Một số phương pháp giải các bài toán chia hết trong số tự nhiên

A. Những vấn đề chung
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Cơ sở lý luận:
Trong quá trình dạy học phương pháp dạy học là vô cùng cần thiết sao cho vận dụng các phương pháp trong từng bài dạy phải thể hiện được đặc trưng bộ môn, phải phù hợp với đối tượng học sinh mà mục đích cuối cùng là học sinh chủ động làm việc, tích cực hoạt động trong mỗi thao tác, trong mỗi giờ học.
Việc giảng dạy môn Toán ở nhà trường không những nhằm truyền thụ cho học sinh những kiến thức cơ bản về toán học mà còn vũ trang cho các em công cụ sắc bén để nghiên cứu thế giới tự nhiên.
Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.
Dạy học như thế nào để học sinh khôgn những nắm kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập. Đó là một câu hỏi mà mỗi thầy, cô giáo luôn đặt ra cho mình.
Để đáp ứng được yêu cầu phát triển của sự nghiệp phát triển giáo dục và nhu cầu học của học sinh. Thì trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, nội dung kiến thức phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng để học sinh nếu cố gắng có thể tự mình tìm ra cách giải và phát triển tư duy toán học.
1.2. Cơ sở thực tiễn:
Là giáo viên giảng dạy môn Toán ở trường THCS. Tôi nhận thấy phép chia hết là một đề tài thật lý thú, phong phú và đa dạng không thể thiếu được trong môn số học lớp 6.
Hơn nữa học sinh đa số là ngại học phần này vì nó không có công thức cụ thể.
Xuất phát từ những lý do trên tôi quyết định chọn đề tài này.
2. Mục đích của đề tài:
Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thú học tập bộ môn.
Nêu lên được một số kinh nghiệm của bản thân về: "Một số phương pháp giải các bài toán chia hết trong số tự nhiên".
B. Nội dung.
B1. Đặc điểm tình hình
1. Thuận lợi:
Học sinh là con em nông dân nên có tính cần cù, chịu khó, đối tượng nghiên cứu là: "Phép chia hết" không thể thiếu trong chơưng trình đại số lớp 6.
Mặc khác lứa tuổi các em rất thích nghiên cứu, tìm hiểu phương pháp giải bài tập.
Được sự quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện của Ban giám hiệu và tổ chuyên môn.
2. Khó khăn: 
Trình độ củ học sinh không đồng dều, tính tự giác, khả năng tư duy còn hạn chế, và một số học sinh chưa chăm học.
3. Điều tra cơ bản:
Từ tình hình thực tế trên, tôi đã tiến hành công tác điều tra cơ bản (chọn lớp 6 A làm thí điểm).
Kết quả khảo sát của 40 học sinh lớp 6A như sau:
- 70% số học sinh làm bài còn thụ động theo sách giáo khoa.
- 80% số học sinh chưa có kỹ năng cơ bản trong việc tính toán.
- 80% số học sinh chưa có thời gian làm bài tập nâng cao chất lượng bộ môn khảo sát giữa kỳ I như sau:
Bảng 1: Kết quả khảo sát
Loại giỏi
Loại khá
Trung bình
Loại yếu
Loại kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
0
0
6
15
25
62,5
9
22,5
0
0
B2: Nội dung thực hiện:
I. Trước tiên học sinh phải nắm chắc định nghĩa phép chia hết, các đấu hiệu chia hết cũng như các tính chất về quan hệ chia hết.
1. Định nghĩa phép chia hết:
Cho hai số tự nhiên a và b, nếu có số tự nhiên x sao cho bx=a thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a: b = x.
2. Các dấu hiệu chia hết:
a) Dấu hiệu chia hết cho2: Một số chia hết cho 1 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
b) Dấu hiệu chia hết cho3: Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.
c) Dấu hiệu chia hết cho 8: Một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9.
* Chú ý: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9) cũng như bấy nhiêu và ngược lai.
d) Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó bằng 0 hoặc bằng 5.
e) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25).
g) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125): Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125).
h) Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó "đứng ở vị trí lẻ" và tổng các chữ số "đứng ở vị trí chẵn kể từ phải sang trái" chia hết cho 11.
3. Tính chất của quan hệ chia hết:
a) O chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0.
b) a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0.
c) Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b.
d) Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chi hết cho c.
đ) Nếu a chia hết cho ba và cũng chia hết cho c mà (b,c) = 1 thì a chia hết cho (b,c).
e) Nếu a, ba chia hết cho c và (b,c) =1 thì a chia hết cho c.
f) Nếu a chia hết cho m thì k,a cũng chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.
g) Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a ± b) chia hết cho m.
h) Nếu a chia hết cho b không chia hết cho m thì (a±b) không chia hết cho m.
k) Nếu a chia hết cho m và ba chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n.
i) Nếu (a,b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m.
m) Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m với n là số tự nhiên.
n) Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với n là số tự nhiên.
II. Một vài phương pháp thường dùng để giải các bài toán chia hết.
1. Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết để chứng minh a chia hết cho b (b ạ 0) ta biến dổi số a dưới dạng một tích các thừa số trong đó có một thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b).
Ví dụ 1: Chứng minh: 3100 chia hết cho 27
Giải: Ta có : 3100 = 53.397 = 27.397.
Vì 27 chia hết cho 27 nên 27.397 chia hết cho 27.
Vậy 3100 chia hết cho 27.
2) Phương pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết.
a) Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu:
- Để chứng minha chia chết cho b (bạ0) ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b.
- Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng của các số hạng rồi chứng minh một số trạng không chia hết cho b.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
Giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: x; x+1; x+2.
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp: x + x +1 +x+2 = 3x+3.
Tổng tren luôn chia hết cho 3 (tính chất chia hết của một tổng).
* Từ bài toán trên giáo viên đưa học sinh vào tình huống có vấn đề: Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n hay không.
Để trả lời câu hỏi đó các em làm bài tập sau.
Ví dụ 3: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không?
Giải: Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là: x; x + 1; x+2; x+3.
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp: x+x+1+x+x+x+x= 4x+6
Vì 4 chia hết cho 4 nên 4x chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên 4x+6 không chia hết cho 4.
Suy ra tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
* Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n.
b) Dùng tính chất chia hết của một tích:
Để chứng minh a chia hết cho b (bạ0) ta có thể chứng minh một trong hai cách sau:
+ Biểu diễn 6=m.n với (m,n) = 1 sau đó chứng minh a chia hết cho m; a chia hết cho n.
+ Hoặc biểu diễn a = a1a2; b= b1.b2 rồi chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết cho b2.
Ví dụ 4: Chứng minh (1980.a + 1995.b) chia hết cho 15 với mọi a,b là số tự nhiên.
Giải: Vì 1980 chia hết cho 3 nên. 1980.a chia hết cho 3 với mọi a.
Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với mọi b. 
Do đó: (1980.a + 1995.b) chia hết cho 5.
Mà: (3;5) = 1
Suy ra (1980.a + 1995.b) chia hết cho 15.
3. Phương pháp 3: Dùng định lý về phép chia cho dư:
Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng:
a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôN chia hết cho 3.
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4.
Giải: 
a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: n; n+1; n+2.
Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n(n+1)(n+2).
Một số tự nhiên chia hết cho 3 có thể nhận nhận một trong các số dư: 0; 1; 2.
+ Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 ị n(n+)(n+2) chia hết cho3.
+ Nếu r = 1 thì n = 3x+1(KẻN)
Do đó: n +2 = 3K + 1 +2 =(3K+3) chia hết cho 3.
Suy ra: n(n+1)(n+2) chia hết cho 3.
+ Nếu r = 2 thì n = 3K + 2 (KẻN)
Do đó n+1 = 3K+2+1 = (3K+3) chia hết cho 3.
Suy ra: n(n+1)(n+2) chia hết cho 3.
Tóm lại: n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 với mọi n thuộc số tự nhiên.
b) Chứng minh tương tự ta có: n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên.
Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập ở dạng tổng quát.
Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
III. Sau khi học sinh đã nắm vững các phương pháp thường dùng để chứng minh chia hết, giáo viên có tểh ra một số bài toán về phép chia hết nằm giúp cho học sinh nắm một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về phép chia hết.
Bài 1: Không làm phép tính cộng, trừ. Hãy giải thích tại sao các tổng, hiệu sau đều chia hết cho 11.
a)	33+22
b)	88-55
c)	44+66+77.
Giải: 
a/ (33+22)M 11 vì vì 33M 11 và 22M 11 (theo tính chất chia hết của một tổng).
b/(88-55) M 11 và 88M 11 và 55 M 11 (theo tinh chất chia hết của một hiệu)
c/44+66+77)M 11 vì 44M 11; 66M 11; 77M 11 (theo tính chất chia hết của một tổng).
Bài 2: Em hãy dạch dưới đsố mà em chọ:
a) Nếu aM 3 và bM 3 thì tổng (a+b) chia hết cho 3; 6; 9.
b) Nếu aM 2 và bM 4 thì tổng (a+b) chia hết cho 2;4;6.
c) Nếu aM 6 và bM 9 thì tổng (a+b) chia hết cho 3; 6; 9.
Đáp án: 
a)	3
b)	2
c)	3
Bài 3: Phải thay x bởi chữ số nào để:
a)	12 + 2x3	chia hết cho 3.
b)	5x793x4	chia hết cho 3.
c)	12 x317x	chia hết cho 8.
d)	173925x	chia hết cho 8; chao 125.
c)	113+x	chia hết cho 7.
g)	113 + x 	chia hết cho 7 dư 5.
Giải:
a) Vì (12+2x3) chia hết cho 3.
Mà 12M 3
Nên 2x3 phải chia hết cho 3.
Khi đó (5+x) M 3 mặt khác x là chữ số suy ra: x =1; x=4; x =7.
b) Vì 5x 793x4 M 3 nên (2x+1) M 3
Mặt khác x là chữ số suy ra: x = 1; x = 4; x =7.
c) Vì 12x347x M 8 nên 47x M 8 ị x = 2
d) + Ta có 173925x M 8 Û 25x M 8 ị x = 8
 + Ta có 173925x M 125 khi 25x M 25 ị x = 0
e) Ta có: 113 + x = 112 + (1+x) vì 112 M 7 nên (112+x) M7 
 Khi (x+1) M 7 mà x là chữ số nên x = 6
g) Ta có: 113 + x = 112+(1+x)
 Vì 112 M 7 nên (1+x) chia cho 7 dư 5 hay x chia cho 7 dư 4, mặt khác x là chữ số1.
 Suy ra: x = 4
Bài 4: Tìm các chữ số x; y để số:
a) 	56x3y chia hết cho 36
b)	71x1y chia hết cho 45
Giải:
a) Vì 36 = 4.9 mà (4;9) = 1 nên 56x3y chia hết cho 36.
Khi: 56x3y M 9 và 56x3y M 4
Ta có: 56x3y M 4 Û 3y M 4 ị y ẻ {2; 6}
Và 56x3y M  Û (5+6+x+3+y) M 9
Û (5+6+x+3+y) M 9
Mà x; y là các chữ số nên (x+y) ẻ{4;13}
y = 2 ị x =2 hoặc x = 11 (> 9 loại)
y = 6 ị x =7 hoặc x = 2 (> 0 loại)
Vậy các số phải tìm: 56232; 56736
b) Vì: 45 = 9.5 mà (9;5) = 1 nên 71x1yM 9
Khi và chỉ khi 71x1yM 9 và 71x1y M 5
Ta có 	71x1yM 5 Û y ẻ {0;5}
71x1yM 9 Û ((+x+y) M 9
Vì x; y là các chữ số nên (x+y) ẻ {9; 18}.
Nếu y = 0 ị x = 9 hoặc x = 18 (>9 loại)
Nếu y = 5 ị x = 4 hoặc x = 13 (>9 loại)
Vậy số phải tìm: 71910; 71415.
Bài 5: Tìm số tự nhiên n để (3n + 10) chưa hết cho (n+2)
Giải: Ta có 3n + 10 = 3n + 6 + 4
3n +10 = 3(n+2) + 4
Mà 3(n+2) M (n+2)
Do đó: (3n+10) M (n+2) khi và chỉ khi (n+2) là ước của 4
ị (n+2) ẻ {1;2;4}
ị n ẻ {0;2}
Vậy với n ẻ {0, 2} thì (3n + 10) M (n+2)
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để: là số tự nhiên.
Giải: Để là số tự nhiên thì (n+15) M (n+3)
Suy ra [(n+15)-(n+3)] chia hết cho (n+3)
Khi 12 chia hết cho (n+3)
Hay (n+3) là ước của (12)
Tức là: (n+3) ẻ {1;2;3;4;6;12]
 n ẻ {0; 1; 3; 9}
Vậy với n ẻ {0; 1; 3; 9} thì là số tự nhiên.
Bài 7: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải: Gọi hai số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n+2(nẻN)
Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n (2n+2) = 4n(n+1)
Vì: n; n +1 không cùng tính chẵn lẻ nên:
n(n+11) chia hết cho 2
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n(n+1) chia hết cho (4.2)
ị 4n(n+1) chia hết cho 8.
Vậy 2n (2n+2) chia hết cho 8.
C. Kết luận.
1. Kết quả:
Qua một số năm dạy toán 6. Bản thân tôi nhận thấy: Khi dạy phần chia hết trong tập hợp số tự nhiên, học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ động, có hệ thống, kết quả học tập của các em nâng lên rõ rệt, hầu hét các em đã giải được bài tập phần này. Xoá đi cảm giác khó, phức tạp, ban đầu là không có quy tắc.
Qua đó rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, cái phẩm chấttrí tuệ khác được hình thành và học sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu, giúp học sinh hứng thú khi học bộ môn này.
Cụ thể: qua khảo sát chất lượng học kỳ 1 như sau:
Bảng 2: Kết quả khảo sát chất lượng học kỳ I:
Loại giỏi
Loại khá
Trung bình
Loại yếu
Loại kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10
25
20
50
10
25
0
0
0
0
2. Bài học kinh nghiệm:
Phần "phép chia hết trong N" ở lớp 6 là một nội dung rất quan trọng, bởi kiến thức này có liên quan chặt chẽ, nó là tiền đề cho học sinh học tốt các kiến thức về sau và đặc biệt là ứng dụng nó rất hiệu quả.
Do khi dạy phần này chúng ta cần cho học sinh nắm chắc kiến thức; Định nghĩa phép chia hết và đặc biệt là tính chất của quan hệ chia hết vì tính chất này rất hay sử dụng.
Để học sinh nắm chắc kiến thức và có hứng thú học tập, giáo viên phải chọn lọc hệ thống kiến thức, hệ thống bài tập theo mức độ tăng dần, từ dễ đến khó, giúp học sinh phát huy khả năng suy luạn và tính độc lập sáng tạo.
Với mỗi dạng toán tuy không có quy tắc tổng quát song khi giải giáo viên chỉ ra những đặc điểm cơ bản mà có hướng giải quyết để khi gặp những bài toán tương tự học sinh có thể liên hệ được. 
Trên đây là một vài kinh nghiệm được chắt ra từ kinh nghiệm thực tế giảng dạy phần phép chia hết trong N.
Do đó không tránh khỏi những thiếu sót, tính khách quan. Rất mong được sự lĩnh hội các thông tin đánh giá để tiếp tục nghiên cứu, bổ sung cùng đồng nghiệp đạt được mục đích nâng cao chất lượng, hiệu quả trong công tác giảng dạy./.
Ngày 15 tháng 4 năm 2004
Người viết
Thịnh Thị Bính
Phòng giáo dục huyện nga sơn
Trường THCS Nga an
-------------------@&?-------------------
Sáng kiến kinh nghiệm
một số phương pháp giải các bài toán chia
 hết trong tập hợp số tự nhiên
Giáo viên: Thịnh Thị Bính
Tổ : Tự nhiên
Đơn vị: Trường THCS nga An - Nga Sơn
Năm học 2003-2004
**********