Sáng kiến kinh nghiệm Bổ sung các kĩ thuật mới khi sử dụng bất đẳng thức Côsi

sở giáo dục đào tạo Hà Nội 
trường thpt cổ loa
--------š²œ--------
SánG kiến kinh nghiệm
Đề tài : 
Bổ sung các kĩ thuật mới 
khi sử dụng bất đẳng thức Côsi 
Người thực hiện: Trần Quốc Thép
Tổ toán Trường THPT Cổ Loa
Năm học: 2007 - 2008
Mục lục
 Trang
Lời mở đầu	 2
I. Cơ sở lí luận và lí do chọn đề tài	 3
II.Phần nội dung đề tài 	
II.1 Hệ thống các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi 3
II.2 Các kĩ thuật chính
1. Phương pháp chứng minh trực tiếp	 	4
2. Kĩ thuật dùng hoán vị vòng	 	6
3. Phương pháp cân bằng tổng	 	7
4. Phương pháp cân bằng tích	 	8
5. Phương pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi	 	 9
6. Kĩ thuật nhân nghịch đảo	 12 
II.3 Các bài tập chọn lọc	 13
II.4 Một số kết luận và đề nghị 	 16
Tài liệu tham khảo 17 
 Lời mở đầu
I.1 Cơ sở lí luận, cơ sở thực tiễn và lí do chọn đề tài.
Như đã trình bày trong đề tài trước bất đẳng thức là một môn học khó đối với đa số học sinh nhưng cũng là một mảng kiến thức dễ đâm chồi nảy lộc những bông hoa đẹp nhất của tính sáng tạo, sự kiên trì, ham học hỏi. Rèn luyện về bất đẳng thức giúp học sinh tăng cường khả năng tính toán, khả năng tìm tòi lời giải bài toán, phát triển tư duy cho học sinh.
	Qua một năm giảng dạy theo chuyên đề bất đẳng thức tôi đã rút ra nhiều kinh nghiệm, cải tiến cũng như có các sáng kiến mới để giảng dạy mảng kiến thức này. Chính vì vậy cũng mạnh dạn đưa lên để các thày cô giáo tham khảo đánh giá, cùng bàn bạc để tìm được các phương hướng mới, cách thức mới để giảng dạy hiệu quả hơn. Các điều mới trong sáng kiến lần này là: bổ sung kĩ thuật nhân nghịch đảo, lấy nhiều ví dụ hay và đẹp cho các phương pháp đề ra, đặc biệt là phương pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi, sự bố trí các bài tập hợp lí ngay sau các lí thuyết như thế nào, bổ sung các lời giải và hướng dẫn cho các bài tập mà trước đây chỉ có đề bài. Hi vọng với một lượng bài tập và các ví dụ vừa đủ sẽ có tác dụng tốt cho các em học sinh. Các thầy cô chỉ cần bổ sung một lượng bài tập nhỏ là có thể xây dựng các chuyên đề hay cho học sinh của mình.
Với sự nhiệt tình và say mê sáng tạo các thầy cô giáo sẽ giúp cho các em học sinh tự tin, dần tự mình tìm tòi học hỏi để làm chủ được kiến thức, đó là một thành công rất lớn của các thầy cô giáo.
I.2 Tóm tắt nội dung chính của đề tài
	Đề tài được trình bày theo cấu trúc sau:
hệ thống các kiến thức cơ bản quan trọng
hệ thống các kĩ thuật được sử dụng, bao gồm các ví dụ minh họa và các bài tập đi kèm để củng cố.
phần bài tập có chọn lọc để giúp học sinh rèn luyện các kĩ năng.
một số đề xuất kiến nghị và các hướng khai thác kết quả.
II.Phần nội dung đề tài 	
II.1 Hệ thống các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi
Bất đẳng thức Côsi (BĐT Côsi) được nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy đưa ra, nó có dạng sau:
Cho a1,a2,an là các số không âm thì: 
Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 =  = an
Chúng ta thường sử dụng cho bộ hai số hoặc bộ ba số, cụ thể là:
Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0
	 Đẳng thức xảy ra khi a = b
	 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Khi sử dụng BĐT Côsi ta phải chú ý điều kiện để áp dụng bất đẳng thức là các số a, b, c là những số không âm. 
Một điều rất quan trọng là phải nhấn mạnh cho học sinh là dấu bằng xảy ra khi nào, điều đó rất quan trọng để sử dụng kĩ thuật cân bằng tổng và cân bằng tích sau này.
Để cho các em học sinh dễ nhớ các thầy cô nhấn mạnh và giới thiệu thế nào là trung bình cộng và trung bình nhân, vì vậy ta thấy các bất đẳng thức Côsi đều có dạng chung là trung bình cộng lớn hơn trung bình nhân.
II.2 Các kĩ thuật chính
 1. Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi.
 Mục đích chính của lớp bài tập này là giúp học sinh làm quen và có hứng thú đầu tiên khi sử dụng bất đẳng thức côsi.
Bài tập 1. Chứng minh rằng (1)
Phân tích: Ta đã chứng minh được bài tập này bằng phương pháp biến đổi tương đương, sau đây là một cách làm khác:
Giải: do a>0 và b>0 nên vì vậy áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi 
Các bài tập mà các thầy cô giáo cho học sinh vận dụng tương tự có thể là:
Tiếp tục phát triển áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Bài tập 2: Chứng minh rằng: (2)
Phân tích: Có nhiều cách giải bài tập trên:
Cách 1: là nhân ra ở vế trái sau đó áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a/b và b/a. 
Cách 2: Qui đồng rồi đưa về (a+b)2 ≥ 4ab, khai căn để trở về bất đẳng thức Côsi v.v...
Tuy nhiên các phép biến đổi đó là dài ta có thể làm như sau:
Giải: Vì a > 0, b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Dấu bằng xảy ra khi a = b.
Các bài tập tương tự có thể dùng để củng cố
1) 	(3) 
2) 
i) 	 	(4)
ii) 	 	(5) 	
iii) 	 	(6)
iv)	 	(7)	
v) 	
vi) 	
Lúc này ta nên chú ý cho học sinh là: từ các bất đẳng thức trên bằng các phép biến đổi tương đương ta có thể suy ra một số bất đẳng thức phụ khá hữu ích: 
 	 	(2a) 	 	(2b) 
 	 	(2c)	 	 (2d)
(3a)
Mà nó có thể áp dụng để giải một vài bài tập khó rất đơn giản: 
1)	Với a + b + c ≥ 1, a, b, c > 0 
CMR: 	(Đại học Bách khoa)	 (8)
 2) 	ĐHKHTN - 2000: Cho x, y, z > 0 với .
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 	(9)
Giải: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3/2.
2. Kĩ thuật dùng hoán vị vòng.
Đây là một kĩ thuật phổ biến khi dùng bất đẳng thức Côsi , rất đơn giản và hiệu quả khi dùng và tạo rất nhiều hứng thú cho học sinh.
Bài tập 3: Chứng minh thì (9)
Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng ta thấy khó có thể làm ngay được, vì vậy ta cần linh hoạt vận dụng cho từng bộ hai số.
Giải: Vì a > 0, b > 0, c > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp:
đpcm
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Ta thấy rằng phương pháp này áp dụng có hiệu quả rất tốt cho một lớp các bài tập sau:
1)	2) 	
3) 	 4) 	.
	Ngoài ra để tránh nhàm chán các thầy cô có thể bổ sung thêm một loạt các bài tập khác ở mức độ khó hơn:
1) Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)
2) Chứng minh rằng : ( khối D-2004)
3) Nếu x, y z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 thì 
4) : 
3. Phương pháp cân bằng tổng 
Phương pháp này xuất phát từ một nhận xét sâu sắc trong sách giáo khoa, tức là khi “ nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau”. 
Mở rộng một cách tự nhiên thì để chứng minh tổng S= S1 + S2+ ... + Sn ≥ m , ta biến đổi S = A1+A2+...+An là các số không âm mà có tích A1A2...An = C không đổi, sau đó ta áp dụng bất đẳng thức Côsi.
Bài tập 4:
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x + khi x > 1
Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x - 1 > 0 và > 0 ta có 
. Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi x = 2.
Bài tập 5. Chứng minh rằng nếu x > -1 thì 	
Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi thì ta thấy chưa ra kết quả, nhưng nếu tách 2x thành x+1+x+1-2 thì có ngay điều phải chứng minh.
Bài tập 6. Chứng minh rằng nếu x ≥ 0 thì .
Phân tích: Biến đổi vế trái thành một tổng của các số hạng có tích không đổi, vì vậy phải phân tích x thành 3 số hạng là (x+3)/3
Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dương gồm ba số và ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi x=0
Để luyện tập ta có thể cho các em áp dụng những bài tương tự sau:
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = với x > 0
2) Chứng minh rằng nếu nếu x > - 3 thì 
3) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì a + 
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > 0 thoả mãn: 
Hướng dẫn: từ biểu thức ta có y = do vậy
 Q = 
5) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức R = với a > 0, b > 0
Hd: R = sau đó dùng bất đẳng thức Côsi. Các thầy cô cố gắng đặt cho học sinh cho học sinh câu hỏi là tại sao lại làm như vậy?
6) Chứng minh rằng 
4. Phương pháp cân bằng tích.
Từ một hệ quả quan trọng trong sách giáo khoa: “ Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau”.
Mở rộng ta có: để chứng minh một biểu thức có dạng P= P1P2...Pn ≤ M ta phân tích P = B1B2...Bn là các số không âm mà tổng B1 + B2+ ... + Bn = C là một số không đổi.
Bài tập 7. Cho a > 0, b > 0 và a + b = 1 chứng minh rằng ab2 ≥ .
Phân tích: ta cần tách biểu thức ab2 thành một tích có tổng không đổi mà tổng đó chắc chắn phải liên quan đến a + b = 1.
Giải: ab2 = mà theo bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương là a, b/2,b/2 ta có: đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi a = 1/3; b = 2/3.
Các bài tập tương tự mà các thầy cô có thể vận dụng cho học sinh là:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
1) y = 4x3 - 3x2 với 0 ≤ x ≤ 4/3	
2) y = (3 - x) (4 - y) (2x + 3y) với 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4
3) y = (2 + x) (4 - x2) với 0 ≤ x ≤ 4	
4) y = x (1 - x2) với 0 ≤ x ≤ 1	
5) y = 
5. Phương pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi
Đây là phương pháp rất lôi cuốn học sinh, bằng cách thêm các số hạng phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt những kết quả không ngờ!
Bài tập 8. Chứng minh thì 
Phân tích: trước hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si thì cũng không ra được kết quả, kĩ thuật vòng cũng không giải quyết được. 
Bây giờ ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi nào, dễ nhận thấy đó là khi a = b = c khi đó a2/b =a vì vậy ta thêm b vào phần tử đại diện a2/b để có chứng minh sau:
Chứng minh:
 áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương thì ta có:
Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là tại sao lại thêm hạng tử b cho a2/b? 
Giả sử cần thêm cho a2/b số hạng m. sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a2/b + m ≤2. Vậy m cần được chọn sao cho:
1. có thể triệt tiêu được b, hay là mất mẫu số do vế trái của bđt không có mẫu
2. Khi dấu bằng xảy ra thì a2/b = m = a = b = c.
Rõ ràng m chỉ có thể bằng b được thôi. Bài tập sau sẽ làm sáng tỏ hơn:
Bài tập 9. Chứng minh rằng thì 
Phân tích: Ta cần thêm cho một số m thoả mãn:
1. rút gọn được mẫu số (b+c) sau khi áp dụng bđt Côsi (+m ≥)
2. dấu bằng của bất đẳng thức Côsi xảy ra được nghĩa là = m và a= b = c
suy ra Và để tính α thì . Dễ thấy khi thay a=b=c thì α =4.
Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương thì ta có:
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Tuy nhiên thêm hạng tử nào cho hợp lí thì tùy từng bài và ví dụ cụ thể
 Bài tập 10: Chứng minh rằng với x,y,z > 0: 
Phân tích: ta thấy rằng với hạng tử x3/ y có thể có hai hướng sau:
 Cách 1: hs sẽ thêm x3/y +xy ≥ 2x2 ; y3/z +zy ≥ 2y2 ; z3/x +xz ≥ 2z2; sau đó chứng minh 
x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, cộng các bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh.
	Cách 2: cộng lại ta có điều phải chứng minh.
 Bài tập 11: Chứng minh rằng với a, b, c>0 ta có 
Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
 ≥ 3,,, 
 Bài tập 12: CMR nếu x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 ta có
x3 + y3 +z3 ³ x + y + z
	Phân tích: Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1, vì vậy ta sẽ thêm vào x3 hai số hạng là 1,1 để sử dụng bất đẳng thức Côsi hợp lí.
Hướng dẫn: x3 + 1 +1 ≥ 3x; y3 + 1 +1 ≥ 3y; z3 + 1 +1 ≥ 3z; 2(x3 + y3 +z3 ) ≥ 6
Theo thống kê thì có khoảng 80% học sinh sẽ sử dụng cách 1 để làm.
Các bài tập sau cũng áp dụng tương tự:
1) Đề QGHN 2000: Cho a + b + c = 0. CMR 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c 
Hướng dẫn. Đặt x = 2a ; y = 2b ;z = 2c thì x,y,z dương và xyz = 1.
2) ĐHQGHN: Cho a, b, c là các số dương. CMR: 
Hướng dẫn: ; tương tự cho 
3) :
Hướng dẫn: Chứng minh bất đẳng thức phụ: 	
4) 	Với abc = 1 a, b, c > 0 CM: 
5)	Với xyz = 1, x, y, z > 0 CM: thì
6) 	Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Với a,b,c là các số thực thoả mãn abc = 1; a, b, c> 0.
7) 	Với x,y,z > 0: 
8)	CMR: 8x-y + 8y-z + 8z- x ≥ 4x-y + 4y-z + 4z-x
Sau đây ta tham khảo hai ví dụ rất lí thú cho 
Bài tập 13: Nếu a, b, c dương và abc=1 thì
Phân tích: ta sẽ thêm cho những hạng tử gì? chắc chắn là có với α là một số dương nào đó. Vấn đề α bằng bao nhiêu, ta chỉ cần chú ý là dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1; khi đó sẽ cho ta α =4. Vì vậy ta có chứng minh sau:
Điều phải chứng minh. 
Bài tập 14:
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = với a, b là các số dương thoả mãn điều kiện ab = 1.
Hướng dẫn: Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1, vậy ta phải thêm cho số hạng . Để tính α ta thấy cho a = b =1 thì α =4. Nhưng như thế ta thấy chỉ xuất hiện vì vậy ta thêm 1/2 để được chứng minh sau:
. MinP = 1
6. Kĩ thuật thêm nghịch đảo
Đây là một kĩ thuật mà nếu không nhắc và sử dụng sẽ là một thiếu sót rất lớn trong việc sử dụng và chứng minh bất đẳng thức Côsi. 
Bài tập 15: Tìm giá trị nhỏ nhất của P = với x, y là các số dương thỏa mãn x+y=1.
Giải: Ta đã làm bài tập này bằng Côsi nhưng ta cũng cố thể làm như sau:
P = dấu bằng xảy ra khi x+y=1 và 3x2 = 2y2
Khi 
Bài tập 16: Chứng minh bất đẳng thức Nesbit: nếu a, b, c là các số dương thì 
HD: Thêm 3 vào hai vế của bất đẳng thức ta xuất hiện 
II.3 Các bài tập chọn lọc
Cuối cùng tôi xin đưa ra một lớp các bài tập tham khảo để các thày cô nâng cao kĩ năng giải bài cho các em:
1.	Cho x, y, z > 0 cm: 	
2. 	Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
3. 	Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 CMR: 
4. Cho x + y = 1, x, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
5. CMR a, b > 0 ta có . HD 
6. 	ĐH BKHN - 2000:
Cho a + b ≥ 0. Chứng minh 
Cho tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
6. Thi vào lớp 10 Tổng Hợp - ĐHQG:x, y > 0, x2 + y2 = 1. CMR 
7. Chuyên TT - ĐHSP:Cho a, b, c là 3 số thực và abc = 1. CMR
 HD: ; sau đó sử dụng a3+b3≥ab(a+b)
8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: với a, b là số dương và thoả mãn a + b = 1
HD: dùng bất đẳng thức Côsi 2 lần.
9. Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b. Gọi S là diện tích tam giác ABC và M, N, P là các số thực sao cho m + n, n + p, p + m đều là số dương. 	
CMR: 
10.	Chứng minh rằng:
a) b) 
c) x > 0, y > 0, x + y = 1. CM: 
11. Giả sử x, y là các số dương thoả mãn x + y = . Tìm giá trị của x, y để P = ( x4+ 1) ( y4+ 1) đạt giá trị nhỏ nhất.
 HD. đặt t= xy thì x2 + y2 = 10 - 2t; x4 + y4 = 2t2 – 40t + 100 
12.	Cho tam giác ABC nội tiếp trong ( O; R ) có 3 góc nhọn với BC = a, AC = b, AB = c. Lấy I bất kỳ ở phía trong tam giác ABC, gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm I đến các cạnh BC, AC, AB của tam giác.Chứng minh 
HD. CM ax + by + cz = 2S. Sử dụng bất đẳng thức Bunhia 
13.	Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1 
CMR: 
HD tách: 
14. 	Cho a + b = 5, a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất 
15. CMR 
Trong đó x, y, z là những số không âm thoả mãn x + y + z = 2.
16. Tìm giá trị nhỏ nhất của với a, b, c dương và thoả mãn a + b + c = 3
HD: Bình phương hai vế: 
, tương tự.
17.	CMR nếu a, b, c, d > 0 thì:
a) 
b) 
HD: 	
Tương tự cho câu b.
II.4 Một số kết luận và đề nghị
	Sau một quá trình tôi xin cung cấp một vài kết quả thực nghiệm ban đầu, với cách dạy mới và cũ tôi thu được một vài kết quả sau: với lớp thực nghiệm 10A2, dạy theo phương án mới và lớp đối chứng 10A4, dạy theo phương án truyền thống (2 lớp thuộc trường THPT Cổ Loa, Hà nội.) thông qua bài kiểm tra sau khi dạy xong.
Kết quả
Tổng số hs
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Thực nghiệm
46
17
37
24
52.2
5
10.9
0
0
Đối chứng
46
13
28.3
18
39.1
15
32.6
0
0
	Qua thực tiễn giảng dạy tôi thấy rằng để học sinh có kĩ năng chứng minh tốt bất đẳng thức thì trước hết người thầy phải làm cho học sinh hiểu được cái hay và đẹp của bất đẳng thức, đồng thời vì dạy chứng minh bất đẳng thức là lĩnh vực khó nên các thầy cô cũng nên căn cứ vào sức của học sinh để đề ra những bài tập phù hợp. Theo kinh nghiệm của tôi, ứng với ba mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng thì đầu tiên bao giờ cũng là các bài tập nhận biết và thông hiểu các kiến thức cơ bản, rất đơn giản. Sau đó dần nâng mức độ bài tập lên. Chính vì vậy để sử dụng tài liệu này cho hợp lí, các thầy cô bổ sung thêm những bài tập hết sức nhẹ nhàng, đơn giản và vừa sức với học sinh của mình.
	Trên tinh thần đó tôi đã cố gắng đã chọn lọc những bài tập những ví dụ đơn giản cùng hệ thống bám sát tinh thần đó.
	Các thầy cô đang xây dựng các chuyên đề có thể tìm thấy những gợi ý cho bài soạn của mình.
Tài liệu tham khảo
1.	Bất đẳng thức - Nguyễn Đễ, Vũ Hoàng Lâm. NXB Hải Phòng
2.	Bất đẳng thức - Nguyễn Vũ Thanh.NXB Đồng Tháp.
3.	Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ (1994 – 2008)
4.	Các đề thi đại học và cao đẳng trong những năm gần đây.
5. 	Toán ôn thi đại học- Tập I, Đại số - Doãn Minh Cường chủ biên. 
NXB Đại học sư phạm.
Phương pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất - Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò. NXB Giáo dục.	.	 
Đánh giá của Hội đồng khoa học nhà trường:
Ngày. tháng.. năm 2008
Chủ tịch hội đồng
Đánh giá của Hội đồng khoa học ngành ( Sở giáo dục đào tạo Hà Nội )
Ngày. tháng.. năm 2008
Chủ tịch hội đồng