo khoa hình học 12 trang 65 đã đưa ra một phương pháp tính tỉ số thể tích như sau: “Với hình chóp S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác với S, ta có được ”
Áp dụng phương pháp này cho hình chóp tứ giác SABCD ta có:
 (1)
Theo cách dựng thiết diện, và vì AD = 2BC nên ta suy ra BB’ = a .
Suy ra B là trung điểm của AB’. Do đó ta có: SN = SB
Thay vào (1) ta có: = ... = 
 = => = .
Vậy tỉ số thể tích của hai phần hình chóp tách ra khỏi mặt phẳng (P) là .
Bài 12:Tính:
 L = ()
Bài giải:
Ta có: L = + +  + 
 = 0 + 0 + + 0 = 0
Bài 13:: Tìm các điểm trên trục Ox mà từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị y = .
Bài giải:
Gọi điểm cần tìm trên Ox là M(h; 0). đường thẳng d qua M có dạng: 
 y = k(x - h)
Đường thẳng này là tiếp tuyến của đồ thị phương trình 
 = k(x - h) có nghiệm kép
 x2 – 4 = k(x - 1)(x - h) có nghiệm kép
 (k - 1)x2 – k(h + 1)x + kh + 4 = 0 có nghiệm kép
 = 0 k2(h + 1)2 – 4(k - 1)(kh + 4) = 0
 k2(h - 1)2 + 4(h - 4)k + 16 = 0 (*)
Để có một tiếp tuyến thì phương trình (*) có đúng một nghiệm
= 0 4(h - 4)2 – 16(h - 1)2 = 0 
Vậy có hai điểm thuộc Ox thoả mãn bài toán là M1(2; 0) và M2(-2 ; 0).
Bài 14: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = x2 – x + 1, biết rằng góc giữa tiếp tuyến và đường thẳng y = 0 là 450.
Bài giải:
Góc giữa tiếp tuyến và đường thẳng y = 0 là 450 Hệ số góc của tiếp tuyến là tan450 = 1.
Do đó tiếp tuyến có dạng y = x + k. Đường thẳng này là tiếp tuyến của đồ thị phương trình x2 – x + 1 = x + k có nghiệm kép x2 – 2x + 1 – k = 0 có nghiệm kép = 0 k = 0.
Suy ra có một tiếp tuyến thoả mãn bài toán là y = x.
Bài 15: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt đáy. Từ đỉnh A, ta kẻ các đường AH SB; AI SC; AK SD. Chứng minh rằng tứ giác AHIK nội tiếp được trong một đường tròn.
Bài giải:
 S
A
B
C
D
H
I
K
Ta có : => SB BC (Theo định lí ba đường vuông góc)
Mặt khác ta có: ABBC, nên BC mp(SAB) => BC AH
Theo giả thiết: AH SB.
Do đó: AH mp(SBC); mà: HImp(SBC) nên AH HI => AHI = 900.
Chứng minh tương tự ta có: AKI = 900.
Vậy tứ giác AHIK có tổng hai góc đối là 1800 nên nó nội tiếp được trong một đường tròn.
d. Các giải pháp khắc phục đối với học sinh coi nhẹ việc tự học, tự kiểm tra, tự đánh giá:
Bên cạnh việc học ở lớp dưới sự hướng của giáo viên thì người học còn phải tự nghiên cứu, tự tìm hiểu, khám phá để lĩnh hội tri thức, ngoài ra về mặt tâm lý học cũng cho thấy việc tự học sẽ làm cho người học phát huy hết nội lực đem lại hiệu quả cao hơn trong quá trình học tập. Trong việc học tập môn toán cấp phổ thông việc tự học, tự kiểm tra, tự đánh giá cũng đóng vai trò quyết định tới kết quả hoc tập của học sinh. Do đó, Ngoài việc phân tích cho các em thấy vai trò to lớn của việc tự học, tự kiểm tra, tự đánh giá, tôi còn:
Hướng dẫn học sinh tự học môn toán bằng các giải pháp:
+)Hướng dẫn cho các em các kỹ năng:
- Kỹ năng nghe giảng và kết hợp ghi bài.
- Kỹ năng đọc sách: Đây là kỹ năng vô cùng quan trọng, đặc biệt trong môn toán, kỹ năng đọc sách là một kỹ năng phổ biến của học sinh phổ thông. Sách giáo khoa là tài liệu chính thống và cơ bản, tất cả các nội dung đều được trình bày rõ ràng, tỉ mỉ và có hệ thống. Vì vậy trước buổi lên lớp, học sinh có thể đọc một đến hai lượt bài học trong sách giáo khoa để biết được vấn đề sẽ được nghiên cứu trong giờ giảng tới, từ đó các em có thể dễ dàng tiếp thu kiến thức mới, nâng cao chất lượng giờ học.
- Kỹ năng thực hiện các thao tác trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa,..và kỹ năng tư duy logic
Sau khi đã đọc sách, học sinh nên tóm tắt kiến thức trọng tâm, cơ bản của sách giáo khoa. Phân tích các ví dụ trong sách để hiểu sâu hơn vấn đề.
+) Tôi thường yêu cầu học sinh tự ra đề, tự ra đáp án và biểu điểm trên khung kiến thức có sẵn và trên các yêu cầu cụ thể, sau đó các em tự đọc bài của nhau và chấm bài của nhau, rồi đưa ra nhận xét về kết quả bài làm cũng như cách làm bài của mỗi học sinh.
+) Dựa trên các bài tập, các bài kiểm tra, các bài thi đã được làm, hay nói khác là trên một đề bài có sẵn, tôi yêu cầu học sinh phát triển các câu hỏi khác nhau xung quanh đề bài ấy và nêu cách giải quyết cho câu hỏi của mình.
+) Ngoài ra để nâng cao việc tự học của học sinh thì tôi thường giao bài tập theo chủ đề cho từng nhóm học sinh về nhà làm, sau đó các nhóm trình bày sản phẩm chéo lẫn nhau, nhận xét chéo và đánh giá kết quả của nhau. Tôi nhận thấy rằng: làm việc theo nhóm có thể tập trung được những mặt mạnh của từng người và bổ sung, hoàn thiện cho nhau những điểm yếu, hơn nữa nó còn tạo ra được niềm vui và sự hứng thú trong học tập. Việc học theo nhóm thỏa mãn nhu cầu học tập cá nhân, phù hợp với việc học tập hướng tới người học, khuyến khích sự độc lập tự chủ, người học có thể đưa ra những giải pháp, cách biểu đạt riêng cho vấn đề nào đó, mặt khác nó nâng cao được tính tương tác giữa các thành viên nhằm tác động tích cực đến người học như: Tăng cường động cơ học tập, nảy sinh những hứng thú mới, kích thích sự giao tiếp, chia sẻ tư tưởng và cách giải quyết vấn đề, khích lệ mọi thành viên tham gia học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau, phát triển được các mối quan hệ và quan tâm đến nhau. Do mỗi thành viên trong nhóm được phân công thực hiện một vai trò nhất định, một công việc và trách nhiệm cụ thể. Các thành viên trong nhóm không thể trốn tránh trách nhiệm hoặc dựa vào công việc của người khác. Trách nhiệm của mỗi thành viên là yếu tố quyết định việc thành công hay thất bại của nhóm. Hay nói cách khác, việc tổ chức học theo nhóm không phải là hình thức nhằm thay thế học tập cá nhân mà là để giúp cá nhân thực hiện nhiệm vụ học tập của mình thông qua trao đổi, thảo luận với các thành viên cùng học. 
Hoạt động học của học sinh là quá trình tự vận động để chiếm lĩnh tri thức và người học không chỉ tiếp thu thụ động mà có sự điều chỉnh để đạt kết quả mong muốn. Muốn vậy, học sinh phải có kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá để làm căn cứ cho sự "tự điều chỉnh".
Để rèn luyện kĩ năng kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá tôi yêu cầu học sinh xác định rõ mục tiêu học tập của từng giai đoạn: từng tháng, từng học kỳ, từng năm học hoặc từng phần kiến thức của chương trình như từng chương, từng chủ đề đối với bản thân mình. Với mỗi mục tiêu học tập, căn cứ vào những lần kiểm tra của giáo viên như kiểm tra miệng, kiểm tra viết, kiểm tra vở ghi, kiểm tra vở bài tập và nhất là căn cứ vào việc tự đánh giá khả năng học tập của bản thân (Có thể nhờ cha mẹ, nhờ bạn bè kiểm tra giúp) thông qua việc học lý thuyết học sinh tự đánh giá việc nắm vững khái niệm, định lí, việc giải từng bài tập giúp học sinh tự đánh giá khả năng vận dụng tri thức vào các dạng bài tập: bài tập về tính toán, về chứng minh hoặc bài tập cơ bản mà giáo viên yêu cầu hay bài tập làm thêm. Từ đó thấy được chỗ còn yếu, chỗ thiếu sót của bản thân về những mặt nào đó mà đề ra phương hướng khắc phục như hỏi lại giáo viên, nhờ bạn bè giảng hộ, hoặc nhờ người lớn hướng dẫn lại
Một khi học sinh đã có kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá và biết tự điều chỉnh thì kết quả học tập sẽ được nâng dần lên. 
Như vậy tự đọc và tự học, tự kiểm tra, tự đánh giá là việc vô cùng quan trọng, giúp học sinh có thể xác định được nhiệm vụ và vai trò của hoạt động học tập nói chung, đồng thời hình thành và phát triển được khả năng tự học nói riêng để sau này có thể trở thành những tài năng trẻ trong tương lai.
e. Các giải pháp khắc phục đối với học sinh chưa nắm chắc một số kĩ năng cơ bản khi làm bài kiểm tra và bài thi. 
 Ngoài việc học sinh chuẩn bị tốt các kiến thức cần thiết, thì trong quá trình làm bài kiểm tra, làm bài thi, các em nên:
Bình tĩnh, tự tin, tập trung đọc kỹ đề bài nhất là các giả thiết và số liệu, phân loại nhanh các bài toán dễ, quen thuộc và các bài toán lạ, khó. Tránh hiện tượng đọc đề một cách vội vàng. Chính vì không đọc kĩ đề nên nhiều học sinh xảy ra tình trạng làm bài bị nhầm đề và lạc đề.
Chọn câu dễ, quen thuộc làm trước. Phải cẩn thận trong quá trình tính toán, trong các bước làm lý luận phải chính xác, lời giải gọn, đúng trình tự, rõ rang (có giải trình); nên có kết luận về đáp số; giải xong phải kiểm tra lại (có thể dùng máy tính điện tử để kiểm tra), nhận định kết quả có hợp lý với đề bài không. (Tránh vội vã, sai những câu này thật đáng tiếc). Những bài toán có điều kiện khi giải xong các thao tác nhớ kết hợp điều kiện.
Bài làm phải sáng sủa, dễ nhìn, không tẩy xoá trong bài làm. Tuy nhiên học sinh nên căn thời gian, nếu các em quá tỉ mỉ và cẩn thận thì dẫn đến tình trạng thiếu thời gian khi làm bài. Khi bài làm phát hiện thấy chưa đúng và 
các em muốn làm lại thì các em không nên thay tờ giấy khác để chép lại, mà các em nên gạch một đường thẳng lên những chỗ sai, như vậy bài làm của các em vẫn sáng sủa, rõ ràng và các em có thể tiếp tục trình bày bài tiếp mà không bị gián đoạn.
Sử dụng giấy nháp khi làm bài.
Không nên nộp bài khi còn quá nhiều thời gian: Nếu học sinh đã làm bài xong trước thời gian, các em chớ có vội vàng, hãy ngồi lại xem lại bài của mình một cách chắc chắn trong cả việc lập luận, tính toán và trình bày. 
Trước buổi thi nên nghỉ ngơi thư giãn vài giờ. Trong quá trình học tập các em nên quan tâm đến sức khỏe, phân bố thời gian hoạt động học tập hợp lí sao cho đến lúc đi thi thì sức khỏe phải tốt nhất.
IV. Về khả năng áp dụng của sáng kiến: 
Sáng kiến này tôi đã áp dụng được 2 năm 2011- 2012 và 2012- 2013 tại trường THPT Trần Hưng Đạo và đã thu được kết quả rất tốt.
Sáng kiến này có thể áp dụng rộng rãi ở tất cả các trường THPT.
Đây là tư liệu cho giáo viên, học sinh và phụ huynh tham khảo và áp dụng vào hoạt động dạy và học mang lại hiệu quả tốt. Nhiều giáo viên và học sinh sau khi áp dụng sáng kiến này vào công việc dạy và học của mình đã rất ấn tượng, thích thú và mong muốn được phát huy, mở rộng hơn nữa giới hạn áp dụng của sáng kiến này vào các môn học khác.
V.Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được
1. Hiệu quả kinh tế
Khi sáng kiến được áp dụng sẽ mang lại một số lợi ích kinh tế sau đây:
Tiết kiệm được chi phí mua tài liệu: 
Tiết kiệm được thời gian và công sức của phụ huynh học sinh.
2. Hiệu quả xã hội đạt được	
Khi áp dụng SKKN này vào dạy và học trong chương trình THPT sẽ mang lại các lợi ích sau:
Mang lại phương pháp, phương tiện dạy và học mới có hiệu quả
Nhờ chỉ ra các kiểu sai lầm mà học sinh nắm được bản chất vấn đề nhanh hơn, nhớ lâu hơn, nhận thức được các đơn vị kiến thức trong bài học một cách dễ dàng và sâu sắc hơn. 
Phát triển năng lực nhận thức của học sinh 
Học sinh có cái nhìn tổng thể về vấn đề, biết phân tích, tổng hợp vấn đề. Học sinh có khả năng làm việc độc lập, biết bảo vệ các quan điểm mà mình cho là đúng. Có khả năng làm việc theo nhóm, có khả năng sáng tạo trong công việc.
Nâng cao chất lượng và hiệu quả học tập của học sinh
Sau đây là bảng đối chiếu kết quả các lớp (được nhà trường thống kê), các khoá học sinh mà tôi trực tiếp áp dụng phương pháp này và các lớp mà tôi không áp dụng phương pháp này trong mỗi lần tham gia thi tập trung do Sở GD& ĐT Ninh Bình tổ chức:
Bảng kết quả học sinh khi tôi chưa áp dụng phương pháp:
Năm học 2009 - 2010
Kết quả của học sinh đạt từ điểm 5 trở lên 
Lớp 12B6
 28 / 43
Lớp 11A2
 39 / 45
Lớp 11B5
 30 / 45
Năm học 2010 - 2011
Lớp 12A1
 40 / 43
Lớp 12B4
 36/45
Bảng kết quả học sinh sau khi tôi áp dụng phương pháp
Năm học 2011- 2012
Số lượng học sinh đạt yêu cầu 
Lớp 10A2
 44 / 44
Lớp 10B5
 43/ 45
Năm học 2012 - 2013
Lớp 11A2
 44 / 44
Lớp 11B5
 43/ 44
Nâng cao năng lực chuyên môn của giáo viên
Với việc tìm ra các giải pháp khắc phục cho những sai lầm của học sinh đã giúp cho giáo viên tìm tòi, suy nghĩ, nhìn ra bản chất của vấn đề và nâng cao năng lực chuyên môn, cũng như năng lực tổng hợp các vấn đề.
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
I.Tên sáng kiến
1
II.Tác giả sáng kiến
1
Nội dung sáng kiến
1. Thực trạng của hoạt động Toán của học sinh phổ thông hiện nay
1
2. Giải pháp mới của sáng kiến
3
Các giải pháp khắc phục đối với tâm lí sợ học toán.
4
 Các giải pháp khắc phục đối với học sinh có ngôn ngữ diễn đạt yếu và đối với học sinh có kỹ năng tính toán hạn chế.
4
Các giải pháp khắc phục đối với học sinh không biết cách sử dụng các mệnh đề trong giải toán (sử dụng các phép suy luận sai) và không nắm vững lí thuyết.
5
Các giải pháp khắc phục đối với học sinh coi nhẹ việc tự học, tự kiểm tra, tự đánh giá:
24
 Các giải pháp khắc phục đối với học sinh chưa nắm chắc một số kĩ năng cơ bản khi làm bài kiểm tra và bài thi. 
26
Khả năng áp dụng của sáng kiến
27
Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được
27