Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải Toán cực trị đại số

Sáng kiến kinh nghiệm: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào giải toán cực trị đại số
Lý do chọn đề tài:
 Đối với học sinh THCS Khi nói đến toán Bất đẳng thức, Bất phương trình thì đó là một loại toán khó. Là một giáo viên tôi nghĩ nên làm thế nào để HS hứng thú học tập, ham mê giải toán, không chán nản khi gặp bài toán khó, làm thế nào để HS biết phân tích, tổng hợp, suy luận,...vv để tìm ra được phương pháp giải phù hợp. Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần phải biết vận dụng đúng quy luật: “ Từ đơn giản đến phức tạp; mọi bài toán khó đều bắt nguồn từ bài toán đơn giản hơn”. Vì vậy khi đưa vào một dạng toán thì phải dựa vào cơ sở nội dung lý thuyết phù hợp với trình độ tiếp thu của HS. Thông qua một hệ thống bài tập rèn luyện cho HS nề nếp làm việc khoa học, học tập tích cực, chủ động sáng tạo và các thao tác tư duy cần thiết.
 Trong bài viết này tôi chỉ muốn đề cập đến một khía cạnh nhỏ là vận dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski để tìm cực trị dành bồi dưỡng HS khá giỏi cho HS lớp 8, 9 của bậc THCS.
Nội dung:
I/ Lý thuyết vận dụng:
1.Bất đẳng thức Bunhiacôpski áp dụng cho hai bộ số (a, b) và (x, y) :
 (a2+ b2).(x2+ y2) ( ax + by)2 (1)
 Bằng kiến thức HS đã học ở lớp 8 các em chứng minh được Bất đẳng thức này:
(1) a2 x2+ b2x2 + a2y2 + b2y2 a2 x2+ b2y2+ 2abxy
 a2y2 - 2abxy + b2x2 0
 (ay – bx)2 0 (2)
(2) luôn luôn đúng (1) đúng
Dấu “ =’’ xẩy ra ay = bx (x, y 0) 
 Bất đẳng thức Bunhiacôpski có đặc điểm khác với bất đẳng thức Côsi ở chỗ hai bộ số không đòi hỏi phải dương, áp dụng rộng hơn, tuy nhiên đối với từng bài toán cụ thể mà áp dụng cho thích hợp.
2.Bất đẳng thức Bunhiacôpski 
 áp dụng cho hai bộ ba số (a, b, c)và(x, y, z) :
 (a2+ b2 +c2).(x2+ y2 + z2) ( ax + by +cz )2 
Dấu “ =’’ xẩy ra (x, y, z 0)
Có khi người ta viết bất đẳng thức ở dạng :
 tuỳ theo từng lúc vận dụng
 * Mở rộng áp dụng cho hai bộ n số
(a1,a2, a3, ...., an) và ( b1, b2, b3,...., bn):
(a1,2a22, a32, ...., an2) . ( b1,2 b22, b32..., bn2) 2 (a1b1+a2b2++anbn)2
Dấu “ =’’ xẩy ra 
II/ Bài tập vận dụng:
 Để học sinh vận dụng được lý thuyết thành thạo và dần dần tạo nên kỹ năng kỹ xảo cho học sinh thì giáo viên cần đưa ra một hệ thống bài tập hợp lý.
Bài tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 
P = x + y Biết x2 + y2 = 4 
 Mấu chốt của việc vận dụng Bunhiacốpski là ở chỗ nào ? Là việc tim ra hai bộ số thich hợp 
Áp dụng Bunhiacụpski cho hai bộ số (1;1) và (x; y) ta có : 
P2 = (1.x + 1.y)2 (12+ 12).(x2+ y2)
 Như vậy ta có thể biết được P2 nhỏ hơn hoặc bằng một hằng số và ta có thể dễ dàng tìm được GTNN và GTLN của P
Dấu “ =’’ xẩy ra 
Vậy P max = 
 P main= 
Để đưa học sinh đi đến dạng tổng quát ta đi vào bài tập sau:
Bài tập 2: Tính giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:
S = x +2y biết: x2 + 4y2 = 2
 ở đây bài tập này: nếu đặt 2y = Y thì hoàn toàn giống ở bài tập 1. Từ đó học sinh biết chọn hai bộ số như thế nào thì thích hợp cho những dạng bài tập như thế này.
 Như vậy khi giải bài toán bằng cách áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski thì mấu chốt là chọn ra được hai bộ số {ai} và {bj} cho thích hợp với bài toán cụ thể. Thông qua một số bài tập cụ thể từ đó giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm ra những dạng chung để áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski. 
 Trong quá trình giảng dạy tôi tổng hợp được một số dạng chung như sau:
I/ Dạng 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức có dạng:
M = a.f(x) + b.g(y) biết f2(x) + g2(y) k2
(Như ở bài tập 1 và bài tập 2)
*Phương pháp giải:
 áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (a; b) và (f(x); g(y)) ta có: 
M2 = [a.f(x) + b.g(y)]2 (a2 + b2). [ f2(x) + g2(y)]
M2 (a2 + b2). k2
 k. 
Dấu “ = “ xẩy ra 
Một số ví dụ áp dụng :
Bài tập 1.1: Tìm GTNN của biểu thức : 
A = 4x2 + 3y2 7
cách xác định a, b để áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski vào dạng 1 như thế nào?
Các cách xác định a, b:
 4x + 3y = a.f(x) + b.g(y) trong đó f2(x) + g2(y) = 4x2 + 3y2
 4x + 3y = 2.2x +
 Khi đó áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski
cho hai bộ số A (2 ;) và (2x ; ta có :
A 2= (4x + 3y) 2 [22 +()2]. [(2x)2 + 3y2]
A 2 7.7 |A| 7
Dấu “ = “ xẩy ra 
A min = - 7 
Amax = 7 x = y = 1
Bài tập 1.2: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: 
B = 3x – 2y biết: 2x2 + 3y2 = 6
 Như đầu bài viết tôi đã trình bày, việc vận dung Bất đẳng thức Bunhiacôpski phải biết cách chọn lựa cặp số (a;b) và (f(x); g(y)) một cách khéo léo; học sinh phải biết huy động vốn kiến thức đã học một cách linh hoạt.
 ở đây phải biến đổi B = 3x – 2y về dạng a.f(x)+ b.g(y)
2x2 + 3y2 = 
B = 
Chọn:
(a;b) = ; (f(x); g(y)) =
B2 = (3x – 2y) 2 
 B2 
Dấu “ ="xẩy ra 
Bmax= 35 và 
Bmin= -35 và 
 Từ những ví dụ như bài tập 1.1, bài tập 1.2 ta tìm ra chách giải tổng quát của dạng :
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức dạng : P = ax = by biết : c2x2 + d2y2 = k2
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số và 
Ta có : P2 mk2 trong đó : m= 
(Các bài tập tương tự ta có thể thay a, b, c, d, k bởi các số thực bất kì khác 0)
Bài tập 1.3 : 
Cho x, y thoả mãn 2x2 + 3y2 = 12. 
Tính GTNN, GTLN của biểu thức B = 5x + 4y
Bài tập 1.4 : 
 Cho x, y thoả mãn 3x2 + y2 = 4 
Tính GTNN, GTLN của biểu thức N = -x + y
Bài tập 1.5 : 
 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: M = 2x – 5y – 6 biết x2 + y2 = 2
 HD: ứng dụng như dạng 1: tìm GTLN, GTNN của 2x – 3y 
 sau đó tìm GTLN, GTNN của M 
Bài tập 1.6 : 
Cho x, y thoả mãn (x-1)2 + (2y-1)2 = 8
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức : P = x+ 2y
 ở bài tập này ta áp dụng dạng 1 như thế nào?
 HD : Từ (x-1)2 + (2y-1)2 = 8 ta nghĩ đến áp dụng dạng 1
Cho f(x) = x-1 ; g(y) = 2y -1
 Muốn tìm a, b phải biến đổi như thế nào ?
P = x + 2y = a.(x-1) + b.(2y – 1)
P = 1.(x-1) + 1.(2y – 1) + 2
P – 2 = 1.(x-1) + 1.(2y – 1)
Như vậy để tìm được GTNN, GTLN của P ta phải tìm GTNN, GTLN của P – 2
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (1 ; 1) và (x – 1 ; 2y – 1) 
ta có : (P – 2)2 = (x – 1 + 2y – 1)2 (12 + 12). [(x – 1)2 + (2y – 1)2]
 (P – 2)2 2.8 = 16
(P – 2)2 = 16 hoặc 
Bài tập tương tự :
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: M = 3x + 2y 
Biết : (3x – 1)2 + (2y – 2)2 = 14
b) Cho x, y là những số dương thoả mãn : x2 + y2 2(x + y)
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: N = 2x + y 
HD : x2 + y2 2(x + y)
 x2 – 2x + y2 – 2y 0 
 x2 – 2x + 1 + y2 – 2y + 1 2
 (x – 1) 2 + (y – 1) 2 2
* Chú ý ta có thể mở rộng dạng 1 như sau : 
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức có dạng: M = a.f(x) + b.g(y) + c.h(z) +...
Biết rằng :f2(x) + g2(y) + h2(z) k (k là hằng số dương)
Ví dụ: 
Cho x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 2 
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức M = 3x + 2y + z
HD : Hoàn toàn tương tự ta áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ :
(3 ; 2 ; 1) và (x, y, z)
Câu hỏi đặt ra ngược lại liệu cho biết a.f(x) + b.g(y) cần tìm GTNN của biểu thức dạng f2(x) + g2(y) thì ta tìm như thế nào?
II/ Dạng 2 :
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng A = f2(x) + g2(y) biết rằng :
 a.f(x) + b.g(y) = k (k, a, b là hằng số)
Qua ví dụ BT1.2; từ đó ta rút ra phương pháp giải chung.
*Phương pháp giải:
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (a; b) và (f(x); g(y)) ta có :
[a.f(x) + b.g(y)]2 (a2 + b2). [ f2(x) + g2(y)]
Hay k2 (a2 + b2) A 
Dấu “ =”xẩy ra 
Một số ví dụ áp dụng :
Bài tập 2.1
Cho x, y thoả mãn 3x-4y=5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M=x2+y2 
Đây là một bài tập có thể áp dụng trực tiếp ngay ở dạng 2.
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (3;-4) và (x;y) ta có:
(3x-4y)2 [ 32+(-4)2] (x2+y2)
52 25 . M
 M 1.
Dấu “ = “ xẩy ra 
 x = và y = 
Vậy Mmin = 1 x = và y = 
Bài tập 2.2 
Cho 2 số x ;y thoả mãn 3x+8y=11. 
Tìm GTNN của biểu thức: N =4x2 + 5y2. 
Để vận dụng dạng 2 ta biến đổi: N = 
Xác định a, b sao cho:
3x+ 8y = a. 2x + b.y
 = 
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số và 
ta có :
Dấu “ = “ xẩy ra 
 Từ bài tập 2.1; 2.2 ta có thể ra cho học sinh nhiều bài tập để tự luyện ở dạng 2 ta chỉ cần thay đổi các bộ số 
Bài tập 2.3: 
 Tìm GTNN của biểu thức: P = 3x2 + 5y2 biết x + y = 2 
Bài tập 2.4: 
Cho x, y là những số thoả mãn 5x - 3y = 4
Tìm GTNN, của biểu thức : P = 2009+4x2 + 5y2
HD: để tìm GTNN của P thì đầu tiên tìm GTNN của 4x2 + 5y2
để sử dụng dạng 2, nhiều khi phải tự phát hiện lượng a.f(x) + b.g(y) = k
Ví dụ : Tìm GT bé nhất của biểu thức :
 A = ( 3x – 2y + 1)2+ ( -6x + 4y + 3) 2
Trong bài này ta nhận thấy :
2(3x – 2y + 1) + ( -6 + 4y + 3) =1 là một hằng số để vận dụng dạng 2 ta chọn 
 f(x, y) = 3x -2y -1 ; g(x, y) = -6x + 4y + 3
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số 
(2 ; 1) và (3x-2y-1 ;-6x+4y+3) ta có :
[2(3x-2y-1)+(-6x=4y+3)]2 (22+12).A
 1 5.A A 
Amin=
 15x2= 10y + 4 x= y + 
Bài tập tự giải:
Bài tập 2.5: Tìm GTNN của biểu thức: 
 A = ( 3x – 4y + 1)2 + (x - y + 3)2
HD: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số 
(2; -5) và [(3x – 4y +1); (x - y + 3)] 
 Như vậy việc tìm bộ số và lượng k là vấn đề mấu chốt, và không phải lúc nào ; k cũng là những hằng số 
Ví dụ: 
Bài tập 2.6:
Tìm GTNN của biểu thức: 
A = với 0 < x < 3
HD: Để ý ta thấy: với 0 < x < 3 thì : A =
Lúc này ta có thể vận dụng với f = g = 
Còn chọn k, , bằng bao nhiêu? , phải thoả mãn điều kiện gì?
 không đổi
Chú ý: và 
Từ đó chọn: 
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số 
 và ta có :
 A 
Hoàn toàn tương tự ta có thể giải những bài dạng :
Tìm GTNN của A =
m, n, a, b, c là những hằng số dương và 
Từ đây ta có thể mở rộng dạng 2 cho trường hợp các biểu thức nhiều biến với hai bộ số tương ứng
Bài tập 2.7:
Tìm GTNN của A + 3x2 + 2y2 + z
Biết x + y + z =2
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số
 và a có :
(x + y + z )2 
 A A 
Dấu “ =’’ xẩy ra 
Bài tập 2.8: Cho x, y, z, t có tổng bằng 3. 
 Tìm GTNN của x2 + y2 + z2 + t2
HD:áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số (1; 1; 1; 1)và (x; y; z; t)
Bài tập 2.9 : Cho x, y, z là những số dương thoả mãn : 2x + 4y + 5z =11. 
 Tìm GTNN của A = 
HD : Ta chọn bộ ba số là 
Tại sao ta lại chọn được như vậy ?
Ta nhận thấy : x, y, z > 0 thì A =
2x + 4y + 5z =k = 11 thì  ; ; thoả mãn
 2x + 4y + 5z =
để ý đến mối liên hệ giữa 2x + 4y + 5z và biểu thức A đó là : 
Từ đó áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số ta có : 
 và ta có : 
 A.11 112 A 11
Dấu “ =’’ xẩy ra 
 x= y = z = 1
III. Dạng III:
Tìm GTLN của biểu thức có dạng: 
A =  +
 Với  ; ; k là các hằng số; f(x) 0; g(x) 0; f(x) + g(x) = k2
Nêu phương pháp giải chung như thế nào?
Chọn bộ hai số như thế nào cho thích hợp? 
*Phương pháp giải:
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số () và ()
 ta có:
A 2 
A2 
|A| k.
Dấu “ = “ xẩy ra 
Một số ví dụ áp dụng :
Bài tập 3.1:
Tìm GTLN của biểu thức A = với 4 x 8
So sánh trong dạng 1: bộ () ở đây là (1; 1) 
f(x) = x – 4; g(x) = 8 - x
f(x) + g(x) = 4
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số
 và ()ta có :
A 2 =()2 (12 = + 12).(x - 4 + 8 - x)
A2 = 2.4 =8
A = 
Dấu “ = “ xẩy ra x=6
Vậy Amax = x = 6
Từ dạng 1 và bài tập 1.1. Học sinh có thể tìm ra và tự đặt ra các bài tập tương tự để giải. Tất nhiên không phải bao giờ các bài tập đều áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski trực tiếp, và chọn hai bộ số thích hợp một cách dễ dàng ta đi vào ví dụ phức tạp hơn một chút, cũng hoàn toàn như ví dụ 1 đặt bài toán là 
Tìm GTLN của biểu thức: A =
 Đối với học sinh các em có thể chọn ngay được hai bộ số 
(3; 8) và (; 
Để phức tạp hơn một chút có thể đưa 3 và 8 vào trong căn
A = 
 Nhưng đối với loại bài tập này thì lượng k 2 hoàn toàn xác định được dễ dàng, có những khi lượng k2 = f(x) +g(x) chưa rõ; mà f(x) + g(x) = h(x) thì cách chọn hai bộ số đó sẽ như thế nào để đưa về dạng 3
Bài tập 3.2: Tìm GTLN của biểu thức: 
 P = Với 2 x 3
Trong biểu thức này nếu chọn hai bộ số (1; 1) và ( )
thì f(x) + g(x) = 6x -12 +15 -5x = 3 + x
Chưa xuất hiện dạng k2 , vậy ta phải làm thế nào?
- Hãy để ý ; 
Như vậy ta đã hoàn toàn đưa về dạng 1 cho hai bộ số: và 
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có :
P2 =
P 2 11
P 
Dấu “ =’’ xẩy ra 
Hoàn toàn tương tự như vậy học sinh có thể giải nhanh, gọn và tự ra được những bài tập như vậy để giải
Ví dụ: 
Bài tập 3.3: Tìm GTLN của P = với 3 x 5
 HD: P = 
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số và 
Ta có dạng tổng quát :
Bài tập 3.4 : Tìm GTLN của biểu thức ( xét trong điều kiện biểu thức có nghĩa)
 B = và 
Phương pháp :
B = 
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số 
 và 
ta có : B2 
Dấu “ =’’ xẩy ra 
Chú ý: có thể vận dụng sáng tạo dạng này trong trường hợp không phải là hằng số không?
Ví dụ: Tìm GTLN của biểu thức: P = với 0 x 4
Nếu áp dụng dạng 1 thì f(x) + g(x) đang thay đổi theo x. Để ý chúng ta thấy rằng: với 0 x 4 thì : 
Từ đó ta áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai bộ số 
 vàta có :
P2 = 
P2 24
P 
Dấu “ =’’xẩy ra 
Pmax=
Chú ý: Nếu chọn bộ số và 
thì phương trình với 0 < x < 4 vô nghiệm
Bài tập tự giải:
Bài tập 3.5:
 Tìm GTLN của biểu thức 
M = 
N = 
Bài tập 3.6:
 Tìm GTLN của biểu thức:
A =
B = 
C- Kết quả:
 Việc giới thiệu ứng dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski để giải toán cực trị đại số, thêm cho học sinh một phương pháp giải cho học sinh; kích thích và gây hứng thú cho học sinh.
 Ngoài ra học sinh còn linh hoạt vận dụng giải phương trình và hệ phương trình; chứng minh bất đẳng thức. Học sinh tự mình đưa ra các bài tập để giải, tăng tính sáng tạo, tự học.
 Việc đưa ra hệ thống các bài tập từ dễ đến khó, nâng cao dần, giúp cho các em nắm bài một cách dễ dàng. 100% học sinh khá giỏi đều có thể giải được các dạng đã nêu và những dạng phức tạp hơn.
D - Bài học kinh nghiệm:
 Để bài dạy có hiệu quả cao giáo viên cần nghiên cứu kỹ các tài liệu, tìm ra các bài tập có đặc điểm chung để phân dạng chung, phương pháp giải chung cho mỗi dạng, giúp học sinh hiểu sâu, hiểu rộng vấn đề hơn.
 Giáo viên cần phải tìm hướng khai thác mỗi bài toán nhằm giúp học sinh hứng thú học tập, khơi dậy tính sáng tạo, độc lập trong từng bài toán cụ thể.
Diễn Châu, tháng 4/2209
	Người viết:
Nguyễn Thị Hoan Mai