Sáng kiến kinh nghiệm Bài toán tam thức bậc hai trong các kỳ thi học sinh giỏi

hác dấu.
 	Nhận xét: Đối với bài toán này do vô nghiệm nên việc sử dụng phương pháp phản chứng, nếu kết luận không đúng thì có nghiệm, mâu thuẫn với giả thiết là lựa chọn thích hợp nhất.
	Bài 5. a) Cho . Biết phương trình vô nghiệm, chứng minh rằng phương trình cũng vô nghiệm. 
 	b) Tìm điều kiện của các hệ số để phương trình sau vô nghiệm: 
(Đề thi HSG lớp 10 Hà Tĩnh 2009)
Lời giải
 	a) Ta có phân tích:
 	 = 
 	= 
= 
= 
do đó = 0 Û Û 
 	Từ giả thiết thì (1) vô nghiệm nên .
 	Khi đó, phương trình (2) có 
 . 
 	Vậy các phương trình (1), (2) đều vô nghiệm nên phương trình vô nghiệm, bài toán được chứng minh.
	b) Đặt thì phương trình ban đầu trở thành:
 (1)
 	Áp dụng phân tích nhân tử như bài toán trên ta có 
	Phương trình (1) 
 	Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) và phương trình (3) đồng thời vô nghiệm.
 	Ta thấy (2) vô nghiệm khi và chỉ khi:
 hoặc hoặc 
+) Nếu thì (3) trở thành vô nghiệm.
 	+) Nếu thì , khi đó (3) là phương trình bậc 2 có biệt thức
= 
nên pt (3) vô nghiệm.
 	Vậy điều kiện cần và đủ để (1) vô nghiệm là hoặc .
	Nhận xét: 
 	1) Phân tích thành hai tam thức bậc hai rất quan trọng, có nhiều ứng dụng trong các bài toán tiếp theo.
 	2) Có thể sử dụng tính chất liên tục của hàm số để giải bài toán này. Nếu sử dụng tính liên tục thì thay tam thức bậc hai bằng một hàm số liên tục thỏa mãn điều kiện phương trình vô nghiệm thì bài toán vẫn đúng. 
 	Bài 6. Cho tam thức bậc hai . Chứng minh rằng nếu thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
(Đề thi HSG chọn đội dự tuyển Toán 10, THPT Chuyên, 2015)
Lời giải
 	Ta có phân tích như bài toán trên
 Û Û 
 	Xét phương trình (2), do giả thiết nên (2) có biệt thức 
do đó phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.
 	Xét phương trình (1) có biệt thức 
nên phương trình (1) cũng có hai nghiệm phân biệt.
	Giả sử hai phương trình trên có nghiệm chung là thì ta có
 Þ .
 	Thay vào ta được không thỏa mãn giả thiết.
 	Vậy các phương trình (1), (2) đều có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung nên phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt.
 	2. Dạng 2: ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ TAM THỨC, ĐÁNH GIÁ TAM THỨC
 	Trong dạng toán này chúng ta sẽ nghiên cứu các bài toán đánh giá các hệ số của một tam thức bậc hai và đánh giá miền giá trị của tam thức bậc hai.
	Bài 7. Cho thỏa mãn điều kiện với mọi . Chứng minh rằng: 	
	a) 	 	b) .
(Đề đề xuất kỳ thi Olympic 30-4 năm 2007)
Lời giải
 	Đặt : , , . Khi đó ta tính được: . Từ giả thiết bài toán ta có: .
 	a) Áp dụng bất đẳng thức ta có:
 	b) Bài toán này cần chứng minh chặt chẽ hơn bài toán trên nên ta sẽ sử dụng bổ đề là đẳng thức: . Áp dụng bổ đề này và BĐT về giá trị tuyệt đối ta có:
 (đpcm).
 	Nhận xét: 
 	1) Câu b) của bài toán chặt hơn câu a) và việc đánh giá khó khăn hơn.
 	2) Khi đáng giá tam thức trên đoạn thì cần chú ý các giá trị của tại .
 	Bài 8. Cho tam thức thỏa mãn với mọi . Chứng minh rằng, với mọi thì:
 	a) .	 	b) .
Lời giải
	Đặt : , , . Khi đó ta tính được: . Từ giả thiết bài toán ta có: .
 	a) Đặt . Do là hàm số bậc nhất nên để chứng minh với mọi ta chứng minh và .
 	Ta có và nên bài toán được chứng minh.
 	b) Đặt . Ta có
nên với mọi thì 
	.
 	Nhận xét: Để đánh giá hàm số bậc nhất trên một đoạn ta chỉ cần đánh giá hai đầu mút, đánh giá tam thức bậc hai cần sự biến đổi chặt chẽ, tinh tế hơn.
 	Bài 9. Cho tam thức thỏa mãn ,.
 	a) Chứng minh rằng .
 	b) Có thể thay 17 bằng số nhỏ hơn không?
(Đề thi HSG lớp 10 Hà Tĩnh 2001)
Lời giải
 	a) Gọi . Theo giả thiết với mọi nên tại . 
 	Đặt ; ; , ta suy ra 
 và theo giả thiết bài toán thì .
 	Khi đó ta có đánh giá: 
 . 
 	Vậy .
 	b) Xét tam thức có tính chất: và với mọi . Hơn nữa với tam thức này thì nên không thể thay 17 bằng một số nhỏ hơn.
 	Bài 10. Cho và phân biệt. Chứng minh rằng:
.
Lời giải
 	Ta có thể giả sử và đặt . Khi đó ta có:
 và 
 	Tương tự, ta cũng có: 
 	Áp dụng bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối ta được:
 	 (vì và phân biệt)
 	Vậy ta có được .
 	Nhận xét: Bài toán này ta phải sử dụng tính chất rời rạc của các số nguyên, với các số nguyên a, b, c mà a > b > c thì 
 	Bài 11. Xét tất cả các tam thức bậc hai sao cho , và thỏa mãn với mọi . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
(Đề thi HSG Toán 10 Hà Tĩnh 1998)
Lời giải
 	Cách 1. Do với mọi nên ta có Û .
 	Do đó 
 	Đây là biểu thức đẳng cấp đối với a, b. Từ giả thiết và kết quả trên ta suy ra , nên đặt thì ta có đánh giá
.
 	Đẳng thức xảy ra . Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 3.
 	Cách 2. Do với mọi nên ta có
. 
 	Lại có nên suy ra .
 	Đẳng thức xảy ra chẳng hạn Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 3.
	Nhận xét: Bài toán có hai cách giải trên đây. Cách 1 sử dụng định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai. Cách 2 nhanh hơn khi ta dự đoán được kết quả bài toán.
	3. Dạng 3: XÁC ĐỊNH, BIỂU DIỄN TAM THỨC BẬC HAI
	Bài 12. Cho là n đa thức đôi một phân biệt với hệ số thực sao cho với mọi thì đa thức có nghiệm thực duy nhất. Tìm giá trị lớn nhất có thể của n.
(Thi chọn đội tuyển HSG Vĩnh Phúc 2015, thi HSG Toán 10 Hà Tĩnh 2016)
Lời giải
 	Với ta thấy thỏa mãn. Do đó 
 	Với ta thấy thỏa mãn. Do đó 
 	Giả sử tồn tại tam thức bậc hai thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó tồn tại 4 tam thức bậc hai trong số chúng sao cho mỗi tam thức có hệ số của bằng 1 và tổng của 2 tam thức bất kỳ trong chúng đều có đúng 1 nghiệm. Đặt với Giả sử nghiệm duy nhất (nghiệm kép) của lần lượt là 
 	Ta có 
 	Suy ra Û 
 	+) Nếu thì hay Khi đó vô lý do đôi một phân biệt.
 	+) Nếu thì Khi đó vô lý.
 	Tóm lại không tồn tại tam thức bậc hai thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy giá trị lớn nhất cần tìm của là 
	Nhận xét: Đây là bài toán khó cần có những sự định hướng giá trị n trước khi tiến hành giải. Chúng ta sẽ chọn các tam thức thỏa mãn khi n = 3 và chứng minh không tồn tại các tam thức khi n = 4 nên giá trị lớn nhất cần tìm là n = 3.
 	Bài 13. Cho (). Chứng minh tồn tại sao cho
.
Lời giải
 	Ta chứng minh rằng với mọi thì .
 	Thật vậy ta có 
 	= 
 	= = 
 	= = .
 	Áp dụng kết quả này, do nên ta chọn thì ta có
.
 	Nhận xét: Đây là một tính chất đặc biệt của tam thức có hệ số bậc cao nhất là 1. Chúng ta sẽ gặp lại tính chất này trong bài toán tiếp theo.
 	Bài 14. Tìm các đa thức khác đa thức hằng thỏa mãn: 
Lời giải
 	Trước hết ta xác định bậc của . Gọi n là bậc của , . Từ giả thiết, so sánh bậc của hai vế ta có . Như vậy đa thức cần tìm nếu có thì chỉ có thể là tam thức bậc hai.
 	Gọi với . Từ giả thiết, so sánh hệ số của hai vế ta có 
,
ta được . Khi đó 
 	= 
 	= = 
 	= = 
đúng với mọi .
 	Kết luận: với .
 	Bài 15. Xét các tam thức bậc hai với nguyên và dương, sao cho có hai nghiệm phân biệt trong khoảng . Tìm tam thức có hệ số nhỏ nhất.
(Đề thi HSG lớp 10 Hà Tĩnh 2008)
Lời giải
 	Gọi là hai nghiệm của . Theo giả thiết bài toán thì và ta có phân tích 
 	Do a, b, c nguyên nên suy ra
 	Dấu “=” xảy ra khi , không thỏa mãn điều kiện phân biệt nên ta có (do a > 0). Vì a nguyên nên a. 
 	Với a = 5 thì Þ. 
 	Kiểm tra lại thấy có hai nghiệm thoả mãn.
 	Vậy tam thức có hệ số a nhỏ nhất là .
	Nhận xét: Bài toán này phải sử dụng tính chất rời rạc của số nguyên để đánh giá các hệ số của. Do có hai nghiệm nên chúng ta sẽ đánh giá dựa trên các nghiệm và định lý Viet. 
	Bài 16. Cho tam thức bậc hai với . 
 	a) Với , hãy viết thành thương của các đa thức với có hệ số không âm.
 	b) Tìm tất cả các giá trị của để viết được thành thương của các đa thức với hệ số không âm.
(Đề thi HSG Quốc gia 2019)
Lời giải
 	a) Ta sử dụng biến đổi tích của các biểu thức liên hợp để giải bài toán này.
 	Khi ta có . Xét các biến đổi sau
 	= 
 	 = 
 	=
 	Từ đây ta suy ra là thương của hai đa thức 
P(x) = và Q(x) = .
 có tất cả các hệ số đều không âm.
 	b. Giả sử = trong đó , là các đa thức có hệ số không âm. Với ta có nên . Ta sẽ chứng minh mọi giá trị đều thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 	+) Nếu thì bài toán hiển nhiên đúng khi ta chọn và .
 	+) Nếu ta xét phép nhân
 	Nếu thì bài toán đúng, nếu thì ta tiếp tục nhân như trên. Đa thức cuối cùng thu được có hệ số đầu và cuối là 1; hệ số ở giữa xác định bởi dãy số
 	Để chứng minh bài toán ta chứng minh trong dãy xuất hiện số hạng không âm. Giả sử ngược lại, với mọi . Do ta đang xét nên với mọi . Lại có nên là dãy số tăng, suy ra là dãy hội tụ. Gọi ; . Khi đó từ phương trình giới hạn ta suy ra 
 mâu thuẫn.
 	Vì vậy điều giả sử sai nên phải tồn tại để . Khi đó ta xét dãy các đa thức với thì ta có là thương của hai đa thức có các hệ số không âm và .
 	Kết luận các giá trị cần tìm là . 
 	Nhận xét: Câu a) của bài toán là một gợi ý, định hướng tốt cho câu b) đồng thời chia bài toán làm hai giai đoạn thích hợp. Việc giải được câu a) theo hướng xác định các biểu diễn cũng là cách thức giải ý tổng quát ở câu b).
 	Bài 17 . Cho góc và đa thức . Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tam thức bậc hai có dạng sao cho với mọi số nguyên dương thì chia hết cho . 
(Đề thi HSG Quốc gia 2000)
Lời giải
 	Với ta có
 	Do tam thức vô nghiệm nên nó là tam thức bậc hai duy nhất mà chia hết. Ta sẽ chứng minh là tam thức cần tìm hay với mọi thì chia hết cho bằng phương pháp quy nạp.
 	Với n = 3, ta đã chứng minh chia hết cho .
 	Giả sử chia hết cho với . Khi đó ta có 
 	 = 
 	 = 
 	+ 
 	 = + 
 	 = + 
chia hết cho .
 	Vậy theo nguyên lý quy nạp thì chia hết cho với hay là tam thức cần tìm.
 	Nhận xét: Chúng ta có thể dự đoán bằng cách cho n = 2 vì khi đó . Thực chất bài toán vẫn đúng khi n = 2 nhưng tác giả bài toán cho để khó dự đoán hơn.
 	4. Dạng 4. KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN DẠNG MACKOP
	Đây là một dạng phương trình nghiệm nguyên rất đẹp, có tính “linh hoạt” cao, được sử dụng khá nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi. Cách giải thường gặp nhất đó là đánh giá các biến dựa trên các kiến thức về tam thức bậc hai. Sau đây là một số bài toán tiêu biểu.
 	Bài 18. Cho k là số tự nhiên và phương trình có nghiệm nguyên dương . Chứng minh rằng k là số chính phương.
(Đề thi chọn đội tuyển HSG Hà Nội 2008)
Lời giải
 	Giả sử phương trình (1) có nghiệm nguyên dương. Gọi là nghiệm có tổng nhỏ nhất trong tập nghiệm và không mất tính tổng quát có thể giả sử .
 	Khi đó ta có
.
 	Từ (2) ta suy ra là nghiệm của phương trình (2).
 	Do đó phương trình (2) còn phải có nghiệm . Theo định lý Viet ta có
 	Suy ra nên là số nguyên.
 	Nếu Þ Þ Þ mâu thuẫn giả sử. Do đó phải có , suy ra là số tự nhiên.
 	Nếu Þ hay k là số chính phương.
 	Nếu thì là số nguyên dương nên cũng là nghiệm của phương trình (1). Từ giả sử ban đầu ta có . Suy ra Þ . Theo giả thiết thì k là số tự nhiên nên cũng là số chính phương.
Vậy k là số chính phương. 
	Bài 19. Tìm tất cả các giá trị của số nguyên dương m sao cho phương trình
có nghiệm nguyên dương. 
(Đề thi chọn đội tuyển HSG Hà Tĩnh 2013)
Lời giải
 	Giả sử phương trình (1) có nghiệm nguyên dương. Gọi là nghiệm có tổng nhỏ nhất trong tập nghiệm và không mất tính tổng quát có thể giả sử .
 	Khi đó ta có Þ là nghiệm của phương trình (2). Do đó phương trình (2) còn có nghiệm . 
 	Theo định lý Viet thì . 
 	Suy ra và nên cũng là số nguyên dương và do đó cũng là nghiệm của (1). Theo giả thiết trên thì Þ Þ Þ ³ . (3)
 	+) Nếu . Từ (2) Þ Þ nên và = . Do đó Þ vô lý.
 	+) Nếu Þ . Từ (3) suy ra ³ 
Û Û ≤ 0 (4)
 	Từ (4) nếu Þ sẽ không thỏa mãn, do đó . Thay vào (2) ta được . 
 	Phương trình này có nghiệm nguyên thì 
 	Þ Þ 
 	Þ Þ .
Thử lại, với phương trình có nghiệm (2, 1). Vậy .
 	Bài 20. Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của n để phương trình
có nghiệm nguyên dương. 
(Đề thi HSG Quốc gia 2002)
Lời giải
 	Giả sử là giá trị để phương trình (1) có nghiệm nguyên dương. Gọi là nghiệm phương trình sao cho và có tổng nhỏ nhất trong tập nghiệm. Khi đó ta có 
 	 Û 
 	Û 
Như vậy là nghiệm của tam thức bậc hai 
và phải có một nghiệm thứ hai là . Theo định lý Viet ta có
nên suy ra hay cũng là một nghiệm của phương trình ban đầu, do đó theo cách chọn nghiệm ta có 
 	Theo định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai ta có nằm ngoài khoảng nghiệm nên: Û 
Û 
 	Lại có từ thì
.
 	Suy ra hay . Từ đó .
 	Với , phương trình có nghiệm .
 	Với , phương trình có nghiệm .
 	Với , phương trình có nghiệm .
 	Với , phương trình có nghiệm .
 	Vậy các giá trị cần tìm là .
 	5. Một số bài toán luyện tập
 	Bài 1. Cho tam thức ,. Giải phương trình
.
(Đề thi đề nghị 30-4 năm 2016 )
	Bài 2. Tam thức thỏa mãn với . Hãy tìm các hệ số và .
 (Đề thi HSG Toán 10 năm 2010 - THPT Đồng Quan – Hà Nội)
	Bài 3. Cho các cấp số cộng và số nguyên . Xét m tam thức bậc hai Chứng minh nếu hai tam thức đều không có nghiệm thực thì tất cả các tam thức còn lại cũng không có nghiệm thực.
 	(Đề thi HSG Quốc gia 2012)
 	Bài 4. Cho 3 số thực thỏa mãn: . Chứng minh rằng phương trình không thể có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn .
(Đề thi HSG lớp 10 Hà Tĩnh 2005)
 	Bài 5. Cho ,,là các tam thức bậc hai. Chứng minh rằng phương trình không thể có tập nghiệm là .
(Đề thi HSG lớp 10 Hà Tĩnh 2001)
 	Bài 6. Ký hiệu E là tập hợp tất cả các tam thức bậc hai có hệ số > 0 và biệt thức . Tìm điều kiện cần và đủ đối với các số m, n, p để với mọi thuộc E ta đều có
cũng thuộc E.
( Đề thi HSG lớp 10, Hà Tĩnh 2005)
	Bài 7. Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có nghiệm nguyên dương . 
(Đề thi chọn đội tuyển Quảng Nam 2018)
	Bài 8. Cho phương trình với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng phương trình trên có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi .
(Đề thi trường đông Bắc Trung Bộ 2016)
 	IV. HIỆU QUẢ MẠNG LẠI CỦA SÁNG KIẾN
	Bản thân tôi đã tiến hành thực nghiệm sư phạm và tổng hợp như sau:
 	1. Mục đích thực nghiệm 
	Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài “Bài toán Tam thức bậc hai trong các kỳ thi học sinh giỏi”.
 	2. Nội dung thực nghiệm
	Triển khai đề tài “Bài toán Tam thức bậc hai trong các kỳ thi học sinh giỏi”.
 	Dạy thử nghiệm dạng chủ đề ở lớp 10T1 với thời gian 2 buổi (8 tiết); đối tượng học sinh từ loại khá trở lên.
	Khuyến khích học sinh tìm tòi những bài toán hay, chỉnh sửa, sáng tác được những bài toán có nội dung tương tự với những bài toán đã được đưa ra.
 	3. Kết quả thực nghiệm
	Đa số các em học sinh khá giỏi rất hứng thú khi học những bài toán này vì đây là những bài toán hay và khó. Dưới sự chỉ dẫn và động viên của giáo viên các em đã mạnh dạn trong việc giải các bài toán, chịu khó tính toán trước những con số phức tạp. Một số em còn sáng tác được một số bài tập ở dạng tương tự và trình bày được cách giải những bài toán đó. Ở lớp 10T1 có 35 học sinh, trong thời gian 60 phút, chúng tôi tiến hành cho học sinh kiểm tra với 3 bài toán sau.
	Bài 1. a) Giải phương trình .
	b) Cho . Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
 	Bài 2. Cho tam thức thỏa mãn . Chứng minh rằng với mọi thì . 
Bài 3. Tìm k là số tự nhiên sao cho phương trình có nghiệm nguyên dương . 
	Thang điểm như sau: Bài 1: 4 điểm; Bài 2: 3 điểm; Bài 3: 3 điểm. 	
 	Kết quả bài làm của học sinh khá khả quan. Sau khi chấm và phân loại, kết quả thu được như sau:
 	w Không có học sinh nào có điểm dưới 5.
	w Có 12 bạn (chiếm tỷ lệ 34,3%) có điểm từ 5 đến 7,5 điểm.
 	w Có 20 bạn (chiếm tỷ lệ 57,1%) có điểm từ 8 đến 9 điểm.
 	w Có 3 bạn (chiếm tỷ lệ 8,6%) làm được 9,5 đến 10 điểm. 
 	Như vậy cho thấy bước đầu đề tài đã phát huy được tác dụng: kích thích được học sinh tìm tòi, rèn luyện kỹ năng định hướng, phân tích tìm lời giải, tính toán cẩn thận trong trình bày lời giải và sáng tạo trong việc đề xuất một số bài toán tương tự, tổng quát.
	V. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG, TRIỂN KHAI VÀ Ý NGHĨA CỦA SÁNG KIẾN
 	Sáng kiến có khả năng ứng dụng cao trong việc bồi dưỡng các em học sinh giỏi môn Toán bậc THPT và làm tài liệu giảng dạy cho các giáo viên Toán bậc THPT. 
	Sáng kiến đã được triển khai ở một số giáo viên Toán trong và ngoài tỉnh. Ở ngoài tỉnh, sáng kiến đã được một số giáo viên môn Toán tại các trường THPT Chuyên Phan Bộ Châu (Nghệ An), trường THPT Chuyên Đại học Vinh áp dụng dạy cho các đội tuyển học sinh giỏi. Thông tin phản hồi bước đầu được phản ánh rất tích cực, nội dung trong sáng kiến được sắp xếp hệ thống, có nhiều ví dụ và bài tập hay.
 	Ý nghĩa của sáng kiến là tạo cơ sở, kiến thức cơ bản nhất về Tam thức bậc hai và hệ thống các bài tập đã được xây dựng một cách khoa học. Đây là tài liệu có ích cho học sinh và giáo viên trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán bậc THPT.
PHẦN KẾT LUẬN
I. NHỮNG BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Qua quá trình trực tiếp giảng dạy cũng như tìm tòi, nghiên cứu các đề thi tôi nhận các bài toán về Tam thức bậc hai trong các đề thi học sinh giỏi là bài toán tương đối khó nhưng hấp dẫn, có thể phát huy được năng lực tư duy và rèn luyện được nhiều năng lực khác của học sinh. Trong những năm qua, việc nghiên cứu, tổng hợp và hình thành những chuyên đề như thế này đã giúp chúng tôi có thêm nguồn tài liệu hệ thống để bồi dưỡng các đội tuyển dự thi học sinh giỏi các cấp và kết quả của các đội tuyển rất tích cực. Chỉ tính từ năm học 2014 – 2015 đến nay, trải qua 6 kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia, đội tuyển học sinh giỏi Toán của Hà Tĩnh đã mang về tất cả 59 giải với 2 giải Nhất, 28 giải Nhì, 24 giải Ba và 5 giải Khuyến khích trên tổng số 60 em dự thi. Đặc biệt hơn nữa trong giai đoạn này chúng ta có được 1 Huy chương Vàng và 1 Huy chương Đồng trong kỳ thi Olympic Toán quốc tế. Những kết quả đó càng khích lệ chúng tôi tìm tòi, sắp xếp và hệ thống kiến thức thành các bài viết từ nhiều nguồn tài liệu rất phong phú và đa dạng hiện nay.
Trong đề tài này, ngoài việc sưu tầm, hệ thống một số bài toán, nội dung chính của đề tài là từ phân tích các bài toán đưa ra một số định hướng cho cách giải những bài toán đó. Tác giả hy vọng qua hệ thống những bài toán chọn lọc và sự phân tích lời giải góp phần hình thành và rèn luyện thêm các kỹ năng, kinh nghiệm và định hướng cách giải đối với dạng toán này cũng như các vấn đề liên quan mà học sinh thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi cũng như kỳ thi THPT Quốc gia trong những năm tới. Hi vọng nội dung đề tài trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh và các bạn đồng nghiệp, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
 	II. NHỮNG KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT
Trong quá trình nghiên cứu đề tài cũng như thực tiễn dạy học triển khai thực hiện đề tài này tôi có một số kiến nghị, đề xuất sau :
 	- Đề tài có nhiều bài toán mà việc tính toán khá nặng nề, suy luận khá sâu sắc. Do đó trong quá trình dạy học, người giáo viên cần có những động viên khuyến khích sự tự tin, đưa ra những câu hỏi gợi ý phù hợp để kích thích học sinh suy nghĩ thấu đáo, tránh những tính toán quá cồng kềnh không cần thiết dễ dẫn đến sai sót cơ học góp phần nâng cao hiệu quả dạy học.
 	- Một số bài toán trong đề tài có thể được khái quát, tổng quát hơn. Thay đổi một số điều kiện của giả thiết cũng có thể có được những bài toán mới mà cách giải khác hẳn. Do đó tác giả luôn mong muốn người đọc có thể sáng tạo thêm những bài toán khác để làm phong phú hơn đối với dạng toán này.
	Vì thời gian không nhiều và năng lực còn hạn chế nên đề tài chưa khai thác được nhiều dạng bài tập hơn nữa cũng như không tránh khỏi những thiếu sót. Trong mỗi dạng toán đã chỉ ra chắc chắn còn những bài tập hay nữa chưa được đề cập đầy đủ trong đề tài. Tác giả sẽ tiếp tục nghiên cứu và mong nhận được nhiều đóng góp, bổ sung của người đọc để đề tài có nội dung đa dạng, phong phú và chất lượng hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn.
 	Tháng 5 năm 2020.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 	[1]. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặnh Hùng Thắng, Đại số và Giải tích 10 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục, 2010.
 	[2]. Nguyễn Huy Đoan, Đoàn Quỳnh, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bích Ngọc, Đặng Hùng Thắng, Bài tập Đại số và Giải tích 10 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục, 2010.
 	[3]. Đoàn Quỳnh, Doãn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Tài liệu chuyên toán Đại số và Giải tích 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2010.
 	[4]. Đoàn Quỳnh, Doãn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Tài liệu chuyên toán Bài tập Đại số và Giải tích 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2010.
[5]. Một số đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, khu vực, quốc gia của Việt Nam
[6]. Một số đề thi và tài liệu trên Internet.