Sáng kiến kinh nghiệm Các dạng toán dựng hình Lớp 7

Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.
Giải:
A
x
C
B
b
a
c
c
b
a
Cách dựng: 
- Dựng tia Ax.
Dựng đường tròn(A; b). Gọi C là giao điểm của đường tròn ( A; b) với tia Ax.
dựng đường tròn (A; c) và đường tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng. Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a.
Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A; c) và ( C; a) không cắt nhau thì không dựng được tam giác ABC.
Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước.
Cách dựng: 
Gọi xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được DOAB.
y
x
O
A
B
y
x
O
A
B
Dựng DO’A’B’ = DOAB ( c- c- c) như bài toán 1, ta được .
O’
A’
B’
Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước.
Cách dựng:
Dựng đường tròn ( A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
Dượng các đường tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D. Tia phân giác phân giác của xAy.
x
y
z
A
B
C
D
r
r
r
r
1
2
Thật vậy: DABD = DACD ( c- c- c) ị 
Bài toán 4: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
Cách dựng:
C
D
B
A
Dựng hai đường tròn ( A; AB ) và ( B; BA )chúng cắt nhau tại C, D. Giao điểm của CD và AB là trung điểm của AB.
*Chú ý: đây cũng là cách dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước.
Cách dựng:
Dựng đường tròn ( O; r) cắt a tại A, B.
O
D
B
A
Dựng đường trung trực của AB.
Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng.
Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tuỳ tiện.
 I - Cơ sở thực tế
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo các bước sau:
Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?
Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả.
Cách vẽ yếu tố phụ của một bài toán
Cách 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H ẻ BC) thì DH = 4cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H ẻ BC) và DH = 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
2) Hướng suy nghĩ:
DABC cân tại A Û AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB. Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
A
B
C
H
K
D
A
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm; ; DH ^ BC
DH = 4 cm
KL
D ABC cân tại A.
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC =cm.
Lại có: BD == 5 cm ( do D là trung điểm của AB)
Xét D HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2
ị BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = 9 ị BH = 3 ( cm)
Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)
ị DH // AK ( đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3).
Ta có: DH ^ BC, DH // AK ị AK ^ BC.
Xét D ABK và DACK có:
BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
AKB = AKC = 900
AK là cạnh chung
ị D ABK = DACK (c – g – c)
ị AB = AC ị D ABC cân tại A.
4) Nhận xét: 
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thử ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC có ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải bằng cách vận dụng trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc của hai tam giác).
!) Phân tích bài toán:
Bài cho: tam giác ABC có ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC.
A
B
C
I
1
2
1
2
A
B
C
I
1
2
2) Hướng suy nghĩ: 
Đường phụ cần vẽ thêm là tia phân giác AI của BAC (Iẻ BC)
3) Chứng minh: 
GT
DABC; 
KL
AB = AC
1
Vẽ tia phân giác AI của BAC (Iẻ BC).
ị. (1) Mà ( gt) 
ị (2)
Xét D ABI và D ACI ta có:
( theo (2))
Cạnh AI chung
( theo (1))
ị D ABI = D ACI ( g – c – g) 
ị AB = AC (2 cạnh tương ứng)
4) Nhận xét:
 Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC bằng cách kẻ thêm đoạn thẳng AI là tia phân giác của góc BAC để tạo ra hai tam giác bằng nhau.
Cách 2: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạng huyền, yêu cầu chứng minh: 
2) Hướng suy nghĩ: 
B
A
C
M
D
1
1
2
Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD.
3) Chứng minh:
GT
DABC; ;
AM là trung tuyến
KL
 Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét D MAC và D MDB ta có:
MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
M1 = M2 ( vì đối đỉnh)
MB = MC ( Theo gt)
ị D MAC = D MDB ( c - g - c) 
ị AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1)
và (2 góc tương ứng).
ị AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau)
Lại có: AC ^ AB ( gt) 
ị AC ^CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay (2)
Xét D ABC và D CDA có:
AB = CD ( Theo (1))
( Theo (2))
AC là cạnh chung
ị D ABC = D CDA ( c – g – c) 
ị BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà ị 
4) Nhận xét: 
Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh ta đã vẽ thêm đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó . Như vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác.
Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. So sánh BAM và MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của BC. 
Yêu cầu : So sánh BAM và MAC?
2) Hướng suy nghĩ: 
B
A
 C
Đ
M
2
1
1
2
Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC. Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA. Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải được bài toán này.
3) Lời giải: 
GT
DABC; AB < AC
M là trung điểm BC
KL
So sánh BAM và MAC?
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét D MAB và D MDC ta có:
MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
M1 = M2 ( vì đối đỉnh)
MB = MC ( Theo gt)
ị D MAB = D MDC ( c - g - c) 
ị AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1)
và (2 góc tương ứng). (2)
Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) ịCD < AC. (3) 
Xét DACD có: 
 CD < AC ( theo (3))
 (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
Mà ( theo (2))
hay BAM < MAC.
4) Nhận xét: 
Trong cách giải của bài tập trên, ta phải so sánh hai góc không phải trong cùng một tam giác nên không vận dụng được định lí về quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác. Ta đã chuyển góc A1 và A2 về cùng một tam giác bằng cách vẽ đường phụ như trong bài giải, lúc đó A1 = D, ta chỉ còn phải so sánh D và A2 ở trong cùng một tam giác ADC.
Cách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng.
B
A
C
D
Bài toán 5: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)
( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)
1) Phân tích bài toán:
 Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. 
Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD.
2) Hướng suy nghĩ:
để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.
B
A
C
D
3) Chứng minh:
GT
AB // CD; AC // BD
KL
AB = CD; AC = BD
Xét D ABD và D DCA có:
BAD = CDA ( so le trong AB // CD)
AD là cạnh chung
ADB = DAC( so le trong AC // BD)
ị D ABD = D DCA ( g – c – g)
AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng)
4) Nhận xét: 
Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cầnm chứng minh D ABD = D DCA. Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song.
Cách 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. 
Bài toán 6: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. 
Chứng minh rằng D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều?
1) Phân tích bài toán: 
Bài cho D ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Yêu cầu ta chứng minh D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều.
 2)Hướng suy nghĩ: 
I
A
B
C
H
M
1
2
3
2
1
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB ^ AC và suy ra A = 900.
3) Chứng minh: 
GT
D ABC; AH ^BC; 
trung tuyến AM;
KL
D ABC vuông ;
D ABM đều
Vẽ MI ^ AC ( I ẻ AC)
Xét D MAI và D MAH có:
( gt)
AM là cạnh chung) ị D MAI = D MAH ( cạnh huyền – góc nhọn)
 (gt) ị MI = MH ( 2 cạnh tương ứng) (1)
Xét D ABH và D AMH có:
( gt)
AH là cạnh chung ị D ABHI = D AMH ( g – c - g)
( gt)	 ị BH = MH ( 2 cạnh tương ứng) (2)
Mặt khác: H ẻ BM , Từ (1) và (2) ị 
 Xét D vuông MIC có: nên từ đó suy ra: HAC = 600 .
ị .
Vậy D ABC vuông tại A.
Vì ; 
Lại có AM = ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)
 D ABM cân và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.
4) Nhận xét: 
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ^ AC) thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học.
Bài toán 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E. Chứng minh rằng: BD = CE.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho D ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC tại E.
Yêu cầu chứng minh: BD = CE.
2) Hướng suy nghĩ: 
Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba,rồi chứng minh chúng bằng đoạn thẳng thứ ba đó. Đường phụ cần vẽ thêm là đường thẳng qua B và song song với AC cắt DE ở F, BF chính là đoạn thẳng thứ ba đó.
D
A
B
C
H
M
F
E
3) Chứng minh:
GT
DABC;AB < AC; 
AH là tia phân giác BAC
DE ^ AH ;
KL
BD = CE
Vẽ đường thẳng qua B và song song với AC, gọi F là giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng DE.
Xét D MBF và D MCE có: 
MBF = MCE ( so le trong của BF // CE)
MB = MC ( gt)
BMF = CME ( đối đỉnh)
ị D MBF = D MCE (g – c – g)
ị BF = CE ( 2 cạnh tương ứng) (1)
Mặt khác D ADE có AH ^ DE và AH cũng là tia phân giác của DAE ( gt)
Do đó: D ADE cân tại A ị BDF = AED 
Mà BF // CE ( theo cách vẽ) ị BFD = AED
Do đó: BDF = BFD 
D BDF cân tại B
BF = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BD = CE
4) Nhận xét:
Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba cùng bằng hai đoạn thẳng cần chứng minh là bằng nhau, đây là cách rất hay sử dụng trong nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải này cũng được áp dụng để giải một số bài toán rất hay trong chương trình THCS.
5 cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm trong nhóm phương pháp chung gọi là phương pháp “ Tam giác bằng nhau ”, sau đây ta sẽ nghiên cứu thêm một phương pháp mới rất hay nhưng chưa được khai thác nhiều trong giải toán.
Cách 6: Phương pháp “ tam giác đều”
Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. Ta hãy xét một bài toán điển hình:
Bài toán 8: Cho tam giác ABC cân tại A, A = 200. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng DCA = .
1) Phân tích bài toán:
A
B
C
D
M
Bài cho DABC cân tại A, A = 200 ; AD = BC ( D ẻAB)
Yêu cầu chứng minh: DCA = .
2) Hướng suy nghĩ: 
đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, 
suy ra góc ở đáy là 800. 
Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc của 
tam giác đều ị Vẽ tam giác đều BMC
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB = AC; A = 200
AD = BC (D ẻAB)
KL
DCA = .
Ta có: DABC; AB = AC; A = 200 ( gt)
Suy ra: 
Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC), 
ta được: AD = BC = CM.
D MAB = D MAC ( c - c - c) ị MAB = MAC = 200 : 2 = 100
 ABM = ACM = 800 – 600 = 200
Xét DCAD và DACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
CAD = ACM ( = 200)
AC là cạnh chung
ị DCAD = DACM ( c – g – c )
ị DCA = MAC = 100, do đó: DCA = BAC.
4) Nhận xét:
1- đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
2- Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).
- Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC).
- Vẽ tam giác đều ABM(M và C thuộc hai nửanửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).
 Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗi người và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học.
Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC. Chứng minh rằng tam giác OBC cân.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC vuông tại A, = 150. Trên tia BA lấy điểm O sao cho BO = 2 AC. 
Yêu cầu chứng minh D OBC cân tại O.
2) Hướng suy nghĩ: 
O
B
H
A
C
M
M
Ta thấy = 150 suy ra = 750 - 150 = 600 là số đo của mỗi góc trong tam giác đều ị sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải bài toán.
3) Chứng minh:
GT
DABC; = 900; = 150
O ẻ tia BA: BO = 2AC
KL
D OBC cân tại O.
Ta có: DABC; = 900; = 150 (gt)
ị = 750
Vẽ tam giác đều BCM 
( M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC)
Ta có: OBM = 150
Gọi H là trung điểm của OB thì D HMB = D ABC ( c – g – c)
ị = 900
ị D MOB cân tại M ị BMO = 1500
ị CMO = 3600 – ( 1500 + 600 ) = 1500
DMOB = DMOC ( c – g – c) ị OB = OC, vậy D OBC cân tại O.
4) Nhận xét:
Trong bài toán trên ta đã sử dụng phương pháp tam giác đều vào việc giải toán vì phát hiện thấy = 150 suy ra = 750 - 150 = 600 là số đo của mỗi góc trong tam giác đều, điều này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM như trên. Nhờ có các cạnh của tam giác đều bằng nhau, các góc của tam giác đều là 600, ta chứng minh được D HMB = D ABC ( c – g – c); DMOB = DMOC ( c – g – c) dẫn tới D OBC cân tại O, đó chính là tác dụng của “phương pháp tam giác đều”.