Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng định lí Vi-Ét giải bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài.
Trong chương trình môn Toán lớp 10 nói riêng và trong bộ môn Toán nói chung thì Định lí Vi-ét, tam thức bậc hai chiếm một phần quan trọng. Các bài toán phải sử dụng định lý Vi-ét, các bài toán về tam thức bậc hai chiếm khối lượng lớn và cũng rất hay có trong các câu hỏi của các đề thi. Đặc biệt trong các bài toán về tam thức bậc hai thì không thể không nói đến bài toán “ so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thức α”. Trong câu I của các đề thi đại học ta cũng hay gặp câu hỏi như: “ Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng” để giải quyết bài toán này ta thường đưa về dạng bài toán: “ so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thức α”. Công cụ để giải quyết bài toán này trước kia thường sử dụng là “định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai”. Nhưng trong chương trình cải cách sách giáo khoa đã bỏ định lí này. Trong quá trình dạy học môn đại số lớp 10, giải tích lớp 12 về vấn đề này, tôi thấy học sinh thường lúng túng khi giải và nhiều khi trình bầy dài dòng, dẫn đến dễ bị mắc sai lầm. Vậy, làm thế nào để giúp các em có thể vượt qua trở ngại này? từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập? 
Chính vì những lý do trên mà tôi đã quyết định chọn đề tài “Áp dụng định lí Vi-ét giải bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực ”, với hy vọng và mong muốn sẽ đem đến cho các em những kỹ năng, những phương pháp nhằm giúp các em khắc phục những trở ngại nói trên. Từ đó đem lại cho các em kết quả cao hơn trong học tập, giúp các em yêu thích và có hứng thú hơn trong học Toán.
II. Mục đích nghiên cứu. 
Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho các bạn đồng nghiệp. Trong đề tài này tôi đưa ra phương pháp sử dụng định lí Vi-ét để giải bài toán: “ so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thức α”, cũng như một số bài toán: “ Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên một khoảng”, Qua đó cho học sinh thấy được sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán. Từ đó đem đến cho học sinh sự say mê và yêu thích hơn trong học toán, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn trong học tập
III. Đối tượng nghiên cứu. 
Nghiên cứu về định lí Vi-ét, nghiệm của tam thức bậc hai so với một số α, tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng, bài toán về cực trị của hàm số phải sử dụng định lí Vi-ét.
IV. Phạm vi nghiên cứu. 
 - Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh.
 - Áp dụng cho học sinh khối 10, 12. Đặc biệt là học sinh lớp 12 tham gia thi đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp.
 	V. Phương pháp nghiên cứu.
	Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thực nghiệm.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu. 
1. Định lí Vi – ét: Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm thì 
Và ngược lại, nếu hai số u và v có thì u và v là hai nghiệm của phương trình .
2. Quy tắc về dấu.
* Với hai số thực a và b, ta có quy tắc về dấu:
; 	; 	
* Với α là số bất kì, ta có:
+, ;
+, ;
+, .
3. Định lí về tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm bậc nhất:
Hàm số có đạo hàm trên khoảng K :
Nếu thì hàm số đồng biến trên K (bằng không tại một số hữu hạn điểm);
Nếu thì hàm số nghịch biến trên K (bằng không tại một số hữu hạn điểm).
4. Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại thì .
5. Cách giải bất phương trình bậc hai.
II. Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu.
Trong quá trình dạy học môn Toán đại số lớp 10, khi dạy về phần tam thức bậc hai, mà cụ thể là bài toán “ so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thức α”, tôi thấy học sinh thường lúng túng trong việc giải bài toán này bằng cách giải trực tiếp bất phương trình, vì bất phương trình này thường là bất phương trình vô tỷ, việc giải BPT vô tỷ học sinh thường rất rễ mắc sai lầm, nhiều khi cách giải này còn dài dòng và phức tạp. Để giúp các em có thể vượt qua trở ngại này và từ đó giúp các em có thể tự tin hơn, làm tốt hơn khi giải bài toán loại này. Từ đó đem lại cho các em kết quả cao hơn trong học tập. Chính vì thế tôi đã chọn đề tài này.
III. Nội dung của các vấn đề nghiên cứu.
1. Bài toán “ Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai có nghiệm thuộc khoảng (a; b). 
	Ví dụ 1 : Cho phương trình: 
	 (1)
a) Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2;
b) Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2).
Lời giải : 
Có .
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm , theo Vi-ét ta có:
(2)
Phương trình (1) có hai nghiệm lớn hơn 2
Vậy, với m > 3 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 2.
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2)
Vậy với thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 2).
2. Bài toán “ Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình bậc hai có nghiệm thuộc khoảng ( đoạn ) cho trước”. 
Ví dụ 2 : Tìm m để bất phương trình:
 (2) nghiệm đúng với 
Lời giải : Bất phương trình (2) có tập nghiệm là , với là hai nghiệm của tam thức . (vì tam thức luôn có hai nghiệm là m và m+2)
Theo Vi – ét ta có: 
	Do đó, để bất phương trình (2) nghiệm đúng với 
	Vậy, với thì bất phương trình nghiệm đúng 
Ví dụ 3 : Cho bất phương trình: (1).
Tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với "x <- 4. 
Lời giải : 
+, Với m – 2 = 0 Û m = 2, ta được:
 ÞBPT không nghiệm đúng với "x <- 4. 
	+, Với m ≠ 2 , để bất phương trình nghiệm đúng với "x <- 4, ta có các trường hợp sau:
	- Nếu BPT nghiệm đúng với 
"xÎ R. Do đó BPT (1) nghiệm đúng với "x <- 4.
	- Nếu thì tam thức có hai nghiệm giả sử là . Để BPT (1) nghiệm đúng với "x <- 4 thì:
Từ (1) và (2) ta có: (**).
Từ (*) và (**), ta có giá trị m cần tìm là: .
3. Bài toán “ Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng (đoạn) cho trước”. 
Ví dụ 4 : Tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến trong khoảng (-1; 1).
Lời giải : TXĐ: D = R.
	Có: 
	Giả sử y’ có hai nghiệm là , theo Vi –ét ta có: .
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1; 1) trên khoảng (-1; 1)
 	Vậy giá trị m cần tìm là: .
Ví dụ 5 : Tìm m để hàm Số
 đồng biến với " x ³ 2.
Lời giải:
TXĐ: D = R;
Có ;
Có .
Do đó để hàm số đồng biến với "x ≥2 
	Vậy giá trị của m cần tìm là: .
4. Bài toán “ Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị trên khoảng (đoạn) cho trước”. 
Ví dụ 6 : Cho hàm số . Tìm m để hàm số có CĐ, CT tại thỏa mãn:
a) ;	b) .
Lời giải:
Có TXĐ: D = R;
Có . Để hàm số có cực trị thì phương trình 
có hai nghiệm phân biệt
	Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm là .
a) Hàm số có CĐ, CT tại thỏa mãn 
 Từ (*) và (**) suy ra giá trị của m cần tìm là: .
b)Hàm số có CĐ, CT tại thỏa mãn 
Vậy không có giá trị nào của m cần tìm thỏa mãn yêu cầu.
5. Bài tập vận dụng
1. Cho phương trình: (1).
a) Với giá trị nào của m thì PT (1) có đúng một nghiệm thuộc khoảng (-1; 1);
b) Nghiệm lớn của PT(1) thuộc khoảng (-2; 1).
2. Cho phương trình: 
a) Xác định m để PT(1) có đúng một nghiệm thuộc khoảng (0; 1);
b) Xác định m để PT(1) có nghiệm thuộc khoảng (0; 1);
c) Xác định m để PT(1) có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 3);
3. Cho phương trình: 
a) Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm thỏa mãn ;
b) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1 ).
4. Cho tam thức .
a) Tìm điều kiện của m để BPT f(x) > 0 nghiệm đúng với "x Î (1; 2);
b) Tìm điều kiện của m để BPT f(x) > 0 nghiệm đúng với "x Î [0; 2].
5. Tìm m để BPT nghiệm đúng với "x Î (-1; 3).
6. Tìm điều kiện của m để h/s :
1) luôn đồng biến;
2) nghịch biến trong khoảng (-1; 1);
3) đơn điệu trên R. Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến, tại sao?
4) luôn đồng biến;
5) đồng biến trong khoảng (2; + ¥);
6) đồng biến khi x ³ 2;
7) đồng biến trong khoảng (0;3);
8) 
 a) Tìm m để hàm số nghịch biến tron khoảng (0; 1).
b) Tìm m để hàm số nghịch biến trong một khoảng có độ dài lớn hơn 1.
7. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có CĐ, CT tại thỏa mãn:
	a) ;
	b) ;
	c) ;
8. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có CĐ, CT tại thỏa mãn: .
KẾT THÚC VẤN ĐỀ 
I. Ý nghĩa của đề tài.
- Mục đích quan trọng nhất của đề tài này là tôi muốn lấy đây làm một cuấn tài liệu phục vụ trong quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời cũng là cuấn tài liệu để các đồng nghiệp tham khảo trong giảng dạy.
- Giúp học sinh biết cách so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực bằng Vi-ét, giải quyết một số bài toán về bất phương trình bậc hai chứa tham số, một số bài toán về hàm đơn điệu, cực trị của hàm số,. Đồng thời qua các này dạng bài tập này giúp các em nắm vững và hiểu kỹ hơn về tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai và định lí Vi-ét. Thông qua đó nhằm phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh. Từ đó mang lại sự say mê và hứng thú trong học Toán,  
II. Kết quả nghiên cứu.
	- Đề tài này tôi bắt đầu thực hiện từ năm học 2010 – 2011 trực tiếp trên lớp 10B1, thực hiện trong năm học 2012 – 2013 trên lớp 10B2 và lớp 12B7. Kết quả đa số các em đã biết so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực bằng Vi-ét, giải quyết được những băn khoăn, e ngại cho học sinh khi giải dạng toán này. Đề tài đã góp phần nâng cao kết quả học tập bộ môn Toán nói riêng, kết quả học tập của các em trong nhà trường nói chung. 
	- Kết quả thi học kì I, thi thử đại học lần 1 và thi thử đại học lần 2, bài kiểm tra một tiết của lớp 10B2, lớp 12B7 đa số các em đều làm được dạng toán về tam thức bậc hai hoặc liên quan đến tam thức bậc hai. Cụ thể như sau:
 số H/S 
Đợt thi
Số học sinh không đạt
Số học sinh đạt
Thi HKI
0
100%
Thi ĐH L1
5,6%
94,4%
Thi ĐH L2
4.9%
95.1%
Bài 45’
0%
100%
	- Những kết quả khả quan từ thực nghiệm sư phạm, cho phép tôi kết luận rằng mục đích nghiên cứu của đề tài đã được hoàn thành và đề tài có tính khả thi cao.
	- Tôi hy vọng rằng, đây là cuấn tài liệu mà các thầy cô giáo dạy Toán yêu thích, đồng thời giúp các em học sinh học tốt hơn phần tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai, hàm số đơn điệu, cực trị của hàm số. Qua đó góp phần nâng cao kết quả học tập của các em.
III. Những kiến nghị làm tăng tính khả thi.
	Đề tài này có ý nghĩa thiết thực cho học sinh, đặc biệt là dùng cho học sinh ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học,. Vì vậy trong thời gian tới, tôi tiếp tục nghiên cứu và mở rộng hơn nữa để đề tài được hoàn chỉnh hơn, và thực sự là cuấn tài liệu bổ ích. Để đề tài được hiệu quả hơn thì:
Cần điều chỉnh phạm vi bài tập nhằm áp dụng trên nhiều đối tượng học sinh.
Đầu tư thời gian, vật chất nghiên cứu thêm các chuyên đề khác có liên quan.
Cần có sự quan tâm, ủng hộ của các cấp lãnh đạo hơn nữa.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Lê Hồng Đức: Phương pháp giải toán hàm số, NXB Hà Nội, 2005.
Lê Hồng Đức (Chủ biên) – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc: Phương pháp giải toán đại số, NXBĐHSP, 2004. 
Lê Viết Hòa (GV THPT Vĩnh Xuân, Phú Vang, Thừa Thiên-Huế), Báo toán học và tuổi trẻ - số 380, XB tháng 2 năm 2009.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên)- Doãn Minh Cường – Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn Tiến Tài, Đại số 10, NXBGD,2006.
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương – Cấn Văn Tuất – Nguyễn Tiến Tài, Giải tích 12, NXBGD,2008.
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện nghiên cứu và thử nghiệm Tôi đã nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô đồng nghiệp trong trường, trong tổ. Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ chân thành đó. 
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Ban chấp hành Công Đoàn trường THPT Gia Viễn C, các thầy cô trong hội đồng sư phạm nhà trường, các thầy cô trong tổ Toán – Tin đã tạo điều kiện, động viên để tôi có cơ hội nghiên cứu khoa học, trao đổi tri thức khoa học. Thầy cô trong ban giám hiệu đã tạo điều kiện cho chúng tôi được thể nghiệm trên đối tượng học sinh. Từ đó hoàn thành bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy này.
 Do thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài bản báo cáo và những thử nghiệm của tôi không tránh khỏi thiếu sót và những khía cạnh chưa đề cập đến. Rất mong nhận được những ý kiến quý báu của quý bạn đọc để đề tài phát huy hiệu quả sâu rộng hơn.
Xin chân thành cảm ơn !
 Gia Viễn, ngày 10 tháng 04 năm 2013
 Tổ Toán – Tin 
MỤC LỤC
A. Đặt vấn đề
1
B. Giải quyết vấn đề
3
I Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu
3
II Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu
3
III Nội dung của các vấn đề nghiên cứu
3
III.1.Bài toán: “Tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc hai có nghiệm thuộc khoảng (a; b)”. 
4
III.2. Bài toán: “Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình bậc hai có nghiệm thuộc khoảng (đoạn) cho trước”. 
5
III.3. Bài toán: “Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng (đoạn) cho trước”.
6
III.4. Bài toán: “Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có cực trị trên khoảng (đoạn) cho trước”.
7
III.5. Bài tập vận dụng
8
C. Kết thúc vấn đề
10-11
Tài liệu tham khảo
12