Sáng kiến kinh nghiệm Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay

) = x5 +2x3 – x + 4 cho g(x) = x + 1. 
 Ta có số dư là f(-1) = (-1)5 +2.(-1)3 – (-1) + 4 = 2 
- Dư trong phép chia ña thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b là 
hằng số bằng f b
a
− 
 
 
. 
VD3: Chia f(x) = 3x3 + 2x2 + 5x – 7 cho g(x) = 2x + 1. 
 Ta có số dư là: f
3 21 1 1 1 753. 2. 5. 7
2 2 2 2 8
− − − − −       
= + + − =       
       
VD4: Chia f(x) = 3x4 + 5x3 – 4x2 + 2x – 7 cho g(x) = 4x -5. 
 Ta có số dư là f
4 3 25 5 5 5 5 873. 5. 4. 2. 7 6
4 4 4 4 4 256
         
= + − + − =         
         
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 27 
2) Sơ ñồ Hoocne: Trong trường hợp chia một ña thức Pn(x) cho một nhị thức 
x – m ta có thể sử dụng thuật toán Hoocne như sau: 
Giả sử khi chia ña thức Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 +  + a1x + a0 
cho nhị thức x – m ta ñược ña thức Qn(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +  + 
b1x + b0 thì giữa các hệ số an , an-1 , an-2 , , a1 , a0 và bn-1 , bn-2 , b1, b0 
có mối quan hệ sau ñây: 
 bn-1 = an 
 bn-2 = m. bn-1 + an-1 
 .. . . . .. .. . .. .. . . 
 b0 = m.b1 + a1 
và số dư r = m.b0 + a0 
 an an-1 an-2  a1 a0 
m bn-1 = an bn-2= m.bn-1+an-1 bn-3= m.bn-2+an-2 b0=m.b1+a1 r =m.b0+a0 
Ví dụ 1: Tìm thương và số dư của ña thức 
 f( 4 2) 2 3 4 5x x x x= − + − chia cho ( ) 2g x x= + 
Giải: 
Ta ghi: 
 2 0 -3 4 -5 
-2 2 -4 5 -6 7 
Vậy ña thức thương Q 3 2( ) 2 4 5 6x x x x= − + − và số dư r = 7 
Ví dụ 2: Tìm thương và số dư của ña thức 
4 3 2( ) 3 5 4 2 7f x x x x x= + − + − chia cho ( ) 4 5g x x= − 
Giải: 
Ta ghi: 
 3 5 -4 2 -7 
5
4
3 35
4
111
16
683
64
 6 87
256
3
4
35
16
111
64
683
256
Vậy ña thức Q 3 23 35 111 683( )
4 16 64 256
x x x x= + + + và số dư r = 6 87
256
. 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 28 
BÀI TẬP: 
1)Tìm số dư của các phép chia sau: 
a) (x4 + x3 +2x2 – x +1) : (x -3) KQ: r = 124 
b) (x3 – 9x2 – 35x + 7) : (x – 12) KQ: r = 19 
c) (2x3 + x2 – 3x +5) : (x + 11) KQ: r = -2.503 
d) (4x5 + 3x3 – 4x + 5) : (2x +11) KQ: r = -20.603,5 
e) (3x4 + 5x3 -4x2 +2x – 7) : ( -3x +2) KQ: r = 145
27
−
f) (5x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 8) : (3x – 1) KQ: r = 848
81
Hướng dẫn: Áp dụng ñịnh lí Bezoul 
2) Tìm số dư và ña thức thương của các phép chia f(x) cho g(x) sau: 
a) f(x) = (x4 + x3 +2x2 – x +1) và g(x) =(x -3) 
b) f(x) = (x3 – 9x2 – 35x + 7) và g(x) = (x – 12) 
c) f(x) = (2x3 + x2 – 3x +5) và g(x) = (x + 11) 
d) f(x) = (4x5 + 3x3 – 4x + 5) và g(x) = (2x +11) 
e) f(x) = (3x4 + 5x3 -4x2 +2x – 7) và g(x) = ( -3x +2) 
f) f(x) = (5x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 8) và g(x) = (3x – 1) . 
Hướng dẫn: Áp dụng Sơ ñồ Hoocne. 
KQ: a) r = 124 
 và Q(x) = x3 + 4x2 + 14x + 41 
 b) r = 19 
 và Q(x) =x2 + 3x + 1 
 c) r = -2.503 
 và Q(x) = 2x2 – 21x + 228 
 d) r = -20.603,5 
 và Q(x) = 2x4 – 11x3 + 62x2 – 341x + 3.747
2
 e) r = 145
27
−
 và Q(x) = -x3 - 7
3
x
2
 - 
2
9
x - 
22
27
 f) r = 848
81
 và Q(x) = 5
3
x
3
 - 
7
9
x
2
 + 
11
27
x + 
200
81
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 29 
3) Tìm a ñể P(x) = x4 + 7x3 +2x2 +13x + a chia hết cho x + 6. 
Giải: 
C1: ðể P(x) ⋮ x + 6 ⇔ P(-6) = 0 
 ⇔ (-222) + a = 0 
 ⇔ a = 222. 
 Vậy a = 222. 
C2: ðể P(x) ⋮ x + 6 ⇔ P(-6) = 0 
 Ta nhập biểu thức : X4 + 7X3 + 2X2 + 13X +A = 0 
 Ấn: X ? nhập -6 
 Ấn tiếp: máy hiện: A = 222. 
 Vậy : a = 222. 
4) Cho phương trình 2,5x5 – 3,1x4 + 2,7x3 + 1,7x2 – (5m -1,7)x + 6,5m – 
2,8 có một nghiệm là x = - 0,6. Tính giá trị của m chính xác ñến 4 chữ 
số thập phân. 
Hướng dẫn: Giải như bài 3. KQ: m = 0,4618 
5) Tìm m ñể f(x) = 2x4 + 3x2 – 5x + 2005 – m chia hết cho x – 12. 
Hướng dẫn: Giải như bài 3. KQ: m = 43849. 
6) Xác ñịnh giá trị k ñể ña thức f(x) = x4 – 9x3 +21x2 + x + k chia hết 
cho ña thức g(x) = x2 – x – 2. 
Giải: 
C1: Lấy f(x) chia cho g(x) ñể tìm số dư và ñặt số dư bằng 0 ñể tìm k. 
 Ta có: f(x) = (x2 – x – 2)(x2 – 8x + 15) +k +30 = 0 
 Vậy ñể f(x) ⋮ g(x) thì k + 30 = 0. 
 Suy ra k = -30 
C2: Ta có g(x) = x2 – x – 2. 
 = x
2
 – 2x + x – 2 = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1) 
 Vậy f(x) chia hết cho g(x) = x2 – x – 2 thì cũng chia hết cho (x – 2)(x + 1) 
 Áp dụng ñịnh lí Bezoul và ñịnh nghĩa của phép chia hết ta thay x = -1 
hoặc x = 2 vào f(x), ta ñược f(-1) = 0 ⇔ k = - 30. 
Solve Shift = 
Solve Shift 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 30 
7) Cho ña thức f(x) = 3x4 – x3 + 2x2 – x + m. 
a) Xác dịnh m ñể f(x) chia hết cho x – 2 
b) Với m tìm ñược ở câu a. Xác ñịnh ña thức thương và số dư của 
f(x) chia cho x + 3. 
KQ: a) m = - 46. 
 b)Q(x) = 3x3 – 10x2 + 32x – 97 và r = 245. 
 8) Cho ña thức P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m. 
 a) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003. 
 b) Tính giá trị của m ñể ña thức P(x) chia hết cho x – 2,5 
 c) Muốn ña thức P(x) có nghiệm x = 2 thì m có giá trị là bao nhiêu? 
Giải: 
a) Nhập : X5 + 2X4 – 3X3 + 4X2 – 5X + 2003 
X? khai báo: 2,5 
 KQ: r =2144,406250 
b) Giải như bài 3. KQ: m = -141,40625 
c) P(x) có nghiệm x = 2 ⇔ P(2) = 0 ⇔ m = - 46 
9)Cho hai ña thức: P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m. 
 Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n. 
 a) Tìm giá trị của m và n ñể các ña thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2. 
 b)Xét ña thức R(x) = P(x) – Q(x), với giá trị m, n vừa tìm ñược. Hãy 
chứng tỏ rằng ña thức R(x) chỉ có một nghiệm duy nhất. 
Giải: 
 a) Giải như bài 3. KQ: m = -46, n = -40 
 b) Ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6. 
Vì P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x – 2 nên R(x) = P(x) – Q(x) 
cũng chia hết cho x – 2. 
 Do ñó ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6 = (x – 2)(x2 + x + 3) 
Mà x2 + x + 3 = x2 + 2. 1
2
x + 
1
4
 + 
3
4
 = (x + 1
2
)2 + 3
4
 > 0 ∀ x 
( hay tam thức bậc hai x2 + x + 3 có 1 4 3∆ = − = − nên vô nghiệm ) 
 Suy ra R(x) chỉ có duy nhất một nghiệm x = 2. 
10)Cho ña thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m. 
 a)Với ñiều kiện nào của m thì ña thức P(x) chia hết cho 2x + 3. 
 b)Với m tìm ñược ở câu a. Hãy tìm số dư r khi chia ña thức P(x) 
cho 3x – 2. 
CALC = 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 31 
 c)Với m tìm ñược ở câu a. Hãy phân tích ñ thức P(x) ra tích của các 
thừa số bậc nhất. 
 d)Tìm m và n ñể hai ña thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m và Q(x) = 
2x3 – 5x2 – 13x + n cùng chia hết cho x - 2 
 e)Với n tìm ñược ở câu trên, hãy phân tích của các thừa số bậc nhất. 
Giải: 
a) ðể P(x) chia hết cho 2x + 3 thì P( 3
2
− ) = 0 ⇔ m = 12. 
b) Chia ña thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + 12 cho 3x – 2 
 6 -7 -16 12 
2
3
6 -3 -18 0 
 2 -1 -6 
 Ta ñược P(x) = (3x – 2)(2x2 – x – 6) và số dư r = 0 
c) P(x) = (3x – 2)(2x + 3)(x – 2). 
d) ðể hai ña thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m và Q(x) = 2x3 – 5x2 
– 13x + n cùng chia hết cho x – 2 thì P(2) = 0 và Q(2) = 0 
Suy ra m = 12, n = 30 
e) ða thức Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + 30 chia cho x – 2 nên chia 
Q(x) cho x – 2 ta ñược. Q(x) =(x – 2)(2x2 – x – 15). 
 Vì 2x2 – x – 15 = 2x2 – 6x + 5x – 15 = (x – 3)2x + 5(x – 3) 
 = (x – 3)(2x + 5). 
 Vậy Q(x) = (x – 2)(x – 3)(2x + 5) 
11)Cho ña thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e. Biết P(1) = 1, 
P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25. 
a) Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), P(9) 
b) Viết lại ña thức P(x) với các hệ số là số nguyên. 
Giải: 
 a) Ta có P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25. 
 Xét ña thức Q(x) = P(x) – x2. 
 Dễ thấy Q(1) = 1, Q(2) = 4, Q(3) = 9, Q(4) = 16, Q(5) = 25. 
 Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của ña thức Q(x). 
 Vì hệ số của x5 = 1 nên suy ra Q(x) có dạng: 
 Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) 
 Nên Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 - 5) = P(6) – 62. 
 Suy ra P(6) = 62 + 5! = 156. 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 32 
 Tương tự P(7) = 72 + 6! = 769. 
 P(8) = 82 + 7!
2!
 = 2584. 
 P(9) = 92 + 8!
3!
 = 6801. 
b)P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) + x2. 
P(x) = x5 – 15x4 + 85x3 – 284x2 + 274x – 120. 
12)Cho ña thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và cho biết Q(1) = 5; Q(2) 
= 7; Q(3) = 9; Q94) = 11. Tính các giá trị Q(10); Q(11); Q(12); Q(13). 
 Giải: 
 Nhận xét: Q(1) = 5 = 2.1 + 3 ; Q(2) = 7 = 2.2 + 3 
 Q(3) = 9 =2.3 + 3 ; Q(4) = 11 = 2.4 + 3 
 Xét ña thức P(x) = Q(x) – (2x + 3). 
 Ta có P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = 0. 
ðiều này chứng tỏ 1; 2; 3; 4 là nghiệm của ña thức P(x). 
 Suy ra: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = Q(x) – (2x + 3). 
 Nên P(10) = 9.8.7.6 = Q(10) – ( 2.10 + 3). 
 Hay Q(10) = 2.10 + 3 + 9.8.7.6 
 = 2.10 + 3 + 9!
5!
 = 3047. 
Tương tự: Q(11) = 2.11 + 3 +10!
6!
 = 5065. 
 Q(12) = 2.12 + 3 +11!
7!
 = 7947. 
 Q(13) = 2.13 + 3 +12!
8!
 = 11909. 
13) Cho ña thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 +dx + e. Biết P(1) = 3, 
P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51.Tính các giá trị P(6), P(7), P(8), 
P(9), P(10), P(11). 
 Giải: 
 ðặt Q(x) = 2x2 + 1 . Khi ñó Q(1) = 3, Q(2) = 9, Q(3) = 19, Q(4) = 33, 
Q(5) = 51. 
 ðiều này chứng tỏ ña thức (bậc 5) R(x) = P(x) – Q(x) có 5 nghiệm 1; 
2; 3; 4; 5. 
 Vậy : P(x) = Q(x) + (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5). 
Do ñó: P(6) = 2.62 + 1 + 5! = 193 
 P(7) = 2.72 + 1 + 6! = 819 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 33 
 P(8) = 2.82 + 1 + 7!
2!
 = 2649 
 P(9) = 2.92 + 1 + 8!
3!
 = 6883 
 P(10) = 2.102 + 1 + 9!
4!
 = 15321 
 P(11) = 2.112 + 1 + 10!
5!
 = 30483 
14)Cho ña thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thỏa mãn 
P(1) = 3; P(3) = 11; P(5) = 27; P(5) = 27; P(7) = 51. 
 Tính giá trị của P(-2) + 7 P(6). 
Giải: 
 Nhận xét: P(1) = 3 = 12 + 2; P(3) = 11 = 32 + 2; P(5) = 27 = 52 + 2; 
P(7) = 51 = 72 + 2. 
 Xét ña thức Q(x) = P(x) – ( x2 + 2) 
 Ta có Q(1) = Q(3) = Q(5) = Q(7) = 0. 
 ðiều này chứng tỏ 1; 3; 5; 7 là nghiệm của Q(x). 
Suy ra Q(x) = (x – 1)(x –3)(x – 5)(x – 7) 
 Nên P(x) = Q(x) + x2 + 2 
 = (x – 1)(x –3)(x – 5)(x – 7) + x2 + 2 
Do ñó P(-2) = 951 và P(6) = 23. 
 Vậy: P(-2) + 7P(6) = 951 + 7.23 = 1112. 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 34 
DẠNG 12: DÃY SỐ 
I/ Dãy số Lucas: Dãy số Lucas là dãy số tổng quát của dãy Fibonaci: Các số 
hạng của nó tuân theo quy luật u1 = a; u2 = b; un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2. 
trong ñó a, b là hai số tùy ý. 
 Với a = b = 1 thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonaci. 
Dạng 1: u1 = a; u2 = b ( a, b tùy ý ).Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 
 Phương pháp: 
 - C1: + Ấn: b a → u3 
 + Lặp: a → u4, u6 , . . . 
 → u5, u7 , . . . 
 - C2: + Gán: D = 2 ( biến ñếm ) 
 A = a ( Số hạng u1) 
 B = b ( Số hạng u2) 
 + Ghi vào màn hình: 
 D = D + 1: A = B + A : D = D + 1 : B = A + B 
 + Ấn:  ta ñược u3, u4, u5, , un 
Ví dụ 1: Với u1 = 1; u2 = 3. Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 
 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843,  
Ví dụ 2: Với u1 = -3; u2 = 4. Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 
-3, 4, 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, .. 
Ví dụ 3: Với u1 = -1; u2 = -5. Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 
-1, -5, -6, -11, -17, -28, -45, .. 
Ví dụ 4: Với u1 = 1; u2 = -5. Tính: un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2 
1, -5, -4, -9, -13, -22, -35, -57, -92, -149, . 
BÀI TẬP: 
 1)Cho dãy số u1 = 144; u2 = 233; .; un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2. Tính u12, 
u37, u38, u39. 
KQ: u12 = 28657; u37 = 4807526976; u38 = 7778742049; 
 u39 = 12586269025 ( tính bằng tay ) 
2) Cho u1 = 2002, u2 = 2003 và un+1 = un +un-1 với mọi n ≥ 2. 
 Xác ñịnh u5, u10 ? 
 KQ: u5 = 10013, u10 = 110144. 
STO Shift A + STO Shift M 
+ ALPHA A + STO Shift A 
+ ALPHA M STO Shift M 
= 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 35 
II/ Dãy số Fibonaci ( Dãy Lucas ) suy rộng tuyến tính có dạng: 
 Dạng 2: u1 = a; u2 = b ( a, b tùy ý ) và un+1 = m.un + n.un-1 với 
mọi n ≥ 2. 
Phương pháp: 
 - C1: + Ấn: b m n a → u3 
 + Lặp: m n → u4, u6 , . . . 
 m n → u5, u7 , . . . 
 - C2: + Gán: D = 2 ( biến ñếm ) 
 A = a ( Số hạng u1) 
 B = b ( Số hạng u2) 
 + Ghi vào màn hình: 
 D = D + 1: A = m.B + n.A : D = D + 1 : B = m.A + n.B 
 + Ấn:  ta ñược u3, u4, u5, , un 
BÀI TẬP: 
 1) Cho u1 = 2; u2 = 3 và un+1 = 4.un + 5.un-1 với mọi n ≥ 2. Xác 
ñịnh u7, u8? KQ: u7 =13022, u8 = 65103. 
 2) Cho u1 = 2; u2 = 9 và un+1 = 19.un + 45.un-1 với mọi n ≥ 2. Xác 
ñịnh u5, u10? 
KQ: u5 = 113.661, u7 = 50.732.586, 
u8 = 1071961389, u9 = 22650232761 ( tính bằng tay) 
u10 = 19u9 + 45.u8 = 478592684964. ( tính bằng tay) 
 3) Cho u1 = 30; u2 = 4 và un+1 = 19.un + 75.un-1 với mọi n ≥ 2. 
Xác ñịnh u5, u7? 
KQ: u5 = 1.019.836, u7 = 508.052.446, 
 4) Cho u1 = 3; u2 = 2 và un = 2.un-1 + 3.un-2 với mọi n ≥ 3. Xác 
ñịnh u21? KQ: u21 = 4358480503. 
 5) Cho dãy số sắp xếp theo thứ tự với u1 = 2; u2 = 20 và u3 ñược tính 
theo công thức un+1 = 2.un + un-1 với mọi n ≥ 2. 
 a) Viết quy tình bấm phím liên tục ñể tính giá trị của un với 
u1 = 2; u2 = 20. 
 b) Xác ñịnh u22, u23, u24, u25? 
Giải: 
STO Shift A x STO Shift B 
+ ALPHA A x STO Shift A 
+ ALPHA B STO Shift B 
= 
+ x 
x 
x x 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 36 
 a) 
 + Gán: D = 2 ( biến ñếm ) 
 A = 2 ( Số hạng u1) 
 B = 20 ( Số hạng u2) 
 + Ghi vào màn hình: 
 D = D + 1: A = 2.B + A : D = D + 1 : B = 2.A + B 
 + Ấn:  ta ñược u3, u4, u5, , un 
 b) u22 = 804.268.156, u23 = 1.941.675.090 
 u24 = 4.687.618.336, u25 = 11.316.911.762 
 Chú ý: u25 = 2.u24 + u23 ( Tính tay ). 
6)Cho a1 = 2000; a2 = 2001 và an+2 = 2.an+1 -an + 3 với mọi n ≥ 1. Xác 
ñịnh a100? 
Giải: 
 + Gán: D = 2 ( biến ñếm ) 
 A = 2000 ( Số hạng u1) 
 B = 2001 ( Số hạng u2) 
 + Ghi vào màn hình: 
 D = D + 1: A = 2B – A + 3 : D = D + 1 : B = 2A – B +3 
 + Ấn:  ta ñược u3, u4, u5, , un 
 KQ: a100 = 16.652 
III/ Dãy Fibonacoci ( dãy Lucus ) suy rộng bậc hai dạng: 
 Dạng 3: u1 = a; u2 = b ( a, b tùy ý ) và un+1 = u 2n + u 2 1n− với mọi n ≥ 2 
 Phương pháp: 
 - C1: + Ấn: b a → u3 
 + Lặp: → u4, u6 , . . . 
 → u5, u7 , . . . 
 - C2: + Gán: D = 2 ( biến ñếm ) 
 A = a ( Số hạng u1) 
 B = b ( Số hạng u2) 
 + Ghi vào màn hình: 
 D = D + 1: A = B2 + A2 : D = D + 1 : B = A2 + B2 
 + Ấn:  ta ñược u3, u4, u5, , un 
= 
= 
STO Shift A + STO Shift B 
+ ALPHA A + STO Shift A 
+ ALPHA B STO Shift B 
= 
2x 
2x 2x 
2x 
2x + 2x 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 37 
BÀI TẬP: 
 1) Cho u1 = u2 = 1 và un+1 = u 2n + u 2 1n− với mọi n ≥ 2. 
 Thực hiện trên máy theo qui trình trên ta ñược dãy: 1, 1, 2, 5, 29, 
866, 750797, 563696885111. 
 2)Cho u1 = u2 = 1 và un+1 = u 2n - u 2 1n− với mọi n ≥ 2. Xác ñinh u100? 
 KQ: u100 = -1 
IV/ Dãy Lucas bậc ba có dạng: 
 Dạng 4: u1 = a , u2 = b , u3 = c ( a, b, c tùy ý ) 
 un+1 = un + un-1
 + un-2 với mọi n ≥ 3 
 Phương pháp: 
 - C1: + Ấn: b ( ðưa u2 vào ô nhớ ) 
 c ( ðưa u2 vào ô nhớ ) 
 a → u4 
 + Lặp: → u5, u8 , . . . 
 → u6, u9 , . . . 
 → u7, u10 , . . . 
 - C2: 
 + Gán: D = 3 ( biến ñếm ) 
 A = a ( Số hạng u1) 
 B = b ( Số hạng u2) 
 C = c ( Số hạng u3 ) 
 + Ghi vào màn hình: 
D = D + 1: A = C + B + A : D = D + 1 : B = A + C + B : D = D + 1 : C = B + 
A + C 
 + Ấn:  ta ñược u4, u5, u6 ,, un 
 Ví dụ: Dãy Fibonaci bậc ba: u1 = u2 = u3 = 1, un+1 = un + un-1
 + un-2 
 với mọi n ≥ 3. 
 Thực hiện qui trình trên ta ñược dãy: 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 
105, 193, 355, 653,  
STO Shift A 
+ ALPHA B + STO Shift A 
= 
STO Shift B 
A
B 
ALPHA B + ALPHA A + STO Shift C 
ALPHA A 
+ ALPHA C + STO Shift B ALPHA B 
+ ALPHA C + STO Shift B ALPHA B 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 38 
BÀI TẬP: 
1) Cho u1 = 4, u2 = 7, u3 = 5 và un = un -1 + un -2 + un -3 với mọi 
n ≥ 4. Xác ñịnh u30 ? 
2) Cho u1 = 3, u2 = 2, u3 = 1930 và un = un -1 + un -2 - un -3 với 
mọi n ≥ 4. Xác ñịnh u78 ? 
3) Cho u1 = 7, u2 = 5, u3 = 1954 và un = un -1 - un -2 + un -3 với 
mọi n ≥ 4. Xác ñịnh u54 ? 
4) Cho u1 = 30, u2 = 4, u3 = 1975 và un = un -1 + un -2 - un -3 với 
mọi n ≥ 4. Xác ñịnh u33 ? 
5) Cho u1 = 20, u2 = 11, u3 = 1982 và un = un -1 + un -2 + un -3 với 
mọi n ≥ 4. Xác ñịnh u26 ? 
V/ Dãy Lucas bậc ba suy rộng có dạng: 
 Dạng 5: u1 = a , u2 = b , u3 = c ( a, b, c tùy ý ) 
 un+1 = m.un + n.un-1
 + p.un-2 với mọi n ≥ 3 
 Phương pháp: 
 - C1: + Ấn: b ( ðưa u2 vào ô nhớ ) 
 c ( ðưa u2 vào ô nhớ ) 
 m n a p → u4 
 + Lặp: 
 m n p → u5, u8 , . . . 
 m n p → u6, u9 , . . . 
 m n p → u7, u10 , . . . 
 - C2: 
 + Gán: D = 3 ( biến ñếm ) 
 A = a ( Số hạng u1) 
 B = b ( Số hạng u2) 
 C = c ( Số hạng u3 ) 
 + Ghi vào màn hình: 
D = D + 1: A = mC + nB + pA : D = D + 1 : B = mA + nC + pB : D = D + 1 : 
C = mB + nA + pC 
 + Ấn:  ta ñược u4, u5, u6 ,, un 
STO Shift A 
+ ALPHA B + STO Shift A 
= 
STO Shift B 
A 
B
ALPHA B + ALPHA A + STO Shift C 
ALPHA A 
x x x 
x x x 
+ ALPHA C + STO Shift BALPHA B x x x 
+ ALPHA A + STO Shift C ALPHA C x x x 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 39 
Ví dụ: u1 = 1 , u2 = 2 , u3 = 3 và un+1 = 2un + 3un-1 + 4un-2 
với mọi n ≥ 3. 
 Thực hiện quy trình trên ta ñược dãy: 1, 2, 3, 16, 49, 158, 527,  
BÀI TẬP: 
1) Cho u1 = 4, u2 = 7, u3 = 5 và un = 2un -1 - un -2 + un -3 với mọi n ≥ 4. 
Xác ñịnh u30 ? 
 KQ: u30 = 20929015 
2) Cho u1 = 3, u2 = 2, u3 =1945 và un = 3un -1 - 2un -2 + 2008un -3 với 
mọi n ≥ 4. Xác ñịnh u10 ? 
VI/ Tính số hạng thứ n của dãy số Fibonacci theo công thức 
nghiệm tổng quát: 
1 1 5 1 5
2 25
n n
nu
    + −
 = −           
Nhập: 1 5 2 1 5 
2 5 
Bấm: máy hiện X ? 
Thay X = n thì tính ñược un . 
Ví dụ: Cho dãy số : 3 5 3 5
2 2
n n
nu
   + −
= +      
   
. Tính u6, u18? 
 KQ: u6 = 322, u18 = 33385282 
ALPHA ( ( ( + 
 ) ÷ ) ∧ X - ( ( - 
 ) ÷ 
 ) ALPHA ∧ X ) ÷ 
CALC 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 40 
KẾT LUẬN 
 Trên ñây là những dạng bài tập mà qua quá trình nghiên cứu 
giảng dạy, tham gia dạy bồi dưỡng, dạy học tự chọn, bản thân tôi ñã 
tổng hợp lại ñược. Thật ra ñây là những bài toán mà ta có thể bắt gặp 
ở các sách toán, ñề thi,  
 Việc phân chia các dạng bài tập này là ñể cho học sinh dễ nhớ, 
dễ thực hành. ðể học sinh tự rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán 
bằng máy tính cầm tay. 
 Với suy nghĩ như vậy. Tôi tin tưởng mỗi học sinh ñều tự học, tự 
thực hành trên máy tính cầm tay ñể có kết quả. Vì khả năng và thời 
gian có hạn nên sáng kiến này xin tạm dừng ở ñây. Rất mong sự góp 
ý của các ñồng chí, ñồng nghiệp ñể sáng kiến này ñược phát huy và 
ñược mở rộng hơn nữa. 
 Ba Tơ, ngày 25 tháng 4 năm 2008 
 NGƯỜI VIẾT 
 Trần Ngọc Duy 
Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng bài tập toán giải bằng máy tính cầm tay “ 
Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 41 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 1.Hướng dẫn sử dụng và giải toán 6,7,8,9,10,11,12 của vụ 
THPT. 
2. Hướng dẫn thực hành Toán trên MTBT Casio Fx 500MS, Fx 
570 MS của vụ THPT. 
3. Giải toán trên máy tính ñiện tử Casio Fx 500MS, Fx 570 MS 
của TS Tạ Duy Phượng – NXBGD. 
4. Một số ñề thi các cấp và thi khu vực .