Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm GTNN, GTLN và chứng minh bất đẳng thức

 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
- 0 - 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI 
Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền 
 Mã số: ................................ 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
ÁP DỤNG 
BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐỂ TÌM 
GTNN, GTLN VÀ CHỨNG MINH 
BẤT ĐẲNG THỨC 
 Người thực hiện: ĐỖ TẤT THẮNG. 
 Lĩnh vực nghiên cứu: 
 Quản lý giáo dục  
 Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN  
 Phương pháp giáo dục  
 Lĩnh vực khác: .........................................................  
 Có đính kèm: 
  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác 
Năm học: 2011-2012 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
- 1 - 
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC 
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN 
1. Họ và tên: ĐỖ TẤT THẮNG 
2. Ngày tháng năm sinh: 06/09/1981 
3. Nam, nữ: Nam 
4. Địa chỉ: 149/7 Khu phố 2 phường Trung Dũng, BH-Đồng Nai. 
5. Điện thoại: 0918.306.113 
6. E-mail: thangtatdo@yahoo.com 
7. Chức vụ: Gíao viên Toán 
8. Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền 
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO 
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Thạc sĩ Toán 
- Năm nhận bằng: 2010 
- Chuyên ngành đào tạo: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán. 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
- 2 - 
ÁP DỤNG 
BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐỂ TÌM GTNN, GTLN VÀ 
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 
- Ngày nay, bất đẳng thức(BĐT) được đề cập đến nhiều hơn trong chương trình do tầm 
quan trọng và cách giải độc đáo của chúng. BĐT là kiến thức không thể thiếu trong các kì 
thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi. BĐT áp dụng rất nhiều trong trong cuộc sống nói 
chung và toán học nói riêng chẳng hạn: giải phương trình, hệ phương trình, bất phương 
trình, hệ bất phương trình, các bài toán cực trị . . . 
- Đa số học sinh khi gặp BĐT thường hay lúng túng, không biết nên xuất phát từ đâu? 
Phương pháp giải như thế nào? Với vai trò là giáo viên dạy môn Toán, tôi muốn học sinh 
lớp 10 được tiếp cận một số đề thi cao đẳng, đại học, bài BĐT hay từ những kiến thức bình 
thường, dễ hiểu nhất. 
- Áp dụng bất đẳng thức phụ để tìm GTLN, GTNN và chứng minh các BĐT là một trong 
các phương pháp đơn giản, dễ hiểu hơn so với đa số các phương pháp khác, phù hợp với 
học sinh lớp 10. 
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 
Qua thực tế dạy học và từ ghi nhận trên chúng tôi nhận thấy trong chương trình lớp 10 
phần BĐT, số bài tập trong sách giáo khoa hạn chế và thời lượng dành cho nó rất ít. Do đó, 
tôi mạnh dạn làm SKKN này với mong muốn là một tài liệu nhỏ giúp học sinh đỡ khó khăn 
hơn khi gặp một số bài BĐT có dạng trên. 
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI 
A) Sử dụng bất đẳng thức phụ chứng minh bất đẳng thức 
 Bất đẳng thức phụ: 
Cho 2 số dương a, b ta có: 
1 1 1 1
4a b a b
     
  Hay 
1 1 4
a b a b
     
  
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 
 Khi gặp một số bài toán BĐT mà ta áp dụng được BĐT phụ, lời giải sẽ trở nên ngắn 
gọn, dễ hiểu hơn so với các cách làm khác. Để khách quan hơn chúng ta cùng xét bài 
toán sau: 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
- 3 - 
Ví dụ 1. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1. 
Chứng minh rằng: ac bc
1 1 16  
Lời giải 1: (Không dùng BĐT phụ) 
Áp dụng BĐT Bunnhiacốpski ta được 
       
                                           
    
  
ac bc ac bc
ac bc ac bc
ac bc ac bc a b c c c
22 2
2 2 1 1 1 1. 4
1 1 4 4 4
( ) (1 )
Ta sẽ chứng minh rằng 
4 16
(1 )c c


 4 16(1 )c c   
 24(2 1) 0c   (đpcm) 
Vậy ac bc
1 1 16  . 
Đẳng thức xẩy ra 

 

 

a b
c
1
4
1
2
Lời giải 2: (Áp dụng BĐT phụ) 
Áp dụng BĐT  ta có: ac bc c a b c a b c a b
2
1 1 1 1 1 4 4 16
( )
2
 
      
    
 
 
. 
Đẳng thức xảy ra  c a b
1 1,
2 4
   . 
Bảng so sánh các ưu, nhược điểm của Lời giải 1 và Lời giải 2: 
 Kiến thức sử dụng Phạm vi kiến thức Khó khăn hay thuận lợi đối với HS 10 
BĐT Bunnhiacốpski Ngoài chương trình SGK phổ thông. 
Biến đổi tương đương Lớp 10 LG1 
Hàng đẳng thức đáng 
nhớ Lớp 8 
Khó khăn 
LG2 BĐT phụ Lớp 8,9,10 Thuận lợi 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
- 4 - 
Qua bảng so sánh trên ta thấy : 
+ Áp dụng LG1 phải dùng tới các kiến thức ngoài chương trình(BĐT 
Bunnhiacốpski), lời giải khá dài dòng, do đó gây khó hiểu đối với đối với HS lớp 10. 
+ Áp dụng LG2 chỉ dùng BĐT phụ trong chương trình, lời giải ngắn gọn, do đó rất 
dễ hiểu đối với đối với HS lớp 10. 
 Từ BĐT phụ trên chúng ta cũng có thể chứng minh được các bài toán BĐT khó hơn . 
Sau đây là một số ví dụ minh họa. 
Ví dụ 2. Cho ba số dương a, b, c, ta có: )
111(
2
1111
cbaaccbba






 Lời giải: 
Áp dụng BĐT ta có 
1 1 1 1
4a b a b
     
 (1) 
1 1 1 1
4b c b c
     
 (2) 
1 1 1 1
4c a c a
     
 (3) 
Cộng (1)+(2)+(3) ta được )
111(
2
1111
cbaaccbba






 (đpcm) 
Đẳng thức xẩy ra a b c   
Ví dụ 3. Với a, b, c là các số dương Chứng minh rằng: 
)111(
4
1
2
1
2
1
2
1
cbabacacbcba






Lời giải: 
Áp dụng BĐT ta có 
   
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1( ) ( ) ( )
2 4 4 4 4 16a b c a b b c a b b c a b b c a b c
                        
  
1 1 1 2 1
2 16a b c a b c
       
 (1) 
tương tự: 
1 1 1 1 2
2 16b c a a b c
       
 (2) 
1 1 2 1 1
2 16c a b a b c
       
(3) 
Cộng (1)+(2)+(3) ta được: )
111(
4
1
2
1
2
1
2
1
cbabacacbcba






(đpcm) 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
- 5 - 
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a=b=c. 
Nhận xét: 
+ Trong Ví dụ 3 cho 1 1 1 4
a b c
   và đổi biến a,b,c lần lượt thành x,y,z thì bài toán trở 
thành đề thi đại học năm 2005 khối A. 
Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4
x y z
   . Chứng minh rằng: 
1 1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
  
     
+ Cho ba số dương a, b, c theo Ví dụ 2 ta có: 
1 1 1 1 1 1( ) 2
a b c a b b c c a
         
Nếu áp dụng liên tiếp BĐT trên 2n lần thì 
1
2
3
4
5
6
1 1 1 1 1 1( ) 2
1 1 12
2 2 2
1 1 12
2 3 3 3 2 3 3 3 2
1 1 12
5 5 6 6 5 5 5 6 5
1 1 12
11 10 11 11 11 10 10 11 11
12
22 21
a b c a b b c c a
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
a b
         
          
          
          
          

 
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1
21 21 22 21 21 21 22
...
1 1 12
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
n
n n n n n n n n n
c a b c a b c
a b c a b c a b c
       

 
 
   
               
 
Từ 
đây quan sát và tổng quát hóa ta có BĐT mở rộng 1 : 
Cho ba số dương a, b, c , *n N  thì 
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 12
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
n
n n n n n n n n na b c a b c a b c a b c
 
 
     
               
 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
- 6 - 
Có thể chứng minh BĐT trên bằng BĐT VD2 kết hợp với phương pháp chứng minh qui 
nạp. 
+ Cho ba số dương a, b, c theo Ví dụ 2 ta có: )
111(
2
1111
cbaaccbba






Nếu áp dụng liên tiếp BĐT trên 2n+1 lần thì 
1
2
3
4
5
2 1
1 1 1 1 1 1( ) 2
1 1 12
2 2 2
1 1 12
2 3 3 3 2 3 3 3 2
1 1 12
5 5 6 6 5 5 5 6 5
1 1 12
11 10 11 11 11 10 10 11 11
...
12
2
n
a b c a b b c c a
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c

         
          
          
          
          

 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1
2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
n n n n n n n n n
a b c a b c a b c
        
 
 
  
               
  
BĐT mở rộng 2: 
Cho ba số dương a, b, c , *n N  , ta 
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1 12
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
n
n n n n n n n n na b c a b c a b c a b c

        
 
 
     
               
 
 Từ BĐT mở rộng 1 và 2 ta nhận thấy, càng áp dụng BĐT trong VD2 nhiều lần thì 
vế phải càng nhỏ dần. Bằng cách áp dụng BĐT trong VD2 và phương pháp qui nạp chúng 
ta thu được các BĐT mở rộng 3, theo tôi là rất mới và hay sau. 
BĐT mở rộng 3a: 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
- 7 - 
Cho ba số dương a, b, c , *, :n k N k n   , ta có: 
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 12
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 12
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
k
k k k k k k k k k
n
n n n n n n n n n
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c
 
 
  
               
 
 
 
   
               
 
BĐT mở rộng 3b: 
Cho ba số dương a, b, c , *, :n k N k n   , ta có: 
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 12
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 12
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3
k
k k k k k k k k k
n
n n n n n n n n
a b c a b c a b c
a b c a b c a b

        

       
 
 
  
               
 
  
       
     
1 2
3
n
c

 
 
 
  
 
BĐT mở rộng 3c: 
Cho ba số dương a, b, c , 
*, :n k N k n   , ta có: 
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 12
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 12
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
k
k k k k k k k k k
n
n n n n n n n n n
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c

        
 
 
  
               
 
 
 
   
               
  
BĐT mở rộng 3d: 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
- 8 - 
Cho ba số dương a, b, c , 
*, :n k N k n   , ta có: 
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 12
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 12
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
k
k k k k k k k k k
n
n n n n n n n n n
a b c a b c a b c
a b c a b c a b c

        
 
 
  
               
 
 
 
   
               
  
Tất cả các BĐT mở rộng 1,2,3a,3b,3c,3d đều chứng minh được bằng BĐT trong 
VD2 kết hợp với phương pháp qui nạp. 
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với a, b, c dương: 
accbbabacacbcba 3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
1











Lời giải: 
Vận dụng BĐT  ta có: 
cbaacbbaacbba 





 2
2
)2()3(
4
2
1
3
1 
acbbaccbbaccb 





 2
2
)2()3(
4
2
1
3
1 
baccbaaccbaac 





 2
2
)2()3(
4
2
1
3
1 
Cộng vế theo vế các BĐT trên và rút gọn ta có BĐT cần phải chứng minh 
Đẳng thức xảy ra khi: cba
cbaac
baccb
acbba









23
23
23
 Sau đây là một số bài tập tương tự để luyện tập: 
Bài 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ( p là nửa chu vi). Chứng minh rằng:
 p a p b p c a b c
1 1 1 1 1 12
 
         
(Đề HK2 Khối 10A Trường Ngô Quyền 2007-2008) 
Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
 a b c b a c c a b a b c
1 1 1 1 1 1
2 2 2 4 4 4
    
     
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
- 9 - 
Bài 3. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa abc = ab + bc + ca thì: 
96
17
32
1
32
1
32
1





 bacacbcba 
Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức: 
1 1 1 1 1 14
2 3( ) 2 3( ) 2 3( ) 10 11 11 11 10 11 11 11 10a b c b c a c a b a b c a b c a b c
                  
Bài 5. Cho ba số dương a, b, c , *n N  . cmr 
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 12
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
n
n n n n n n n n na b c a b c a b c a b c
 
 
     
               
 
Bài 6. Cho ba số dương a, b, c , *n N  . cmr 
2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1 1 1 12
2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
n
n n n n n n n n na b c a b c a b c a b c

        
 
 
     
               
 
Bài 7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
a b c
a b b c c a
1 1 1
1 1 1 1 1 1 2
 
  
  
Bài 8. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
ab bc ca a b c
a b b c c a 2
 
  
  
. 
Bài 9. Cho x, y, z > 0 thoả x y z2 4 12   . Chứng minh: 
xy yz xz
x y y z z x
2 8 4 6
2 2 4 4
  
  
. 
Bài 10. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: 
a c b d c a d b
a b b c c d d a
4      
   
B) Sử dụng bất đẳng thức cơ bản tìm GTLN, GTNN của biểu thức 
 Trong nhiều trường hợp áp dụng BĐT phụ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một 
biểu thức đem lại hiệu quả cao, lời giải ngắn gọn, xúc tích, phù hợp với học sinh lớp 10 và 
THCS. 
Ví dụ 1. Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y1. Tìm giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức 1 1A
x xy
  . 
(Đề Cao Đẳng 2010) 
Lời giải 1:(Không dùng BĐT phụ) 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
- 10 - 
Ta có 
3x y 1 1 3
0 10
0 3
y x
x
x
y
   
   
   
. Do đó 1 1 1 1
(1 3 )
A
x xxy x x
   

Áp dụng BĐT Côsi 2 số 1 1 1 1 1 21 3 1 2(1 3 )
2
x xx x x xx x
    
  
Xét hàm số 
1 2 1( ) , (0; )
1 2 3
f x x
x x
  

Ta có    2 22 2
1 4 4 1'( )
1 2 1 2
xf x
x x x x

   
 
Lập BBT 
x  0 1
4
 1
3
  
f’(x) - 0 + 
f(x) 
  9 
 8 
Ta có Min f(x)=8 khi 
1
4
x  . Vậy Min A=8 khi 
1
4
x y  
Lời giải 2:(Áp dụng BĐT phụ) 
Áp dụng BĐT  ta có 
1 1 4 4 8 8
3
2
x yx x yxy x xy x
    
  
Vậy Min A= 8 khi 
1
4
x y  . 
Bảng so sánh các ưu, nhược điểm của Lời giải 1 và Lời giải 2 
 Kiến thức sử dụng Phạm vi kiến thức Khó khăn hay thuận lợi đối với HS 10 
BĐT Côsi 2 số Lớp 10 
Điểm rơi BĐT Côsi 
Ngoài chương trình. 
Đòi hỏi khả năng phân 
tích tổng hợp của HS. 
LG1 
Ứng dụng đạo hàm Lớp 12 
Khó khăn 
LG2 BĐT phụ Lớp 8,9,10 Thuận lợi 
Qua bảng so sánh trên ta thấy rằng đối với bài toán trên: 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
- 11 - 
+ Áp dụng LG1 phải dùng tới các kiến thức lớp 12(Ứng dụng đạo hàm) và kiến thức 
ngoài chương trình(Điểm rơi BĐT Cô si đòi hỏi khả năng phân tích và tổng hợp khá 
cao của học sinh khi dự đoán điểm rơi), dài dòng. Do đó gây khó hiểu đối với HS lớp 
10. 
+ Áp dụng LG2 chỉ dùng BĐT phụ trong chương trình, lời giải ngắn gọn. Do đó, rất 
dễ hiểu đối với HS lớp 10. 
Ví dụ 2. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + 
1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của 1 1 4
x y zQ
x y z
  
  
Lời giải: 
Đặt 
 1 0 1
 1 0 1
 4 0 4
a x x a
b y y b
c z z c
     
 
      
      
Ta có: a + b + c = 6 và 
1 1 4 1 1 43a b cQ
a b c a b c
           
 
Theo bất đẳng thức  ta có: 
1 1 4 4 4 16 8( )
3a b c a b c a b c
     
  
8 13
3 3
Q    
Vậy 
3
1
MaxQ khi 






1
2
1
z
yx
 Sau đây là một số bài tập tương tự để luyện tập: 
Bài 1. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
 xyxyyx
A 421 22 
 
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
1 1x y y z z xB
t y y z z x x t
   
   
    
Bài 3. Cho a, b, c > 0 thỏa: a+b+c= 6. 
Tìm GTLN của biểu thức:     
ab bc caC
a b b c c a . 
Bài 4. Cho x, y, z > 0 thoả x y z2 4 12   . 
 Giáo viên: Đỗ Tất Thắng Trường THPT Ngô Quyền Biên Hoà-Đồng Nai 
- 12 - 
Tìm GTLN của biểu thức:     
2 8 4
2 2 4 4
xy yz xzD
x y y z z x . 
Bài 5. Cho a, b, c, d > 0. 
Tìm GTLN của biểu thức: 
   
   
   
a c b d c a d bE
a b b c c d d a 
IV. KẾT QUẢ 
 Khi áp dụng chuyên đề trên cho HS 10 thì tôi thấy HS rất thích thú, đồng thời các em 
cũng đỡ lúng túng hơn khi gặp các dạng bài tập trên. 
V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM 
 Nếu có thêm thời gian mở rộng thì tôi nghĩ rằng đề tài có thể trở nên có nhiều tác dụng 
hỗ trợ thiết thực trong việc rèn luyện và phát triển tư duy góp phần giải được khá nhiều 
dạng toán trong quá trình dạy học sinh nói chung và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi nói riêng. 
VI. KẾT LUẬN 
- Sử dụng BĐT phụ, đổi biến là phương pháp ngắn gọn, dễ hiểu, hiệu quả cho lớp bài 
toán khá rộng của BĐT, phù hợp với các học sinh lớp 10 và thi đại học. 
- Phương pháp giải trên cho HS một cách giải khác tư duy, sáng tạo hơn. Tạo động lực 
cho HS đam mê Toán. 
- Tuy nhiên, các dạng và phương pháp tôi lựa chọn chưa hẳn tối ưu và đầy đủ, chắc chắn 
còn phải bổ sung thêm cho việc giảng dạy tốt hơn. Rất mong có sự đóng góp của quí đồng 
nghiệp. 
VII. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Một số trang web như: www.maths.vn , www.nxbgd.vn/toanhoctuoitre 
2. Nguyễn Minh Nhiên, Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức có chứa biến ở 
mẫu, trang 1 số 393 tháng 3 năm 2010, Báo Toán học với tuổi trẻ. 
VIII. LỜI KẾT 
 Để hoàn tất được chuyên đề này. Ngoài sự nỗ lực của bản thân còn phải kể đến sự 
góp ý của các thầy cô Tổ Toán Trường THPT Ngô Quyền. Đặc biệt, cô Lê Thanh Hà tổ 
trưởng cùng Thầy Lê Văn Đắc Mai tổ phó đã rất nhiệt tình giúp đỡ, tư vấn để tôi hoàn thiện 
sáng kiến kinh nghiệm. 
 NGƯỜI THỰC HIỆN 
ĐỖ TẤT THẮNG