Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 7 - Phần Hình học

phần mở đầu
 A. Lý do chọn đề tài:
 Hình học đối với học sinh Lớp 7 là một môn học khó. Khó bởi tính trừu tượng của hình học , mặc dù các em đã được tiếp cận với môn Hình học từ cấp tiểu học, song đến năm học lớp 6 vẫn mới chỉ là những kiến thức rất cơ bản và chủ yếu học bằng phương pháp đo đạc và công nhận .
 Hình học lớp 7 đưa vào với học sinh bước đầu yêu cầu học sinh phải biết vẽ hình một cách chính xác,với một bài toán ít giả thiết thì việc vẽ hình không khó khăn lắm, nhưng với một bài toán có nhiều giả thiết thì việc vẽ hình đúng và dễ nhìn là một vấn đề khó đối với các em học sinh .
 Bên cạnh đó,phương pháp chứng minh hình học dựa vào suy diễn bước đầu được đưa vào với học sinh . Nội dung này khó với học sinh bởi tính trìu tượng và tư duy logic toán học được thể hiện ở nội dung này. 
 Nâng cao hơn nữa các bài toán tổng quát hoá,đặc biệt hoá  đối với học sinh khá giỏi lại là một vấn đề đáng được quan tâm , vì thông qua những bài toán này giúp học sinh nhìn nhận toán học một cách tổng quát hơn và cụ thể hơn .
 Do vậy, việc dạy học giải toán cho học sinh Lớp 7 ở môn hình học có tầm quan trọng đặc biệt . Làm thế nào để học sinh yên tâm hơn , tự tin với môn học này. Sau nhiều năm trăn trở , trực tiếp giảng dạy và trao đổi với đồng nghiệp , tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 7- phần Hình học” để trình bày một vài kinh nghiệm nhỏ trong môn học này . Xin được nêu để bạn đọc tham khảo.
 Nhiệm vụ của đề tài:
 Giúp các em học sinh Lớp 7 có kĩ năng tốt trong bộ môn Hình học về vẽ hình , chứng minh , suy luận logic.
 Thông qua việc học môn Hình học giúp học sinh có những lập luận chặt chẽ ,hiểu hơn về môn Hình học và từ đó thêm yêu thích học môn Hình học .
-Rèn luyện kĩ năng tìm tòi kiến thức mới cho học sinh, hình thành thói quen đọc sách tham khảo và tìm kiếm kiến thức trong sách.
Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh Lớp 7 diện đại trà.
- Học sinh mũi nhọn môn Toán Lớp 7.
D. Phương pháp nghiên cứu :
-Phương pháp vấn đáp gợi mở
-Phương pháp cụ thể hoá, trìu tượng hoá.
-Phương pháp lập luận , suy diễn logic.
-Phương pháp phân tích , tổng hợp.
Đ.Thời gian nghiên cứu:
Từ tháng 9/2004 đến tháng 2/2006.
E. Kết quả kiểm tra trước khi áp dụng đề tài:
-Tổng số học sinh tham gia làm bài kiểm tra:37 học sinh.
-Kết quả điểm : Giỏi : 0/37 (= 0 % )
 Khá : 5/37 (= 13 % )
 Trung bình :19/37 (= 51 % )
 Yếu :10/37 (= 28% )
 Kém : 3/37 (= 8 % ).
Phần nội dung
 I. Đặt vấn đề:
 T
rong quá trình giảng dạy, để đạt được kết quả tốt thì việc đổi mới phương pháp dạy học có tầm quan trọng đặc biệt.
 Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học môn Toán ở trường THCS. Đối với học sinh thì giải toán là hoạt động chủ yếu của việc học tập môn Toán .
 Giải toán hình học là hình thức tốt để rèn luyện các kỹ năng : kỹ năng tư duy, kỹ năng tính toán, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng suy luận , Việc tìm tòi lời giải giúp học sinh rèn luyện phương pháp tư duy trong suy nghĩ, trong lập luận , trong việc giải quyết các vấn đề, Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh , sáng tạo và các phẩm chất trí tuệ khác.
 Bên cạnh đó chúng ta đã biết Hình học Lớp 7 có vai trò đặc biệt quan trọng trong quá trình dạy học Toán ở bậc THCS , vì ở Lớp 7 lần đầu tiên học sinh được rèn luyện có hệ thống kỹ năng suy luận , kỹ năng vẽ
hình, đó là những kỹ năng đặc trưng cho tư duy toán họcDo vậy việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Lớp 7 môn hình học là điều không thể thiếu được với những giáo viên trực tiếp giảng dạy môn này.
 Năm học 2004-2005 và 2005-2006 tôi được phân công trực tiếp giảng dạy môn Toán lớp 7, tôi đã áp dụng đề tài này với học sinh và kết quả thu được rất khả quan. Xin được trình bày toàn bộ nội dung để bạn đọc tham khảo.
II. Giải quyết vấn đề:
 Trong quá trình giảng dạy phần hình học ta cần lưu ý rèn luyện một số kỹ năng khi giải toán:
Kỹ năng vẽ hình
Kỹ năng suy luận và chứng minh
Kỹ năng tính toán.
1.Rèn luyện kỹ năng vẽ hình :
 Hình vẽ đóng một vai trò quan trọng trong quá trình giải toán. Hình vẽ chính xác, rõ ràng sẽ giúp học sinh nhanh chóng tìm ra hướng giải của bài toán. Một số học sinh vẽ hình không chính xác thường gặp rất nhiều khó khăn trong khi tìm lời giải cho bài toán, bởi vậy, khi dạy tôi thường chú ý giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vẽ hình : hướng dẫn học sinh tỉ mỉ để học sinh yếu có thể vẽ chính xác các loại đường chủ yếu.
 Một số học sinh khi làm bài tập thường vẽ hình vào trường hợp đặc biệt, hình vẽ không chính xác hoặc vẽ không hết các trường hợp.
 Ví dụ 1: Vẽ tam giác ABC cân tại A.
+ Khi thực hiện vẽ tam giác cân học sinh thường vẽ không chính xác, do vậy tôi hướng dẫn học sinh vẽ cạnh đáy trước sau đó dựng trung trực của cạnh đáy. Trên đường trung trực đó lấy một điểm bất kỳ (điểm đó khác trung điểm cạnh đáy), nối điểm đó với hai đầu của đoạn thẳng chứa cạnh đáy ta sẽ được tam giác cân.
 + Hoặc ta vẽ cạnh đáy trước sau đó dùng compa lấy hai đầu mút cạnh
đáy làm tâm vẽ hai cung tròn có bán kính bằng nhau bất kỳ , hai cung tròn này cắt nhau tại một điểm, nối điểm đó với hai đầu đoạn thẳng ta được tam giác cân.
 + Có thể hướng dẫn học sinh theo cách : Vẽ cạnh đáy sau đó trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa cạnh đáy ta vẽ hai góc cùng hợp với đáy hai góc bằng nhau( thường khác 60° ) ta sẽ được tam giác cân.
Ví dụ 2 : D Cho D ABC = D A’B’C’. Chứng minh rằng hai phân giác AD và A’D’ bằng nhau.
 Vì bài tập này được đưa ra sau phần tam giác cân nên học sinh thường vẽ D ABC và D A’B’C’ cân . Như vậy dẫn đến phân giác AM trùng với trung tuyến và đường cao , từ đó học sinh dễ ngộ nhận trong lời chứng minh.
 Ví dụ 3: Cho D ABC có AH là đường cao , AM là trung tuyến. Trên tia đối của tia AH lấy điểm E sao cho HE = HA . Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA. Nối B với E, C với I . Chứng minh BE = CI.
 Nếu học sinh vẽ vào trường hợp đặc biệt : D ABC cân tại A thì lúc này đường cao AH và trung tuyến AM sẽ trùng nhau dẫn đến bài toán không tìm được lời giải.
 Do vậy: Để giúp học sinh tránh được những sai lầm này trong dạy học tôi luôn lưu ý , nhắc nhở học sinh nếu bài toán không cho hình đặc biệt thì ta không được vẽ vào trường hợp đặc biệt và vẽ hình phải vẽ thật chính xác .
 Ví dụ 4: 
 Cho D ABC .Kẻ đường cao BD và CE. Chứng minh é ABD = é ACE.
 Khi đọc và vẽ hình bài tập này thường thì học sinh chỉ vẽ trường hợp tam giác có ba góc nhọn . Giáo viên cần hướng dẫn học sinh vẽ cả trường hợp tam giác có ba góc tù .
 Ví dụ 5: Cho D ABC. Dựng các tam giác đều MAB , NBC , PAC thuộc miền ngoài tam giác ABC . Chứng minh rằng :
éABN = éCBM ; éACN = éPCB 
MC =NA =PB .
 Với bài tập này ta nên xét các trường hợp tam giác có ba góc nhọn, tam giác có ba góc tù và chi tiết hơn là góc tù lớn hơn 120 °,bằng 120°,bé hơn 120 °.
2. Rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh:
 Việc rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh có tầm quan trọng khá đặc biệt vì học sinh cần có kỹ năng này không những chỉ khi giải các bài toán chứng minh mà cả khi giải các bài toán về quĩ tích , dựng hình và một số bài toán về tính toán .
 Chúng ta cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận và chứng minh theo các hướng :
Tăng cường các hoạt động nhận dạng định lý và thể hiện định lý .
Hướng dẫn học sinh suy luận theo nguyên tắc suy diễn và qui tắc qui nạp.
Tích cực rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận ngược và suy luận xuôi ( qui tắc suy luận theo phương pháp phân tích đi lên và phương pháp tổng hợp ).
Hướng dẫn học sinh khái quát hoá các bài toán khi có điều kiện .
Nhận dạng và thể hiện định lí :
 Rèn luyện kĩ năng suy luận và chứng minh nên bắt đầu bằng việc cho học sinh tiến hành các hoạt động nhận dạng định lí và thể hiện định lí.
 Nhận dạng một định lí là phát hiện xem một tình huống cho trước có khớp với một định lí nào đó hay không , còn thể hiện định lí là xây dựng một tình huống ăn khớp với định lí cho trước.
Ví dụ : 
Cho DABC . Dựng các tam giác đều MAB , NBC, PCA thuộc miền ngoài DABC . Chứng minh MC = NA = PB .
Giải:
 Để chứng minh MC = NA = PB trước hết 
 chứng minh MC = NA 
 Để chứng minh MC = NA có thể gắn 
vào hai tam giác MBC và ABN 
 Ta có :
. MB = AB (D ABM đều )
 .é MBC = é ABN ( cùng bằng 60° + é ABC )
.BC= BN (DBCN đều ) 
 ị D MBC = D ABN (c.g.c )
 ị MC = AN .
 Như vậy học sinh sẽ thấy tình huống này ăn khớp với định lí :
 ” Nếu hai tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có AB = A’B’ , 
 AC = A’C’ , é A =é A’ thì hai tam giác đó bằng nhau “ .
 Muốn chứng minh NA = PB ta cũng có thể vận dụng định lí trên. Chú ý rằng ta mới chỉ xét tam giác ABC có ba góc nhọn , cần cho học sinh xét các trường hợp khác (DABC có một góc tù )
.
b.Quy tắc suy luận :
 Khi dạy giải bài tập giáo viên cần chú ý dạy cho học sinh các qui tắc suy luận . Trong quá trình giải toán ta thường gặp hai qui tắc suy luận : Qui tắc qui nạp và qui tắc suy diễn .
- Qui tắc qui nạp là suy luận đi từ cái riêng đến cái chung , từ cụ thể đến tổng quát .
 - Qui tắc suy diễn là đi từ cái chung đến cái riêng , từ tổng quát đến cụ thể .
 Thông thường để hướng dẫn học sinh tìm lời giải ta đi từ kết luận đến giả thiết ( phân tích đi lên ) và lúc trình bày lời giải thì trình bày theo phương pháp tổng hợp ( từ giả thiết suy ra kết luận ) .
Ví dụ : Cho D ABC có AB < AC . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho: AE = AB . Gọi AD là phân giác của D ABC , K là giao điểm của DE và AB . Chứng minh : D DEC = D DBK . 
 Hướng dẫn : 
 - D DEC và D DBK đã có những yếu tố 
 nào bằng nhau ?
 - Để kết luận được DDEC và D DBK bằng
 }nhau cần có thêm điều kiện gì ? 
 - Để chứng minh được các yếu tố đó ta cần
 ghép chúng vào các tam giác nào ?
Khi trình bày lời giải ta thường suy luận 
 ngược lại .
Cụ thể:
 Ta có DABD = D AED (c.g.c ) ị BD = ED ; éB1 = éE1 
 éB 1+ éB 2 = 180° (hai góc kề bù )
 éE1 + éE2= 180° (hai góc kề bù ) ị éB2 = éE2 
 éB1 = éE1 ( D ABD = D AED)
 Xét D BDK và D EDC có 
 éB2 = é E2 ( chứng minh trên )
 BD = ED ( chứng minh trên)
 éBDK = éEDC ( đối đỉnh )
 ị D BDK = D EDC (g.c.g) .
 Cần nói thêm rằng đối tượng học sinh Lớp 7 mới tập giải toán chứng minh , do vậy khi dạy tôi rất chú ý tới việc hướng dẫn học sinh sắp xếp các lập luận sao cho logic , chặt chẽ .
 Chẳng hạn trong ví dụ trên nếu ta xét ngay hai tam giác DBK và DEC thì việc trình bày phần chứng minh sẽ dài dòng , không khoa học , học sinh tiếp thu kiến thức sẽ khó khăn hơn , bởi vậy tôi sẽ hướng dẫn học sinh suy luận để dẫn đến chứng minh : D ABD = D AED .
 Qui tắc qui nạp thường dùng là qui nạp hoàn toàn , ta phải xét hết các trường hợp có thể xảy ra . Trong quá trình giải toán , nhiều khi phải phân chia ra các trường hợp riêng nhưng hầu như học sinh chỉ xét một trường hợp rồi đi đến kết luận , hoặc có phân chia nhưng không đầy đủ các trường hợp . Vì vậy , trong quá trình giảng dạy chúng ta cần chú ý bồi dưỡng cho học sinh năng lực phân chia ra các trường hợp riêng .
c. Khái quát hoá:
 Để góp phần rèn luyện kỹ năng suy luận và chứng minh trong một số trường hợp nên hướng dẫn học sinh khái quát hoá các bài toán.
 Ví dụ: Cho hai góc kề bù xOy và x’Oy . Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy , Ot’ là tia phân giác của góc x’Oy . Biết xOy = 130° . Tính étOt’. 
. 
Sau khi học sinh giải bài tập này ta có thể cho học sinh giải bài toán tổng quát hơn đó là thay é xOy = 130° bằng é xOy = m°. Qua đó có thể cho học sinh rút ra nhận xét về hai tia phân giác của hai góc kề bù ( Ot ^ Ot’ ) .
3. Rèn luyện kỹ năng tính toán :
 Trong quá trình giải toán , học sinh có đi đến kết quả chính xác và ngắn gọn hay không , điều đó phụ thuộc vào kỹ năng tính toán . Một số em thường không thiết lập được mối quan hệ giữa các đại lượng với nhau , vận dụng lý thuyết chưa khéo 
.
 Vídụ1: Tam giác ABC có ba cạnh tỉ lệ 3 : 4 : 6 . Gọi M , N, P là trung điểm các cạnh của tam giác . Tính các cạnh của tam giác biết chu vi của tam giác MNP bằng 5,2 m .
 Để giải quyết bài tập này đòi hỏi học sinh phải nắm vững khái niệm về chu vi tam giác , về tính chất đường trung bình của tam giác và thiết lập được mối quan hệ giữa chu vi của hai tam giác sau đó dùng đến kiến thức đại số đó là tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. 
Giải:
 Vì M ,N, P lần lượt là trung điểm
 của AB, AC, BC nên MN, NP, MP 
là các đường trung bình của D ABC
 ị MN = ẵ BC ; NP = ẵ AB ; MP = ẵ AC 
 ị MN + NP + MP = ẵ ( AB + AC + BC )
 ị AB + AC + BC = 2 (MN + NP + MP )
 = 5,2 .2 = 10,4 m;
Theo bài ra ta có : 
ị AB = 0,8 .3 = 2,4 m
 AC = 0,8 . 4 = 3,2 m 
 BC = 0,8 . 6 = 4,8 m 
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác ABC là : 2,4 m ; 3,2 m và 4,8 m .
Ví dụ 2 : Cho D ABC vuông tại A có éB = 60° , phân giác BD . Tính éC
và éBDC .
Để giải bài này học sinh phải vận dụng phối hợp các kiến thức về tổng ba góc trong tam giác , tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông , tính chất tia phân giác , định lí về góc ngoài của tam giác .
 Giải :
 Vì D ABC vuông tại A
 Nên éB +éC = 90° 
 Mà éB = 60° (giả thiết ) 
 ị éC = 30° 
 Ta có : éB = éB = 30° ( BD là phân giác éB = 60° )
 và éBDC là góc ngoài tại đỉnh D của DABD 
 ị éBDC = éB + éA = 30° + 90° = 120° .
phần kết luận
 A. Kết quả : 
 Với cách đặt vấn đề và giải quyết vấn đề như trên , trong khi truyền thụ cho học sinh tôi thấy học lĩnh hội kiến thức một cách thoải mái , rõ ràng , có hệ thống .
 Học sinh được rèn luyện nhiều về các kỹ năng vẽ hình , kỹ năng tính toán , kỹ năng suy luận , kỹ năng tổng quát hoá , Qua đó rèn luyện được cho học sinh trí thông minh , sáng tạo và các phẩm chất trí tuệ khác, xoá đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu của môn hình học , giúp học sinh có hứng thú khi học môn này . 
Kết quả cụ thể:
Với những kiến thức đã học và bài tập áp dụng đã làm , học sinh tự giác làm bài tập và tự giải được bài tập một cách tự tin . Để kiểm nghiệm việc áp dụng đề tài tôi cho học sinh làm các bài kiểm tra theo định kỳ và làm thêm một số bài kiểm tra bất chợt . Kết quả thu được rất khả quan :
 Tổng số học sinh : 37 học sinh 
 Trong đó : Giỏi : 12/37 ( = 32 % )
 Khá : 15/37 ( = 41 % )
 Trung bình : 10/37 ( = 27 % )
 Yếu : Không
B. Bài học kinh nghiệm:
 Qua các năm trực tiếp giảng dạy môn toán Lớp 7 , bản thân thấy rằng dựa vào sách giáo khoa hình học và tham khảo thêm một số tài liệu toán khác trong quá trình dạy học giải toán có thể rèn luyện cho học sinh kỹ năng suy luận , chứng minh rất tốt . Từ chỗ các em bỡ ngỡ , mơ hồ trong giải toán hình học đến nay các em đã biết vẽ hình chính xác , biết suy luận và lập luận có căn cứ , biết trình bày lời giải logic , chặt chẽ .
 Bên cạnh đó việc trú trọng lựa chọn hệ thống bài tập theo yêu cầu dạy học đề ra thì có thể không ngừng nâng cao hiệu quả giáo dục , tạo niềm say mê học toán cho học sinh .
 Trên đây là một số vấn đề về kiến thức và phương pháp mà bản thân tôi đã rút ra trong quá trình trực tiếp giảng dạy môn toán Lớp7 phần Hình học. Trong phạm vi nhỏ của đề tài này chắc chắn là chưa thể bao quát hết được các kiến thức của môn hình học Lớp 7. Song bước đầu đã có tác dụng đối với học sinh . Rất mong được sự góp ý chân tình của bạn đọc để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn ,nhằm mục đích cuối cùng là học hiểu và thêm yêu môn hình học , một môn học vốn rất khó với học sinh .
Tôi xin chân thành cảm ơn ./
 Ngày 23 tháng 2 năm 2006 
 Người viết
 Ngô thị thuỷ