Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong Toán học

I: ®Æt vÊn ®Ò
N¨m häc 2003 - 2004 t«i ®­îc nhµ tr­êng ph©n c«ng gi¶ng bé m«n to¸n líp 8. Qua thùc tÕ d¹y häc kÕt hîp víi dù giê kiÕn tËp c¸c gi¸o viªn trong tr­êng, th«ng qua c¸c kú thi chÊt l­îng vµ kú thi häc sinh giái cÊp huyÖn b¶n th©n t«i nhËn thÊy c¸c em häc sinh ch­a cã kü n¨ng thµnh th¹o khi lµm c¸c d¹ng bµi tËp nh­: Quy ®ång mÉu thøc, gi¶i c¸c lo¹i ph­¬ng tr×nh, rót gän, t×nm gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt v× lý do ®Ó gi¶i ®­îc c¸c lo¹i bµi tËp nµy cÇn ph¶i cã kü n¨ng ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö.
NÕu nh­ c¸c em häc sinh líp 8 kh«ng cã thñ thuËt vµ kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö th× viÖc n¾m b¾t c¸c ph­¬ng ph¸p ®Ó gi¶i c¸c d¹ng to¸n vµ kiÕn thøc míi trong qu¸ tr×nh häc to¸n lµ mét vÊn ®Ò khã kh¨n.
Trong viÖc gi¶ng d¹y bé m«n to¸n gi¸o viªn cÇn ph¶i rÌn luyÖn cho häc sinh tÝnh t­ duy, tÝnh ®éc lËp, tÝnh s¸ng t¹o vµ linh ho¹t, tù m×nh t×m tßi ra kiÕn thøc míi, ra ph­¬ng ph¸p lµm to¸n ë d¹ng c¬ b¶n nh­ c¸c ph­¬ng ph¸p th«ng th­êng mµ cßn ph¶i dïng mét sè ph­¬ng ph¸p khã h¬n®ã lµ ph¶i cã thñ thuËt riªng ®Æc tr­ng, tõ ®ã gióp c¸c em cã høng thó häc tËp, ham mª häc to¸n vµ ph¸t huy n¨ng lùc s¸ng t¹o khi gÆp c¸c d¹ng to¸n khã.
Ng­êi thÇy gi¸o trong khi gi¶ng d¹y cÇn rÌn luyÖn cho häc sinh cña m×nh víi kh¶ n¨ng s¸ng t¹o, ham thÝch häc bé m«n to¸n vµ gi¶i ®­îc c¸c d¹ng bµi tËp mµ cÇn ph¶i th«ng qua ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö, n©ng cao chÊt l­îng häc tËp, ®¹t kÕt qu¶ tèt trong c¸c kú thi v× thÕ t«i chän ®Ò tµi s¸ng kiÕn kinh nghiÖm "Mét sè ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö" nh»m gióp gióp häc sinh cña m×nh n¾m v÷ng c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh ph©n tö , gióp häc sinh ph¸t hiÖn ph­¬ng ph¸p gi¶i phï hîp víi tõng bµi cô thÓ ë c¸c d¹ng kh¸c nhau.
II: Nh÷ng néi dung cña c«ng viÖc: "Mét sè ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö"
1) Néi dung thø nhÊt.
Gi¸o viªn ph¶i trang bÞ cho häc sinh cña m×nh c¸c ®¬n vÞ kiÕn thøc c¬ b¶n nh­ c¸c quy t¾c, thµnh th¹o phÐp nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc, nh©n ®a thøc víi ®a thøc, phÐp chia ®¬n thøc cho ®¬n thøc, phÐp chia ®a thøc cho ®¬n thøc, chia hai ®a thøc ®· s¾p xÕp, c¸c quy t¾c ®æi dÊu ®a thøc, thËt thuéc vµ vËn dông thµnh th¹o c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí.
2) Néi dung thø hai.
Gi¸o viªn d¹y "C¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö"
Gi¸o viªn cho häc sinh n¾m v÷ng b¶n chÊt cña viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
§Þnh nghÜa: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (thõa sè) lµ biÕn ®æi ®a thøcthµnh tÝch cña nhiÒu ®¬n thøc vµ ®a thøc kh¸c.
VÝ dô: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1)
2.1) C¸c ph­¬ng ph¸p th«ng th­êng.
+ §Æt nh©n tö chung.
+ Dïng h»ng ®¼ng thøc.
+ Nhãm nhiÒu h¹ng tö.
Trong thùc hµnh gi¶i to¸n th­êng ph¶i phèi hîp c¶ ba ph­¬ng ph¸p kÓ trªn ®Ó cã thÓ ph©n tÝch ®a th­íc thµnh nh©n tö.
VÝ dô1: 	Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
M1 	= 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
	= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2)	(Nhãm c¸c h¹ng tö)
	= 3(a - b) + (a - b)2 (®Æt NTC vµ dïng h»ng ®¼ng thøc)
	= (a - b) (3 + a - b) (§Æt nh©n tö chung)
VÝ dô 2:	Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.
M2 	= a2 - b2 - 2a + 2b
	= (a2 - b2) - (3a - 2b) 	(Nhãm c¸c h¹ng tö)
	= (a - b) (a + b) - 2(a - b)	(Dïng h»ng ®¼ng thøc vµ ®Æt NTC)
	= (a -b) (a + b - 2)	(§Æt NTC)
§Ó phèi hîp nhiÒu ph­¬ng ph¸p trªn ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö cÇn chó ý c¸c b­¬csau ®©y:
+ §Æt nh©n tö chung cho c¶ ®a thøc nÕu cã thÓ tõ ®ã lµm ®¬n gi¶n ®a thøc.
+ Xem xÐt ®a thøccã d¹ng b»ng ®¼ng thøc nµo kh«ng ?
+ NÕu kh«ng cã nh©n tö chung, hoÆc kh«ng cã h»ng ®¼ng thøc th× ph¶i nhãm c¸c h¹ng tö vµo tõng nhãm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn mçi nhãm cã nh©n tö chung, lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung cña c¸c nhãm hoÆc xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc. Cô thÓ c¸c vÝ dô sau:
VÝ dô 3: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
M3 = 5a2 + 3(1 + b)2 - 5b2
Ta thÊy M3 kh«ng cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc, c¸c h¹ng tö còng kh«ng cã nh©n tö chung, vËy lµm g× ®Ó ph©n tÝch ®­îc. Quan s¸t kü ta thÊy hai h¹ng tö 5a2 - 5b2 cã nh©n tö chung. V× vËy ta dïng ph­¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö ®Çu tiªn 
M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2. Sau ®ã ®Æt nh©n tö chung cña nhãm thø nhÊt lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc M3 = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2. Sö dông h»ng ®¼ng thøc ë nhãm ®Çu lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung cña c¶ hai nhãm lµ (a + b). VËy M3 = 5(a + b) (a + b). §· cã nh©n tö chung lµ: (a + b) VËy ta tiÕp tôc ®Æt nh©n tö chung.
M3 = (a + b) (6a - 4b). Nh­ vËy M3 ®· ®­îc ph©n tÝch thµnh tÝch cña hai nh©n tö (a + b) vµ (6a - 4b).
VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy.
Tr­íc hÕt h·y x¸c ®Þnh xem dïng ph­¬ng ph¸p nµo tr­íc ?
Ta thÊy c¸c h¹ng tö ®Òu chøa nh©n tö chung 3xy.
+ §Æt nh©n tö cung.
M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - Z2 + 1)
Trong ngoÆc cã 6 h¹ng tö h·y xÐt xem cã h»ng ®¼ng thøc nµo kh«ng? 
+ Nhãm h¹ng tö: M4 = 3 xy[(x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2)]
+ Dïng h»ng ®¼ng thøc: M4 = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xÐt hai h¹ng tö trong ngoÆc cã d¹ng h»ng ®¼ng thøc nµo.
+ Sö dông h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph­¬ng ta cã:
M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
VËy: M4 ®· ®­îc ph©n tÝch c¸c ®a thøc thµnh nh©n tö ta cÇn chó ý quan s¸t xem, kiÓn tra, linh ho¹t sö dông c¸c b­íc phèi hîp gi÷a c¸c ph­¬ng ph¸p nh­ ®· h­íng dÉn trªn tõ ®ã sÏ ph©n tÝch theo c¸c ph­¬ng ph¸p th«ng th­êng.
2.2. Mét sè ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc kh¸c.
Gi¸o viªn tr­íc hÕt cÇn cho häc sinh sö dông thµnh th¹o c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch thµnh nh©n tö th«ng th­êng vµ kÕt hîp c¸c ph­¬ng ph¸p sau ®Ó lµm c¸c bµi to¸n khã.
+ Ph­¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö.
+ Ph­¬ng ph¸p thªm, bít cïng mét h™ng tö.
+ Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô.
+ Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
+ Ph­¬ng ph¸p dïng hÖ sè bÊt ®Þnh.
+ Ph­¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng.
Cô thÓ mét sè ph­¬ng ph¸p th«ng dông nhÊt.
2.2.1: Ph­¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö.
VÝ dô 5: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö ®a thøc sau:
N = a2 - 6a + 8.
C¸ch 1: a2 - 4a - 2a + 8 (T¸ch - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhãm h¹ng tö)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (§Æt nh©n tö chung)
= (a - 4) (a - 2) (§Æt nh©n tö chung)
Cã thÓ t¸ch h¹ng tö tù do t¹o thµnh mét ®a thøc míi cã nhiÒu h¹ng tö trong ®ã cã thÓ kÕt hîp lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hoÆc nh©n tö chung víi c¸c h¹ng tö cßn l¹i.
C¸ch 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (T¸ch 8 = 9 - 1)
= (a2 - 6a + 9) - 1 (nhãm h¹ng tö - xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng tö)
= (a - 3)2 - 1 (Sö dông h»ng ®¼ng thøc)
= (a - 2) (a + 2) (Dïng h»ng ®¼ng thøc vµ ®Æt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (§Æt NTC)
C¸ch 4: 
N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 (T¸ch 8 = 4 + 4, - 6x = - 4x + ( - 2x)
= ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhãm)
= (a - 2)2 - 2(a -2) (Dïng h»ng ®¼ng thøc vµ ®Æt NTC) 
= (a - 2) ( a - 4) (§Æt NTC - biÕn thµng 2 nh©n tö) 
Ta thÊy cã ®Ó t¸ch mét h¹ng tö thµnh 2 h¹ng tö kh¸c trong ®ã 2 c¸ch t¸ch sau lµ th«ng dông nhÊt;
Ph­¬ng ph¸p t¸ch 1: T¸chh¹ng tö tù do thµnh 2 h¹ng tö sao cho ®a thøc míi ®­îc ®­a vÒ hiÖu hai b×nh ph­¬ng (c¸ch 2) hoÆc lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc vµ cã nh©n tö chung víi h¹ng tö cßn l¹i (c¸ch 3).
Ph­¬ng ph¸p t¸ch 2: T¸ch h¹ng tö bËc nhÊt thµnh 2 h¹ng tö råi dïng ph­¬ng ph¸p nhãm h¹ng tö vµ ®Æc biÖt nh©n tö chung lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung míi (c¸ch 1)
VÝ dô 6: Trong tam thøc bËc hai: ax2 + bx + c 
T¸ch hÖ sè b = b1 + b2 sao cho b1. b2 = a.c
Trong thùc hµnh ta lµm nh­ sau;
+ T×m tÝch a.c
+ Ph©n tÝch a.c ra thõa sè nguyªn víi mäi c¸ch
+ Chän 2 thõa sè mµ tæng b»ng b
Ngoµi ra cã thÓ t¸ch ®ång thêi c¶ hai h¹ng tö (h¹ng tö tù do vµ h¹ng tö bËc nhÊt) (nh­ c¸ch 4)
2.2.2) Ph­¬ng ph¸p thªmbít h¹ng tö.
VÝ dô 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
P1	 = x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 	(thªm 4x2, bít 4x2)
	= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 	(nhãm h¹ng tö)
	= (x2 + 2)2 - (2x)2 	(dïng h»ng ®¼ng thøc)
	= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
VÝ dô 7: Ph©n tÝch ®a thøc : P2 = a4 + 64
P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 	(thªm 16a2, bít 16a2)
	= (a2 + 8)2 - (4a)2
	= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)
Nh­ v©y viÖc thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc rÊt tiÖn lîi, song ta cÇn xem xÐt thªm, bít h¹ng tö nµo ®Ó xuÊt hiÖn b×nh ph­¬ng c ña 1 tæng vµ lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph­¬ng th× míi ph©n tÝch triÖt ®Ó ®­îc.
ë vÝ dô P1 ®· cã b×nh ph­¬ng h¹ng tö (1) vµ b×nh ph­¬ng h¹ng tö (2). VËy muèn lµ h»ng ®¼ng thøc th× cßn thiÕu 2 lÇn tÝch cña 2 h¹ng tö. Do ®ã ta thªm 2 . x2.2 = 4x2 th× ®ång thêi ph¶i bít 4x2.
2.2.3) Ph­¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
VÝ dô 8: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 	(nhãm, ®Æt nh©n tö chung)
Ta thÊy 2 h¹ng tö ®Çu cã nh©n tö chung lµ (x2+ x) ®Æt y (®æi biÕn):
D1 = y2 + 4y - 12
Khi ®ã ta cã thÓ dïng ph­¬ng ph¸p t¸ch hoÆc thªm bít
D = (y2 - 2y) + (6y - 12) 	(T¸ch 4y = 6y - 2y sau ®ã nh©n)
D = y (y - 2) (y + 6) 	(®Æt nh©n tö chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay l¹i biÕn x
D ®· ph©n tÝch thµnh 2 nh©n tö (x2 + x- 2) vµ (x2 + x+ 6)
ViÖc ph©n tÝch tiÕp c¸c nh©n tö cho triÖt ®Ó cã thÓ dùa vµo c¸c ph­¬ng ph¸p ®· nªu ë trªn. Chó ý cã nh÷ng tam thøc kh«ng thÓ ph©n tÝch tiÕp ®­îc nh­ :
x2 + x + 6 = (x + )2 + 5 Do vËy kh«ng ph©n tÝch tiÕp ®­îc n÷a
Cßn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi ®ã D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2)
2.2.4) Ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
Nguyªn t¾c: NÕu ®a thøc ·3 + bx2 + cx+ d(1) cã nghiÖm th× theo ®Þnh lý B¬ du cã: m lµ nghiÖm cña (1) th× m chøa nh©n tö (x - m), khi ®ã dïng phÐp chia®a thøc ta cã:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nh©n tö bËc hai cã thÓ ph©n tÝch tiÕp ®­îc dùa vµo c¸c ph­¬ng ph¸p nªu ë trªn.
C¸c ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
+ NÕu tæng c¸c hÖ sè: a + b + c + d = 0 ®a thøc cã nghiÖm x = 1.
Þ chøa nh©n tö chung (x- 1)
+ NÕu tæng c¸c hÖ sè bËc ch½n b»ng tæng hÖ sè bËc lÎtøc lµ a - c = b +d ®a thøc cã x = -1 
Þ chøa nh©n tö chung (x + 1)
+ NÕu kh«ng xÐt ®­îc hÖ sè ta xÐt c¸c ­íc cña hÖ sè tù do
(hÖ sè kh«ng ®æi) (¦(d)) ­íc nµo lµm cho ®a thøc cã gi¸ trÞ b»ng 0 th× ­íc ®ã lµ nghiÖm cña ®a thøc.
VÝ dô 9: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xÐt tæng c¸c hÖ sè ta thÊy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 Þ x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) )
Sau ®ã dïng c¸c ph­¬ng ph¸p ®· häc ®Ó ph©n tÝch tiÕp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
VÝ dô 10: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
E2 = x3 - 3x + 2
T¸ thÊy tæng vµ hiÖu c¸c hÖ sè cña E2 ¹ 0 do ®ã lo¹i x = ± 1
XÐt c¸c ¦(2) = ± 2 cã x = -2 lµ nghiÖm cña E2
Þ E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) 	(Chia E2 cho(x - 2))
E2 = (x + 2) (x -1)2
C¸c vÝ dô trªn ®©y lµ mét sè ph­¬ng ph¸p ®Ó phèi kÕt hîp víi c¸c ph­¬ng ph¸p th«ng th­êng gióp häc sinh ph©n tÝch ®­îc c¸c bµi to¸n khã thµnh nh©n tö gióp cho qu¸ tr×nh rót gän ph©n thøc còng nh­ gi¶i ph­¬ng tr×nh.
3) Mét sèbµi tËp ¸p dông.
Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö.
1.a) x2 - 4x + 3 b»ng 4 c¸ch (ph­¬ng ph¸p t¸ch).
Gîi ý 4 c¸ch lµm.
T¸ch - 4x = - 3x + (-x)
T¸ch 3 = 4 - 1.
T¸ch 3 = 12 - 9
T¸ch -4x = -2x + (-2x) vµ 3 = 2 + 1
Sau ®ã cã thÓ nhãm lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hau nh©n tö chung.
1b.	81a4 + 4 	(thªm bít h¹ng tö)
Gîi ý:	Thªm 2 lÇn tÝnh ® H»ng ®¼ng thøc cô thÓ 36x2
1c:	(x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14(ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn).
Gîi ý: ®Æt (x2 + ) = y
1d:	x3 - 2x2 - x + 2	(ph­¬ng ph¸p t×m nghiÖm).
Gîi ý: XÐt tæng c¸c hÖ sè a + b + c = 0
Ngoµi ra cã thÓ sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c ®Ó ph©n tÝch c¸c bµi tËp trªn thµnh nh©n tö.
Bµi tËp 2: Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc.
M = víi a = 102
Gîi ý: 
+ Ph©n tÝch tö thøc a3 - 4a2 - a+ 4 b»ng ph­¬ng ph¸p nhãm h»ng ®¼ng thøc ®­a tö thµnh nh©n tö.
+ Ph©n tÝch mÉu thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch dïng h»ng ®¼ng thøc, ®Æt nh©n tö chung, t¸ch h¹ng tö.
+ Rót gän nh©n tö chung cña tö thøcvµ mÉu thøc.
+ Thay a = 102 vµo M ®· rót gän.
Bµi tËp 3: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
3.a) 	y2 - 5y + 4 = 0.
Gîi ý: §­a vÕ tr¸i thµnh c¸c nh©n tö Þ ph­¬ng tr×nh trëvÒph­¬ng tr×nh tÝch.
3b: y3 - 2y2 - 9y + 18 = 0.
Gîi ý: Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö, ®­a ph­¬ng tr×nh ®· cho thµnh ph­¬ng tr×nh Þ gi¶i ph­¬ng tr×nh tÝch.
Bµi tËp 4: Chøng minh r»ng ®a Thøc sau.
4a) 	A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hÕt cho 24.
Víi a lµ mét sè tù nhiªn.
Gîi ý: 
+ Tr­íc hÕt ph©n tÝch ®a thøc ®· cho thµnh nh©n tö.
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sö dông h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh ph­¬ng)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sö dông ph­¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö 3a = 2a + a)
* LËp luËn:
+ A ®· cho lµ tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp chøng tá trong ba sè tù nhiªn liªn tiÕp ¾t ph¶i cã mét sè chia hÕt cho 3 vËy: A M 3
+ Trong 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã 2 sè ch½n liªn tiÕp nªn méct trong hai sè ®ã chia hÕt cho 2 vµ sè cßn l¹i sÏchia hÕt cho 4. VËy A M 8
+ Nh­ng (3 ; 8) = 1 nªn tÝch cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 24.
4b: 	B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hÕt cho 24.
Víi n lµ sè nguyªn d­¬ng tuú ý.
Bµi tËp 5: T×m gi¸ trÞ nhá nHÊt cña biÓu thøc.
A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12
Gîi ý:
+ Tr­íc hÕt sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p cña ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®Ó ph©n tÝch A.
A = x2 - 4x + 4 + y2 +2y + 1 + 7 (t¸ch 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + 7 (nhãm h¹ng tö)
A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + 7
* LËp luËn.
V× (x - 2)2 ³ o vµ (y + 1)2 ³ 0, dÊu " = "x¶y ra khi a = 2 vµ y = - 1 nªn A = (x - 2)2 + (y + 1)2 + 7 ³ 7
VËy AMin = 7 ®¹t ®­îc khi x = 2; y = -1
4) KÕt qu¶ ®¹t ®­îc:
 ¸p dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm nµy vµo gi¶ng d¹y ë tr­êng THCS Nga yªn trong n¨m häc 2003 - 2004 ®· thu ®­îc c¸c kÕt qu¶ kh¶ quan.
KÕt qu¶ häc tËp cña häc sinh ®­îc n©ng lªn râ rÖt qua c¸c giê häc, qua mçi kü thi, ®Æc biÖt lµ c¸c em høng thó häc to¸n h¬n, sö dông thµnh th¹o c¸c thñ thuËt ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ®Ó lµm c¸c d¹ng to¸n cã liªn quan ®Õn viÖc ph©n tÝch ®a thøc ®¹t kÕt qu¶ tèt. 100% c¸c em häc sinh ®· biÕt sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch th«ng th­êng mét c¸ch thµnh th¹o, 90% c¸c em häc sinh cã kü n¨ng n¾m v÷ng thñ thuËt ph©n tÝch ®a thøc dùa vµo c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®· ®­îc nªu trong s¸ng kiÕn kinh nghiÖm. Bªn c¹nh ®ã c¸c ph­¬ng ph¸p nµy c¸c em dÔ dµng tiÕp cËn víi c¸c d¹ng to¸n khã vµ c¸c kiÕn thøc míi còng nh­ viÖc h×nh thµNh mét sè thñ thuËt trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ gi¶i to¸nkhi häc bé m«n to¸n.
III: KÕt luËn.
Tr¶i qua thùc tÕ gi¶ng d¹y vËn dông s¸ng kiÕn kinh nghiÖm trªn ®©y cã kÕtqu¶ h÷u hiÖu cho viÖc häc tËp vµ gi¶i to¸n. RÊt nhiÒu häc sinh chñ ®éng t×m tßi vµ ®Þnh h­íng ph­¬ng ph¸p lµm bµi khi ch­a cã sù gîi ý cña gi¸o viªn, mang l¹i nhiÒu s¸ng t¹o vµ kÕt qu¶ tèt tõ viÖc gi¶i to¸n rót ra c¸c ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
V× lÏ ®ã mçi gi¸o viªn vµ b¶n th©n t«i nãi riªng cÇn hiÓu râ kh¶ n¨ng tiÕp thu bµi cña c¸c ®èi t­îng häc sinh ®Ó tõ ®ã ®­a ra nh÷ng bµi tËp vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n cho phï hîp gióp häc sinh lµm ®­îc c¸c bµi tËp, g©y høng thó häc tËp, say s­a gi¶i to¸n, yªu thÝch häc to¸n. Tõ ®ã dÇn dÇn n©ng cao tõ dÔ ®Õn khã, cã ®­îc nh­ vËy th× ng­êi thÇy gi¸o cÇn ph¶i t×m tßi nhiÒu ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n, cã nhiÒu bµi to¸n hay ®Ó h­íng dÉn häc sinh lµm, tung ra cho häc sinh cïng lµm, cïng ph¸t hiÖn ra c¸c c¸ch gi¶i kh¸c nhau còng nh­ c¸ch gi¶i hay, tÝnh tù gi¸c trong häc to¸n, ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n nhanh, cã kü n¨ng ph¸t hiÖn ra c¸c c¸ch gi¶i to¸n nhanh, cã kü n¨ng ph¸t hiÖn ra c¸c c¸ch gi¶i: Mét vµi ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc ë trªn ®©y rÊt cã h÷u hiÖugióp häc sinh trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n cã sö dông ph©n tÝch ®a thøc mµ t«i ®· viÕt trªn ®©y cã lÏ sÏ cßn rÊt nhiÒu h¹n chÕ. Mong tæ chuyªn m«n trong tr­êng, ®ång nghiÖp gãp ý ch©n thµnh ®Ó t«i cã nhiÒu s¸ng kiÕn kinh nghiÖm tèt h¬n phôc vô cho viÖc gi¶ng d¹y häc sinh./.
Nga Yªn, ngµy 25 th¸ng 4 n¨m 2004
Ng­êi thùc hiÖn
Vò ThÞ T­¬i