Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng giải bất đẳng thức trong Đại số THCS

g đương.
3.4 . Bày tập tự giải:
Bài 1. So sánh hai số A = 3 -3 và B = 2 -1 (Không dùng máy tính)
Bài 2. CMR Với hai số nguyên dương x,y thoả mãn xy 1
 + 
Bài 3. CM Bất đẳng thức + 
Bài 4. CMR với x >1 ta có 2
Bài 5. Với a > 0, b > 0chứng minh bất đẳng thức: 
Bài 6. CMR a,b,c R Ta có:
 a, a4+ b4 a3b + ab3 
 b, a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
Phương pháp phản chứng
4.1, Cơ sở toán học
 Gọi mạnh đề cần chứng minhlà luận đề: “A=> B”. Phép toán mạnh đề cho ta:
 Như vậy muốn phủ định một luận đề ta viết tất cả các giải thiết của luận đề với phủ định kết luận của nó.
 Ta thường dùng năm hình thức chứng minh phản chứng như sau:
a.1 Dùng mệnh đề phản đảo. 
a.2 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với giả thiết 
a.3 Phủ định luận đề rồi suy ra hai điều trái nhau.
a.4 phủ định luận đề rồi suy ra điều trái với một điều đúng.
a.5 Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận củ A
4.2 Ví dụ minh họa.
Ví dụ1
 Cho a2 + b2 2 CMR: a + b 2
Giải:
 Giải sử a + b > 2 ú (a+b)2 > 4(Vì hai vế dương nên hai vế )
 ú a2+ 2ab + b2 > 4 (1)
Mặt khác ta có: 2ab a2 + b2 => a2+ b2+ 2ab 2 ( a2 + b2)
Mà : 2(a2+ b2) 4 ( giả thiết ) . Do đó : a2+ 2ab + b2 4 (2)
Ta thấy (2) mâu thuẫn với (1). a + b 2
 *Cách giải khác :
 Ta có : a2 + b2 2 (1) 
Mặt khác : 2ab a2 + b2 nếu 2ab a2 + b2 2 (2) 
Cộng (1) với (2) ta được a2 + 2ab + b2 4 => (a+b)2 4 => -2 a+b 2
Ví dụ 2 
 Cho a,b,x,y liên hệ bởi : a+ b = 2xy 
 CMR tí nhất 1 trong 2 bất đẳng thức sau là đúng : x2 a ; y2 b 
Giải
 Giả sử x2 x2 + y2 < a+ b = 2xy 
 ú x2 - 2xy + y2< 0 
 ú (x-y)2 < 0 (vô lý) 
 Vậy có ít nhất 1 trong 2 bất đẳng thức x2 a ; y2 b là đúng 
Ví dụ 3 
 Cho ba số thực a,b,c thoả mãn ba điều kiện sau 
 CMR cả ba số đều dương.
Giải
 Vì abc > 0 nên trong ba số a,b,c có ít nhất một số dương 
 Giả sử ngược lại cả 3số đều âm => abc < 0 (vô lý ) 
 Không mất tính tổng quát ta giả sử a > 0 
 Mà abc bc > 0 
Nếu b b+c <0 
 Từ a+b+c > 0 => b+c > -a => (b+c)2 < -a (b+c) 
 => b2 + 2bc + c2 < - ab - ac 
 ú ab + ac < - b2 - 2bc - c2 
 ú ab + bc + ca <- b2 - bc - c2< 0 
ab + bc + ca 0) 
Vậy b > 0 c > 0 => cả ba số a,b,c dều dương.
4.3 Chú ý. 
5.Với bài toán chứng minh bất đảng thức cs dạng nư trên ta nên sử dụng phương pháp phản chứng. Tuy nhiên để sử dụng phương pháp này cần nắm vững 5 cách chứng minh và các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi lập luận. 
4.4 Bài tập tự giải . 
 1. Cho a > b > 0 và < 1 
 CMR: Không thể có : a < 1; b < 1
 2. Cho a,b,c thoả mẵn : 0 < a,b,c < 1
 CMR có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai : 
a(1-b) > 
b(1-c) > 
c(1-a) > 
Hãy phát biểu tổng quát.
5. Phương pháp quy nạp toán học : 
5.1 Cơ sở toán học.
 Nội dung của phương pháp này là tiền đề quy nạp toán học 
Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n. Nếu: 
+ Mệnh đề đúng với n=1
+ Từ giả thiết đúng với n=k (k N) suy ra được mệnh đề cũng đúng với n=k. thế thì mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương.
Như vậy để chứng minh một mệnh đề T đúng với mọi số nguyên dương bằng phương pháp quy nạp toán học ta phải tiến hành 3 bước. 
+ B1 : Chứng minh T(1) đúng ( kiểm tra mẹnh đề đúng với n=1)
+ B2 : - Giả sử mệnh đề T (k) đúng .
 -Ta chứng minh mjệnh đề T (k+1) cũng đúng .
+ B3 : Kết luận mệnh đề đúmg với mọi số nguyên dương (n) 
5.2 Một số ví dụ minh hoạ 
Ví dụ 1.
CMR với x > -1 thì (1+ x)n 1 + nx . Trong đó n là số nguyên dương bất kỳ 
Giải
 + Với n=1, ta có bất đảng thức đúng 1+ x 1+x
 + Giả sử bất đẳng thức đúng với n=k tức là (1+x) k 1+kx
Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n=k+1. Tức là phải chứng minh : 
 (1+x)k+1 1+ (k+1) x
Thật vậy theo giả thiết 1+x > 0 
Ta có : (1+x )k(1+x) 1+kx)(1+x) 
 ú (1+x)k+1 1+ (k+x)x + kx2
 Mà kx2 > 0 nên 1+ (k+1)x + kx2 1 + (k+1)x
Từ đó suy ra bất đẳng thức phải chứng minh. 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 
Ví dụ 2
 CMR với a ta đều có : +1 (1) 
 Trong đó vế trái có n dấu căn 
Giải 
Kí hiệu : P = + 1 (có n dấu căn)
+ Với n=1 ta có : P1 = = + 1 bất đẳng thức đúng 
+ Giả sử mệnh đề đúg với n=k tức là Pk + 1 
 Ta sẽ phải chứng minh cho nó cũng đúng với n=k+1
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp và làm trội ta có:
Pk+1 = = = +1
Vậy bất đẳng thức được chứng minh 
Ví dụ 3 
Cho a,b là hai số dương CMR n 2
Giải
Với n = 2 ta dễ dàng chứng minh được : 
Giả sử bài toán đúng với n = 2 ta có : (1)
Ta phải chứng minh (2)
Thật vậy : nhân cả hai vế của (1) với ta được 
Hay 
Để có (2) ta phải chứng minh () (3)
ú ak+1+ bk+1 abk + akb
Thật vậy ta có: ak+1+ bk+1- abk - akb = ak(a-b) – bk (a-b ) = (a-b)(ak-bk) 
= (a-b)2(ak-1+ ak-2 b + ...+ abk –2 + bk –1) (vì a,b > 0 )
=> bất đẳng thức (3) đúng . Mà 
=> Vậy bất đẳng thức được chứng minh 
5.3 Chú ý 
 Khi chứng minh bất đẳng thức theo phương pháp này thì phải hiểu kỹ các bước chứng minh , các phép biến đổi tương đương , tính chất của bất đẳng thức 
 5.4 Bài tập tự giải 
 1 Chứng minh rằng n 3 ta có 2n > 2n+ 1 
 2 CMR 2n > n3 số tự nhiên n 10 
6 Phương pháp đổi biến 
6.1 Cơ sở toán học 
B1 Đặt biến mới dựa theo biến cũ 
B2 Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới , CM bất đẳng thức với biến mới . 
B3 .Kết luận và trả và biến cũ.
6.2. Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 :
Chứng minh bất đẳng thức sau : abc( b + c - a)( a + c - b)( a + b - c)
Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Giải :
Đặt b + c – a = x ;
 a + c – b = y;
 a+ b – c = z ;
Thì x,y,z > 0
 a = ; b=; c =
Ta phải chứng minh : .. xyz
ú (y+z)(x+z)(x+y) 8xyz 	(2)
ú (y+z)2(x+z)2(x+y)2 64x2y2z2(Vì hai vế không âm)
Ta có (x+y) 4xy
 y+z 4yz
 x+z 4xz
Vì hai vế của bấtđẳng thức trên không âm nên ta nhân từng vế của bất đẳng thức tađược: 
 (y+z)2(x+z)2(x+y)2 64x2y2z2
 ú [(y+z)(x+z)(x+y)]2 (8xyz)2
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh .
Dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi x = y = z tương đương với a = b = c
Ví dụ 2 :
Cho a + b + c = 1 chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 1/3
 Giải :
Đặt a = 1/3 + x; b = 1/3 + y; c = 1/3 +z Do a+b +c =1 Nên x+y+z = 0
Ta có : a2 + b2 + c2 = (1/3+x)2(1/3+y)2(1/3 +z)2
= (1/9 +x+x2) + (1/9 +y +y2) + (1/9 +z +z2)=1/3 +(x+y+z)+x2+y2+z2
=1/3 + x2+y2+z2 1/3
Xảy ra dấu đẳng ức khi và chỉ khi x = y = z = 0ú a = b = c = 1/3
6.3 Chú ý :
Khi dùng phương pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng ức cần chú ý 
+ Đặt biến mới theo hệ điều kiện của biến cũ, kèm theo điều kiện của biến mới .
+ Nắm kỹ được các phép biến đổi, các bất đănbgr ức cơ bản quen thuộc để áp dụng
+ Đổi về biến cũ
6.4 Bài tập tự giải 
1. Cho a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác
 Chứng minh rằng : 3
2. Cho x,y 0 thoả mãn : x2
 CMR : x+y 1+
3. Cho a,b,c 0
 CMR: 
7.Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết:
7.1 Cơ sở toán học:
Trong nhiều bài toán để việc chứng minh 1 bất đẳng thức được thu gọn, ta có ể sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh, nhất là những bất đẳng thức kinh điển như bất đẳng thức Côsi, Bunhia Côpski ...
7.2 Ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1 :
CMR : với ab > 0
Giải :
 Vì đều dương nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có :
Dấu “=” xảy ra ú hay a = b
Ví dụ 2 : a) Cho a, b, c > 0 chứng minh rằng : 
 a3b + b3c + c3a abc ( a + b + c ) 
b) Cho a,b,c,d > 0 Chứng minh :
 Chứng minh rằng nếu phương trình :
 x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0 có nghiệm thì : a2 + ( b – 2 )2 > 3
Giải a) BĐT cần chứng minh tương đương với 
	ú ()( c + a +b ) ( a + b + c )2 (1)
áp dụng BĐT B.C.S cho 6 số ta được : 
( a + b + c )2 = ()2 ()( c + a +b )
Vậy (1) được chứng minh tức là ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi hay a = b = c 
Ta có : 
4(a + b + c + d ) 2 
= 
 + 
 .
[(a+b)(b+c+d)+(b+c)(c+d+a)+(c+d)(d+a+b)+(d+a)(a+b+c)]
=> VT (1)
Ta phải chứng minh VP của (1) lớn hơn hay bằng 8/3
Tức là: 4(a+b+c)2 [(a+b)(b+c+d)+(b+c)(c+d+a)+(c+d)(d+a+b)+(d+a)(a+b+c)]
úa2+b2+c2+d2 – 2ac – 2bd 0
ú (a –c)2 +(b – d)2 0
Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức sảy ra khi a = b = c = d
c, giả sử x0 là nghiệm của phương trình: 
 x4 + ax3 + bx2 + ax+1 = 0
 Chia hai vế cho x20 0 ta được:
x20 + thì x2 = x20+ +2 4 và (1) trở thành x2 +ax+b – 2 = 0
áp dụng bất đẳng thức B.C.S ta có:
X4 = (aX +b – 2)2 [a2 + (b – 2)2](X2 + 1)
=> a2+(b –2)2 = X2 – 1 +> 4 – 1 = 3
Vậy a2 + (b – 2)2> 3 (ĐPCM)
Ví dụ 2 : 
 Chứng minh bất đẳng thức Becnuli đối với R+ ; 11 +qa
Giải :
 Do q Q và q>1 nên q= trong đó m > n;m,n N
áp dụng bất dẳng thức Côsi cho m số
trong đó : n, m - n: là số hạng
(Không xảy dấu “=” vì (1+qa) >1)
hay n(1+qa)+(m-n).1 m.(1+qa)
 ú n +nqa +m- n > m.(1+qa)
 ú .qa+1>(1+qa) 
Nhưng = vậy ta có 
 ú a+1 >(1+qa)
 ú (a+1)q >1+qa
7.3 Chú ý : Khi sử dụng phương pháp này cần chú ý : Sử dụng các bất đẳng thức đã được chứng minh với điều kiện chặt chẽ để có được bất đẳng thức cần áp dụng. Nếu không sẽ dẫn đến sai lầm thiếu sót.
Ví dụ : Cho a,b 0 CMR (1) 
Có một học sinh đã giải như sau : 
Ta có (1) ú - 
ú -
ú . 0 (2)
Vì => (2) luôn đúng với a,b 0
Vậy (1) luôn đúng a,b 0 (=> điều phải chứng minh)
Bài toán đã sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức với điều kiện a,b không đúng 
Lời giải đúng : 
Đặt x = 
Vì và cùng dấu => x 2 hoặc x -2 
Khi đó 
Bất đẳng thức (1) ú 0
Xét bát phương trình : 
Từ x - 2 hoặc x - 2 => x nằm trong miền ngiệm của bất phương trình đã xét 
Vậy x phải thoả mãn tức là đúng 
Mà (1) ú đúng 
Vậy ta có + 4 0
7.4 Bài tập tự giải 
1/ CMR nếu các số dương a,b,c có tổng a + b + c = 1 ì 
2/ Cho < 1; < 1 CMR 
3/ Cho x,y R ; x,y 0 và x2 +y2 =1 
CMR x3 +y3 1 
4/ CMR : 64 với a,b,c > 0 và a + b + c = 1 
5/ Cho a 1 CMR + : ab 
8. Phương pháp dùng tam thức bậc 2
8.1 Cơ sở toán học 
Ta có thể dùng định lí về dấu của tam thức bậc 2 , dấu của nghiệm của tam thức bậc 2,vv.. để chứng minh bất đẳng thức 
Cho tam thức bậc 2: F(x) = a2 +bx + c 
 + Nếu 0 Với x R
 + Nếu D = 0 thì a.F(x) > 0 Với x ạ 
 F(x) cùng dấu với a
 + Nếu D > 0 => $ x1,x2; x2 > x1 
- x nằm ngoài khoảng hai nghiệm; x x2 ú aF(x) > 0
- x nằm trong khoảng hai nghiệm (x1<x<x2) ú aF(x) < 0
8.2 Ví dụ minh hoạ.
 Ví dụ 1
 Cho -1 a 2 ; -1 b 2; -1 c 2 và a+b+c = 0
 CMR a2 + b2 + c2 6
 Giải
 Theo tímh chất về dấu của tam thức bậc hai
 -1 a 2 => (a - 2)(a - 1) 0 (1)
 Tương tự ta có (b - 2)(b -1) 0 (2)
 (c - 2)(c - 1) 0 (3)
Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được a2 - a - 2 + b2 - b - 2 + c2 - c - 2 0 
 ú a+b+c = 0 => a2 + b2 + c2 6 
 Ví dụ 2: 
 Chứng minh bất đảng Côsi – bunhi acôpski 
Cho n cặp số thực bất kì a1 ; b1 ; I = 1 ,. . ., n thế thì :
( a1b1 + a2b2 + ... + anbn) ( a12 + a22 + ... + an2 ) ( b12 + b22 + ... +bn2 )
Dấu “ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi số k R sao cho 
b1= ka1 ; b2 = ka2 ;....; bn = kan 
Giải
Với R ta có : 
........................................................................
Từ đó suy ra : a12x2 – 2a1b1x + b12
......................................................................
an2x2 – 2anbnx + 0
( a12+ a22+... + a22) x2 – 2( a1b1+ a2b2 + ... anbn)x + (b12 + b22 + ... + bn2) 0
Vế trái là một tam thức bậc 2 : f(x) = ax2 - 2Bx + C với A 0
Mà f(x) nên ta có tức là 
 = B2 - AC = (a1b1 + a2b2 + ... anbn)2- (a12+ a22+... + an2 ) (b12+ b22+ ... bn2) 0 
ú (a1b1 +a2b2 +......+ anbn) (a12 + a22 + .... + a2n ) (b12 + b22 +....+ bn2)
( nếu a = 0 thì a1- a2=.....an = 0, do đó bất đẳng thức cần chứng minh là tầm thường )
dấu “=” sảy ra khi và chỉ khi : 
 D = 0 ú a1x-b1=.............=anx- bn=0
úb1=ka1; b2= ka2;...........;bn = kanvới kєR
ví dụ 3:
Cho các số a,b,c,d thoã mãn a+d = b+c 
CMR. Nếu lấy số m sao cho: 2m > thì với mọi x R ta luôn có :
 ( x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m20 (1)
Giải
 Dựa vào giả thiết cho a+d=b+c nên ta có :
(1)ú 
vì a+d= b+c ta đặt : y=x2- (a+d)x=x2- (b+d) x
 bất đẳng thức ú ( y+ad )( y+bc)+m2 0
ú y2 + (ad+bc)y + abcd + m2 0
Đằt F(x) = y2 + (ad+bc)y + abcd + m2 
Dy = (ad+bc)2 - 4abcd - 4m2 = (ad - bc) - 4m2 
Vì 2m nên 4m2 (ad+bc)2 ú
ú F(y) 0 hay ( x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m20 (Điều phải chứng minh)
Ví dụ 4:
Cho a,b,c là độ dài3 cạnh của một tam giác,cac số x,y,z thay đổi sao cho:
 ax+by+cz =0 (1)
 CMR: ayz + bxz + cxy 0 (2)
 Giải:
Từ đẳng thưc (1) suy ra (c>0)
Thay vào (2) ta có: ay - bx
 ú -(ax+by)(ay+bx)+c2xy 0
 ú abx2+y(a2x +b2x-c2x) +aby2 0
 ú abx2+y(a2+b2-c2)x+aby2 0
Đặt F(x)= abx2 + y( a2x+ b2x+ c2x) + aby2 0
Ta chứng minh : F(x) với "y R
x = y2 ( a2 + b2 - c)2- 4a2 b2 y2 
 = y2 
 = y2 ( a – b – c )( a – b + c )( a + b + c)( a + b – c) 
Vì a,b,c là ba cạnh của tam giác và y2 0 
 => => F(x) 0 "y R
Vậy bất đẳng thứ (1) được chứng minh(dấu “ =” xảy ra x = y = z = 0).
8.3 Chú ý :
Khi sử dụng phương pháp tam thức bậc 2 cần lưu ý: 
+ Nắm chắc định lí tam thức căn bậc 2 
+ Thường dùng phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng : hoặc 
 Trong đó :F(x);F(y) là tam thức bậc 2 đối với biến x hoặc y.
8.4.Bài tậptự giải .
1/ Chứng minh rằng với mọi a ẻR ta đều có:
 3
2/ Cho a,b,c thoả mãn hệ thức: và ab + bc + ac =1
 CMR:- 
3/ Cho các số x1,x2 ,y1, y2 , z1 , z2 thoả mãn các điều kiện:
 y1. y2 >0 (1) ; y1 x1 z21 (2) ; y2 x2 z22 (3) ;
 CMR: (y1 + y2)( x1+ x2) ( z1 + z2)2
4/ Cho b > c > d . CMR với mọi a R ta luôn có : 
 ( a + b + c + d )2 > 8 (ac + bd)
5/ Cho 6 số a,b,c,d,m,n, thoả mãn: a2 + b 2 + c2 + d2 < m2 + n2 
 CMR: (m2 - a2- b 2 )( n2- c2- d2)(mn- ac – bd )2
 III. Một số ứng dụng của bất đẳng thức.
Một số định lí , bất đẳng thức cần dùng.
 1.Mệnh đề 1.
Nếu tổng các số thực dương x1, x2,..., xn bằng một số cho trước , thì tích của chúng lớn nhất khi : x1= x2 =...= xn 
Định lí 1: 
Nếu có n số thực dương x1, x2,..., xn có tổng bằng S không đổi thì tích : 
P= x1. x2.... xn có giá trị lớn nhất khi : 
Trong đó m1 là các số hữu tỉ dương.
 2.Mệnh đề 2. (đối ngẫu).
 Nếu tích của các số dương x1, x2,..., xn bằng một số cho trước thì tổng của chúng bé nhất khi x1= x2 =...= xn 
*Định lí 2. 
Nếu n số thực dương x1, x2,..., xn có tích P= x1. x2.... xn không đổi thì tổng S = x1+ x2+ ...+ xn có giá trị bé nhất 
Trong đó: m1(i = l,..., n ) là các số hữu tỉ dương cho trước 
 3. Cho a1 ,a2,... an ẻ R. ta có: 
 (1)
Dấu “=” xảy ra úai cùng dấu (a1 ,a2,... an 0)
Đặc biệt : 
 B .áp dụng 
1.Tìm cực trị của hàm số . biểu thức đại số.
Bài1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
 Y=
Giải:
 Dễ thấy hàm số xác định với " x 
 Ta có: y = +
 = +
 áp dụng bất đẳng thức : ta được 
 y
 Dấu “=” xảy ra ú (x-1993 )(x- 1994)0
 ú1993x1994
 Do đó : ymin=1
Bài 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
 Y=
Giải:
 Điều kiện để xác định hàm số là: x1
 Lúc đó y = 
y
Dấu “=” xảy ra ú Do đó: ymin= 2
Bài 3. cho các số x1, x2, , ...x1993 thoả mãn
 + +... + =1994
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
M= + +...+
Giải:
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: -1 
 -1 
 ... ... ... ... ...
 -1
Cộng từng vế các đẳng thức trên ta được:
M > 
Vậy M nhỏ nhất bằng 1
Bài 4:
 Cho x,y liên hệ bởi phương trình: x2 +2xy+7(x+y) +y2+10 = 0(1)
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức :S=x+y+1
Giải :
 Phương trình (1) úx2 +2xy +y2 +1 +2x +2y +5x +5y +5 +4 =-y2
ú(x +y+1)2 +5( x+y+1)+4 =-y2
úS2+5S+4 =-y2 (với S =x+ y +1,x,yR)
S2 +5S +4o
Đặt F(S) =S2 +5S +4 =>F(S) có 2 nghiếm S1 =-1, S2 =-4
Dựa vào dấu tam thức bậc2 mà 
-4
Vậy giá trị nhỏ nhất của S = x + y + 1 là -4 ú 
 Giá trị lớn nhất của S = x + y + 1 là ý 1ú 
2. Tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương trình , tam thức bậc 2 thoả mãn điều kiện nào đó.
Bài 1: cho phương trình: a2 +2a = 1
Tìm giá trị của tham số a để phương trình có đúng 2 nghiệm trên tập hợp số nguyên.
Giải:
Ta có: a2 +2a =
áp dụng bất đẳng thức(1) ta được:
 A 
Dấu “=” xảy ra ú a2x2- 2a2; 1-a2 x2; 2a2 cùng dấu.Do đó :
 Nếu a = 0 thì 2x2
 Để phương trình có hai nghiệm nguyên thì x2 chỉ có thể nhận một giá trị duy nhất là số chính phương 4 trong khoảng ( 2; )
Vậy 4 9 ú 
Bài 2: Cho tam thức bậc 2 : F(a) = ax2 + bx + c
 Thoả mãn : 
Chứng minh rằng : 
Giải:
Ta có: F(1) = a + b + c. a = 
 F(-1) = a - b + c 
 F(0) = c b = 
 Thay vào F(x) ta được: 
F(x) =
 =2-F (0)x2+
 = 
áp dụng bất đẳng thức (1) và giả thiết ta được :
Ta xét các trường hợp sau:
+ Với 0 x 1 thì 1/2 (*)
+Với -1 x 0 thì 1/2
từ (*)và (**)chứng tỏ với 1 ta có:
	 1 + -
Vậy F(x) =	(Điều phải chứng minh)
3.Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình.
Ví dụ 1. Giải phương trình sau:=5
Giải : 
Ta thấy:
=> 
dấu “=” xảy raú
 úú 
Vậy nghiệm của phương trình là:(x=2,y=3)
Ví dụ 2
Giải hệ phương trình 
 x3+ 2y2- 4y + 3 = 0 (1)
 x2 + x2y2 - 2y = 0 (2)
Giải
 Từ (1) => x3 = - 1 - 2(y - 1)2
Vì (y - 1)2 0 = -1 -2(y -1)2 - 1 => x -1 (*)
Từ (2) => x2(1 +y2) = 2y => x2 = 
Mặt khác: y2 +1 2y => x2 = 1 => x2 1 ú -1 x 1 (**)
Từ (*) và (**) => x = -1
Thay x = -1 vào (2) ta có y2 – 2y +1 = 0 => y =1 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x = -1, y = 1)
Soạn giảng: (tiết 60)
Bất phương trình bậc nhất một ẩn
A- Mục tiêu
-Hiểu được thế nào là một bất phương trình bậc nhất, nêu được quy tắc chuyển vế và qui tắc nhân để biến đổi 2 bất phương trình tương đương từ đó biết cách giải bất phương trình bạc nhất một ẩn và các bất phương trình có thể đưa về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn.
-Biết vận dụng các kiến thức vùa học để giải các bài tập ở sách giáo khoa.
-Rèn luện tính cẩn thận, chính xác đặc biệt khi nhân hay chia hai vế của bất phương trình với cùng một số.
B- Chuẩn bị: 
Sách giáo khoa, thứơc thẳng, fim.
C- Hoạt động trên lớp.
I Kiểm tra bài cũ 
HS1 lên bảng làm bài tâp 18(sbt)
HS2 em hãy phát biểu định nghĩa về phương trình bậc nhất một ẩn
II Bài mới 
Hoạt động của trò
Hoạt động gi bảng
? Hãy phát biểu định nghĩa về phương trình bậc nhất một ẩn ?
Nếu người ta thay dấu “=” bằng dấu “>” hoặc “<” thì được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
 ? Trong các bất phương trình sau bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
? Em hãy lấy ví dụ về bất phương trình bậc nhất một ẩn? 
(Giáo viên gọi học sinh lên bảng, các em còn lại làm vào giấy trong) 
 Khi giải phương trình bậc nhất ta đã dùng quy tắc chuyển vế để biến đổi tương đương phương trình.
Quy tắc này cũng đúng cho bất phương trình.
? Thông qua hai ví dụ em hãy rút ra quy nhận xét?
? Em hãy nhắc lại quy tắc?
 Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh về khi chuyển vế phải đổi dấu.
GV cho học sinh làm ?2 trong SGK (Đưa lên máy chiếu)
? Em có nhận xét gì bài làm của bạn?
? Em làm ví dụ?
?Em làm bằng cách nào mà tìm được x > 2 ?
?Thông qua ví dụ em hãy rút ra nhận xét? 
?Em có nhận xét về bài làm của bạn?
? Em thay x = - 4 có thoả mãn hay không? 
? Em thay x = 3 có thoả mãn hay không?
?Nếu nhân với số âm như thế nào? 
? Khi chia cho một số âm thì ta phải làm gì ? 
? Thông qua ví dụ em hãy phát biểu thành lời quy tắc nhân với một số khác không?
1 Định nghĩa 
ax+b > 0
ax+b < 0
Gọi là phương trình bậc nhất một ẩn
a. 2x+3 > 0 
4x2 + 5 < 0
y + 1 > 0 
m + 2n < 0 
4 + 5x > 0
2, Hai quy tắc biến đổi bất phương trình 
a, Quy tắc chuyển vế 
VD: Giải bất phương trình 
x – 5 <18
ú x < 18 +5 ( chuyển –5 từ vế trái sang vế phải đồng thời đổi dấu thành 5) 
ú x < 23 
Vậy tập nhiệm của bất phương trình là: {x|x < 23 } 
VD: 2 
 3x > 2x + 9 
ú 3x – 2x > 9 (chuyển – 2x và đổi dấu – 2x)
 ú x > 9 
Vậy tập nhiệm của bất phương trình:{x|x > 9} 
Tập nghiệm này biểu diễn trên trục số 
9
?2 Giải các bất phương trình
a, x + 12 > 21
 ú x > 21-12
 ú x >9
Vậy tập nghiệm x ( 9 ; + 2 )
b, - 2x > - 3x - 5
 ú - 2x + 3x > - 5
 ú x > - 5
Vậy bất phương trình có tập nghiệm {x|x>-5}
b. Quy tắc nhân một số:
Ví dụ: Giải bất phương trình
3x > 6 
ú x > 2 {Nhân cả hai vế với . (3x > 6)}
Vậy bất phương trình có tập nghiệm {x|x>2}
Ví dụ:
- 3x < 9 
ú x< 
ú x < - 3
Vậy bất phương trình tập nghiệm {x|x< - 3}
Giải lại: 
 - 3x < 9 
ú x > 
ú x > - 3
Vậy bất phương trình tập nghiệm {x|x< - 3}
Quy tắc: (SGK) 
Kiên Thọ, ngày 05 tháng 04 năm 2006
Người viết
Lê Hữu Quý