Khai thác, phát triển từ một bài toán về góc

Đặt vấn đề:
I.Lý do chọn đề tài:
Trong nhà trường nói chung, trường THCS nói riêng, việc dạy đúng chuẩn kiến thức kỹ năng của chương trình là một nhiệm vụ quan trọng của mỗi người giáo viên đứng lớp. Mặt khác, việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết và phải được tiến hành thường xuyên. Việc bồi dưỡng không chỉ giúp cho học sinh nắm vững những kiến thức, kỹ năng cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận một cách hợp lôgíc tìm ra được cách giải những bài tập khó, giúp các em rèn trí thông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học tập.
Thông qua các hoạt động giáo dục không những trang bị cho các em những tri thức khoa học mà điều quan trọng người GV còn truyền cho các em sự say mê, phương pháp nghiên cứu khoa học nhằm đào tạo được những thế hệ học sinh phù hợp với yêu cầu của xã hội, của thời đại. 
Với mỗi bài toán, việc tìm ra lời giải nhiều khi không phải là khó nhưng thực ra sau mỗi bài toán có biết bao điều lí thú. Nếu người thầy không biết khơi dậy ở học sinh óc tò mò, sự tìm tòi khám phá những bí ẩn sau mỗi bài toán mà chỉ giải xong bài toán là kết thúc thì việc dạy học trở nên nhạt nhẽo và điều quan trọng hơn là nếu sau mỗi bài toán ta tìm được một chuỗi bài toán liên quan từ dễ đến khó thì có thể rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, đồng thời kiến thức sẽ được mở rộng hơn, hệ thống hơn.
Là một giáo viên dạy toán đã nhiều năm tôi luôn trăn trở về điều đó. Làm thế nào để học sinh có thể tiếp thu được bài, vận dụng tốt trong việc làm bài tập đồng thời khơi dậy được tí tò mò của các em, giúp các em có phương pháp tìm tòi, tư duy toán học đặc biệt đối với môn Hình học, một môn mà các em luôn “ ngại” trong khi thời gian trên lớp không nhiều.
Với sự tìm tòi của bản thân và qua thực tế giảng dạy, tôi xin trình bày giải pháp:
“Khai thác, phát triển từ một bài toán về góc” 
Rất mong được các bạn đồng nghiệp tham khảo và góp ý.
II. phạm vi, Đối tượng nghiên cứu và áp dụng
1. Phạm vi nghiên cứu:
- Các phương pháp dạy học toán ở trường THCS.
- Nội dung sách giáo khoa Hình học 8, Hình học 9, các tài liệu tham khảo và các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
- Phương pháp tìm tòi lời giải một bài toán của Pôlya.
- Qua thực tế giảng dạy và qua học hỏi đồng nghiệp.
2. Đối tượng áp dụng:
 - Đề tài được áp dụng với đối tượng là học sinh của lớp nâng cao khối 9 trường THCS nơi tôi công tác.
 - Thời gian: Năm học 2012 – 2013 và 2013 – 2014
 B- Nội dung :
I/ Giải pháp chung:
* GV nghiên cứu giả thiết sưu tập các dạng câu hỏi khai thác.
* Từ kết quả bài toán nghiên cứu, khai thác theo các hướng tư duy sau:
+ Đặt câu hỏi với các mức độ đòi hỏi HS tư duy cao hơn.
+ Thay đổi giả thiết tạo các tình huống đòi hỏi sự sáng tạo, tư duy cao hơn của HS.
+ Phát hiện bài toán khái quát hơn. 
 II/ Ví dụ cụ thể:	
 1)Bài toán 1.(bài toán gốc). 
 Cho góc xOy và một điểm I cố định trên tia phân 
giác Ot. Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua điểm I,
cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại M, N.
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức :
 là hằng số. 
Hướng dẫn: 
Dựng hình thoi ODIE với D thuộc Ox, E thuộc Oy. Lúc đó các điểm D, E cố định đặt OD = a (không đổi).
 Ta có: + = 1.
 là hằng số.
Bài toán trên khá quen thuộc và không quá khó với đối tượng HS khá giỏi nhưng nếu biết khai thác phát triển ta sẽ có những kết quả rất lý thú và bổ ích
2) Tổ chức khai thác:
Đặt câu hỏi với các mức độ đòi hỏi HS tư duy cao hơn
- Khi điểm I không thuộc tia phân giác nhưng vẫn nằm trong góc xOy thì sao?
Ta có thể khái quát hóa bài toán khi xét điểm I nằm trong góc xOy như sau:
Bài toán 2:
Cho góc xOy và một điểm I cố định nằm trong góc đó. Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua điểm I, cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại M và N. Trên các tia Ox, Oy lần lượt lấy điểm D và E sao cho ID//Oy và IE//Ox. Đặt OD = a, OE = b
 Chứng minh rằng: = 1
 Hướng dẫn: 
 Chú ý rằng D, E cố định nên a,b không đổi. Chứng minh tương tự bài toán 1. 
 Tiếp tục cho điểm I chuyển từ miền trong góc xOy ra miền ngoài góc đó ta có bài toán sau.
Bài toán 3:
Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại điểm O. Một điểm I cố định nằm ngoài các góc xOy, x’Oy’. Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua điểm I, cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại M và N. Lấy các điểm D, E trên các đường thẳng x’x, y’y sao cho ID // y’y và IE // x’x. Đặt OD = a, OE = b. 
Chứng minh rằng luôn là hằng số. 
Hướng dẫn: 
 Chứng minh tương tự các 
bài toán trên, chú ý rằng 
nếu điểm I nằm trong góc x’Oy 
thì = -1, còn nếu 
điểm I nằm trong góc y’Ox thì = 1.
Một cách biến đổi bài toán là xét mệnh đề đảo của các bài toán 2 và 3. Để làm giảm mức độ phức tạp của giả thiết có thể chuyển việc xét biểu thức chứa hai tham số a, b về biểu thức chứa một tham số như sau. 
Bài toán 4:
Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau tại điểm O. Đường thẳng d thay đổi cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại M và N. Nếu tồn tại số k sao cho luôn bằng một hằng số khác 0 thì đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.
 Hướng dẫn: 
 Giả sử 
Xét trường hợp k > 0, lúc đó a > 0. 
Dựng điểm D trên tia Ox sao cho OD = a thì OD < OM.
Kẻ DI // Oy và cắt đoạn thẳng MN tại I. 
Lấy điểm E trên tia Oy sao cho OE = ID
 thì ODIE là hình bình hành. Chứng minh tương tự các bài toán 1, 2 ta có => . Từ đó và giả thiết suy ra .
 Vậy D, E đều là điểm cố định nên I là điểm cố định nằm trong góc xOy.
 b) Với trường hợp k 0 hoặc a < 0
 c) Với k = 0 thì M là điểm cố định cần tìm.
 Chú ý rằng khi thì nên các đường thẳng d song song với nhau.
 Ta lại thay đổi giả thiết bằng cách xét một điểm cố định nằm trong ba góc trong của một tam giác ta có bài toán 5.
 Bài toán 5 : 
 Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp. Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua điểm I, cắt các cạnh AB, AC và tia CB lần lượt tại M, N và P. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau là không đổi.
 Hướng dẫn: Dựng các hình thoi AGIK, BEIF, CRIS. 
 Do 
BP > BM.
 Đặt AG = m, BE = p, CR = n.
 Theo bài toán 2, 3 ta có 
 Cộng các hệ thức này theo từng vế rồi biến đổi ta có điều phải chứng minh.
3) Bài tập:
Sau khi học sinh nghiên cứu xong bài toán giáo viên yêu cầu học sinh vận dụng làm các bài tập sau:
 Đặc biệt hóa bài toán 5 ta sẽ có bài toán:
 Bài toán 6 : 
 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, I là tâm đường tròn nội tiếp. Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua điểm I, cắt các cạnh AB, AC và tia CB lần lượt tại M, N và P. Chứng minh rằng 
 a. 
 b. 
 Tiếp tục phát triển các bài toán trên (mở rộng) ta có bài toán sau:
 Bài toán 7: 
 Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng d thay đổi cắt các đoạn thẳng AB, AD, AC lần lượt tại các điểm M, N, P. 
 Chứng minh rằng: 
Như vậy từ một bài toán đơn giản nếu giáo viên nghiên cứu kỹ kết quả, khai thác hợp lý sẽ phát hiện được các kiến thức mới làm giàu tri thức toán học cho bản thân và hình thành phương pháp nghiên cứu khoa học, sáng tạo từ đó truyền tải đến học sinh những kiến thức bổ ích, lý thú và có hệ thống nhất đồng thời hình thành cho các em cách tư duy sáng tạo phát huy được tính tích cực chủ động trong quá trình học và tự học cho các em.
Trên đây mới chỉ là một ví dụ về hướng gợi mở tạo tình huống cho HS, từ bài toán 1 với cách làm trên mỗi GV dạy toán có thể tổ chức, tạo tình huống cho HS khai thác tìm hiểu và vận dụng theo các hướng khác nhau để thu các kết quả quan trọng và hấp dẫn khác. 
C - Kết luận:
I/ Kết quả đạt được.
Sau quá trình áp dụng giải pháp trên đặc biệt với đối tượng HS giỏi tôi nhận thấy:
1/ Kiến thức và kỹ năng cơ bản của học sinh được củng cố và khắc sâu.
2/ Rèn phương pháp học tập cho học sinh: có ý thức nghiên cứu kỹ kết quả các bài toán dù là đơn giản để tìm hiểu bản chất đồng thời phát hiện, khai thác được các kết quả lý thú khác. 
3/ Rèn cho HS khả năng vận dụng kiến thức linh hoạt và sáng tạo.
4/ Học sinh có ý thức xây dựng bài toán khái quát hơn từ những bài toán cơ bản.
Trước đây khi chưa áp dụng các biện pháp trên, kết quả các bài kiểm tra khảo sát học sinh giỏi về phần hình học rất thấp, học sinh rất lúng túng không biết cách phân tích tìm lời giải, trình bày lời giải nhất là các bài toán khó, có lời giải phức tạp. Khi áp dụng theo các biện pháp trên tôi thấy chất lượng học sinh được nâng cao rõ rệt ở lớp nâng cao cũng như ở đội tuyển HSG của trường, phần lớn các em chủ động, hăng hái học tập hơn.
II/Bài học kinh nghiệm
Dạy toán là dạy phương pháp làm toán. Vì vậy ngoài việc cung cấp kiến thức cơ bản cho học sinh một cách chính xác, khoa học người thầy còn cần có sự khéo léo, linh hoạt khơi dậy ở các em lòng say mê khám phá, óc tìm tòi sáng tạo.
Với mỗi năm học, đối tượng học sinh lại khác, nếu người thầy năng góp nhặt tư liệu tổng hợp hành một khối thống nhất, rút ra phương pháp giải thì trò rất dễ tiếp thu, lĩnh hội, đồng thời phát triển được tư duy sáng tạo của các em. Nếu chỉ dừng lại những bài tập đơn thuần trong sách giáo khoa thì chưa khuyến khích hết tư duy sáng tạo của học sinh vì vậy giáo viên cần mở rộng kiến thức để các em có thể vận dụng linh hoạt vào các dạng bài áp dụng.
Dạy học các phương pháp tìm lời giải các bài toán có ý nghĩa rất quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải say mê tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu các phương pháp và cách vận dụng để dạy cho học sinh của mình.
Tuy nhiên không phải đối với tất cả các đối tượng học sinh chúng ta đều phải truyền tải các nội dung trên. Mà cần xác định đúng đối tượng để cung cấp những kiến thức cơ bản phù hợp với trình độ và quỹ thời gian của giờ học. Cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức từ cơ bản đến phức tạp để tạo tiền đề cho học sinh có tư duy sáng tạo trong việc giải các bài toán nâng cao.
Với khả năng có hạn một vài ý kiến nhỏ của tôi chắc chắn chưa hoàn thiện đáp ứng được yêu cầu đặt ra rất mong các bạn đồng nghiệp tham khảo, góp ý kiến, mong được Ban giám khảo quan tâm tạo điều kiện động viên giúp tôi cố gắng phấn đấu hơn nữa trong công việc dạy học của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
 Quỳnh phụ, ngày 06 tháng 4 năm 2014
 Người viết
Nhận xét đánh giá
của hội đồng khoa học ngành GD- ĐT huyện