Một số phương pháp giải toán cực trị trong Toán học

Mở đầu
	I - Đặt vấn đề:
	Trong thực tế, chúng ta thường gặp những bài toán là đi tìm cái “nhất” trong những ràng buộc nào đó (nhiều nhất, ít nhất, nhanh nhất, chậm nhất, ngắn nhất, tốt nhất, rẻ nhất, đẹp nhất) Vì vậy, các bài toán tìm giá trị lớn nhất (cực đại) và giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) của một đại lượng được gọi chung là bài toán tìm cực trị thường xuyên có mặt trong các kỳ thi tốt nghiệp THCS, thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học cũng như các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm Các bài toán này rất phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ.
ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã được làm quen với loại toán này với dạng chuyên đề. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng nghiệp thì thấy nó cũng không dễ dàng với học sinh.
Căn cứ vào những lý do trên, đề tài được chọn là: “Một số phương pháp giải toán cực trị”. Do nhiều điều kiện cũng như kinh nghiệm còn hạn chế, hơn nữa, đây là vấn đề tương đối rộng nên không thể tránh khỏi sai sót, rất mong sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc.
II - Nhiệm vụ của sáng kiến:
1/ Đối tượng và phương pháp nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh lớp 8, 9)
- Phương pháp nghiên cứu:
+ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
+ Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện.
+ Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề.
+ Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp
2/ Nhiệm vụ của sáng kiến:
- Đưa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra được sai lầm thường mắc phải.
- Đề xuất một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải.
- Lựa chọn phương pháp giải hợp lý. Muốn vậy, phải rèn cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ. Mặt khác, cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với bài toán cực trị.
III - Nội dung sáng kiến:
Chương I: Một số kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Những sai lầm thường mắc phải khi giải toán cực trị.
Chương II: Một số phương pháp tìm cực trị
1/ Phương pháp tam thức bậc hai
2/ Phương pháp miền giá trị
3/ Phương pháp bất đẳng thức.
Chương I: 
Kiến thức cơ bản
	I - Định nghĩa:
	1/ Định nghĩa 1: 
	Cho biểu thức xác định trên miền , ta nói là giá trị lớn nhất của trên nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:
	i) Với thuộc thì với là hằng số.
	ii) Tồn tại thuộc sao cho 
	2/ Định nghĩa 2:
	Cho biểu thức xác định trên miền , ta nói là giá trị nhỏ nhất của trên nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:
	i) Với mọi thuộc thì với là hằng số.
	ii) Tồn tại thuộc sao cho .
	Chú ý: Để tranh sai lầm thường mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa: Rèn những phản xạ sau:
	+ Chứng tỏ hoặc ) với mọi thuộc
	+ Chỉ ra sự tồn tại thuộc để đạt cực trị.
	Chú y đến miền giá trị của biến.
	Ta ký hiệu là giá trị lớn nhất của là giá trị nhỏ nhất của 
	II - Một số tính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
	1/ Tính chất 1: Giả sử khi đó ta có:
	a/ 
	b/ 
2/ Tính chất 2: Nếu 	với mọi thuộc , ta có:
a/ 	
3/ Tính chất 3:
Dấu bằng trong xẩy ra khi có ít nhất một điểm mà tại đó và cùng đạt giá trị lớn nhất. Tương tự nếu tồn tại thuộc mà tại đó cùng đạt giá trị nhỏ nhất thì có dấu bằng.
4/ Tính chất 4:
5/ Tính chất 5:
Nếu đặt , thì .
6/ Tính chất 6: 
Giả sử vàthì
	Khi dạy phần này, giáo viên nên hướng dẫn học sinh chứng minh các tính chất (dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức và tránh đợc sai lầm khi vận dụng giải bài tập.
	Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ cũng phải tìm TXĐ. Cùng một hàm số nhưng xét trên hai TXĐ khác nhau thì nói chung giá trị lớn nhất tương ứng khác nhau. Để cho phù hợp với chương trình các lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại giá trị cực trị trên một tập hợp nào đó.
	III - Những sai lầm thường gặp khi giải toán cực trị:
	1/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
	Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Lời giải sai: Phân thức có tử số là số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta có:
Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng khi khẳng định “ có tử số là số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét tử mẫu là các số dương.
Ta đưa ra một ví dụ:
Xét biểu thức 
Với lập luận “phân thức có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng khi , ta sẽ đi đến: không 
phải là giá trị lớn nhất của , chẳng hạn với thì .
	Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.
	Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: nên tử và mẫu của A là các số dương. Hoặc từ nhận xét trên suy ra , do đó lớn nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất nhỏ nhất.
	Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của: biết 
Lời giải sai:
	Ta có: 
	Do đó nhỏ nhất 
	Khi đó 
Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng minh được , chứ chưa chứng minh được với là hằng số.
Ta đưa ra một vị dụ: Với lập luận như trên, từ bất đẳng thức đúng sẽ suy ra: nhỏ nhất .
Dẫn đến: 
Dễ thấy kết quả đúng phải là: min 
Cách giải đúng:
	Ta có: 	
	Ta lại có:	
	Từ , : 
	Vậy 	
2/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2:
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Lời giải sai:
	Vậy 
Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh chưa chỉ ra trường hợp
 xẩy ra dấu đẳng thức Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi 
vô lý.
Lời giải đúng:
	Để tồn tại phải có 
	Do đó 
	Min 
VD2: Tìm giá trị lớn nhất của:
	Với và 
Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức: 
	Nhân từng vế (do hai vế đều không âm)
	Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xẩy ra dấu đẳng thức. Điều kiện để là:
mâu thuẩn
	Cách giải đúng:
	áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
	Nhân từng vế với do 2 vế đều không âm)
Chương II: 
một số phương pháp tìm cực trị
1/ Phương pháp tam thức bậc hai
	I - Nội dung:
	Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai về dạng bình phương một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do.
	II - Các ví dụ:
	Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai
	1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 
	2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của 
	3/ Tìm giá trị nếu có của 
	4/ Cho tam thức bậc hai 
 	 Tìm giá trị nhỏ nhất của nếu 
 Tìm giá trị lớn nhất của nếu 
HD giải:
Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai.
1/ 
2/ 
3/ 
4/ 
+ Nếu 
+ Nếu 
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao:
VD1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
HD: 
Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau: 
VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
HD: Dùng phương pháp đổi biến.
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng số, có mẫu là tam thức bậc hai.
VD: Tìm giá trị lớn nhất của 
	Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức.
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình phương nhị thức:
VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
HD: 
Đặt có 
Cách 2: Viết dưới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm:
Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa các biến:
VD: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Biết là nghiệm của phương trình: 
Giải:
	Ta có: 
Vậy 
	III - Một số bài tập tự giải:
	1/ Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau:
	a/ 	b/ 
	2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
	a/ 	b/ 
	 với 
	 với 
	IV - Tiểu kết:
	Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp tam thức bậc hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kỹ năng giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai.
	2/ Phương pháp miền giá trị của hàm số:
	I - Nội dung phương pháp:
	Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số với Gọi là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ phương trình (ẩn ) sau có nghiệm:
Tuỳ dạng của hệ , mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp. Trong nhiều trường hợp, điều kiện ấy sẽ đưa về dạng .
Vì là một giá trị bất kỳ của nền từ ta thu được: và trong đó 	
Như vậy thực chât của phương pháp này là đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện 
II - Các ví dụ:
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
Giải:
	Biểu thức nhận giá trị khi và chỉ khi phương trình ẩn sau đây có nghiệm:
Do nên 
	+ TH1: Nếu thì có nghiệm 
	+ TH2: Nếu thì để có nghiệm, cần và đủ là , tức là:
.
	Với hoặc thì nghiệm của là:
	Với thì với thì 
	Gộp cả hai trường hợp 1 và 2 ta có:
	Cách khác:
Mở rộng: Bài toán còn có thể cho dưới dạng khác, đó là:
1/ Chứng minh: 
2/ Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm (vô nghiệm):
3/ Cho phương trình: ( có 2 nghiệm Tìm giá trị lớn nhất của tổng 
III - Bài tập tự giải:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
IV - tiểu kết:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu thức có thể đưa về hàm số bằng phương pháp miền giá trị thường được đưa về phương trình và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Phương pháp này có ưu điểm là tìm cực trị thông qua việc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, thông qua việc này giúp cho học sinh rèn kỹ năng giải phương trình.
3/ Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức quan thuộc 
1/ Nôi dung phương pháp:
Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
	Như vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốtrên miền nào đó, ta tiến hành theo hai bước:
	+ Chứng minh một bất đẳng thức
	+ Tìm sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm được trở thành đẳng thức.
	Nếu sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như Côsi, Trêbưsep, Bunhia côpxki thì các điểm như vậy thường được tìm thấy nhờ phần 2 trong cách phát hiện ra dấu đẳng thức ấy, cần có một nhận xét thích hợp.
	2/ Các bất đẳng thức thường dùng:
	1/ Tổng quát nguyên dương
	Xẩy ra dấu đẳng thức 
	2/ Tổng quát nguyên dương
	Xẩy ra dấu đẳng thức 
	3/ Xẩy ra dấu đẳng thức 
4/ Xẩy ra dấu đẳng thức 
5/ Xẩy ra dấu đẳng thức cùng dấu)
 Xẩy ra dấu đẳng thức cùng dấu)
 Xẩy ra dấu đẳng thức ;
6/ Xẩy ra dấu đẳng thức 
7/ với cùng dấu. Xẩy ra dấu đẳng thức 
8/ Bất đẳng thức Côsi:
+ Đối với 2 số dương bất kỳ.
	 (hoặc . Xẩy ra dấu đẳng thức 
+ Đối với 
9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki:
Nếu và là những số tuỳ ý, ta có:
.
Dấu bằng xẩy ra (với quy ước rằng nếu thì ).
10/ Bất đẳng thức Trêbưsép.
+ Nếu 
 thì
	Dấu bằng xẩy ra hoặc tuỳ ý
+ Nếu 
 thì
	Dấu bằng xẩy ra hoặc tuỳ ý.
	III - Các ví dụ:
	VD1: Cho biểu thức 
	 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải
	áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki đối với và 
	Mặt khác, đối với và ta có:
	Từ và suy ra: 
Vậy 
	VD2: Tìm giá trị lớn nhất của:
	a/ biết 
	b/ 
	Giải:
	a/ Điều kiện: 
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng: 
ở đây lại muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức:
Cách khác: Xét rồi dùng bất đẳng thức Côsi
b/ Điều kiện: 
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội một tích: 
Ta xem các biểu thức: là các tích:
Theo bất đẳng thức Côsi:
	VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
	Ta có: 
	Chú ý: Giải bài toán linh hoạt khi biến đổi để áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.
Cách khác: Xét khoảng giá trị của x.
VD4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức: đối với 1000 cặp giá trị tuyệt đối.
Ta có: 
Vậy 
Mở rộng: Từ bài toán trên ta có thể ra các bài toán sau:
1/ Tìm miền giá trị của hàm số:
2/ Chứng minh bất đẳng thức:
	3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
	III - Bài tập tự giải:
	1/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: với 
	HD: áp dụng bất đẳng thức Côsi với 5 số không âm: 
	2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
HD: áp dụng bất đẳng thức Bunhia với 
	3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
	4/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
	5/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
	a/ 	b/ 
	IV - Tiểu kết:
	Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đối với mỗi bài đòi hỏi tính linh hoạt cao, mỗi bài có một nét riêng biệt, không có quy tắc chung để vận dụng. Vì vậy cần cho học sinh làm quen với nhiều loại bài tập này./.
Kết quả áp dụng
Quá trình nghiên cứu, trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, phần chuyên đề “Toán cực trị” đã phát huy tính tích cực sáng tạo của học sinh - học sinh không còn cảm thấy ngại mà ngược lại còn rất hứng thú khi gặp những bài toán về cực trị. Kết quả thể hiện như sau:
Khi chưa áp dụng: Đối với 9B năm học 2004 - 2005 số học sinh đạt điểm giỏi môn toán của 9B chỉ đạt 30%. Những khoá học trước HSG huyện môn toán lớp 9 chỉ đạt 1 đến 2 em. Năm học 2005 - 2006, lớp 9B tôi dạy môn toán có đến 60% số học sinh đạt điểm giỏi và 5 em đạt HSG huyện. Đây là một kết quả đáng ghi nhận trên một địa bàn giáo dân như phường Trung Sơn.
Trung Sơn, ngày..... tháng..... năm 2007
người thực hiện
Nguyễn Văn Tĩnh