Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải dạng toán: tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến

 bài toán cụ thể. Chẳng hạn:
Bài toán 1: Tìm nghiệm của các đa thức sau:
a. 5x - 7	b. (x - 3)(2+x)	c. x2 - 4
d. x2 + 3	e. x2 + 2x 	
Đa số HS đều hiểu và vận dụng được những kiến thức cơ bản vào giải bài tập đã cho.Những bài tập này giúp HS củng cố lại các kiến thức cơ bản đã được học trong nội dung chính khoá. 
Đáp số bài toán 1: 
a. 	b. x = 3 hoặc x = -2	c. 
d.vô nghiệm 	e. x = 0 hoặc x = -2
Trong các bài tập dạng đơn giản như trên, HS dễ dàng dùng các kiến thức được học ở 	SGK để giải. Nhưng khi gặp bài toán sau:
Tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x2 - 6x - 2 
Nếu không bổ sung thêm kiến thức thì HS sẽ gặp khó khăn. Do đó bước tiếp theo:
2.2. GV hướng dẫn HS bổ sung những kiến thức cơ bản khác liên quan cần thiết đến nghiệm của đa thức.
 Chẳng hạn đối với tiểu mục 1.4 ở trên GV có thể cung cấp cho HS. Tuy nhiên, trong dạy Toán cái đáng quý nhất là làm cách nào đó để HS tự mình rút ra được những nhận xét, kết luận cần thiết nhằm hình thành dần ở các em khả năng khái quát hoá vấn đề, tổng hợp hoá kiến thức. Như thế không chỉ dừng lại ở việc giải bài toán cụ thể mà các em còn có ý thức tìm tòi phương pháp giải cho các bài toán cùng loại hoặc từ bài toán cụ thể xem xét bài toán tổng quát. Vì vậy GV cần giúp HS hình thành, phát hiện các kiến thức mới có liên quan từ những bài toán mang tính chất tình huống :
Bài toán 2: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c; Chứng tỏ rằng: 
 a. Nếu a + b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1. 
Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x2 - 6x - 2
b. Nếu a - b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1. Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 7x2 + 11x + 4
Lược giải: 
a. Với x = 1 ta có: f(1) = a + b + c; mà a + b + c = 0 nên f(1) = 0 
 Điều này chứng tỏ x= 1 là một nghiệm của đa thức f(x).
Áp dụng: Ta có 8+(-6) + (-2) = 0 nên đa thức f(x) = 8x2 - 6x - 2 có một nghiệm là x = 1
b. Với x = -1 ta có: f(-1) = a - b + c; mà a - b + c = 0 nên f(-1) = 0 Điều này chứng tỏ x= -1 là một nghiệm của đa thức f(x).
Áp dụng: Ta có 7 - (+11) + 4 = 0 nên đa thức f(x) = 7x2 + 11x + 4
 có một nghiệm là x = -1
Qua việc giải bài tập 1 GV cho HS nêu các bước mà các em đã tiến hành giải để rút ra phương pháp:
- Tính f(1); f(-1) theo a, b, c.
- Căn cứ vào đề bài để suy ra f(1) =0 ; f(-1) =0.
- Dựa vào định nghĩa nghiệm của một đa thức để kết luận x = 1; x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x).
Như vậy, sau khi rút ra được phương pháp giải thì HS hoàn toàn tự lực hoàn thành tốt bài tập sau:
Bài toán 2.1: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.Chứng tỏ rằng:
a. Nếu a + b + c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1
b. Nếu - a + b - c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1
Đến đây, GV yêu cầu HS phát biểu bài toán tổng quát. HS hoàn toàn có thể thực hiện tốt yêu cầu này:
Bài toán 2.2: Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0. Chứng tỏ rằng:
a. Nếu tổng các hệ số của các hạng tử của đa thức bằng 0 thì x = 1 là một nghiệm của f(x).
b.Nếu tổng các hệ số của các hạng tử luỹ thừa chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử luỹ thừa lẻ thì x = - 1 là một nghiệm của f(x).
	Với đối tượng HS khá GV yêu cầu HS giải bài toán tổng quát vừa nêu.
2.3. HS áp dụng các kiến thức cơ bản trên vào bài tập đơn giản:
GV cho HS rèn luyện kỹ năng thông qua hệ thống các bài tập để HS nắm chắc và nhớ lâu hơn những vấn đề đã được học.
Bài tập áp dụng :
1. Tìm một nghiệm của mỗi đa thức sau:
 f(x) = x3 - x2 + x - 1;
 g(x) = 11x3 + 5x2 + 4x +10;
h(x) = -17x3 + 8x2 - 3x + 12
2. Trong các số sau: 1; -1; 5; -5 số nào là nghiệm của đa thức
 f(x) = x4 + 2x3 - 2x2 -6x + 5
3.Cho các đa thức: 
f(x) = x4 + 5x3 + 3x2 + 2x + 3;
 g(x) = 3x4 + x3 + x2 -7x - 10;
h(x) = 4x3 + 2x2 - x + 1
Nghiệm lại rằng x = -1 là nghiệm của mỗi đa thức đã cho.
	Trong thực hành tìm nghiệm của đa thức HS không chỉ gặp những đa thức có những tính chất đặc biệt như trên và yêu cầu của bài toán cũng không dừng lại ở việc kiểm tra 1 số cho trước có phải là nghiệm hay không hoặc chỉ cần tìm một nghiệm của đa thức.Chẳng hạn bài toán:
Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x5 - 3x4 - 5x3 +15x2 + 4x - 12.
 Rõ ràng, chỉ với những kiến thức cơ bản đã nắm HS đã gặp vướng mắc trong việc tìm phương pháp giải. Với học sinh lớp 8, sau khi nắm chắc các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử các em có thể thêm bớt hay tách hạng tử... đưa về tích các đa thức có bậc thấp hơn để tìm nghiệm. Song cũng không phải là dễ dàng. Vì vậy, GV cần phải bổ sung thêm những kiến thức mới, những phương pháp mới để HS có thể giải được những bài toán như đã nêu một cách nhẹ nhàng hơn.
2.4. GV hướng dẫn HS bổ sung và vận dụng những kiến thức nâng cao liên quan cần thiết đến nghiệm của đa thức.
Cũng với cách làm như trên, GV hướng dẫn HS bổ sung kiến thức. 
Bài toán . 
	Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0. (Hệ số nguyên)
Giả sử phân số tối giản là nghiệm của f(x) thì p là ước của a0; q là ước của an.
GV hướng dẫn HS giải bài toán: 
GV(?) Theo định nghĩa nghiệm của đa thức, nếu phân số tối giản là nghiệm của f(x) thì suy ra điều gì?
HS: Theo định nghĩa nghiệm của đa thức, nếu phân số tối giản là nghiệm của f(x) thì ta có: f() = an + an-1 + ... + a1 + a0 = 0 (*)
GV(?) Quy đồng mẫu số sẽ suy ra được điều gì?
HS: Ta có (*) (1)
GV(?) Từ (1) hãy chứng tỏ p là ước của a0; q là ước của an?
 HS: Từ (1) suy ra:
Mà hay p là ước của a0
Tương tự từ (1) suy ra: 
Mà hay q là ước của an.
Sau khi giải bài toán này HS dễ dàng rút ra được kết luận ở tiểu mục 1.5 là: 
Cho đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số nguyên)
Nếu phân số (tối giản) là nghiệm của f(x) thì p là ước của a0; q là ước của an
Kết luận này sẽ là công cụ rất hữu ích giúp HS tìm nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên.
Ngoài ra, cũng từ kết luận trên, GV hướng dẫn HS đặc biệt hoá bài toán để rút ra một nhận xét mới:
GV(?) Trong bài toán 3, nếu hệ số cao nhất bằng 1 thì có thể suy ra được điều gì?
HS: (Xem xét trường hợp an = 1)
	Khi đó ta có đa thức sẽ là: g(x) = xn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số nguyên) . Nếu (tối giản) là nghiệm của f(x) thì theo kết luận trên ta có p là ước của a0 và q là ước của 1. Vì vậy q = nên là một số nguyên.
Đến đây, HS hoàn toàn tự mình rút ra được kết luận 1.6 và 1.7 là:
1.6. Mọi nghiệm nguyên (nếu có) của đa thức với hệ số nguyên phải là ước của số hạng tự do.
1.7. Mọi nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên mà hệ số cao nhất bằng 1 đều là nghiệm nguyên.
Bây giờ, GV cho HS rèn luyện một số bài toán để vừa áp dụng vừa củng cố những kiến thức mà các em đã khám phá được ở trên.
Bài toán 4: 
Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x3 - x2 -4x + 4
Bài tập này GV có thể yêu cầu HS tìm các cách khác nhau để giải.
Lược giải: 
Cách 1:
 Dễ thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số bằng 0 nên nhận x = 1 làm một nghiệm.Chia f(x) cho x - 1 ta thu được đa thức x2 - 4 có nghiệm x = . Như vậy đa thức đã cho có các nghiệm là: x = 1; x =
Cách 2: 
Ta có f(x) = x3 - x2 -4x + 4 = (x3 - x2) - (4x - 4) = 
 = x2 (x -1) - 4(x -1) = (x -1)(x2 - 4 ) = (x -1)(x - 2 )(x + 2).
Vậy nghiệm của f(x) là x = 1; x =.
Cách 3: 
Đa thức đã cho có các hệ số đều nguyên và hệ số cao nhất bằng 1. 
Do đó nghiệm (nếu có) của f(x) là ước của hệ số tự do.
Hay Ư(4) tức là 
Kiểm tra ta có: f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm.
	 f(-1) = 6 0 nên x = -1 không là nghiệm.
	f(-2) = 0 nên x = -2 là nghiệm.
	f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm.
	 	 f(-4) = - 60 0 nên x = - 4 không là nghiệm.
	 f(4) = 36 0 nên x = 4 không là nghiệm.
Các cách giải khác nhau giúp học sinh có sự so sánh và chọn lựa phương pháp sao cho nhanh gọn, dễ hiểu nhất. Tuy nhiên, với 1 đa thức bậc cao thì cách 1 và cách 2 không dễ thực hiện. Lúc này nên dùng cách 3, song rõ ràng việc kiểm tra nghiệm cũng không dễ khi hệ số cao nhất có giá trị lớn. Để việc kiểm tra các giá trị ước số có phải là nghiệm không trở nên đơn giản hơn thì cần giúp HS tiếp cận với sơ đồ Hoocne.
Một thực tế là nếu chỉ cung cấp cho HS lược đồ mà không hướng dẫn các em tự xây dựng thì các em rất dễ quên nếu không sử dụng thường xuyên, và khi quên thì không biết cách tìm lại nó. Như vậy, công việc tiếp theo của GV là hướng dẫn HS xây dựng sơ đồ Hoocne.
 Bài toán:
 Tìm dư trong phép chia đa thức f(x ) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 
cho x -c.
GV ? Nếu gọi thương của phép chia đó là q(x) thì bậc của đa thức q(x) và dư của phép chia sẽ như thế nào? Từ đó biểu diễn đẳng thức liên hệ giữa f(x); q(x) và dư như thế nào?
HS: Nếu gọi thương của phép chia đó là q(x) bậc của đa thức q(x) là n - 1 
q(x) = bnxn-1 + bn-1xn-2 + ... + b2x + b1 và dư là hằng số r. Tức là:
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = (x - c)(bnxn-1 + bn-1xn-2 + ... + b2x + b1) + r (I)
GV ? Áp dụng phương pháp hệ số bất định thì từ (I) ta lập được hệ nào
HS: Áp dụng phương pháp hệ số bất định, ta có:
an = bn
an-1 = bn-1 - cbn
an-2 = bn-2 - cbn-1
................
ak = bk - cbk+1
................
a0 = r - cb1 
Từ đó suy ra:
an = bn
bn-1 = cbn + an-1 
bn-2 = cbn-1+ an-2 
................
bk = cbk+1+ ak 
................
r = cb1 + a0 
Từ đó ta thành lập sơ đồ sau gọi là sơ đồ Hoocne:
=
Nhân
Cộng
 an an-1 ... ak ... a1 a0 
 c
bn= an bn-1 ... bk +1 bk ... b1 r
Với sơ đồ Hoocne, HS dễ dàng kiểm tra các giá trị ước số của hệ số tự do có phải là nghiệm không một cách đơn giản đồng thời dễ dàng tìm đa thức thương và số dư trong phép chia f(x) cho x - c.
Chẳng hạn với Bài toán 4 nêu trên ta có thể làm như sau:
Đa thức đã cho có các hệ số đều nguyên và hệ số cao nhất bằng 1. 
Do đó nghiệm (nếu có) của f(x) là ước của hệ số tự do.
Hay Ư(4) tức là 
Dùng sơ đồ Hoocne ta có: 
1
-1
-4
4
-1
1
-2
-2
6
1
1
0
-4
0
-2
1
-3
2
0
2
1
1
-2
0
-4
1
-5
16
-60
4
1
3
8
36
Từ sơ đồ ta có x = 1; x = là các nghiệm của đa thức đã cho.
Mặc dù sơ đồ Hoocne là công cụ kiểm tra nghiệm tương đối hiệu quả nhưng với đa thức có hệ số tự do lớn và có nhiều ước thì việc dùng sơ đồ cũng chưa tối ưu. Vì vậy, để tiếp tục bổ sung phương pháp GV có thể cho HS làm bài tập sau:
Bài toán: Cho đa thức f(x) = xn + an-1xn-1 + ... + a1 x + a0. ( hệ số nguyên) .
Gọi là nghiệm của f(x). Chứng minh: 
Hướng dẫn:
GV: Do là nghiệm của f(x) thì có thể biểu diễn f(x) dưới dạng tích hai đa thức như thế nào? Từ đó biểu diễn q(x) dưới dạng thương và tiến hành chứng minh?
HS: Do là nghiệm của f(x) nên theo định lý Bêzu ta có thể viết:
f(x) = q(x)() (1)
Vì f(x) là đa thức với hệ số nguyên, cũng là đa thức hệ số nguyên nên q(x) là đa thức hệ số nguyên. Từ (1) ta có:
Khi x = 1 thì ; Khi x = -1 thì 
Như vậy sau khi hoàn thành việc chứng minh bài toán HS có thêm một phương pháp thử nghiệm rất hiệu quả chính là kết luận 1.8 đã nêu.
Bây giờ GV cho HS áp dụng vào bài toán cụ thể để áp dụng kiến thức mà các em vừa khám phá được nhằm so sánh và thấy được lợi ích của việc tìm tòi phương pháp giải toán từ những bài toán khác đã giải.
 Bài toán 5: 
Tìm nghiệm của đa thức: f(x) = x5 - 8x4  + 20x3 - 20x2 + 19x -12
Lược giải bài toán 5: 
Đa thức đã cho có các hệ số đều nguyên và hệ số cao nhất bằng 1. 
Do đó nghiệm (nếu có) của f(x) là ước của hệ số tự do.
Hay Ư(12) tức là 
Xét thấy đa thức có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm bằng 1
Dùng sơ đồ Hoocne ta suy ra được: 
f(x) = (x - 1)(x4 - 7x3+ 13x2 - 7x + 12)
Ta tìm x để g(x) = x4 - 7x3+ 13x2 - 7x + 12 = 0.
Dễ thấy các hạng tử bậc lẻ đều có hệ số âm do đó với mọi x 0 vì vậy g(x) không có nghiệm âm.Ta chỉ xét các ước dương của 12.
Ta có: g(1) = 12 .	 g(-1) = 40
A = ; B = 
Với thì A = ; B = (loại)
Với thì A = - 6 ; B = 10 
Với thì A = - 4 ; B = 8 
Với thì A = (loại)
 Với thì A = (loại)
Vậy nếu g(x) có nghiệm thì x . Dùng sơ đồ Hoocne thử nghiệm:
1
-7
13
-7
12
3
1
-4
1
- 4
0
4
1
-3
1
-3
0
Vậy g(x) có nghiệm là x = 3; 4. Suy ra f(x) có nghiệm x 
Các bài tập để HS tự củng cố rèn luyện:
Bài tập:
 Tìm nghiệm của các đa thức sau:
x3 - 6x2 + 15x - 14 c. x5 - 7x3 - 12x2 + 6x + 36
x4 - 2x3 - 8x2 + 13x - 24
Nhận xét: Với những kiến thức đã được học, HS đã vận dụng và giải được các bài tập yêu cầu.
Sau đó GV đưa ra tình huống: Tìm nghiệm của đa thức sau:
f(x) = 2x3 + 3x2 + 6x - 4
 Với tình huống này thì nhiều em còn lúng lúng vì hệ số cao nhất khác 1. Do đó GV có thể đặt câu hỏi gợi ý tìm phương pháp giải đối với đa thức tổng quát như sau:
GV? Với đa thức có hệ số cao nhất khác 1 do đó có thể tồn tại nghiệm hữu tỷ. Vậy có thể chuyển bài toán tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên về bài toán tìm nghiệm nguyên của đa thức tương ứng được không? chuyển bằng cách nào?
Gợi ý: Chẳng hạn từ việc tìm nghiệm của đa thức
 f(x ) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 (hệ số nguyên) nghĩa là tìm x để 
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0.(*)Ta có thể nhân hai vế của (*) với khi đó ta có phương trình nào ?
HS: Nhân hai vế của (*) với khi đó ta có phương trình: 
 (anx)n + an-1(x)n-1 + ... + a1x + a0 = 0
 GV? Nếu đặt y = anx ta được phương trình nào?
HS: Nếu đặt y = anx ta được phương trình:
 yn + an-1yn - 1 + ...a1 ann-2y + a0 = 0 (**)
GV? Nhận xét gì về phương trình (**) ?
HS: Là phương trình mà vế trái là đa thức có hệ số cao nhất bằng 1 do đó nếu có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó là nghiệm nguyên.
Như vậy , bao giờ ta cũng chuyển được việc tìm nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số nguyên về việc tìm nghiệm nguyên của một đa thức tương ứng.
Đối với bài toán tình huống đã nêu ở trên ta có thể giúp HS giải như sau:
f(x) = 2x3 + 3x2 + 6x - 4 
GV?: Đa thức f(x) đã cho có hệ số cao nhất bằng 2.Hãy xác định số cần nhân vào (ann - 1) để đưa về đa thức tương ứng với hệ số cao nhất bằng 1? 
HS xác định ann - 1 = 22 = 4 và tiến hành thực hiện:
Ta có: 2x3 + 3x2 + 6x - 4 = 0 23 x3 + 3. 22 x2 + 6. 22 x - 4.22 = 0
 (2x)3 + 3.(2x)2 + 12.2x - 16 = 0
Đặt y = 2x ta có: f(y) = y3 + 3y2 + 12y - 16 = 0
Xét thấy tổng các hệ số của f(y) là 1 + 3 + 12 - 16 = 0 nên f(y) có một nghiệm là 1. Do đó ta có: f(y) = (y - 1) (y2 + 4y + 16) = 0 
Suy ra y = 1 hoặc y2 + 4y + 16 = 0 (1)
Do (1) vô nghiệm (có ' = -12 < 0) nên f(y) chỉ có 1 nghiệm y = 1
Suy ra f(x) chỉ có một nghiệm là x = 
2.5. GV hướng dẫn HS tổng hợp các kiến thức và khái quát thành phương pháp 
	Như thế, HS đã biết phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên qua các bài toán, các ví dụ. Khi đó GV có thể yêu cầu HS :
Hãy tổng hợp thành các bước tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên?
HS nêu các bước thực hiện.
GV tổng kết thành phương pháp:
Thuật toán tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên:
Bước 1: Chuyển về đa thức tương ứng có hệ số cao nhất bằng 1
Từ đa thức f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 (hệ số nguyên) đã cho chuyển về tìm nghiệm của đa thức: 
f(y) = yn + bn-1 yn - 1 + ...+b1y + b0 = 0 (nhân f(x) với ann - 1 và đặt y = anx)
Bước 2: Tìm tất cả các ước của b0.
Giả sử tập các ước của b0 là M = 
Bước 3: Loại bớt các ước của b0 
Xét A= và B = (*) lần lượt với các giá trị của 
chọn các ước thoả mãn (*); chẳng hạn được P = 
Bước 4: Kiểm tra nghiệm bằng sơ đồ Hoocne
Kiểm tra các phần tử của P bằng sơđồ Hoocne để tìm nghiệm (của f(y))
Bước 5: Kết luận nghiệm của f(x) 
 Từ y = anx ta có x = 
Mở rộng: Đối với HS giỏi GV có thể nêu vấn đề tìm nghiệm của đa thức có hệ số hữu tỷ để HS nghiên cứu nâng cao thêm.
GV: Cho đa thức g(x) = (pi; qi ; qi )
Làm thế nào để tìm được nghiệm hữu tỷ của đa thức trên?
Gợi ý: Suy nghĩ tìm cách đưa về bài toán tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức hệ số nguyên được không?
HS: Quy đồng mẫu số các phân số đưa về dạng g(x) = f(x) trong đó f(x) là đa thức có các hệ số nguyên rồi tiếp tục giải theo thuật toán trên để tìm nghiệm của f(x) vì f(x) = 0 khi và chỉ khi g(x) = 0
Khi đó ta có: 
Thuật toán tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số hữu tỷ:
Trước hết: Quy đồng mẫu các hệ số đưa về bài toán tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức hệ số nguyên.
Sau đó: Tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên
2.6. Một số bài tập cho HS tự giải:
 Tìm nghiệm của các đa thức sau:
4x4 - 7x2 - 5x - 1
x 5 + 7x4 + 163 + 8x2 - 16x - 16
6x2 - 7x - 3 (ĐS; x {} )
x4 - (ĐS; x {1; } )
2.7. Khai thác một số ứng dụng của dạng toán:
 GV nên giúp HS phân tích một số ứng dụng của loại toán này đối với các bài toán dạng khác chẳng hạn như: toán giải phương trình đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử...
Chỉ cần thay đổi một chút ở yêu cầu của đề bài ta có thể chuyển bài toán tìm nghiệm của đa thức sang dạng khác. Chẳng hạn thay vì :
"Tìm nghiệm của các đa thức" 
a. 4x4 - 7x2 - 5x - 1
b. x 5 + 7x4 + 163 + 8x2 - 16x - 16
bằng yêu cầu "phân tích các đa thức đã cho thành nhân tử” ...
III. KẾT LUẬN
Trong thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá giỏi tại trường, tôi nhận thấy khi thực hiện đề tài đã bước đầu đem lại những kết quả tiến bộ tương đối rõ.
Các em tự tin hơn trước những bài toán tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức một biến(trong các bài kiểm tra, bài thi, trong thực hành giải toán khi gặp dạng toán này các em đã vận dụng tốt).
Trước mỗi bài toán khác nhau các em đã chú ý đến việc chọn lựa kiến thức liên quan và tìm cách giải tối ưu. 
Khả năng tự học và sáng tạo toán học được nâng lên rõ rệt. Phương pháp học tập được HS chú ý đến hơn. HS bước đầu biết cách tự nghiên cứu tài liệu để tìm hiểu các chuyên đề. Từ những bài toán mang tính tổng quát các em đã biết tìm hiểu và khai thác phương pháp giải cho từng dạng liên quan. Từ kết quả của bài toán cụ thể các em cũng hình thành dần thói quen xem xét, phát biểu bài toán tổng quát hoặc bài toán tương tự. Đây là những thói quen tích cực và cần thiết đối với người học toán.
Ở những khoá học sinh mà tôi trực tiếp giảng dạy, ôn tập và bồi dưỡng trong các kỳ thi học sinh giỏi có nhiều HS đạt kết quả cao. Hơn nữa, khi các em học lên THPT đều học môn Toán rất tốt trong đó các khoá học sinh ra trường năm học 2005-2006, 2007-2008 ... 
Thành công của đề tài còn thúc đẩy tôi mạnh dạn đem cách làm này vào giảng dạy, khai thác những dạng bài toán khác và đều cho hiệu quả rất tốt.
Đề tài cũng góp thêm một tài liệu, một phương pháp bồi dưỡng học sinh khá giỏi để đồng nghiệp tham khảo, rút kinh nghiệm giảng dạy cho bản thân.
Để thực hiện đề tài đạt kết quả cao cần lưu ý các vấn đề sau:
Tìm hiểu và nắm vững khung chương trình Toán THCS để từ đó đưa ra cho học sinh các bài tập, các ví dụ phù hợp đảm bảo khả năng tiếp thu của đối tượng học sinh.
Không "rót" kiến thức và phương pháp cho các em khiến các em thụ động, thiếu tìm tòi sáng tạo.Cần kiên trì tìm chọn cách xây dựng kiến thức cũng như phương pháp để các em có cơ hội được tự khám phá.
Nắm vững khả năng thực tế của học sinh trong vấn đề tư duy. Từ đó có sự điều chỉnh nâng dần hợp lý mức độ khó của các bài tập phù hợp với quá trình phát triển tư duy của học sinh nhằm mang lại hiệu quả cao nhất.
Nếu điều kiện cho phép có thể thực hiện như một chuyên đề bồi dưỡng Toán cho học sinh.
Trên đây tôi đã trình bày phương pháp hướng dẫn HS lớp 8 giải dạng toán tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức 1 biến. Các chuyên đề khác hoàn toàn có thể làm tương tự.
Với kinh nghiệm ít ỏi trong công tác chuyên môn và sự nhiệt tình vì chất lượng học tập của học sinh thân yêu, tôi đã viết ra những cách làm, hướng suy nghĩ của bản thân và không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì thế tôi rất mong cũng có nhiều đồng nghiệp và các cấp chuyên môn quan tâm đến vấn đề này đồng thời góp ý bổ sung để tôi có hướng đi tốt hơn trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng toán cho học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 3 năm 2010.
MỤC LỤC
A. Mở đầu
 1
B. Nội dung đề tài
I. Cơ sở lý luận
3
II. Tìm hiểu và phân tích thực trạng
3
III. Giải pháp
4
1. Những kiến thức cơ bản liên quan 
4
2. Những giải pháp tiến hành 
5
C. Kết luận
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Vũ Hữu Bình - Nâng cao và phát triển toán 7,8 - NXB Giáo dục - 2003
Bùi Văn Tuyên - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7 - NXB Giáo dục - 2004
Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm - Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 7 - NXB Giáo dục 
 Sách giáo khoa toán 7 - NXB Giáo dục - 2007
Vũ Hữu Bình - Toán bồi dưỡng học sinh lớp 7,8 - NXB Giáo dục - 2004
Hoàng Kỳ - Đại số sơ cấp - Nhà xuất bản giáo dục 2001
Các đề thi học sinh giỏi các năm học .