Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

Mở đầu
Hàm số có một vị trí vô cùng quan trọng trong chương trình toán học trung học phổ thông. Hàm số chứa đựng các dạng toán cơ bản xuyên suốt trong chương trình được các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và các học sinh quan tâm như:
Mở đầu về hàm số.
Hàm số liên tục
Đạo hàm
ứng dụng của đạo hàm.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số.
Với mục đích giúp bạn đọc có cái nhìn tổng quan, hiểu được bản chất của mỗi vấn đề đặt ra, từ đó đưa ra phương pháp giải mạch lạc phù hợp với những đòi hỏi của một bài thi. Trong khuân khổ bài viết này tác giả trình bầy một phần trong vấn đề hàm số: Các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số gồm các vấn đề sau:
Vấn đề 1: Các phép biến đổi đồ thị
Vấn đề 2: Tương giao của đồ thị hai hàm số
Vấn đề 3: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Vấn đề 4: Điểm liên quan đến đồ thị
Chuyên đề hàm số với phần: Các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số.
Cụ thể hơn là các phép biến đổi đồ thị được trình bầy theo phương pháp:
	Tổng quan lý thuyết Ví dụ cụ thể minh hoạ cho lý thuyết . Các bài tập có hướng dẫn và các bài tập bạn đọc tự giải.
	Với sự nỗ lực , cố gắng của bản thân, song bài viết không tránh khỏi những thiếu sót rất mong sự đóng góp ý kiến chân thành của bạn đọc.
Phúc Yên, ngày 15 tháng 5 năm 2009
Giáo viên: Nguyễn Thị Thanh Thuỷ
Phần I
Các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số
Vấn đề 1: Các phép biến đổi đồ thị
các phép biến đổi đồ thị cơ bản
Chú ý:
*) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy ra đồ thị hàm số y = f(x) +b ta có:
	+) Nếu b > 0 tịnh tiến theo Oy lên trên b đơn vị.
	+) Nếu b < 0 tịnh tiến theo Oy xuống dưới b đơn vị.
*) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy ra đồ thị hàm số y = f(x+a) tacó:
	+) Nếu a > 0 tịnh tiến theo Ox sang trái a đơn vị.
	+) Nếu a< 0 tịnh tiến theo Ox sang phải a đơn vị.
 Ví dụ minh hoạ: 
Ví dụ 1: Cho hàm số : y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số	 (đề thi đại học khối A- 2006)
Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
y = - 2x3 + 9x2 - 12x + 4.
y = -2x3 – 9x2 -12x – 4.
y = 2x3 + 9x2 + 12x + 4.
Hướng dẫn
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)
*) Khảo sát sự biến thiên:
 (Bạn đọc tự giải)
Ta có: y’ = 6x2 – 18x + 12.
	 y’’ = 12x - 18
	CĐ(1; 1) ; CT(2; 0)
*) Bảng biến thiên:
2). Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
 a) y = - 2x3 + 9x2 - 12x + 4.
 (đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 ) 
 Ta có: y = - 2x3 + 9x2 - 12x + 4.
 = -(2x3 – 9x2 + 12x – 4)
 = - f(x).
Đồ thị hàm số được vẽ như sau:
 Lấy đối xứng đồ thị (C) qua Ox
2). Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
 b) y = -2x3 – 9x2 -12x – 4.
 (đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) 
 Ta có: y = 2(-x)3 – 9(-x)2 + 12(-x) - 4.
 = f(-x).
Đồ thị hàm số được vẽ như sau:
	Lấy đối xứng đồ thị (C) qua Oy ta được
đồ thị cần tìm
2). Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
 c) y = 2x3 + 9x2 + 12x + 4.
(đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) 
 Ta có: y = f(-x)
 = 2(-x)3 – 9(-x)2 + 12(-x) - 4.
 = -2x3 – 9x2 -12x – 4.
 = g(x) 
 Mặt khác:
 y = - g(x) = - f(-x) =2x3 + 9x2 + 12x + 4.
Vậy: y = 2x3 + 9x2 + 12x + 4 = -f(-x)
Do đó đồ thị hàm số được vẽ như sau:
Bước 1: Lấy đối xứng đồ thị (C) qua Oy
Ta được đồ thị (C1)
Bước 2: Lấy đối xứng đồ thị (C1) qua Ox
Ta được đồ thị cần tìm(C2)
Ví dụ 2: Cho hàm số : y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (đề thi đại học khối A- 2006)
Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
y = 2x3 – 9x2 + 12x – 2
y = 2(x-2)3 – 9x2 + 48x – 64
y = 2(x-2)3 – 9x2 + 48x – 62
Hướng dẫn
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)
(Xem ví dụ 1)
2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 2
(đặt y = f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) 
 Ta có: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 2
 = (2x3 – 9x2 + 12x – 4) + 2
	 = f(x) + 2
Do đó đồ thị hàm số được vẽ như sau:
Tịnh tiến đồ thị (C) đã vẽ ở câu 1 theo trục Oy
lên trên 2 đơn vị
2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
b) y = 2(x-2)3 – 9x2 + 48x – 64
(đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) 
 Ta có: y = 2(x-2)3 – 9x2 + 48x – 64
	 = 2(x-2)3 – 9(x-2)2 + 12(x-2) – 4
	 = f(x-2) 
Do đó đồ thị hàm số được vẽ như sau:
Tịnh tiến đồ thị (C) đã vẽ ở câu 1 theo trục Ox
Qua phải 2 đơn vị
2). Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
c) y = 2(x-2)3 – 9x2 + 48x – 62
(đặt y = f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) 
 Ta có: y = f(x-2)
 = 2(x-2)3 – 9(x-2)2 + 12(x-2) – 4
 = g(x) 
 Mặt khác:
 	y = g(x)+2
 = 2(x-2)3 – 9x2 + 48x – 62
Vậy y = f(x-2) + 2
Do đó đồ thị hàm số được vẽ như sau:
Bước 1: Tịnh tiến đồ thị (C) đã vẽ ở câu 1
 theo trục Ox qua phải 2 đơn vị ta được 
đồ thị (C1)
Bước 2: Tịnh tiến đồ thị (C1) theo trục Oy
Lên trên 2 đơn vị ta được đồ thị cần tìm
Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
1) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy ra đồ thị hàm số y = |f(x)| 
	Ta có: y = ẵ f(x) ẵ = 
Do đó đồ thị hàm số y = ẵ f(x) ẵ gồm:
	+) Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số y = f(x).
	+) Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành của đồ thị hàm số y = f(x) qua trục hoành
2) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy ra đồ thị hàm số y = f(|x|)
	Ta có: y = f() = 
Và y = f() là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là Oy. Do đó đồ thị hàm số y = f() gồm:
	+) Phần bên phải Oy của đồ thị hàm số y = f(x).
	+) Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy
3) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy ra đồ thị hàm số y = |f(|x|)| 
	Từ đồ thị y = f(x) để suy ra dồ thị y = |f(|x|)| ta thực hiện liên tiếp hai quy tắc 1 và 2cụ thể là: 	
	+) Từ y = f(x) suy ra y = ẵ f(x) ẵ = g(x).
	+) và lại từ y = g(x) suy ra y = g() = |f(|x|)|.
Hoặc từ: 
+) y = f(x) suy ra y= f() = h(x)
+) và lại từ y = h(x) suy ra y = ẵh(x)ẵ =|f(|x|)|.
4) Từ đồ thị hàm số y = f(x) suy ra đồ thị hàm số |y| = f(x) 
Nhận xét: 
	+) Điểm (xo ; yo) thuộc đồ thị suy ra điểm (xo ; -yo) cũng thuộc đồ thị, nên đồ thị nhận Ox làm trục đối xứng
	+) Với y ³ 0 thì |y| = f(x) Û y = f(x) 
Do đó đồ thị |y| = f(x) gồm:
	-) Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x).
	-) Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành được nửa đồ thị còn lại
Ví dụ 3: Cho hàm số : y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (đề thi đại học khối A- 2006)
2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = ẵ2x3 – 9x2 + 12x – 4ẵ 
b) y = 2ẵxẵ3 – 9x2 + 12ẵxẵ – 4
c) y = ẵ2ẵxẵ3 – 9x2 + 12ẵxẵ – 4ẵ 
d) ẵyẵ = 2x3 – 9x2 + 12x – 4
Hướng dẫn
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (C)
(Xem ví dụ 1)
2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
a) y = ẵ2x3 – 9x2 + 12x – 4ẵ 
(đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) 
 Ta có: y = ẵ2x3 – 9x2 + 12x – 4ẵ 
	 = ẵf(x)ẵ 
Do đó đồ thị hàm số:
 y = ẵ2x3 – 9x2 + 12x – 4ẵ gồm:
	+) Phần từ trục hoành trở lên của 
đồ thị hàm số y = f(x).
	+) Đối xứng phần đồ thị phía dưới
 trục hoành của đồ thị hàm số y = f(x)
 qua trục hoành
2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
b) y = 2ẵxẵ3 – 9x2 + 12ẵxẵ – 4
(đặt f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) 
 Ta có: y = 2ẵxẵ3 – 9x2 + 12ẵxẵ – 4
	 = f() = 
Và y = f() là hàm số chẵn nên đồ thị 
có trục đối xứng là Oy.
Do đó đồ thị hàm số:
 y = f() = 2ẵxẵ3 – 9x2 + 12ẵxẵ – 4 
gồm:
	+) Phần bên phải Oy của đồ thị 
hàm số y = f(x).
	+) Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy
2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị các hàm số:
c) y = ẵ2ẵxẵ3 – 9x2 + 12ẵxẵ – 4ẵ 
(đặt y = f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) 
 Ta có: y = ẵ2ẵxẵ3 – 9x2 + 12ẵxẵ – 4ẵ
	 = |f(|x|)|
Từ đồ thị y = f(x) để suy ra dồ thị 
y = |f(|x|)| ta thực hiện liên tiếp qua hai
 phép biến đổi: 	
 +) Từ y = f(x) suy ra y = ẵ f(x) ẵ = g(x).
 +) và lại từ y = g(x) suy ra y = g() = |f(|x|)|.
2) Dựa vào đồ thị (C) vẽ đồ thị hàm số:
d) ẵyẵ = 2x3 – 9x2 + 12x – 4
(đặt y = f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 4) 
 Ta có: ẵyẵ = 2x3 – 9x2 + 12x – 4
Nhận xét: 
	+) Điểm (xo ; yo) thuộc đồ thị suy ra 
điểm (xo ; -yo) cũng thuộc đồ thị, nên đồ thị 
nhận Ox làm trục đối xứng
	+) Với y ³ 0 thì |y| = f(x) Û y = f(x) 
Û y= 2x3 – 9x2 + 12x – 4
Do đó đồ thị |y| = 2x3 – 9x2 + 12x – 4
gồm:
	-) Phần từ trục hoành trở lên của
 đồ thị y = f(x).
	-) Đối xứng phần đồ thị trên qua 
trục hoành được nửa đồ thị còn lại