Hướng dẫn học sinh một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

Phòng giáo dục Bỉm Sơn
Trường thcs Quang Trung
Sáng kiến kinh nghiệm
Đề tài:
hướng dẫn học sinh một số phương pháp
 tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức đại số
 Người thực hiện:	Mai Thị Chung
Năm học: 2006 - 2007
 a. phần mở đầu
-----***-----
i. lý do chọn đề tài:
Trong các kỳ thi tuyển sinh vào PTTH và các kỳ thi học sinh giỏi các tuyến trong đề thi thường có mảng kiến thức: Tìm GTNN và GTLN của một biểu thức đại số cấp độ THCS.
Nhưng trong chương trình toán PTCS chưa đề cập phương pháp cụ thể, chưa có bài dạy lý thuyết cụ thể về mảng kiến thức này. Vì vậy học sinh thường lúng túng khi gặp các cấu hỏi này.
Trong vấn đề giáo dục hiện nay. Bên cạnh dạy cho học sinh tri thức, kỹ năng, kỹ xảo còn phải dạy cho học sinh cách học hay, cách tư duy toán học tổng hợp, cách phối hợp nhiều kiến thức, cách lựa chọn phương pháp hay, hữu hiệu giải quyết một bài toán tổng hợp (một vấn đề).
- Kiến thức toán học ở các lớp từ thấp lên cao có mối quan hệ chặt chẽ vì vậy học sinh cần phải nắm kiến thức một cách có hệ thống khoa học, và vận dụng nó một cách linh hoạt, thì mới giải quyết được vấn đề toán học tổng hợp.
Tôi nhận thấy, kết thúc một cấp học học sinh ngoài việc phải nắm được kiến thức của từng chương, từng phần mà còn phải nắm nó một cách hệ thống và biết vận dụng nó linh hoạt để giải quyết những vấn đề toán học tổng hợp.
Với mong muốn như vậy giáo viên cần phải giúp học sinh có dịnh hướng về phương pháp để các em lựa chọn và vận dụng.
Vì vậy tôi xin được giới thiệu một vài phương pháp: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức đại số với trình độ PTCS.
ii. mục đích nghiên cứu
- Từ cơ sở lý luận: 
	M = {A(x) I A(x) ³ 0}
	=> A(x)min = 0
	N(x) = {B(x) I B(x) Ê 0}
	=> B(x)max = 0
Học sinh nhìn ra các phương pháp tìm GTLN và GTNN của biểu thức đại số nhằm phát huy năng lực tư duy toán tổng hợp của học sinh.
 III. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
 1 . Đối tượng nghiên cứu:
 Chương trình đại số lớp 8 và 9 bậc THCS
 2. Khách thể nghiên cứu 
 Học sinh lớp 9 Trường THCS Quang Trung
 IV. Giả thuyết khoa học
a) Bản chất: Các bài toán cực trị đại số ở cấp II có sự liên quan mật thiết tới các kiến thức: Chứng minh bất đẳng thức, phép giải phương trình và hệ phương trình, phép biến đổi đồng nhất trong chừng mực nào đó còn sử dụng kiến thức về giới hạn, về tập hợp, ...
b) Chức năng:
Tạo cơ hội cho học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán, đặc biệt là kỹ năng tư duy lựa chọn và phối hợp các phương pháp hay hữu hiệu trong giải quyết vấn đề toán học, giúp các em tạo nền móng để học tốt môn toán ở các cấp học cao hơn.
 V. nhiệm vụ nghiên cứu, Thời gian nghiên cứu
 1. Nghiên cứu giải toán cực trị đại số.
 2. Nghiên cứu các phương pháp sử dụng ở THCS giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng tư duy toán tổng hợp.
 3. Thời gian nghiê cứu: Trong năm học 2006 - 2007
VI. Phạm vi nghiên cứu
 Tại trường THCS Quang Trung
VII. Phương pháp nghiên cứu 
1. Nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu chương trình và nội dung sách giáo khoa toán THCS.
- Tham khảo các tài liệu về đề tài cực trị đại số.
2. Nghiên cứu Trung học cơ sở.
Trao đổi với ban bè đồng nghiệp.
b. nội dung
-----***-----
Trong quá trình học đại số ta gặp rất nhiều biểu thức ta thường tìm điều kiện xác định, tính giá trị của biểu thức tại một giá trị nào đó của biến.
Những vấn đề đặt ra:
Khi nào biểu thức đặt giá trị nhỏ nhất (GTNN) hoặc giá trị lớn nhất (GTLN)? Nếu có chúng ta tìm chúng như thế nào?
Vậy: Chúng ta đi nghiên cứu: Một số phương pháp tìm GTNN và GTLN của biểu thức đại số.
I. Phương pháp 1: Phương pháp dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.
Trong tập hợp các số: 
M = {A(x)/A(x) ³ 0} khi đó A(x) đạt GTNN khi A(x) = 0
N(x) = {B(x)/B(x) Ê 0} khi đó B(x) đạt GTLN khi B(x) = 0
	Từ nội dung kiến thức trên để tìm giá GTLN và GTNN của biểu thức đại số y = f(x) ta làm như sau:
Tìm GTNN:
	Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức đại số y = f(x) về dạng y = m + [g(x)]2n trong đó n N*; m R.
Khi đó ta có y m suy ra yNN = m khi g(x) = 0.
VD: Tìm GTNN của: A = 2x2 - 8x + 1
	Ta có:
	A = 2x2 - 8x + 1
	 = 2(x2 - 4x + 4) – 7
	 = 2(x - 2)2 – 7
	Vì (x - 2)2 ³ 0 nên A ³ -7
	Vậy Amin = -7 2 = 0 => x = 2
Tìm GTLN:
	Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức đại số y = f(x) về dạng y = M - [h(x)]2n trong đó n N* ; m R.
Khi đó ta có y M suy ra yLN = M khi h(x) = 0.
VD: Tìm GTLN của biểu thức: B = 3x2 + 5x – 1
Ta có: 
	B = 3x2 + 5x – 1
	 = -3(x - 2 x 
	 = -3(x - 
	 = 
Bmax = => x = 
Vậy qua 2 ví dụ trên ta rút ra kết luận sau:
Muốn tìm GTNN hoặc GTLN của A(x) = (x)
Ta biến đổi:
	A(x) = (x) = 
 A(x)max = M ú h(x) = 0
	A(x)min = m ú g(x) = 0
2. Phương pháp 2: Phương pháp đưa về ³ 0 hoặc Ê 0
Tìm GTNN:
	A = ³ 0 ú (x) ³ 0 => Amin khi (x) = 0
VD: Tìm GTNN của biểu thức
P = 
Ta có:
	P = 
	=> pmin = -1 ú 
Tìm GTLN:
	B = Ê 0 ú g(x) Ê 0 => Bmax khi g(x) = 0; (Vì k2 > 0)
VD : Tìm GTLN của biểu thức:
Q = 
Ta có: 
	Q = 
	 = 
	 = 
	 => QLN = 
 	ú (x+1)2 = 0
	ú x + 1 = 0 
	=> x = -1
3. Phương pháp 3: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức đã biết
a) phương pháp tìm cực trị dựa theo bất đẳng thức Côsi:
 Bất đẳng thức cauchy (Côsi): 
 Cho n số không âm a1,a2,...,an
 Đẳng thức xảy ra khi a1=a2=...=an
Chú ý :Từ đó suy ra hai mệnh đề cho ta giá trị lớn nhất của tích và giá trị nhỏ nhất của tổng sau đây :
 * Nếu a1+a2+...+anlà hằng số (a1,a2,...,an)max
 a1=a2=...=an
 * Nếu a1 . a2...an là hằng số (a1+a2+...+an)min 
 a1=a2=...=an 
Ví dụ1: Tìm GTNN của biểu thức :
 A = với x 0 
Giải:
 A = = 
 = -6+
 A 4. Vậy minA=4
Ví dụ 2: Cho x,y là các số thay đổi sao cho 0x3;0y4. Tìm GTLN của biểu thức: B=(3-x)(4-y)(2x+3)
Giải:
Ta có: B=(3-x)(4-y)(2x+3)=. (3-x).3(4-y)(2x+3y)= (6-2x).(12-3y)(2x+3y)
 Với 0x3;0y4 thì 6-2x0; 12-3y0;2x+3y0
 áp dụng hệ quả BĐT cauchy vơi ba số không âm ta có
 (6-2x).(12-3y)(2x+3y) 
 Suy ra B 
 Đẳng thức xảy ra khi : 6-2x=12-3y=2x+3y x=0vày=2
Vậy maxB=36x=0;y=2
b) Phương pháp tìm cưc trị theo BĐT Bunhiacôpxki
 BĐT Bunhiacôpxki : Cho n cặp số bất kỳ a1,a2,...,an; b1,b2,...,bn ta có BĐT
 (a1b1+a2b2+...+anbn)2 (a12+a22+...+an2)(b12+b22+...+bn2)
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 1: Cho x,y thoả mãn x2+4y2=25.Tìm GTLN,GTNN của biểu thức
 M= x+2y
 Giải:
 Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có
 (x+2y)2 (x2+4y2)(12+12)=50 Hay - M 
 Vậy MaxM=5 khi 
 MinM=- 5khi 
Ví dụ 2: Cho x,y là hai số thoả mãn x2+y2=1. Tìm GTNN,GTLNcủa biểu thức 
 N=x 
Giải :áp dụng BĐT Bunhiacôpxki
N2=( x)2 ( x2+ y2)(x+y+2)N2 x+y+2	
Mặt khác (x+y)2 2(x2+ y2)=2
 2-x+y+22+
Suy ra N22+-
 Vậy MaxN=
 MinN= -
Ví dụ 3: Cho x,y,x là các số thực thoả mãn xy+yz+xz=4. 
Tìm GTNN của biểu thức : P= x4+y4+z4
Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có
 (xy+yz+xz)2 ( x2+y2+z2)( x2+y2+z2) khi và chỉ khi 16( x2+y2+z2)2 (1)
Mặt khác áp dụng lần hai BĐT Bunhiacôpxki ta có :
 (x2+y2+z2)2 (12+12+12)(x4+y4+z4) (2)
Từ (1) và (2) ta có: 3(x4+y4+z4)16 x4+y4+z4 
 Vậy minP= khi x=y=x=
Ví dụ 4: Cho 2 số dương a,b . Hai số dương x,y thay đổi sao cho +=1 . 
 Tìm x,y để x+y đạt GTNN 
Giải:Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có
 x+y=()()=()( )2
Suy ra: x+y()2 . Đẳng thức xảy ra khi: 
Suy ra: Min(x+y)= ()2 khi x=; y=
4. Phương pháp 4 : Phương pháp tìm cực trị dựa theo tính chất trị tuyệt đối 
 Đẳng thức xảy ra khi A.B 0
Ví dụ 1:Tìm GTNN của biểu thức 
 A= 
Giải
 Ta có : = = 2
 Từ đó suy ra A
 Vậy Min A=2(x-1)(3-x) hay 1
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức 
 B = 
Giải:
 Ta có: B = 
 B = = 2
 Từ đó suy ra MinB = 2 đạt được khi và chỉ khi x(2-x)0 hay o
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức 
 C = 
Giải: 
 TXĐ: D=
Ta có C= 
 C = 
 C = 
 C= 
Vậy MinC=2 đạt được ()(1-) hay-1
5. Phương pháp 5 : Phương pháp dùng tập giá trị của hàm số
VD: Tìm GTLN và GTNN của:
Giá tri xác định của phân thức P là " x ẻ R
Ta có:
 ú px2 - 4x + p - 3 = 0 (2)
pt (2) có nghiệm ú ³ 0
Hay 4 - p2 + 3 ³ 0
ú (1+p) (4-p) ³ 0
=> -1 Ê p Ê 4
=> pmax = -1 ú x = -2
pmin = 4 ú x = 
c. kết luận
-----***-----
Các bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. ở THPT người ta có những "công cụ" cao cấp hơn. ở cấp 2 chưa được phép sử dụng những công cụ "cao cấp" này nên phải bằng cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu phù hợp với kiến thức toán học ở cấp 2 để giải các bài toán loại này.
Các bài toán cực trị ở cấp 2 có sự liên quan mật thiết tới các kiến thức: biến đổi đồng nhất biểu thức, cách chứng minh đẳng thức, sử dụng các hằng đẳng thức linh hoạt, phép giải phương trình, hệ phương trình kiến thức về tập hợp, về giới hạn, về hàm số và đồ thị.
 Có thể nói các bài toán cực trị đại số ở cấp 2 tạo điều kiện cho học sinh rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất biểu thức, phát huy khả năng vận dụng kiến thức toán học tổng hợp tạo điều kiện cho các em rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng tư duy tạo tiền đề để các em học tốt môn Toán ở các cấp học cao hơn.
Qua quá trình nghiên cứu về mảng kiến thức này tôi đã có điều kiện để học tập, nghiên cứu tự phát triển kiến thức để phục vụ cho sự nghiệp giáo dục của Đảng, Nhà nước.
Với mong muốn định hướng cho học sinh cách giải bài toán tìm cực trị của biểu thức đại số ở cấp 2. Tôi đưa ra một số phương pháp trên, tôi rất mong được các thầy, cô, các bậc đồng nghiệp đi trước, và bạn bè góp ý để kiến thức được sâu hơn, tiết dạy đạt hiệu quả cao hơn./.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
	Ngày 02 tháng 3 năm 2007
	Người viết
	Mai Thị Chung
d. Tài liệu tham khảo
-----***-----
1. Các sách giáo khoa Toán THCS.
2. Tài liệu toán học tổng hợp "Trương Công Thành - Nguyễn Hữu Thảo".
3. 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp 
4. Toán nâng cao theo các chuyên đề
5. Toán học và tuổi trẻ
 Mục lục
Trang
A. Mở đầu	3
I. Lý do chọn đề tài	3
II. Mục đích nghiên cứu	3
III. Đối tượng và khách thể nghiên cứu	4
IV. Giả thuyết khoa học	4
V. Nhiệm vụ nghiên cứu, thời gian nghiên cứu	4
VI. Phạm vi nghiên cứu	4
VII. Phương pháp nghiên cứu	4
B. Nội dung	6
I. Phương pháp 1:	6
II. Phương pháp 2:	7
III. Phương pháp 3:	8	
IV. Phương pháp 4:	11
V. Phương pháp 5:	11
C. Kết luận	13
D. Tài liệu tham khảo	14