Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về căn bậc hai theo hướng phát hiện những sai lầm thường gặp và hướng khắc phục sai lầm đó

hắc phục sai lầm trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức 
∙ Căn thức bậc hai : 
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
 xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm.
∙ Hằng đẳng thức : 
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương.
Ví dụ 6 : Hãy bình phương số - 7 rồi khai phương kết quả vừa tìm được.
Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai) : 
 (- 7)2 = 49 , nên khai phương số 49 lại bằng - 7
Lời giải đúng : Ta có: (- 7)2 = 49 và .
Mối liên hệ cho thấy “ Bình phương một số, rồi khai phương kết quả đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu”
Ví dụ 7 : Với a2 = A thì chưa chắc đã bằng a
Cụ thể ta có (-3)2 = 9 nhưng ; rất nhiều ví dụ tương tự đã khẳng định được kết quả như ở trên.
2. Hướng khắc phục sai lầm trong các kỹ năng tính toán:
a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại căn thức bậc hai :
Ví dụ 1: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa: ; 
* Lời giải sai: 
 có nghĩa khi 
* Phân tích sai lầm:
Học sinh đã quên mất điều kiện tồn tại phân thức là - 1 + x ¹ 0 dẫn đến kết quả bài toán sai.
* Lời giải đúng:
 có nghĩa khi 
Thông qua bài toán trên giáo viên tạo mới một số bài toán sau;
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của x để mỗi biểu thức sau có nghĩa:
a) ; b) ; c) ; d) .
e) ; f) .
Ví dụ 3: Tìm các giá trị của x sao cho 
*Sai lâm học sinh có thể mắc phải là 
. Vì với mọi x nên đúng với mọi x. Vậy giá trị cần tìm là x R.
* Phân tích sai lầm:
Học sinh đã không tìm điều kiện xác định của biểu thức 
* Lời giải đúng:
Điều kiện xác định của là 
Ta có 
Vì với mọi x nên đúng với mọi . Vậy giá trị cần tìm là .
Ví dụ 4: Giải phương trình: (1)
Lời giải:
Điều kiện xác định của phương trình là 2x – 3 ³ 0 (2)
Ta có (1) (3)
Điều kiện xác định của phương trình (3) là (4)
Với điều kiện (4) thì: (3) 
Giá trị x1 = 2 không thoả mãn điều kiện (4), loại.
x2 = 6 thoả mãn (2) và (6)
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 6.
Trong bài toán trên học sinh có thể mắc sai lầm nếu không đặt diều kiện cho phương trình (3), khi đó học sinh sẽ sai lầm khi nhận x = 2 là nghiệm của phương trình (1).
 Giáo viên chú ý cho học sinh từ phương trình (3) ta suy ra được phương trình (5) nhưng từ phương trình (5) chỉ suy ra được phương trình (3) với điều kiện x – 3 ³ 0 
(vì x – 3 là căn bậc hai số học của 2x – 3).
Từ bài toán trên giáo viên mở rộng cho học sinh bài tập sau
Ví dụ 5: Giải các phương trình 
 a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
A = x + 
 * Lời giải sai : A= x + = (x++ ) - = (+)2 ³ 
Vậy min A = -.
 * Phân tích sai lầm : 
Sau khi chứng minh f(x) ≥ -, chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = -. Xảy ra khi và chỉ khi = -(vô lý).
 * Lời giải đúng : 
Để tồn tại thì x ≥ 0. Do đó A = x + ≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x = 0
* Như vậy việc xác định điều kiện tồn tại căn thức bậc hai trong một số dạng bài tập trên đây đã chỉ ra một vài sai lầm mà học sinh mắc phải. Do đó khi dạy về phần này giáo viên cần khắc sâu kiến thức, rèn kĩ năng và tính chính xác cho học sinh, qua đó giáo viên làm mới hệ thống bài tập đòi hỏi tư duy của học sinh.
b) Sai lầm trong việc sử dụng hằng đẳng thức căn bậc hai :
Ví dụ 7: Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa: 
; 
Lời giải sai: 
Biểu thức A có nghĩa 
.
Vậy biểu thức A có nghĩa khi 
 * Phân tích sai lầm : Học sinh đã mắc sai lầm khi sử dụng hằng đẳng thức dẫn đến kết quả 
Lời giải đúng:
Biểu thức A có nghĩa 
 hoặc 
 hoặc 
Giáo viên làm mới hệ thống bài dạng bài tập trên như sau:
Ví dụ 8: Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa: 
; ; ;
; ; .
 Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức: 
 a) ; b) ; 
 c) ; d) 
 e) .
 Để dạy loại bài tập này giáo viên yêu cầu HS nhớ lại kiến thức về khai phương một tích (), khai phương một thương (), hằng đẳng thức căn bậc hai (). 
Học sinh có thể chưa nắm vững được tính chất của hằng đẳng thức căn bậc hai: Với A là một biểu thức ta có: , có nghĩa là :
 = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
 = - A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
Từ đó HS có thể mắc các sai lầm như trong câu a.
 a) = = 
 =
 * Lời giải : 
a)== = = (vì 2 < ).
Với loại bài tập này, giáo viên lưu ý cho học sinh nên tạo lập mới đề bài, xây dựng thành một hệ thống bài tập mới. Việc làm này tạo cho học sinh thói quen luôn nghiên cứu, mở rộng khả năng hiểu biết. Nhằm rèn luyện kĩ năng tư duy, phát triển trí tuệ cho học sinh. 
 Ví dụ 10: Rút gọn biểu thức: 
a) ; b) ; c) (với );
d) ; e) ;
f) ; g) ;
h) ; k) ;
l) 
 Ví dụ 11: So sánh hai số
 ; 
Ví dụ 12: Tìm x, biết : 
 * Lời giải sai :
 * Phân tích sai lầm : Học sinh có thể chưa nắm vững được tính chất của hằng đẳng thức căn bậc hai: Với A là một biểu thức ta có: , có nghĩa là :
 = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
 = - A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
 * Lời giải đúng : 
. Ta phải đi giải hai phương trình sau : 
1) 2 - x = 4 x = - 2
2) 2- x = - 4 x = 6. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= - 2 và x2= 6.
Ví dụ 13 : Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B = - + + với x ≥ -1
* Lời giải sai :
B = 4-3+ 2+ 
B = 4
16 = 4 4 = 42 = ()2 hay 16 = 
 16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1 x = 15
 2) 16 = -(x+1) x = - 17.
* Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x1= 15 và x2=-17 nhưng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x2= -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
* Lời giải đúng : 
B = 4-3+ 2+ 
B = 4
16 = 4 4 = (do x ≥ -1 nên 4 chính là căn bậc hai số học của x + 1)
 16 = x + 1. Suy ra x = 15.
Ví dụ 14: Tìm x biết
a) 
Sau khi học sinh đã khắc phục được các sai lầm thông qua ví dụ 14, giáo viên làm mới thêm một số bài tập qua ví dụ 15
 Ví dụ 15: Giải các phương trình sau
a) 
b) 
c) 
d) 
* Lời giải:
a) điều kiện xác định x ≥ 3
Các giá trị x = 3 và x = 4 đều thoả mãn điều kiện x ≥ 3
b) 
Sau khi học sinh biến đổi phương trình về dạng (1) các em sẽ đưa ra điều kiện xác định x ≥ - 3 và sau đó tiếp tục giải phương trình (1) ta được (TMĐKXĐ). Và kết luận phương trình đã cho có nghiệm x = 1
Như vậy sau khi biến đổi các em đã để mất điều kiện xác định của phương trình. Do đó trong dạng bài tập này giáo viên nên hướng dẫn các em tìm ĐKXĐ trước khi rút gọn và tiến hành giải phương trình
Lời giải đúng:
b) ĐKXĐ: x ³ 2
Giá trị x = 1 không thoả mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 
c) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 16 : Tìm x, biết : 
.
* Lời giải sai :
 2x < ( chia cả hai vế cho )
 x < .
* Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 5 và cho nên mới bỏ qua biểu thức là số âm, dẫn tới lời giải sai.
* Lời giải đúng : Vì 5 = < nên < 0, do đó ta có
 2x > x > .
Ví dụ 17 : Rút gọn biểu thức :
* Lời giải sai : = = .
* Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu thì , khi đó biểu thức sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được.
* Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có hay . Khi đó ta có: 
 = = . (với ).
Ví dụ 18 : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
M = 
* Lời giải sai :
M = = 
M = . 
M = 
Ta có M = = - = 1 - , khi đó ta nhận thấy M 0
Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1.
* Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai, nhưng sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai.
Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì = 1 do đó - 1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức.
(Học sinh chưa chú trọng đến việc tìm điều kiện xác định của biểu thức hoặc tìm điều kiện xác định bị sai).
* Lời giải đúng :
M = 
Đkxđ của biểu thức M là: a > 0 và - 1 ¹ 0 hay a > 0 và a ¹ 1.
Với điều kiện trên, ta có :
M = . 
M = 
Khi đó ta nhận thấy M 0. 
Nếu min M = 0, khi và chỉ khi a = 1(mâu thuẫn với điều kiện).
Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0 < a < 1.
Ví dụ 15 : Cho biểu thức : 
Q = với x ¹ 1, x > 0
a) Rút gọn Q
b) Tìm x để Q > -1.
 Giải : a) Q = 
 Q = - 
 Q = 
 Q = = 
 Q = = 
 Q = - 
 b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta có 
 - > -1 3 > 1+ 2 > 4 > x hay x < 4.
 Vậy với x < 4 thì Q < -1.
 * Phân tích sai lầm : Học sinh đã nghiễm nhiên bỏ dấu âm ở cả hai vế của bất đẳng thức vì thế có luôn được bất đẳng thức mới với hai vế đều dương nên kết quả của bài toán dẫn đến sai.
 * Lời giải đúng : 
 Q > -1 nên ta có 
 - > -1 3 > 2 x > 4.
 Vậy với x > 4 thì Q > - 1.
Ví dụ 16 : Cho biểu thức : 
Q = (với x ¹ 1, x ³ 0)
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm x để Q > -1.
Giải:
a) Q = 
 Q = 
 Q = 
b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta có > 1
 (đúng với mọi x ¹ 1, x ³ 0)
 * Lời giải đúng : 
 Q > -1 nên ta có 
Học snh đã sai lầm khi thực hiện nhân hai vế của bất phương trình > 1 với mà quên mất việc xét xem biểu thức mang dấu gì
V - NHỮNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI :
Xét thuật ngữ toán học : Vấn đề này không khó dễ dàng ta có thể khắc phục được nhược điểm này của học sinh.
Xét biểu thức phụ có liên quan :
Ví dụ 1 : Với a > 0, b > 0 hãy chứng minh < 
Giải : Ta đi so sánh hai biểu thức sau : a + b và (+ )2
Ta có : (+ )2 = a+ b + 2
Suy ra a + b < (+ )2 do đó ta khai căn hai vế ta được :
 0, b > 0 nên ta được :
 < 
* Như vậy trong bài toán này muốn so sánh được với thì ta phải đi so sánh hai biểu thức khác có liên quan và biết được quan hệ thứ tự của chúng, do đó biểu thức liên quan đó ta gọi là biểu thức phụ.
Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A :
 A = 
Giải :
Ta phải có |x| ≤ 3. Dễ thấy A > 0 . Ta xét biểu thức phụ sau :
 B = 2- 
Ta có : 0 ≤ ≤ => - ≤- ≤ 0 => 2- ≤ 2 - ≤ 2 giá trị nhỏ nhất của B = 2- = x = 0
Khi đó giá trị lớn nhất của A = = 2+ .
Giá trị lớn nhất của B = 2 khi và chỉ khi = 0 x = , khi đó giá trị nhỏ nhất của A = = .
* Nhận xét : Trong ví dụ trên, để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, ta phải đi xét một biểu thức phụ .
3. Vận dụng các hệ thức biến đổi đã học :
Giáo viên chú ý cho học sinh biến đổi và thực hiện các bài toán về căn bậc hai bằng cách sử dụng các hệ thức và công thức đã học : Hằng đẳng thức, Quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, quy tắc khai phương một thương, quy tắc chia hai căn bậc hai, đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, Khử mẫu của biểu thức lấy căn, trục căn thức ở mẫu
Ngoài các hệ thức đã nêu ở trên, trong khi tính toán học sinh gặp những bài toán có liên quan đến căn bậc hai ở biểu thức, nhưng bài toán lại yêu cầu đi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức đã cho. Hay yêu cầu đi tìm giá trị của một tham số nào đó để biểu thức đó luôn âm hoặc luôn dương hoặc bằng 0 hoặc bằng một giá trị nào đó thì giáo viên cần phải nắm vững nội dung kiến thức sao cho khi hướng dẫn học sinh thực hiện nhẹ nhàng mà học sinh vẫn hiểu được bài toán đó .
Ví dụ 3 : Cho biểu thức :
P = với a > 0 và a ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm giá trị của a để P < 0 
Giải : a) 
P = 
 = = 
 = = .
Vậy P = với a > 0 và a ≠ 1. 
b) Do a > 0 và a ≠ 1 nên P < 0 khi và chỉ khi 
 1.
Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A :
A = + biết x + y = 4
Giải : Ta có A2 = ( x-1) + (y - 2) + 2 = 
 = (x + y) - 3 + 2= 1+ 2
Ta lại có 2 ≤ (x -1) + (y- 2) = 1
Nên A2 ≤ 2 
=> Giá trị lớn nhất của A = khi và chỉ khi .
Trên đây là một số phương pháp giải toán về căn bậc hai và những sai lầm mà học sinh hay mắc phải, xong trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập, giáo viên cần phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai hoặc hiểu sai đầu bài sẽ dẫn đến kết quả không chính xác.
5. Kết quả thực hiện
Qua thực tế giảng dạy chương I- môn đại số 9 năm học 2010-2011 này. Sau khi xây dựng đề cương chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm được rút ra từ năm học 2009-2010 tôi đã vận dụng vào các giờ dạy ở các lớp 9B chủ yếu vào các tiết luyện tập, ôn tập. Qua việc khảo sát chấm chữa các bài kiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ lệ bài tập học sinh giải đúng tăng lên.
Cụ thể : 
Bài kiểm tra 15 phút : Tổng số 27 em
Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 25 em chiếm 92,6%. (ở năm học 2009-2010 là 76,2%) Tuy mới dừng lại ở các bài tập chủ yếu mang tính áp dụng nhưng hiệu quả đem lại cũng đã phản ánh phần nào hướng đi đúng.
Bài kiểm tra chương I : Tổng số 27 em
Số bài kiểm tra học sinh giải đúng là 21 em chiếm 77,8% (ở năm học 2009-2010 là 60%) các bài tập đã có độ khó, cần suy luận và tư duy cao.
Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên. 
III. PHẦN KẾT LUẬN
1. Những kết luận đánh giá cơ bản nhất về ĐT, SKCTKT (nội dung, ý nghĩa, hiệu quả).
Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán, qua việc nghiên cứu caqcs phương án giúp học sinh tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai trong chương I-Đại số 9, tôi đã rút ra một số kinh nghiệm như sau :
* Về phía giáo viên :
- Người thầy phải không ngừng học hỏi, nhiệt tình trong giảng dạy, quan tâm đến chất lượng của từng học sinh, nắm vững được đặc điểm tâm sinh lý của từng đối tượng học sinh và phải hiểu được gia cảnh cũng như khả năng tiếp thu của học sinh, từ đó tìm ra phương pháp dạy học hợp lý theo sát từng đối tượng học sinh. Đồng thời trong khi dạy các tiết học luyện tập, ôn tập giáo viên cần chỉ rõ những sai lầm mà học sinh thường mắc phải, phân tích kĩ các lập luận sai để học sinh ghi nhớ và rút kinh nghiệm trong khi làm các bài tập tiếp theo. Sau đó giáo viên cần tổng hợp đưa ra phương pháp giải cho từng loại bài để học sinh giải bài tập dễ dàng hơn.
- Thông qua các phương án và phương pháp trên thì giáo viên cần phải nghiêm khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời khi các em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi cuốn được đại đa số các em khác hăng hái vào công việc.
- Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra kinh nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy và học.
- Giáo viên phải chịu hy sinh một số lợi ích riêng đặc biệt về thời gian để bố trí các buổi phụ đạo cho học sinh.
* Về phía học sinh :
- Bản thân học sinh phải thực sự cố gắng, có ý thức tự học tự rèn, kiên trì và chịu khó trong quá trình học tập.
- Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu được bản chất của vấn đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó học sinh mới có thể tránh được những sai lầm khi giải toán.
- Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là máy tính điện tử bỏ túi Caisiô f(x) từ 220 trở lên; giành nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở nhà thường xuyên trao đổi, thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản thân.
Phần kiến thức về căn bậc hai trong chương I- Đại số 9 rất rộng và sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính thực tiễn rất cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực tế tôi nhận thấy để dạy học được tốt phần chương I- Đại số 9 thì cần phải nắm vững những sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm thấy khó học phần kiến thức này.
Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói chung và phần chương I- Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt có hồn giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến “Kinh nghiệm dạy học giải các bài toán về căn bậc hai – Hướng khắc phục sai lầm – tạo lập mới hệ thống bài tập". Tôi đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường mắc phải một cách tổng quát nhất, bên cạnh đó tôi đi phân tích các điểm mới và khó trong phần kiến thức này so với khả năng tiếp thu của học sinh để giáo viên có khả năng phát hiện ra những sai lầm của học sinh để từ đó định hướng và đưa ra được hướng cũng như biện pháp khắc phục các sai lầm đó để từ đó tạo lập mới hệ thống bài tập.
Bên cạnh đó tôi luôn phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các phương pháp khắc phục và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận của học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một cách dễ hiểu. Ngoài ra tôi còn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thông qua các ví dụ để các em có thể thực hành kỹ năng của mình.
2. Các đề xuất và khuyến nghị.
 Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tối chỉ nghiên cứu ở một phạm vi. Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy. Tôi xin được đề xuất một số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của giáo viên và học sinh :
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa, soạn giáo án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học và TBDH sao cho sinh động và thu hút đối tượng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ, nhóm và nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng thường xuyên.
- Học sinh cần hóc kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp.
- Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
- Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn nữa và trách nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình.
Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 9 chưa nhiều, tầm quan sát tổng thể chưa cao, lại nghiên cứu trong một thời gian ngắn, nên khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết. Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ và bổ xung cho tôi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận dụng được tốt và có chất lượng trong những năm học sau.
IV. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO (nếu có)
XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG CƠ SỞ VỀ ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN
CẢI TIẾN KỸ THUẬT
(cần ghi rõ ĐT, SK được đánh giá ở mức độ nào? đã triển khai ở cấp nào, triển khai từ thời gian nào? ký tên, đóng dấu)
XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 VỀ ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN SÁNG KIẾN CẢI TIẾN KỸ THUẬT
......................................................................................................................................................................................................................................................................................
XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 VỀ ĐỀ TÀI, SÁNG KIẾN SÁNG KIẾN CẢI TIẾN KỸ THUẬT
(Đối với chiến sĩ thi đua cấp Tỉnh)
......................................................................................................................................................................................................................................................................................