Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng tư duy sáng tạo qua việc chứng minh bất đẳng thức

oặc A ³ B hoặc A Ê B. 
* Viết A > B Û A – B > 0 ( đọc là A lớn hơn B)
	A Ê B Û A – B Ê 0 ( đọc là A nhỏ hơn hay bằng B )
* Bất đẳng thức A > B ( hoặc A < B ) là bất đẳng thức thực sự 
 ( hay bất đẳng thức chặt)
2 – Tính chất:
* Tính bắc cầu: " a,b,c ẻ R
	a ³ b 
	b ³ c ị a ³ c
* Liên hệ thứ tự với phép cộng ( trừ)
	a ³ b ị a ± m ³ b ± m 	" a,b,m ẻ R
	+ Hệ quả 1 : Chuyển vế đổi dấu a ³ b + c Û a – c ³ b.
	+ Hệ quả 2 : Cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều
	a Ê b
	c Ê d ị a + c Ê b + d 
+ Hệ quả 3: Trừ 2 bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ
	a > b
	c b – d
* Liên hệ thứ tự và phép nhân ( chia)
" a, b , m ẻ R 
a Ê b Û am Ê bm với m > 0
 am ³ bm với m < 0	
+ Hệ quả 1: Nhân 2 bất đẳng thức cùng chiều với 2 vế không âm 
	a ³ b ³ 0
	c ³ d ³ 0 ị a . c ³ b . d
	+ Hệ quả 2:
	a > b > 0 ị an > bn 	n ẻ R
	a > b ị	a2k + 1 > b2k + 1 
	a ³ b > 0 ị n3a ³ n3b
* Lấy nghịch đảo và đổi chiều bất đẳng thức 
	a > b > 0 hoặc a < b < 0 ( a và b cùng dấu) thì: 
* So sánh 2 luỹ thừa cùng cơ số
m > n > 0 thì:
	a > 1 ị am > an
	a = 1 ị am = an
	a < 1 ị am < an
3 – Cần ghi nhớ:
	* Một bất đẳng thức có thể đúng ( hoặc sai) yêu cầu chứng minh bất đẳng thức, ta phải hiểu đó là bất đẳng thức đúng.
	* Không được trừ 2 bất đẳng thức cùng chiều.
	* Không được chia 2 bất đẳng thức cho nhau.
	* Không được luỹ thừa 2 vế bất đẳng thức khi chưa rõ dấu.
	* Không được khử mẫu bất đẳng thức khi chưa rõ dấu.
II – Các hằng bất đẳng thức cần nhớ
1) A2 ³ 0	, dấu “=” xảy ra khi A = 0
2) | A| ³ 0 	, dấu “=” xảy ra khi A = 0
3) | a + b| Ê | a| + | b| 	dấu “=” xảy ra khi ab ³ 0
4) | a - b| ³ | a| - | b| 	dấu “=” xảy ra khi ab ³ 0
5) 	dấu “=” xảy ra khi A = 0
6) Bất đẳng thức Cô si
	Với các ai ³ 0 ta có:
	Dấu đẳng thức xảy ra khi ai = aj
	+ Hệ quả:	
 1) 
 2) 	
7) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
	"ai; bi ẻ |R
	Dấu đẳng thức xảy ra khi 
8) a> 0 , b> 0; m > 0 Nếu thì 
9) a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác thì | c – b | < a < c + b.
10) Trong tam giác vuông, độ dài cạnh huyền lớn hơn (hoặc bằng) cạnh góc vuông.
11) Trong một tam giác, cạnh đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Phần hai – Phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
I - Phương pháp chung chứng minh bất đẳng thức 
1 – Cách 1 : Dùng định nghĩa.
	Để chứng minh A > B ta xét hiệu A – B và chứng minh A – B > 0
2 - Cách 2 : Dùng các phép biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức phải chứng minh về hằng bất đẳng thức đã biết.
3 – Cách 3: Từ các hằng bất đẳng thức đã biết và dùng các tính chất của bất đẳng thức suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
4 – Cách 4: Dùng phương pháp làm trội, làm non suy ra bất đẳng thức cần chứng minh
5 – Cách 5 : Dùng nguyên lý quy nạp toán học.
6 – Cách 6:Đặt biến phụ, đưa bất đẳng thức cần chứng minh về các hằng bất đẳng thức đã biết.
7 – Cách 7: Chứng minh bất đẳng thức bằng phản chứng.
8 – Cách 8: Dùng phương pháp xét khoảng.
II – Các ví dụ minh hoạ
Bất đẳng thức đại số
	1) Các bất đẳng thức dạng đa thức liên quan đến tổng các bình phương và tích 2 số đích cuối cùng cũng sử dụng đến hằng bất đẳng thức ( a ± b) ³ 0
	* Ví dụ 1: Chứng minh : a2 + b2 + c2 ³ ab + ac + bc	( 1 )
	Trong ví dụ này, tôi hướng cho học sinh xét và vận dụng hằng bất đẳng thức a2 – 2ab + b2 = ( a – b)2 ³ 0 nên có các cách sau:
 - Cách 1: Dùng định nghĩa để chứng minh: 
Xét hiệu 	M = a2 + b2 +c2 - ab – ac - bc
Biến đổi 	2M = ( a2 – 2ab + b2) + (a2 – 2ac + c2) + ( b2 – 2bc + c2) 
	 	2M = (a – b)2 + ( a – c)2 + ( b – c)2 ³ 0
	ị M ³ 0 ị bất đẳng thức (1) đã được c/m.
- Cách 2: Dùng phép biến đổi tương đương. Trong cách 2 chỉ khác cách 1 về trình bày như sau: 
( 1 ) Û 2a2 + 2b2 + 2c2 ³ 2ab + 2ac + 2bc 
	 Û (a – b)2 + ( a – c)2 + ( b – c)2 ³ 0 luôn đúng
 ị bất đẳng thức (1) đúng.
- Cách 3 : Dùng hằng bất đẳng thức để chứng minh:
	có ( a – b )2 ³ 0 ị a2 + b2 ³ 2ab
	a2 + c2 ³ 2ac
	b2 + c2 ³ 2bc
	ị 2 VT ³ 2 VP
	ị VT ³ VP ( đpcm)
- Cách 4: dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng.
	Giả sử: :	 a2 + b2 + c2 < ab + ac + bc	
Û 2(a2 + b2 + c2 ) < 2(ab + ac + bc) 
 Û (a – b)2 + ( a – c)2 + ( b – c)2 < 0 ( vô lí )
	Vậy bất đẳng thức (1 ) đúng.
* Ví dụ 2: Chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a( b + c + d + e ) (2 )
	Nhận xét: vế trái là tổng các bình phương của 5 số hạng, vế phải là tổng các tích có a phân phối đều vào các tích, nên hướng làm như ví dụ trên, nhưng số hạng a2 phân bố đều 4 tổng, nên cách giải tương tự như ví dụ trên.
 luôn dương	
ị bất đẳng thức ( 2 ) đúng 	( đpcm )
( các cách khác trình bày tương tự như ví dụ 1 )
* Ví dụ 3: Thay đổi kí hiệu của biến để học sinh quan sát, phân tích, tổng hợp và đưa về bài toán quen thuộc.
Đó là chứng minh: x12 + x22 + x32+ x42 + x52 ³ x1 ( x2 + x3 + x4 + x5 )
	( đưa về VD 2)
2) Các bất đẳng thức liên quan đến tích và tổng các số không âm thường dùng bất đẳng thức Côsi và hệ quả của bất đẳng thức đó.
Ví dụ: Cho a > 0; b > 0 ; c > 0 và a + b + c = 1. 
 Chứng minh: b + c > 16 abc
Giải : áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2số không âm ta có :
	(b + c)2 ³ 4 bc	(1)
 [ a + (b + c)] ³ 4a(b + c) (2) 
	Vì a + b + c = 1 nên (2) viết thành: 
 1 ³ 4a(b + c) (3)
	Vì các vế của (1) và (3) luôn dương nên nhân vế với vế ta được 
(b + c)2 ³ 16 abc (b + c)
Vì b + c > 0 ị b + c ³ 16 abc
3) Các bất đẳng thức tổng quát, có luỹ thừa bậc n hoặc n số hạng, hoặc n thừa số ; thường được chứng minh dựa vào phương pháp quy nạp.
	* Phương pháp quy nạp:
	+ Bất đẳng thức phải chứng minh đúng với n = n0
	+ Giả sử bất đẳng thức đó đúng với n = k thì ta cần chứng minh bất đẳng thức đó đúng với n = k + 1
* Ví dụ 1: Chứng minh: 2n > n3 ( 1 ) 	với n ³ 0 ; n ẻ |N.
	Giải : Bất đẳng thức ( 1 ) đúng với n = 10 	( *1 )
	Vì 210 = 1024 > 103 = 1000.
Giả sử bất đẳng thức ( 1 ) đúng với n = k , tức là 2k > k3 	 ( *2)
	Ta cần chứng minh 2k+ 1 > ( k + 1 )3
	Thật vậy : Xét 2k+ 1 - ( k + 1 )3= 2k+ 1 – k3 - 3k2- 3k - 1 
	 = 2k .2 – 2k3 + k3 - 3k2 - 3k - 1
	= 2(2k – k3 ) + k ( k2- 3k – 3) – 1
	 + Ta có (2k – k3 )> 0 vì 2k > k3 ( theo giả sử )
	 Xét [ k ( k- 3) – 3)] – 1 có k ³ 0 ị k( k – 3) ³ 70
	ị [ k ( k- 3) – 3)] – 1 ³ 10. 67 – 1 = 669 > 0
	ị Xét 2k+ 1 - ( k + 1 )3 ³ 0
	ị 2k+ 1 > ( k + 1 )3 	 ( *3)
Từ (*1); ( *2); (*3) ị bất đẳng thức đúng theo nguyên tắc quy nạp toán học.
 Ví dụ 2: Chứng minh: (1) với n ẻ |N.
Giải : Bấi đẳng thức (1) đúng với n = 1 vì 1 > 
 Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với n = k ta có:
 Sk = 
Ta cần chứng minh bất đẳng thức (1) đúng với n = k + 1:
Thật vậy: Sk+1 = 
 ị Sk + Pk với Pk = 
 Pk > 
 ị Pk > ị Sk+1 > 
 ị Bất đẳng thức đúng với n = k + 1 ị cũng đúng với mọi n.
4) Các bất đẳng thức vế trái là đa thức bậc cao, luỹ thừa giảm dần của biến thì thường dùng phương pháp xét khoảng.
* Nếu đa thức đan xen dấu “ + ”; “ – ” nên nhóm xuất hiện ( x – 1) thì ta thường xét khoảng so với 1.
Ví dụ 1: Chứng minh x10 – x9 + x4 – x + 1 > 0
	Giải :
	Gọi vế trái bất đẳng thức là f(x)
	Xét các trường hợp :
	+ Nếu x ³ 1
	f(x) = x9 (x – 1) + x( x3 – 1) + 1 ị f(x) ³ 1	 ( 1 )
	+ Nếu x < 1
	f(x) = x10 + x4(1 – x5) + ( 1 – x) ị f(x) > 0	( 2 )
	Từ ( 1 ) và ( 2 ) ị f(x) > 0
* Nếu đa thức toàn bộ là dấu “ + ” thì nhân vế trái với (x – 1) cho ta hằng đẳng thức và ta cũng xét khoảng so với 1.
	Ví dụ 2: Chứng minh A = x4 + x3 + x2 + x + 1 > 0
	Giải:
	Xét A(x – 1 ) = x5 – 1
	+ Nếu x ³ 1 ị A > 0
 + Nếu x 0	 
 ( vì x5 – 1 < 0 và x – 1 < 0 )
ị A > 0 "x ẻ R
5) Nếu bất đẳng thức có dạng tổng dãy số quy luật thì thường chọn phương pháp làm trội, làm non.
	Ví dụ 1: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 
 Giải: Xét thấy: 	 	
Vậy VT < 1 + 1 - 
 VT < 2 < 2
	Ví dụ 2: Chứng minh: 1 0
Giải: VT 0.
 VT < (1)
	VT > Vì a, b, c > 1
	VT > (2)
Từ (1) và (2) ị 
Ví dụ 3: Chứng minh 
Giải: Xét
	Có: 	
	..
	 ị VT < 3
Ví dụ 4: Chứng minh:
Giải:
Xét 
ị VT<
VT<
ị VT < VT < 2
6) Nếu bất đẳng thức có dạng (ax + b)(ax + c)(ax + d)(ax + k)>a
 	mà thoả mãn b + c = d + k thì nên đặt ẩn phụ.
VT = [(ax)2 + (b+c)ax + bc][ (ax)2 + (d+k)ax + dk]
	Có b+ c = d + k
đặt t = (ax)2 + (b+c)ax + bc
ị VT = t (t + bc – dk) 	với (bc>dk)
	 = t2 + t(bc – dk)
Sau đó chứng minh t2 + t(bc – dk) - a > 0 bằng cách biến đổi vế trái về bình phương biểu thức cộng với một số dương( học sinh đã thường làm)
+ Nếu bất đẳng thức có dạng: 
cần chứng minh : 
thì nên đặt ẩn phụ: Đặt: 
Ví dụ 1: Chứng minh (x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) + 9 ³ 0
Giải: Xét thấy: VT = [(x - 1)(x - 3)][(x - 4)(x - 6)] + 9
	= (x2 - 7x + 6)(x2 -7x + 12) + 9
Đặt: x2 - 7x + 9 = a
 Vt = (a - 3)(a + 3) + 9 = a2 ³ 0.
 Ví dụ 2: Cho a + b + c = = 0. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ³ .
Giải: Đặt a = + x
	 b = + y
	 c = + z.
Do a + b + c = 1 nên x + y + z = 0.
Ta có a2 + b2 + c2 = 
 = 
 = + x2 + y2 + z2.
 = + x2 + y2 + z2 ³ 
 Dấu “=” xảy ra Û x = y = z Û a = b = c = .
Bất đẳng thức hình học
Chứng minh bất đẳng thức hình học thường dựa vào:
	+ Bất đẳng thức 3 cạnh trong tam giác.
+ Bất đẳng thức cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuôngà có bất đẳng thức về diện tích.
	+ Các bất đẳng thức liên quan tổng và tích các cạnh, thường sử dụng bất đẳng thức :
	Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Hãy chứng minh: 
	Giải: áp dụng hằng bất đẳng thức 
Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác ị a + b > c ; b + c > a; c + a > b nên 
 ị 2(VT) ³ 2( VP) ị VT > VP
B
A
C
D
O
Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD có tổng độ dài 2 đường chéo là d.
Chứng minh:	
Giải:	
Ví dụ 3: Tam giác ABC nhọn, H là trực tâm; AB = a; AC = b; BC = b
a) Chứng minh: HA + HB + HC < (a + b + c)
b) Gọi K là hình chiếu của A trên BC. 
K
B
C
H
A
N
M
1
1
1
2
Chứng minh
	Giải:	
a) Dưng HM // AC; HN // AB
 (M ẻ AB; N ẻ AC)
 => Tứ giác AMHN là hình bình hành.
=> MH = AN
Mà HA < AM + MH (Bất đẳng thức D AHM).
 => HA < MA + NA.
Vì H là trực tâm D ABC và HM // AC; HN // AB
=> D BHM và D CHN vuông tại H.
Do đó HB < BM; HC < CN (Quan hệ cạnh huyền và cạnh góc vuông)
=> HA + HB + HC < AM + AN + BM + CN = AB + AC (1)
Tương tự ta có: 
 HA + HB + HC < AB + BC (2)
 HA + HB + HC < AC + BC (3)
Từ (1), (2), (3) => HA + HB + HC < (AB + BC + AC)
Hay HA + HB + HC < (a + b + c)
 b) Xét D AKB và D CKH có 
	 K1 = K2 = 900;
 A1 = C1 (Cùng phụ với góc ABC)
ị DAKB D CKH (g.g) 
 ị 
Phần III – Một số dạng toán vận dụng chứng minh bất đẳng thức 
I – Giải phương trình
Dùng bất đẳng thức để đánh giá 2 vế của phương trình
Ví dụ 1: 
 Giải: VP = 5 – (x + 1 )2 Ê 5
VT = 
 ị VT = VP Û x = -1
Vậy x = - 1 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 2: 
Giải phương trình: 	với x > 3
Giải :	+ Xét thấy: 2x2 – 10x + 16 = 2(x2 – 5x + 9) = 2[(x – 3)2 + ( x – 1)]
+ Nên áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 bộ số (1; 1) 
 và 
Ta có: 
Ta có : VT2 Ê 2 []
 VT Ê VP
Û x = 5
Vậy x = 5 là nghiệm của PT.
II – Toán cực trị
Ví dụ 1 : Cho a > 0; b > 0; c > 0; abc = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = ab(a + b) + bc( b + c) + ca( a + c)
Giải: 	
mà a > 0; b > 0; c > 0 nên: 
ị Min M = 6 Û a = b = c
Ví dụ 2: Cho x2 + y2 = 52. Tìm giá trị lớn nhất của A = | 2x + 3y|
	Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki với 2 bộ số (2;3)và (x;y), ta có
	(2x + 3y)2 Ê ( 22 + 32)(x2 + y2)
	(2x + 3y)2 Ê 13. 52 = 676
| 2x + 3y| Ê 26
Max A = 26 Û Û x = 4; y = 6
 Mà x2 + y2 = 52
K
A
C
B
I
J
3
2
1
1
Ví dụ 3: Cho D ABC đều cạnh a. Trên cạnh BC, CA, AB lấy 3 điểm bất kỳ I, J, K sao cho K ạ A; B và IKJ = 600	
Tìm giá trị lớn nhất của AJ.BI	 
Giải: 	
Có 	I1 = 1200 – K1	
	K3 = 1200 – K1	 	Û D BIK D AKJ (g.g)	 	
 Mà 	
Hay K là trung điểm của cạnh AB
III – so sánh bằng cách sử dụng bất đẳng thức 
	Ví dụ 1:
Giải: Vì a > 0; b > 0.
Lại xét	m = 9978.9981 = 9980. 9978 + 9978
	n = 9979.9980 = 9980. 9978+ 9980
=> n > m > 0
ện > ệm	 (2)
Từ (1)và (2) ị b2 > a2 mà ta có a > 0; b > 0 	ị b > a
	Ví dụ 2: Bài toán so sánh 2 số tổng quát
Giải: Xét thấy các luỹ thừa cùng cơ số, với số mũ liên tiếp
	ị aC < aD ị C < D 
 Có ak + 1 + 1 > ak + 1
Ví dụ 3: So sánh: với 3
Cách 1:
 có ị P > 3
 Cách 2: =
 áp dụng bất đẳng thức Côsi với hai số không âm ta có:
 x + 4 ≥ 2 
 Û x+ 4 ≥ 4
 Û x + 4 + 12 ≥4 = 4 (+3).
 ị P ≥ 
 ị P > 3 
Phần IV - Bài soạn minh hoạ
Luyện tập
* Đối tượng dạy : Học sinh lớp 8 có lực học khá trở lên( sinh hoạt CLB )
* Ngày dạy: Sinh hoạt CLB Toán 8 ngày 1tháng 4 - 2008
* Vị trí tiết dạy: Sau bài lý thuyết chung về bất đẳng thức và các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
A – Mục tiêu
+ Học sinh biết vận dụng định nghĩa, tính chất bất đẳng thức; hằng bất đẳng thức để chứng minh .
+ Học sinh biết sử dụng các phương pháp hợp lý cho bất đẳng thức cần chứng minh.
+ Rèn khả năng tư duy sáng tạo.
+ Rèn kỹ năng biến đổi tương đương bất đẳng thức
 và phân biệt kí hiệu “Û ” với “ ị ”
B – Chuẩn bị
1 – Giáo viên : 
	+ Bảng phụ ghi các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
	+ Bảng phụ ghi các hằng bất đẳng thức 
	( hoặc dùng phim, đèn chiếu)
2 – Học sinh :
	Học thuộc định nghĩa, tính chất, hằng bất đẳng thức và các phương pháp chứng minh bất đẳng thức.
C – Các hoạt động dạy học trên lớp
I – kiểm tra bài cũ
	H1: Phát biểu các cách chứng minh bất đẳng thức? 
	H2: Viết các hằng bất đẳng thức đã học?
II - Nội dung giờ dạy
Hệ thống câu hỏi gợi mở
Ghi bảng
- Đối với bài tập 1, ta nên chọn phương pháp nào để chứng minh? 
 (a + b)2 =?
 + H1: chứng minh bài này theo phương pháp định nghĩa.
- Còn cách nào để giải bài tập 1 nữa?
 + H2 : Giải bài tập 1 theo phương pháp biến đổi tương đương.
+ H3 : Giải bài tập 1 theo phương pháp từ các hằng bất đẳng thức đã biết.
+ H4 : Giải bài tập 1 theo phương pháp phản chứng.
Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức :
 (a + b)2 ³ 4ab (1) 
* Cách 1: 
Xét hiệu (a + b)2 – 4ab
 = .
 = (a – b)2 ³ 0 
Vậy bất đẳng thức đúng.
 Dấu “ = “ xảy ra khi a = b.
* Cách 2: (a + b)2 ³ 4ab
Û a2 – 2ab +b2 ³ 0
Û (a – b)2 ³ 0 luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức (1) đúng
* Cách 3: Có (a – b)2 ³ 0
Û a2 – 2ab +b2 ³ 0
Û a2 – 4ab +b2 + 2ab ³ 0
ị (a + b)2 – 4ab ³ 0
ị (a + b)2 ³ 4ab.
* Cách 4: Giả sử (a – b)2 < 4ab
ị a2 – 2ab +b2 < 0
ị (a – b)2 < 0 . Bất đẳng thức này là sai, nên điều giả sử ban đầu là sai.
Vậy bất đẳng thức (1) là đúng.
Hệ thống câu hỏi gợi mở
Ghi bảng
- Phân thức dương khi nào? 
- Nhận xét phân thức đã cho có gì đặc biệt?
- Biến đổi tử trở thành bình phương biểu thức cộng với số dương như thế nào?
- Chứng minh phân thức âm có nghĩa là chứng minh điều gì? ( Tử và mẫu trái dấu).
- Quan sát xem khả năng dấu của tử và mẫu như thế nào?
H5 : biến đổi 4x2 –2x+3 về bình phương biểu thức cộng với số dương.
H6 : Biến đổi – 10 + 4x – x2 về biểu thức có thể khẳng định là âm
Bài 2: Chứng minh 
 (2)
Giải : có x2 ³ 0 ị x2 + 1 ³ 0 (1)
Xét x2 + 2x + 3 = (x+1)2 + 2
 Có (x + 1)2 ³ 0
ị (x+1)2 + 2 > 0
từ (1) và (2) ị A > 0
Bài 3: Chứng minh
Giải: 
Xét: 4x2 –2x+3 = 
 = (1)
Lại có: –10 + 4x – x2 = -( x2 – 4x + 10) 
 = - (2)
từ (1) và (2) ị B < 0
III – Củng cố :
	+ Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bậc thấp.
	+ Phương pháp chứng minh biểu thức dương, âm như thế nào? 
	 cùng dấu
	+ Để chứng minh bất đẳng thức em cần sử dụng kiến thức nào?
IV – Hướng dẫn về nhà
	+ Học thuộc lý thuyết
 + Bài tập tương tự:
Bài 1 : Chứng minh bất đẳng thức :
	a) a2 + b2 ³ ab
	b) a4 + b4 ³ a3 b + ab3 
(thường dùng phương pháp định nghĩa; tương đương; từ các hằng bất đẳng thức đã biết)
Bài 2 : Chứng minh:
a) 	
	b)	
	( Khẳng định theo dấu của tử và mẫu)
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của 
Luyện tập
* Đối tượng dạy : Học sinh lớp 9 ( Bổ trợ kiến thức)
* Ngày dạy: 11/12/ 2007
* Vị trí tiết dạy: 
+ Trong cấu trúc toán xét biểu thức. 
+ Dạy sau khi rèn kỹ phần rút gọn biểu thức
A – Mục tiêu
+ Học sinh biết vận dụng định nghĩa, tính chất bất đẳng thức; hằng bất đẳng thức để chứng minh, so sánh, tìm cực trị của biểu thức.
+ Rèn khả năng tư duy sáng tạo.
	+ Củng cố kỹ năng sử dụng phương pháp so sánh, tìm cực trị. 
B – Chuẩn bị
1 – Giáo viên : 
	+ Bảng phụ ghi các hằng bất đẳng thức 
	+ Bảng phụ ghi phương pháp chứng minh bất đẳng thức( định nghĩa)
	+ Bảng phụ ghi phương pháp so sánh.
2 – Học sinh :
	Học thuộc định nghĩa, tính chất, hằng bất đẳng thức.
C – Các hoạt động dạy học trên lớp
I – kiểm tra bài cũ
	Viết các hằng bất đẳng thức đã học.
	II – Nội dung bài dạy
Phương pháp dạy và học
Ghi bảng
- Do điều kiện x > 0 , em có nhận xét gì về dấu của biểu thức P?
- Chứng minh P > 0 có nghĩa là ta sẽ phải khẳng định điều gì? 
- Xét thấy bậc của tử cao hơn mẫu. Hãy tách P thành tổng của 2 phân thức? 
- Xét tích : 
- 2 số dương có tích không đổi, suy ra điều gì?
 min P = ? 
Bài toán 1: cho biểu thức đã rút gọn
a) Chứng minh P > 0
Có x > 0 ị 2x + 1 > 0
 > 0 ị 4 > 0
 ị P > 0 với " x > 0
( Nhận xét: 
mà )
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
có 
mà 
áp dụng hệ quả bất đẳng thức Côsi ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất 
 Khi thì 
Phương pháp dạy và học
Ghi bảng
- Xét thấy 
Ta có thể đặt bài toán so sánh như thế nào?
- Tương tự bài trên vì a > 0. Ta có thể chứng minh điều gì?
- Tương tự tách P thành tổng các phân thức.
- Giá trị nhỏ nhất của P là 8 . Vậy các học sinh có thể đặt bài toán so sánh như phần c)
c) So sánh P và 1/2
xét 
 Bài toán 2: Biểu thức rút gọn
a) P > 0
b) Tìm min P
Có thể chứng minh P > 6
Giải :
a) 
 dấu “=” Û a = 1
ị P ³ 8
min P = 8 Û a = 1
c) Chứng minh P > 6 
ị P > 6
III – Củng cố 
	Hãy tự ra bài toán tương tự trên đối với biểu thức có kết quả rút gọn sau:
	a) 	với x > 0
	b) 	với x ³ 0
IV – Hướng dẫn về nhà
	- Làm bài tập trên cơ sở thống nhất bài toán đặt ra ở phần củng cố.
	Cụ thể: 
 Bài tập 1
Cho 	với x > 0
a) Chứng minh P > 0
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) So sánh P với 2
- Bài tập 2 : 
	Cho 	với x ³ 0
	a) Chứng minh P < 0
	b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
C - Kết quả và bài học kinh nghiệm
	Với kinh nghiệm giảng dạy như trên, tôi nhận thấy kết quả đáng mừng. Ngày càng có nhiều em có hứng thú say mê học toán, đặc biệt là những em học sinh khá - giỏi. Kết quả giảng dạy phần chứng minh bất đẳng thức đã góp phần không nhỏ vào kết quả chung của bộ môn Toán thể hiện rõ trong chất lượng bộ môn Toán của các em như sau:
Năm học
Lớp
Tỷ lệ học sinh Khá -Giỏi
2006 – 2007
8G
100%
2007 – 2008 (Kì I)
8G
100%
 Đặc biệt góp phần giúp cho đội tuyển học sinh giỏi Toán 9 của trường đạt kết quả cao trong kỳ thi Toán cấp huyện: 
 * Qua việc nghiên cứu, suy nghĩ, tìm tòi và thực hiện đề tài giải toán chứng minh bất đẳng thức, tôi đã rút ra một số bài học cho bản thân trong việc bồi dưỡng học sinh khá - giỏi. Những bài học đó là:
	1 – Hệ thống kiến thức bổ trợ cho dạng toán sắp dạy.
	2 – Hệ thống các phương pháp cơ bản để giải loại toán đó.
	3 – Khái quát hoá, tổng quát hoá từng dạng, từng loại bài tập. 
	4 – Tìm tòi, khai thác sâu kiến thức. Sưu tầm và tích luỹ nhiều bài toán, sắp xếp thành từng loại để khi dạy sẽ giúp học sinh nắm vững dạng toán
	5 – Khi dạy và bồi dưỡng học sinh cần đảm bảo tính vừa sức, tránh quá tải với học sinh .
	6 – Với mỗi bài toán, tôi cho học sinh lật lại vấn đề, đặt ra bài toán thuận, bài toán nghịch trên cơ sở để khai thác, phát triển.
	7 –Trao đổi tư liệu, sách nghiên cứu cho học sinh tìm hiểu thêm khi ở nhà.
8 - Bản thân giáo viên luôn tự bồi dưỡng kiến thức, học hỏi nâng cao trình độ chuyên môn. Tích cực tư duy sáng tạo bài dạy.
Trên đây là một số việc làm của tôi trong kinh nghiệm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá - giỏi. Trong quá trình mghiên cứu và thực hiện, tôi luôn được sự giúp đỡ của BGH, tổ chuyên môn và các đồng nghiệp trong trường THCS Cổ Loa và trường bạn. Tôi trân trọng những sự giúp đỡ quý báu đó. 
Tôi rất mong tiếp tục nhận được thêm sự giúp đỡ, góp ý và trao đổi kinh nghiệm của BGH, các đồng chỉ giáo viên trong tổ, nhóm chuyên môn và các đồng nghiệp.
	Tôi xin chân thành cảm ơn!