Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng hệ thức Viét

A/ Đặt vấn đề.
 I/ Cơ sở lí luận.
 Nghị quyết TW II khoá IIIV đã khẳng định: "Phải đổi mới giáo dục đào tạo , khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành thạo nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học".
 Trong Luật giáo dục đã khẳng định" Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực , tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học" . Nói cách khác là việc dạy học theo chương trình mới nhằm mục tiêu đào tạo con người mới thích ứng với sự phát triển nhanh mạnh từng ngày , từng giờ của khoa học kĩ thuật. Nhận thức được tầm quan trọng của việc đổi mới phương pháp giảng dạy nói chung, giảng dạy toán 9 nói riêng, bản thân đã được giảng dạy chương trình toán 9 cũ và được tiếp cận chương trình toán 9 theo chương trình cải cách nên tôi mạnh dạn soạn và áp dụng dạy theo một hệ thống bài tập có tính hệ thống lôgíc giới hạn ở hệ thức Vi-ét với phương trình bậc hai một ẩn.
 II/ Cơ sở thực tế.
 Muốn đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chương trình cải cách và nội dung SGK khoa mới thì giáo viên trước hết phải dạy cho học sinh những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cáh suy luận, biết cách tìm lại những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới. Bên cạnh đó đòi hỏi học sinh phải cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nghiên cứu kiến thức mới. Muốn dạy cho học sinh nắm được những tri thức phương pháp thì người giáo viên phải thường xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề , một đơn vị kiến thức đặt ra trước mắt theo cách nào, theo hướng nào , để học sinh hiểu và vận dụng hiệu quả hơn.
 Trong chương trình bộ môn toán 9 nhiều bài tập, đặc biệt là thi vào THPT xuất hiện nhiều dạng bài toán liên quan đến hệ thức Vi-ét, nhưng thời lượng chương trình dành cho học và vận dụng hệ thức Vi-ét là không nhiều. Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu và có khả năng vận dụng kiến thức nói chung hay hệ thức Vi-ét nói riêng vào giải các bài tập liên quan phần không nhỏ phụ thuộc vào lòng say mê công việc, không ngừng suy nghĩ khai thác các đơn vị kiến thức thành hệ thống các dạng bài tập để học sinh nhận diện ra phương pháp giải và rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải dạng bài tập đó.
 Chính vì nhận thấy tầm quan trọng của việc khai thác có hệ thống các đơn vị kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan, tôi mạnh dạn đi sâu suy nghĩ khai thác và vận dụng hệ thức Vi-ét trong giảng dạy theo hệ thống các nội dung sau:
 + áp dụng hệ thức Vi-ét vào tìm giá trị của tham số m thoả mãn điều kiện T cho trước.
 + Hệ thức Vi-ét trong sự tương giao hàm số y = ax2 ( a ≠ 0) và y = mx + n 
 + Lập phương trình bằng định lý Vi-ét đảo.
 + Giải hệ phương trình bằng định lý Vi-ét đảo.
B/ Giải quyết vấn đề.
 I- Lý thuyết cơ bản.
 1- Định lí Vi-ét.
 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (1) có hai nghiệm x1 và x2 thì:
 Chứng minh: 
 Do x1 và x2 là hai nghiệm của pt (1) nên: a(x - x1).(x - x2) = ax2 + bx + c với " x
 Û ax2 - ax1x - ax2x + ax1x2 = ax2 + bx + c Û ax2 - (ax1+ ax2)x + ax1x2 = ax2 + bx + c
 2- Định lí Vi- ét đảo.
 Nếu hai số có tổng và tích thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình:
x2 -Sx + P = 0 .
 Điều kiện tồn tại hai số đó là: S2 - 4P > 0.
 II- Các dạng bài tập cơ bản.
 Dạng 1: áp dụng hệ thức Vi-ét vào tìm giá trị của tham số m để phương trình thoả mãn điều kiện T cho trước.
 * Bài toán cơ bản:
 Tìm giá trị của tham số m để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) (I)
Có nghiệm thảo mãn điều kiện T cho trước.
 * Phương pháp:
 Để phương trình (I) có nghiệm ta phải có: Δ ≥ 0 (*)
 Khi đó theo hệ thức vi-ét ta có: 
 Để tìm giá trị của tham số m ta giải hệ phương trình:
 so sánh với điều kiện (*) và kết luận bài toán.
 Bài toán 1: Cho phương trình x2 - 2m x + 2m -1 = 0 (1)
 Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn x1 = 2 x2.
Bài giải:
 Để phương trình (2) có nghiệm ta phải có: 
 Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 Kết hợp với điều kiện x1 = 2 x2 
 Thay vào (*) ta có: 
 Thay vào (**) ta có: 
 Giải phương trình ẩn m ta được : (thoả mãn )
 Vậy thì phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn x1 = 2 x2.
 Bài toán 2: Cho phương trình x2 -mx + m + 1 = 0 (2)
 Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn
 x1x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 0.
Bài giải:
 Để phương trình (2) có nghiệm ta phải có: Δ = m2 - 4m - 4 ≥ 0 (*)
 (**)
 Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức vi-ét ta có: 
 Từ x1 x2 + 2(x1 + x2) - 19 = 0 Û m + 1 + 2m - 19 = 0
 Û 3m = 18 Û m = 6 ( Thoả mãn (**))
 Vậy m = 6 là giá trị cần tìm.
 *Lưu ý: Trong quá trình tìm điều kiện để phương trình có nghiệm nếu điều kiện là một phương trình hay bất phương trình mà ta giải nó gặp khó khăn , chẳng hạn như bài tập trên điều kiện là m2 - 4m - 4 ≥ 0 thì ta có thể không giải phương trình hay bất phương trình đó. Sau khi tìm được m thì thay vào xem có thoả mãn không.
 Ví dụ ở bài tập trên tìm được x = 6 ta thay vào (*) ta có: Δ = 62 - 4.6 - 4 = 8 > 0 , vậy m = 6 thoả mãn (*)
 Bài toán 3: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (3 )
 Tìm các giái trị của m để phương trình có nghiệm x1 ,x2 thảo mãn :
 A = 10 x1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài giải:
 Phương trình (3 ) có nghiệm Û Δ' = m2 - 9 ≥ 0 (*)
 Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có:
 Từ A = 10 x1x2 + x12 + x22 = (x1 + x2 )2 + 8 x1x2 = (2m + 2 )2 + 8(2m +10)
 = 4m2 + 24m + 84 = ( 2m + 6)2 + 48 ≥ 48
 Min A = 48 khi 2m + 6 = 0 hay m = -3.( tmđk*)
 Vậy m =-3 thì A đạt giá trị nhỏ nhất và MinA = 48.
 Bài toán 4 : Gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình:
2x2 + 2(m + 1) x + m2 + 4m + 3 = 0 (4 )
 Tìm giá trị lớn nhất của M = 
Bài giải:
 Phương trình (4 ) có nghiệm Û Δ' = -m2 - 6m - 5 ≥ 0 
 Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 Từ M = = = 
 = vì với thì 
m2 + 8m + 7 < 0.
 M = 
 Max M = khi hay m = -4 .( tmđk*)
 Vậy m = - 4 thì M đạt giá trị lớn nhất và MaxM =.
 Bài toán 5 : Cho phương trình x2 - mx + m -1 = 0 (5 )
 a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với " m.
 b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của .
Bài giải:
 a/ Có Δ = m2 - 4m + 4 = (m - 2)2 ≥ 0 với " m. Vậy phương trình (5) luôn có nghiệm với " m.
 b/ Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 Từ 
 Để tồn tại P thì phải tồn tại m vậy phương trình ẩn m trên phải có nghiệm hay:
 Min P = khi m=-2.( tm)
 Max P = 1 khi m=1.( tm)
 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 1 Giá trị nhỏ nhất của P bằng .
 * Nhận xét: Đối với những biểu thức chỉ chứa các nghiệm của phương trình cho trước muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất ta làm theo trình tự sau:
 +Trước hết ta phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm .
 +Biến đổi biểu thức xuất hiện tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm . 
 +Từ đó áp dụng hệ thức Vi -ét thay vào được biểu thức chỉ chứa tham số m. Ta tiến hành tìm GTNN, GTLN của biểu thức với ẩn m.
 Bài toán 6: Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m -1 = 0 (6 )
 a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với " m.
 b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng biểu thức:
 không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài giải:
 a/ Có Δ' = với " m. 
 Vậy phương trình (6 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với " m.
 b/ Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 Từ 
 Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của m.
 Dạng 2: Hệ thức Vi-ét trong sự tương giao hàm số.
 * Phương pháp:
 Cho hàm số: y = ax2 ( a ≠ 0) (P)
 và : y = mx + n (d)
 Hoành độ giao điểm của (d ) và (P) là nghiệm của phương trình:
ax2 = mx + n Û ax2 - mx - n = 0. (II)
 +/ Nếu phương trình (II) có hai nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
 +/ Nếu phương trình (II) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P).
 +/ Nếu phương trình (II) vô nghiệm thì (d ) không có điểm chung với cắt (P). 
 Bài toán 7 : Cho hàm số y = x2 (P) và y = 3x + m2 (d)
 a/ Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
 b/ Gọi y1 , y2 là tung độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để: y1 + y2 = 11y1y2.
Bài giải:
 a/ Hoành độ giao điểm của d và P là nghiệm của phương trình: 
x2 = 3x + m2 Û x2 - 3x - m2 = 0 (7)
 Xét nên phương trình (7) có hai nghiệm phân biệt với mọi m , chứng tỏ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
 b/ Khi đó hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình (7) . Gọi hai nghiệm đó là x1 ,x2 , theo hệ thức Vi-ét ta có: 
 Ta có các tung độ tương ứng là: y1 = x12 ; y2 = x22
 Từ y1 + y2 = 11y1y2 ta có: x12 + x22 =11x12.x22 
Û (x1 + x2) 2 - 2x1x2 -11 (x1x2) 2 = 0
Û 9 +2m2 - 11m4 = 0 Û11m4 - 2m2 - 9 = 0 
Û (tm)
 Vậy với m = ± 1 là giá trị cần tìm.
 Bài toán 8 : Cho hàm số (P) 
 a/ Gọi A và B là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị có hoành độ là 1 và -2. Viết phương trình đường thẳng AB.
 b/ Đường thẳng y = x + m - 2 (d). 
 (d) cắt (P) tại hai đểm phân biệt . Gọi x1 , x2 là hoành độ hai giao điểm ấy. Tìm m để .
Bài giải:
 a/ A ẻ (P) , xA = 1 ị ; B ẻ (P) , xB = - 2 ị 
 Vậy ; . Phương trình đường thẳng AB là: 
 (AB )
 b/ Hoành độ giao điểm của (d) và (P ) là nghiệm của phương trình :
 (8)
 Do (d) cắt (P) tại hai đểm phân biệt Û pt (8) có hai nghiệm phân biệt Û Δ > 0
 Δ' = 5 - 2m > 0 Û (*)
 Gọi hai nghiệm đó là x1 ,x2 , theo hệ thức vi-ét ta có: 
 Từ 
 Thay vào ta có: 
 Giải phương trình tìm được kết hợp với điều kiện (*) ta có m = -1 thoả mãn điều kiện bài toán nên với m = -1 là giá trị cần tìm.
 Bài toán 9 : Cho hàm số (P) và điểm M (1; -2).
 a/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc m.
 b/ Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
 c/ Gọi xA ; xB là hoành độ của A và B. Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị này.
Bài giải:
 a/ Đường thẳng có hệ số góc m có dạng : y = mx + b 
 Đường thẳng đó đi qua điểm M (1; -2) nên ta có: -2 = m + b ị b = - m -2
 Vậy đường thẳng cần tìm là: y = mx - m - 2 (d) 
 b/ Hoành độ giao điểm của (d) và (P ) là nghiệm của phương trình :
 (9)
 Xét Δ' = m2 +2m + 4 = , do đó (d) cắt (P) tại hai đểm phân biệt với " m.
 c/ Khi đó xA ,xB là nghiệm của phương trình (1) , theo hệ thức Vi-ét ta có:
 Từ 
 Vậy Min () = -4 khi 2m + 2 = 0 hay m = -1 
 Kết luận: Với m = -1 thì giá trị nhỏ nhất, giá trị đó bằng -4.
 Dạng 3: Lập phương trình bậc hai một ẩn sử dụng định lý vi-ét đảo.
 * Phương pháp:
 Bước 1: Tính tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm.
 Bước 2: Sử dụng định lí Vi- ét đảo để lập được phương trình . 
 Bài toán 10: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó là:
 a/ 1 và - 6 b/ c/ m và m -1.
Bài giải :
 a/ Có x1 = 1 x2 = -6 . Ta có tổng hai nghiệm là: 
 Tích hai nghiệm là: 
 Vậy phương trình cần lập là: có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = -6.
 Các phần khác tương tự.
 Bài toán 11: Cho phương trình có hai nghiệm x1 và x2 .
 Hãy lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của nó là: .
Bài giải :
 a/ Ta có : Δ' = nên phương trình có hai nghiệm x1 và x2.
 Phương trình cần lập có:
 Tổng hai nghiệm là: 
 Tích hai nghiệm là: .Vậy phương trình cần lập là: .
 * Lưu ý : Để lập được phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm cho trước thì còn cách khác nữa chẳng hạn: phương trình có nghiệm x = a và x = b là ( x - a)( x - b) = 0
Û (Vận dụng phương trình tích ), xong lập phương trình bậc hai một ẩn sử dụng định lí vi-ét đảo đa số học sinh dễ hiểu và vận dụng tốt hơn.
 Dạng 4: Giải hệ phương trình bằng định lý vi-ét đảo.
 Bài toán 12 : Giải hệ phương trình 
Bài giải:
 * Nếu thì x và y là nghiệm của phương trình (tm)
 * Nếu thì x và y là nghiệm của pt : (tm)
 Vậy hpt đã cho có bốn nghiệm là: ; 
 Bài toán 13 : Giải hệ phương trình 
Bài giải:
 Đặt x + y = S và xy = P ta có: 
 Thay vào ẩn phụ ta có ị x và y là hai nghiệm của phương trình: 
 (tm)
 Vậy hpt đã cho có hai nghiệm là: 
 Bài toán 14: Cho hệ phương trình 
 a/ Giải hệ phương trình với m = 1.
 b/ Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài giải:
 a/ Khi m = 1 thay vào pt ta có hệ: 
 Đặt x + y = S và xy = P ta có: 
 Cộng vế với vế sau đó chuyển vế ta có:
 . Giải phương trình ẩn S ta tìm được: 
 +/ Nếu ị P1 = -3 vậy ta có: thì x và y là nghiệm của phương trình (tm)
 +/ Nếu ị P2 = 9 vậy ta có: thì x và y là nghiệm của phương trình 
 Vậy hpt đã cho có nghiệm là: 
 b/ Ta có 
 Đặt x + y = S và xy = P ta có: 
 Cộng vế với vế sau đó chuyển vế ta có: (10) . 
 Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (10) ẩn S phải có nghiệm duy nhất( Do a ≠ 0 , nên nghiệm duy nhất là nghiệm kép).
 Û Δ' = 0 . Ta có Δ' = 7 + 2m = 0 Û ( tm)
 Vậy với thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
 * Kết luận : Phương pháp chung để giải các hệ phương trình trên khi sử dụng định lí Vi-ét đảo bằng cách biến đổi hệ phương trình về dạng khi đó x và y là nghiệm của phương trình hoặc đưa về dạng hệ phương trình có chứa và , giải phương trình hoặc hệ phương trình ẩn S và P trên và xác định được nghiệm của hệ phương trình.
 III- Bài toán vận dụng.
 Bài toán 1: Cho phương trình x2 - 2(m + 1 ) x + m + 5 = 0 .
 a/ Giải phương trình với m = 5.
 b/ Trong trường hợp phương trình có nghiệm x1 ,x2 , hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1 ,x2 không phụ thuộc vào m.
 c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của .
 Bài toán 2: Cho phương trình x2 + (2m - 1 )x - m = 0 .
 a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với " m.
 b/ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình.
 Tìm giá trị của m để có giá trị nhỏ nhất.
 Bài toán 3 : Cho hàm số (P) và điểm M (1; -2).
 a/ Chứng minh rằng đường thẳng đi qua M và có hệ số góc m luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m.
 b/ Gọi xA ; xB là hoành độ của A và B. Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị này.
 Bài toán 4 : Cho hàm số với m là tham số.
 a/ Khi m = 9 tìm x để y = 0.
 b/ Tìm m để đường thẳng y = x + 1 cắt đồ thị hàm số (*) tại hai điểm phân biệt. Tìm tung độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm đó.
 Bài toán 5 : Giải hệ phương trình:
 a/ b/ c/ 
 Bài toán 6: Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm.
 Bài toán 7: Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm.
 IV- Kết quả thực hiện .
 Từ năm học 2003 - 2004 đến nay tôi luôn suy nghĩ khai thác hệ thức Vi-ét áp dụng vào phân loại, hệ thống các dạng bài tập cơ bản có sử dụng hệ thức Vi-ét trong quá trình giải. Tôi tiến hành kiểm tra đánh giá đối chứng và đúc rút kinh nghiệm qua các năm học . Tổng hợp những kết quả thu được khi so sánh đối tượng HS được học theo hệ thống dạng bài tập như trên và đối tượng HS đối chứng chỉ được mở rộng qua các gì học trên lớp và tôi thu được kết quả khả quan. Chẳng hạn như kết quả thu được trong năm học 2005-2006 như sau:
 Chọn ở hai lớp 9A và 9B mỗi lớp 20 học sinh trung bình khá trở lên trình độ chung tương đương nhau để thử nghiệm. Lớp 9A học theo chuyên đề trên, còn lớp 9B học theo chương trình giảng dạy hàng ngày. Sau đợt thử nghiệm tôi ra đề kiểm tra 45 phút gồm các dạng bài tập có nội dung khi giải cần sử dụng hệ thức Vi-ét thu được kết quả:
 * Kết quả lớp 9B: 
Điểm dưới 5
điểm5- 6-7
Điểm 8-10
SL
%
SL
%
SL
%
8
40
7
35
5
25
 * Kết quả lớp 9A:
Điểm dưới 5
điểm 5- 6 - 7
Điểm 8-10
SL
%
SL
%
SL
%
1
5
4
20
15
75
 * Phân tích kết quả: Từ kết quả trên chứng tỏ các đối em được học chuyên đề đa số các em biết vận dụng giải tốt, thành thạo được các bài toán có sử dụng hệ thức vi-ét . Số lượng học sinh đạt điểm trên trung bình trở nên chiếm tỉ lệ cao 95% ( lớp 9B chỉ đạt 60%). Hơn nữa tỉ lệ học sinh Khá - Giỏi cao hơn nhiều đạt 75% ( so với lớp 9 B đạt 25 %). Hơn nữa kết quả thi vào THPT qua các năm trường tôi đạt tỉ lệ rất cao trong huyện. Điều đó chứng tỏ việc áp dụng hướng như trên tôi suy nghĩ đã đem lại hiệu quả đáng kể.
 V - Bài học kinh nghiệm.
 Chương trình SGK rất cô đọng, xúc tích ngắn gọn phù hợp cho học sinh đại trà. Nhưng đối với các em học sinh khá giỏi ham thích môn toán đòi hỏi tìm hiểu sâu kiến thức. Nên muốn giảng dạy có hiệu quả như mong muốn cần phải:
 - Đổi mới phương pháp nghiên cứu , giảng dạy.
 - Thường xuyên suy nghĩ trau dồi kiến thức, sáng tạo hơn trong giảng dạy, có sự phân dạng bài tập thành từng hệ thống liên kết với nhau để học sinh thấy được sự vận dụng sáng tạo các kiến thức vào các dạng bài tập cụ thể.
 - Qua kết quả thu được từ thử nghiệm của năm trước đúc rút thành kinh nghiệm cho giảng dạy năm học kế tiếp được hoàn chỉnh hơn, điều chỉnh nội dung và phương pháp phù hợp với từng đối tượng , đặc điểm học sinh từng địa phương.
C - Kết luận .
 Trong những năm học vừa qua khi khai thác hệ thức Vi-ét trong giải các dạng bài tập tôi đã đưa vào giảng dạy theo hệ thống như trên đối với học sinh khá giỏi có sự điểu chỉnh hoàn thiện qua các năm. Tôi nhận thấy các em tiếp thu tốt , chất lượng làm các bài kiểm tra , bài thi có sử dụng hệ thức vi-ét đạt kết quả cao, đem lại nhiều kết quả trong các kì thi vào lớp 10 THPT trong huyện trong những năm học vừa qua, đã có những học sinh thi đỗ vào THPT Năng khiếu của tỉnh.
 Chính vì vậy tôi mạnh dạn tổng hợp các suy nghĩ mà tôi đã áp dụng, đó là vài kinh nghiệm của tôi có sự góp ý , bổ xung của đồng nghiệp trong tổ để các đồng nghiệp cùng tham khảo. Nội dung còn hạn chế rất mong nhận được sự góp ý kiến của các đồng nghiệp, đồng chí chuyên viên nghiệp vụ của phòng giáo dục...để tôi có được những rút kinh nghiệm cần thiết để tiếp tục nghiên cứu tốt hơn.
 Xin trân thành cảm ơn !.