Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng tính đơn điệu của hàm số vào phương trình, hệ phương trình

1 
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 
ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU 
CỦA HÀM SỐ VÀO PHƢƠNG TRÌNH, 
HỆ PHƢƠNG TRÌNH. 
 M«n : to¸n 
 KHỐI : 12 
nhËn xÐt chung:.. .. 
.. 
.. 
.. 
.. 
®iÓm thèng nhÊt 
B»ng sè : 
B»ng ch÷ : . 
Gi¸m kh¶o sè 1:. 
Gi¸m kh¶o sè 2:. 
N¨m häc 2009 – 2010 
2 
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 
ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU 
CỦA HÀM SỐ VÀO PHƢƠNG TRÌNH, 
HỆ PHƢƠNG TRÌNH. 
 M«n : to¸n 
 t¸c gi¶ : 
®¸nh gi¸ cña nhµ tr-êng 
(NhËn xÐt, xÕp lo¹i, ký, ®ãng dÊu) 
SỐ PHÁCH 
3 
Môc lôc 
 Trang 
A - ®Æt vÊn ®Ò  4 
B - Néi dung 5 
I. BÀI TOÁN CƠ BẢN. 5 
Bµi to¸n 1: ........................ 5 
Bµi to¸n 2: .... 6 
 Bµi to¸n 3:  7 
 Bµi to¸n 4: . 8 
 Bµi to¸n 5: . 8 
 Bµi to¸n 6: . 8 
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG ... 12 
III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP. 14 
c - kÕt luËn vµ ®Ò xuÊt. 15 
 d-Tµi liÖu tham kh¶o 16 
®Æt vÊn ®Ò 
4 
Phương trình, hệ phương trình là một loại bài tập rèn luyện tư duy rất tốt, 
chính vì thế nó xuất hiện ở trong tất cả các cấp học, trong các loại đề thi 
từ thi đại học đến thi chọn học sinh giỏi. Các kỹ thuật giải phương trình 
cũng rất phong phú, đa dạng; tuy nhiên vận dụng tính chất hàm số vào 
giải phương trình, hệ phương trình ngoài tác dụng rèn luyện tư duy như 
các kỹ năng khác kỹ thuật này còn rèn luyện cho học sinh vận dụng các 
kết quả đã biết về hàm số được học ở lớp 12 vào bài toán giải phương 
trình, hệ phương trình đã được tiếp cận từ rất sớm trước đó, áp dụng vào 
việc tìm số nghiệm của một phương trình, một loại bài tập khó. Có thể 
vận dụng các tính chất của hàm của hàm số vào nhiều loại bài toán khác 
nhau, tuy nhiên trong khuôn khổ bài viết này tôi tập trung vào việc áp 
dụng vào giải phương trình, hệ phương trình và đưa ra kết luận về một 
hàm số với sự biến thiên và tính chất gì thì áp dụng được. 
5 
B. NỘI DUNG 
I. BÀI TOÁN CƠ BẢN. 
Xét 
Bài toán 1: Cho hàm số đơn điệu và liên tục trên có đạo hàm trên 
 và phương trình vô nghiệm. Khi đó 
a) Phương trình trên D có không nhiều hơn một nghiệm. 
b) phương trình 
Giải: Vì phương trình vô nghiệm suy ra không đổi dấu trên D hay hàm 
số đơn điệu trên D. Ta xét trường hợp hàm số đồng biến trên D. 
a) Giả sử trên D phương trình có nghiệm 
mặt khác với giả thiết hàm số đồng biến trên vậy 
. 
b) Nếu vậy 
 Chú ý: 
 Từ bài toán trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau: 
Bài toán yêu cầu giải phương trình: . Ta thực hiện các phép biến đổi tương 
đương đưa phương trình về dạng hoặc ( trong đó 
 và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến) trên D. 
Nếu là phương trình thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm 
duy nhất. 
Nếu là phương trình: ta có ngay giải phương trình này ta tìm 
được nghiệm. 
 Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có 
duy nhất nghiệm. 
 Kết quả của bài toán trên không không đúng nếu 
Ví dụ. Xét phương trình (1). 
TXĐ: , xét hàm số 
 vậy hàm số đồng biến trên D nhưng dễ thấy phương trình (1) có hai 
nghiệm . 
6 
 Nếu và khi hàm số 
đồng biến, khi hàm số nghịch biến thì Định lí 
1 vẫn đúng. Vây khi thì tốt nhất là lập bảng bến thiên. 
Ví dụ 1(Báo THTT): Giải các phương trình sau: 
Giải: Ta có , do vậy nếu đặt 
, khi đó phương trình trở thành 
Trong đó . Ta thấy là hàm liên tục và đồng biến, do vậy 
. 
Nhận xét: Trong nhiều bài toán, hàm số không đơn điệu trên tập xác định D 
của phương trình tuy nhiên ta có thể thu hẹp tập xác định D thành D’ mà không ảnh 
hưởng đến tập nghiệm của phương trình nhưng trên D’ hàm số đơn điệu. 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
Giải: Xét hàm số . Ta có f(x) là hàm liên tục trên và 
, dẫn đến phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm. Giả sử là nghiệm của 
phương trình , khi đó . Từ đây ta suy ra được 
 . Do vậy ta chỉ cần khảo sát f(x) với . Ta có 
nên f(x) là hàm đồng 
biến. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. 
Bài toán 2: Cho hàm số đơn điệu và liên tục trên có đạo hàm trên 
 và phương trình vô nghiệm. Khi đó phương trình trên D có 
không nhiều hơn hai nghiệm. 
Giải: Vì phương trình không có nghiệm trên D nên theo Bài toán 1 phương 
trình có không nhiều hơn một nghiệm từ đó suy ra hàm số hoặc đơn 
điệu trên D hoặc tồn tại sao cho hàm số biến thiên trên và 
trái chiều. 
Trường hợp hàm số đơn điệu trên D ta có ngay kết quả phương trình có 
không quá một nghiệm trên D. Trường hợp còn lại hàm số có bảng biến thiên như 
một trong hai hình sau (Hv1, Hv2) dõ dàng phương trình có không quá hai 
nghiệm. 
7 
Ví dụ 3: Giải phương trình . 
Giải: Ta thấy phương trình có hai nghiệm Ta chứng minh phương trình 
đã cho có không quá hai nghiệm. Xét hàm số có 
có suy ra phương trình có không quá một nghiệm suy ra phương 
trình có không qúa hai nghiệm.Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm 
Ví dụ 4: (HSG Hải Phòng 2008-2009) 
Cho phương trình (1) có 3 nghiệm thực phân biệt, hỏi 
phương trình sau có tối đa bao nhiêu nghiêm thực: 
Giải: Gọi . Khi đó (2) được viết dưới dạng: 
Xét hàm số . 
Gọi là ba nghiệm của (1), vì phương trình (1) có 3 nghiệm thực phân 
biệt suy ra vậy phương trình có ba nghiệm . Ta có 
 và 
 từ đó suy ra bảng biến thiên của như sau: 
Bảng biến thiên. 
x x1 x2 x3 
g’(x) - 0 + 0 - 0 + 
g(x) 
 + 
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình chỉ có hai nghiệm phân biệt. 
Bài toán 3( tổng quát): Cho hàm số xác đinh trên D có đạo hàm đến cấp n 
trên và phương trình có m nghiệm phân biệt, khi đó phương trình 
 có nhiều nhất là nghiệm. 
Bằng cách lập bảng biến thiên ta xẽ chừng minh được kết quả trên. 
Nhận xét: Rất nhiều phương trình, hệ phương trình được biến đổi về dạng 
trong đó hàm số là hàm đơn điệu do đó ta có . Nếu hàm số 
không đơn điệu thì phương trình không giải được, ta chỉ giải được trong 
một số trường hợp hàm số có tính chất đặc biệt. 
8 
Bài toán 4: Cho hàm số là hàm số chẵn, xác định trên (tương đương f(x) 
có trục đối xứng ) có đạo hàm và phương trình 
 không có nghiệm khi đó với ta có: 
Giải:Ta có 
Vì phương trình không có nghiệm suy ra hàm số có hai 
khoảng biến thiên trái chiều nên phương trình có tối đa hai 
nghiệm do đó , tương tự Vậy hệ 
phương trình (*) có các nghiệm 
Bài toán 5: Cho hàm số có trục đối xứng có đạo hàm và 
phương trình không có nghiệm khi đó 
Giải: Đặt , Bài toán 5 trở thành Bài toán 4. 
Nhận xét:Với cách ngiên cứu trên ta có thể tiếp tục xét các hàm phức tạp hơn. 
Bài toán 6: Cho hàm số xác định trên D, k là số đương nhỏ nhất sao cho 
Xét trên sao cho phương trình có không quá một nghiệm trên D’, khi 
đó 
Giải: Ta có 
9 
Vì phương trình có không quá một nghiệm trên D’ suy ra phương trình 
 có không quá hai nghiệm do đó , tương tự 
 Vậy hệ phương trình (*) có các nghiệm 
10 
Ví dụ 5: Giải phương trình 
Gải: 
Xét hàm số 
 Xác định trên R có trục đối xứng . 
 Có phương trình có nhiều nhất 
một nghiệm. 
 phương trình 
 có đúng một nghiệm. 
Vậy . 
 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau với 
11 
 Giải: Xét hàm có . Xét dấu 
 ta thu được f(x) đồng biến trên , và nghịch biến trên 
. 
Giả sử hệ có nghiệm a, b, c tức là : 
Trường hợp 1: ( vì abc = 1 suy ra a, b, c không thể cùng thuộc ) khi đó 
hệ có nghiệm 
Trường hượp 2: Có hai trong ba số a, b, c thuộc giả sử a, b cung thuộc một 
tập, do f(x) đơn điệu trên mỗi tập suy ra a = b. Từ thay vào (1) ta 
có 
Đặt , ta 
chưng minh phương trinh có nghiệm duy nhất . 
Giả sử phương trình có nghiệm , theo định lí Lagrange tồn tại 
nằm giữa sao cho hay phương trình có nghiệm dương. 
Ta có 
Đặt 
Xét đơn điệu trên 
vậy phương rtinh có nghiệm duy nhất trên . 
Ta có suy ra phương trình h(a) = 0 có nghiệm duy 
nhất , trái với giả thiết. Vậy phương trình g(a) = 0 có nghiệm duy nhất a = 1. 
Như vậy nếu thì 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất . 
12 
Nhận xét: Qua Bài toán 4 và các Ví dụ 5, Ví dụ 6 ta có thể kết luận phương trình dạng 
 chỉ có thể giải được nếu hàm số đơn điệu, nếu không phải có 
them các tính chất đặc biệt khác như chẵn, có trục đối xứng v.v. 
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG. 
Bài 1: Giải các phương trình sau: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) . 
 Giải: 
a) Xét hàm số , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và 
nên hàm số f(x) luôn đồng biến. 
Mặt khác, ta thấy 
* 
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 
b) Hàm số là một hàm đồng biến và phương trình có 
nghiệm x = 1 do đó phương trình này có nghiệm duy nhất x = 1. 
c) Đặt thì phương trình đã cho trở thành: 
 là một hàm liên tục và có : 
nên f(t) luôn đồng biến. 
Do đó: 
Vậy phương trình có nghiệm 
d) Đặt khi đó phương trình trở thành: 
Ta thấy f(t) là hàm liên tục và đồng biến, do vậy 
13 
e) Điều kiện: . 
 với là 
hàm liên tục và đồng biến, do đó 
Xét hàm số , có theo Bài toán 3 phương 
trình có không quá hai nghiệm, ta thấy là hai nghiệm của 
phương trình nên phương trình đã cho có hai nghiệm 
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình : có đúng hai nghiệm 
dương phân biệt. 
Giải: Điều kiện: (do x > 0). Xét hàm số : với 
. 
Vì suy ra có nhiều nhất một nghiệm suy ra có nhiều 
nhất là hai nghiệm. Mà 
Su ra có hai nghiệm . 
Bài 3: Giải hệ phương trình: 
Giải: Ta có , phương trình 
 và hàm 
số đơn điệu trên [-1;1]. Vậy . Thay 
 vào phương trình ta thu được nghiệm của hệ phương trình là 
III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP. 
 Giải các phương trình, hệ phương trình sau: 
1) 
14 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
************ 
15 
C - KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 
 Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có 
sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy đã thu được một số 
kết quả nhất định sau : 
1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững phương pháp và biết vận dụng ở dạng 
bài tập cơ bản . 
2) Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh khá, giỏi có thể sử dụng kết quả trình 
bày trong đề tài để giải bài toán. 
3) Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo 
4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán mới. 
 Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa 
“Hàm số” và “Phƣơng trình ”. Qua đó ta có thể tìm được phương pháp giải, xây 
dựng các lớp bài toán ở bậc THPT. 
16 
Tµi liÖu tham kh¶o 
1. Tƣ liệu internet. 
2. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi các tỉnh 2008-2009.