Mầu: Đơn yêu cầu công nhận sáng kiến kinh nghiệm: Phân tích đa thức thành nhân tử khi không thể đồng nhất thức trong đa thức bậc 4 vô nghiệm

1 
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
 
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN 
Kính gửi: 
 Hội đồng Sáng kiến Trường THCS Phước Tín 
 Hội đồng Sáng kiến thị xã Phước Long 
Tôi ghi tên dưới đây: 
Stt Họ và tên 
Ngày, 
tháng, 
năm sinh 
Nơi công tác 
Chức 
danh 
Trình độ 
chuyên 
môn 
Tỉ lệ 
(%) 
đóng 
góp 
1 Bùi Thị Thúy Trinh 20/10/1988 
Trường THCS 
Phước Tín, 
Phước Long, 
Bình Phước 
Giáo 
viên 
Cao đẳng 
sư phạm 
Toán 
100% 
Là tác giả đề nghị công nhận sáng kiến: “Phân tích đa thức thành nhân tử khi 
không thể đồng nhất thức trong đa thức bậc 4 vô nghiệm” 
 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường THCS Phước Tín. 
 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Đại số 
 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu (hoặc áp dụng thử): 01/05/2017 
 Mô tả bản chất sáng kiến: 
 Trong chương trình đại số 8 ở trường THCS hiện nay. Phân tích đa thức thành 
nhân tử là một nội dung quan trọng. Nó giúp cho học sinh xuyên suốt quá trình thực 
hiện các phép toán trên phân thức trong bước rút gọn, giải phương trình trong chương 
trình lớp 8, là tiền đề giải phương trình bậc 2 mà học sinh sẽ tìm hiểu trong chương 
trình lớp 9 và các cấp học cao hơn. 
 Khi giảng dạy về nội dung này trên lớp, bài tập của các em khá thuần túy ( vì 
chỉ theo chuẩn kiến thức kĩ năng ). Nhưng đối với việc nâng cao cho các đối tượng là 
2 
HSG thì chưa đủ. Điển hình như việc ra đề cương hướng dẫn việc thi cuối HKII của 
phòng giáo dục cho khối lớp 7 năm học 2016 – 2017 có một bài tập xin trích dẫn 
nguyên văn như sau ( câu 5b ) 
 Tất nhiên, bài tập sẽ cho ta nhiều hướng giải quyết. Vấn đề đặt ra là đối tượng 
học sinh lớp 7, tôi đã sử dụng 1 thủ thuật nhỏ trong đồng nhất thức để làm và đã giải 
quyết thành công. 
 Từ việc làm ấy, câu hỏi luôn đặt ra cho tôi, có thể hướng tới đối tượng HSG 
việc đồng nhất thức để phân tích đa thức thành nhân tử mà ta có thể bắt gặp trong rất 
nhiều nguồn tài liệu liên quan ( mà đa số là đa thức bậc 4 vô nghiệm ). Và rõ ràng khi 
phân tích đa thức bậc 4 vô nghiệm thì phương pháp đồng nhất thức luôn được chọn lựa. 
Tuy nhiên, đồng nhất thức không phải lúc nào cũng có “kết quả đẹp”. Trong những 
trường hợp không có nghiệm nguyên khi giải hệ để đồng nhất thì xem như bế tắc. Đồng 
thời vẫn có trường hợp nhầm lẫn khi đa thức bậc 4 vô nghiệm thì không thể phân tích 
được nữa 
( Hình ảnh bài làm khảo sát thật từ một giáo viên Toán THCS tại Bình Long, bài 
toán phân tích chưa triệt để vì hệ số không “đẹp”, sẽ trình bày lại ở mục dưới) 
3 
 Giải quyết cho vấn đề này tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến “Phân tích đa thức 
thành nhân tử khi không thể đồng nhất thức trong đa thức bậc 4 vô nghiệm”. Tôi 
tin rằng đề tài sẽ góp phần giúp cho các em tự tin hơn trong việc tiếp thu những nguồn 
kiến thức mới ở những cấp học cao hơn, đặc biệt trong phân tích đa thức thành nhân tử, 
phân tích đa thức bất khả quy, giải phương trình...Cụ thể như sau: 
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
Giả sử đa thức bậc 4 cần phân tích thành nhân tử có dạng: 
Xét giải phương trình bậc bốn: 
 – 
 (
 ) – 
 ( 
)
 ( 
) 
 ( 
 ) ( ) ( ) 
 ( 
 )
 ( 
 ) ( ) ( ) ( ) 
Khi đó : Vế phải ( VP ) phải là một “biểu thức chính phương”  VP phải có nghiệm 
kép theo biến x  VP là phương trình bậc 2 có nghiệm kép khi  = 0 
Khi giải  = 0, ta có: 
( ) ( 
 ) ( ) 
 ( ) ( ) 
Phương trình bậc 3 ( bậc lẻ ) luôn có nghiệm thực thỏa , ta sẽ tìm được y bằng 
cách giải phương trình bậc 3 rồi đem thay ngược lại vào (*). 
Lúc này (*) có dạng A2 = B2  sử dụng hiệu hai bình phương ta phân tích được đa 
thức thành nhân tử 
4 
Lưu ý: 
+ Ta xét đa thức bậc 4 vô nghiệm (nếu có nghiệm không quá phức tạp – “nghiệm 
đẹp” thì chỉ với chiếc máy tính casio ta đã giải quyết được) vì vậy theo “phản xạ” giải 
phương trình ta chỉ làm đến giải nghiệm rồi không làm tiếp dẫn tới không khai thác 
được hết ý nghĩa trong việc “giải tiếp 1 phương trình vô nghiệm”. Do đó ta không thể 
hoàn thành được việc phân tích đa thức bậc 4 vô nghiệm thành hai nhân tử là hai đa 
thức bậc 2 vô nghiệm. Và xin nhấn mạnh ta luôn luôn có thể phân tích đa thức bậc 4 
vô nghiệm thành đa thức gồm hai nhân tử là hai đa thức bậc 2 vô nghiệm. 
+ Ta xét đa thức bậc 4 có dạng vì ta luôn đưa được đa 
thức bậc 4 với hệ số ở là 1, mục đích làm bài toán đơn giản hơn 
II. HƯỚNG DẪN CỤ THỂ 
1) Bài toán kiểm chứng, đối chiếu 
Bài toán 1: 
Phân tích đa thức thành tích của các nhân tử 
Giải: 
Xét phương trình: 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( 
)
 ( ) ( ) 
 ( ) 
Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. 
Khi đó, ta xét ( ) ( ) 
 ( ) có nghiệm 
kép thỏa: 
 ( ) ( ) (
 ) 
5 
( ) 
 ( ) 
 ( )( ) 
 [
 thay vào (*), ta được: 
 ( ) 
 ( ) ( ) (vô lý trong R) 
 thay vào (*), ta được: 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) (vô lý trong R) 
 thay vào (*), ta được: 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) (√ )
 √ √ ( √ )
 ( ) (√ √ )
 Suy ra: 
 ( ) (√ √ )
 ( √ √ )( √ √ ) 
 [ ( √ ) √ ][ ( √ ) √ ] 
6 
Vậy ta phân tích được 
 [ ( √ ) √ ][ ( √ ) √ ] 
* So sánh với phương pháp đồng nhất thức: 
Đặt: 
 ( )( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
Khi đó ta xét giải hệ: 
 {
 ( ) 
* Ngoài ra đối với việc phân tích bằng nhóm, tách, hay thêm bớt hạng tử rõ 
ràng khá khó vì hệ số sau khi biết được kết quả là vô tỉ 
* Bài toán được phân tích trên phân mền chỉ cho ra được kết quả: 
7 
2) Bài toán vận dụng phương pháp làm đưa ra 
Bài toán 2: 
Phân tích đa thức thành nhân tử trên Q[x] ( các hệ số 
của đa thức phải thuộc tập Q ) 
Giải: 
Xét phương trình: 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( 
)
 ( ) ( ) 
 ( ) 
Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. 
Khi đó, xét ( ) ( ) 
 ( ) có nghiệm 
kép thỏa: 
 ( ) ( )(
 ) 
 ( )( ) 
[
 √ 
 ( )
 √ 
 ( )
Khi đó thay vào (*), ta được: 
 ( 
)
8 
 ( 
)
 ( ) 
 (
)
 ( 
)
 ( 
)
Suy ra: 
 ( 
)
 ( 
)
 ( 
) ( 
) 
 ( )( ); có nghiệm đầy đủ trong R và không có nghiệm trong Q 
Vậy trong Q[x]: 
 ( )( ); 
Chú ý: Nếu xét trong R[x] thì ta chỉ cần giải tìm nghiệm của hai nhân tử là đa thức 
bậc 2 sẽ phân tích được 
 ( )( )
 ( 
 √ 
)( 
 √ 
)( 
 √ 
)( 
 √ 
) 
Đối với bài này ta có thể đồng nhất thức hoặc nhóm, tách, hay thêm, bớt hạng tử 
vì hệ số khá đẹp. 
Bài toán 3: 
Phân tích đa thức thành tích của các nhân tử 
Giải: 
Đặt { 
 { 
 { 
Xét phương trình: 
9 
 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. 
Khi đó, ta xét ( ) ( ) có nghiệm kép thỏa: 
 ( )( ) 
 [
 thay vào (*), ta được: 
( ) (vô lý trong R) 
 thay vào (*), ta được: 
( 
)
 (vô lý trong R) 
 thay vào (*), ta được: 
 ( ) 
 ( ) ( )( ) 
 ( )( ) 
 ( )( ) 
 ( )( ) ( ) 
Với: 
Xét phương trình: 
 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. 
10 
Khi đó, ta xét ( ) ( ) có nghiệm kép: 
 ( )( ) 
 [
 thay vào (**), ta được: 
( ) (vô lý trong R) 
 thay vào (**), ta được: 
( 
)
 (vô lý trong R) 
 thay vào (**), ta được: 
 ( ) 
 ( ) ( √ )( √ ) 
 ( √ )( √ ) 
Vậy: 
 ( )( ) 
 ( √ )( √ )( )( ) 
Bài toán 4: 
 Phân tích đa thức thành tích của các nhân tử 
Giải: 
Đặt { 
 { 
 { 
Xét phương trình: 
11 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. 
Khi đó, ta xét ( ) có nghiệm kép thỏa: 
 ( ) 
 [
 thay vào (*), ta được: 
( ) (vô lý trong R) 
 thay vào (*), ta được: 
 (vô lý trong R) 
 thay vào (*), ta được: 
 ( ) 
 ( ) ( √ )( √ ) 
 ( √ )( √ ) 
 ( √ )( √ ) 
Với: √ 
Xét phương trình: 
 √ 
 √ 
 √ ( ) 
 ( ) ( √ ) ( ) 
Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. 
Khi đó, ta xét ( √ ) ( ) có nghiệm kép: 
 ( √ )( ) 
12 
[
 √ 
 thay vào (**), ta được: 
( ) (√ ) (vô lý trong R) 
 √ 
 thay vào (**), ta được: 
( 
√ 
)
 (vô lý trong R) 
 thay vào (**), ta được: 
 ( ) (√ ) 
 ( ) (√ ) 
 ( √√ )( √√ ) 
 √ ( √√ )( √√ ) 
Với: √ 
Xét phương trình: 
 √ 
 √ 
 √ ( ) 
 ( ) ( √ ) ( ) 
Suy ra vế phải cần có nghiệm kép. 
Khi đó, ta xét ( √ ) ( ) có nghiệm kép: 
 ( √ )( ) 
[
√ 
 thay vào (**), ta được: 
13 
( ) ( √ ) (vô lý trong R) 
√ 
 thay vào (**), ta được: 
( 
√ 
)
 (vô lý trong R) 
 thay vào (**), ta được: 
 ( ) ( √ ) 
 ( ) ( √ ) 
 ( √ √ )( √ √ ) 
 √ ( √ √ )( √ √ ) 
Vậy: 
 ( √ )( √ ) 
 ( √ √ )( √ √ )( √ √ )( 
 √ √ ) 
14 
3) Bài toán suy luận ngược vận dụng phối hợp các phương pháp khác 
Ta có thể trình bày hai bài toán sau ( bài toán 4 và 5) như cách làm của bài toán 2 và 
bài toán 3. Tuy nhiên khi hiểu rõ bản chất của việc làm này, ta có thể bổ trợ ngược lại 
cho việc nhẩm hạng tử để lựa chọn cách nhóm, tách các hạng tử sao cho phù hợp. Đó là, 
việc xử lý bài toán trên cơ sở 3 hằng đẳng thức: bình phương của 1 tổng, bình phương 
của 1 hiệu và hiệu hai bình phương, tránh được việc trình bày dài. Cụ thể qua hai bài 
toán như sau: 
Bài toán 4: 
 Phân tích đa thức thành tích của các nhân tử 
Giải: 
 ( ) 
 ( ) ( thêm hạng tử có vai trò bậc 2) 
 ( ) 
 ( √ )( √ ) 
 ( √ )( √ ) (tách hạng tử có vai 
trò bậc 2) 
 ( √ √ )( √ √ )( √ √ )( 
 √ √ ) 
Bài toán 5: 
Phân tích đa thức thành tích của các nhân tử 
Giải: 
 √ ( √ ) ( ) 
 ( ) ( √ ) [ √ √ ] [ √ √ ] 
15 
Lưu ý: Ta lựa chọn việc làm theo cách này khi nhận thấy đa thức bậc 4 chỉ gồm các 
hạng tử bậc chẵn. Đồng thời để nhóm, tách thành công ta tập trung hạng tử bậc 2 (hoặc 
có vai trò như bậc 2). Nếu có bậc lẻ thì làm theo phương pháp tổng quát chung là tốt 
nhất. 
 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): không 
 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 
+ Giải bài toán phân tích đa thức bậc 4 vô nghiệm hoặc có nghiệm (hoặc đa thức đưa 
được về dạng đa thức bậc 4) thành nhân tử 
+ Giải phương trình bậc 4 (hoặc phương trình đưa được về dạng phương trình bậc 4) 
đưa về dạng phương trình tích 
+ Có máy tính casio f(x) 500, 570... 
 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 
theo ý kiến của tác giả: 
* Ưu điểm: 
+ Phương pháp dựa trên việc khai thác triệt để ý nghĩa giải phương trình bậc 4, đồng 
thời có giải phương trình bậc 3. Do đó HS có cơ hội làm những bài toán giải phương 
trình một cách tổng quát. 
+ Giúp học sinh và giáo viên có thêm cách nhìn mới, lựa chọn mới về việc phân tích 
đa thức thành nhân tử. 
+ Phân tích đa thức thành nhân tử theo phương pháp này giúp cho việc giải quyết 
yêu cầu trong đa thức bậc 4 vô nghiệm dễ dàng hơn mà trước đây ta phải làm bằng cách 
đồng nhất thức, thậm chí có những trường hợp không làm được (đã nêu cụ thể trong các 
bài toán trên), không quá đòi hỏi người làm phải có kĩ năng, kĩ xảo tốt về thêm, bớt, 
tách các hạng tử mới có thể giải mà không phải ai cũng suy nghĩ ngay để làm được. 
Phương pháp này đáp ứng được yêu cầu đó khi đưa ra cách làm và qui luật rõ ràng. 
+ Làm có quy tắc, không đòi hỏi phải đoán kết quả, phân tích triệt để kể cả hệ số vô 
tỉ. 
+ Nếu việc phân tích đa thức bậc 4 vô nghiệm làm được bằng phương pháp đồng 
nhất thức thì việc phân tích đa thức bậc 4 vô nghiệm theo phương pháp này cũng làm 
được (điều này có nghĩa là sẽ tiết kiệm được thời gian hơn nếu ta làm phương pháp này 
16 
mà không sử dụng đồng nhất thức để làm trong trường hợp không thể đồng nhất thức 
khi “nghiệm không đẹp”). Và việc giải không quá phức tạp nếu đa thức có nghiệm 
(“nghiệm đẹp” ). 
* Hạn chế: 
+ Hạn chế trong phương pháp này nói riêng và đó cũng là nguyên nhân dẫn tới hạn 
chế cho những phương pháp khác về vấn đề này nói chung là khi tìm nghiệm được đặt y 
ta luôn giải 1 phương trình bậc 3 nếu rơi vào nghiệm là 1 số vô tỉ ta rất khó xử lí và các 
bạn nên tìm hiểu về việc giải phương trình bậc 3 tổng quát ( mà ở đây ta không bàn tới 
việc sẽ giải phương trình bậc 3 thế nào ) 
+ Trình bày dài nếu trong trường hợp phương trình bậc 3 nhận đủ 3 nghiệm  Khắc 
phục việc này ta có thể thực hiện theo “bài toán suy luận ngược vận dụng phối hợp các 
phương pháp khác” 
 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 
theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp 
dụng thử: 
1) Cá nhân áp dụng sáng kiến: 
Giáo viên bộ môn Toán - cô Hoàng Thị Thùy Trang 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
17 
2) Tổ chuyên môn: 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
3) Hội đồng sáng kiến nhà trường 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
........................................................................................................................................ 
18 
4) Danh sách những người đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần 
đầu (nếu có) 
Stt Họ và tên 
Năm 
sinh 
Nơi công tác 
Chức 
danh 
Trình độ 
chuyên 
môn 
Nội 
dung 
công 
việc hỗ 
trợ 
1 Hoàng Thị ThùyTrang 1978 
Trường THCS 
Phước Tín 
Giáo 
viên 
ĐHSP 
Toán 
Tham 
gia áp 
dụng 
sáng 
kiến 
III. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1) Đa thức và nhân tử hóa ( thầy Nguyễn Minh Trí – giảng viên đại học Đồng Nai ). 
2) Cách giải phương trình bậc 4 dạng tổng quát ( Nguồn internet ) 
Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và hoàn 
toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật 
Phước Tín, ngày 20 tháng 2 năm 2018 
 Người viết nộp đơn 
 Bùi Thị Thúy Trinh 
ĐT: 0979048174 
Email: thuytrinh201088@gmail.com