Một vài kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số

Một vài kinh nghiệm 
về việc hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán 
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số
------------------------------------
Phần I:
Đặt vấn đề
1) Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình THCS, toán học chiếm một vai trò rất quan trọng. Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức, vận dụng những hiểu biết của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà toán học còn là công cụ giúp các em học tốt các môn học khác và góp phần giúp các phát triển một cách toàn diện.
Từ vai trò quan trọng đó mà việc giúp các em học sinh yêu thích, say mê toán học giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức cũng như kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu kém môn toán là một yêu cầu tất yếu đối với giáo viên dạy toán nói chung. Nhất là đất nước ta đang trong thới kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá, rất cần những con người năng động, sáng tạo có hiểu biết sâu và rộng... Chính vì vậy mà việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh trong giờ học và những giờ ngoại khoá là rất cần thiết và càng cần thiết hơn đối với học sinh lớp 9.
Xuât phát từ đó mà ngay từ năm học 2001 - 2002 tôi đã luôn cố gắng tìm tòi, tham khảo tài liệu với mục đích nâng cao chất lượng học toán đại trà và chất lượng mũi nhọn. Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi rất chú trọng đến dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức đại số. Mặc dù trong chương trình toán THCS không có bài dạy lý thuyết về phương pháp tìm GTLN, GTNN nhưng trong hệ thống bài tập lại có đề cập đến. Đặc biệt loại bài tập này có nhiều trong các sách bồi dưỡng nâng cao... hay các đề học sinh giỏi, thi vào trường chuyên, chọn... Do đó cần thiết phải dạy cho học sinh lớp 9 biết cách giải những bài toán cực trị trong những giờ ngoại khoá, bồi dưỡng....Và ngay từ năm học 2001 - 2002 tôi đã trực tiếp hướng dẫn học sinh lớp 9A, 9B giải bài toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức đại số. Đề tài này tôi lấy tiêu đề là: "Hướng dẫn học sinh lớp 9 giải bài toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức đại số"
2) Nội dung nghiên cứu.
- Tìm hiểu các kiến thức và phương pháp giải bài toán tìm GTLN, GTNN.
- Hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức đại số.
- Theo dõi kết quả tiếp thu kiến thức của lớp 9A, 9B và tỉ lệ học sinh khá giỏi của lớp 9A, 9B trong hai năm học 2001 - 2002 và 2002 - 2003.
3) Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu lý thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
- Thực hành qua quá trình học bồi dưỡng, ngoại khoá cho học sinh.
- Sử dụng kết quả thu được để đánh giá kết quả của học sinh.
- Sử dụng phương pháp thống kê.
Phần II:
Nội dung cụ thể.
1) Định nghĩa GTLN, GTNN của một biểu thức.
Định nghĩa 1: Cho biểu thức f(x,y...) xác định trên miền D. Ta nói M là GTLN của f(x,y...) trên D nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
+ Với mọi x,y... thuộc D thì f(x,y...) Ê M (M là hằng số)
+ Tồn tại x0, y0... thuộc D mà f(x0, y0....) = M
Khi đó ta kí hiệu: M = Max f(x,y...) với x,y... thuộc D.
Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y...) xác định trên miền D. Ta nói m là GTNN của f(x,y...) trên D nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
+ Với mọi x,y.... thuộc D thì f(x,y...) ³ m (m là hằng số)
+ Tồn tại x0, y0... thuộc D mà f(x0, y0....) = m
Khi đó ta kí hiệu: m = Min f(x,y...) với x,y... thuộc D.
2) Giúp học sinh có được một số phương pháp tìm GTLN, GTNN.
a) Phương pháp dựa vào lũy thừa bậc chẵn:
- Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức đã cho y = f(x) về dạng y = m + [g(x)]2n (nẻN*, m ẻ R). Khi đó y ³ m ị Min y = m Û g(x) = 0.
- Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức đã cho y = f(x) về dạng 
y = M - [h(x)]2n
(nẻN*, M ẻ R). Khi đó y Ê M Û h(x) = 0
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: A1 = 2x2 - 8x + 1
Ta có A1 = 2x2 - 8x + 1 = 2(x - 2)2 - 7 
Vì (x - 2)2 ³ 0 ị A1 ³ -7 ị Min A1 = -7 Û x = 2
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: 
A2 = -3x2 + 4x + 2 = -3[(x2 - 2x+) - ] = -3(x- )2 + = - 3(x- )2
Vì (x- )2 ³ 0 ị A2 Ê ị Max A2 = Û x = 
b. Phương pháp đưa về dạng: ³ 0 hoặc Ê 0
Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B1 = 
Ta có " x ẻ R: B1 = = 
Vì x2 + 2 > 0 nên ³ " x ẻ R
ị B1 ³ -1 ị Min B1 = -1 Û x = 3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B2 = 
Vì x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 > 0 " x ẻ R 
Nên ta có: B2 = 
Vậy Max B2 = Û x = - 1
c) Phương pháp sử dụng bất đẳng thức.
Để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất ta có thể dùng bất đẳng thức cô si hoặc bất đẳng thức BunhiaCôpxKi
- Bất đẳng thức cô si
Nếu a1, a2,..... an là các số không âm ta có:
Dấu "=" xảy ra Û a1 = a2 = ... = an.
- Bất đẳng thức BunhiaCôpxKi.
Nếu a1, a2,...an và b1, b2,...bn là 2 n số tuỳ ý 
Ta có: (a12 + a22 +...+ an2) (b12 + b22 +...+ bn2) ³ (a1 b1 + a2b2 + ...+ an bn)2.
Dấu "=" xảy ra Û 
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C1 = + 
Điều kiện: x ³ 1; y ³ 2
áp dụng bất đẳng thức Cô si.Ta có: 
Tương tự áp dụng bất đẳng thức cô si Ta có: 
Max C1 = 
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: C2 = x2 + y2 + z2 biết x + y + z = 2001.
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai bộ: (1,1,1) và (x,y,z). Ta có: 
(1.x + 1.y + 1.z)2 (12 + 12 + 12) (x2 + y2 + z2)
Hay 20012 3 C2 C2 = 1334667
Min C2 = 1334667 x = y = z = 667