Đề tài Ứng dụng một bài toán để tính khoảng cách trong không gian

với mặt 
đáy. Tính theo a khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng SA và BC . 
Bài giải 
Gọi H là trung điểm BC SH BC  , mà 
( ) ( ) ( )SBC ABC SH ABC   
Đây tiếp tục là khoảng cách hai đƣờng chéo nhau. 
Để tính ( , )d SA BC ta sẽ dựng mặt phẳng chứa SA 
và song song với BC 
Trong mặt phẳng ( )ABC qua A vẽ đƣờng thẳng  
song song với BC . Ta lấy điểm D  để tiện hình 
dung ra mặt phẳng( , )S  là mặt phẳng ( )SAD . 
Lúc này ta có: ( )BC AD DB SAD  
( , ) ( ,( )) ( ,( ))d BC SA d BD SAD d H SAD   
Ta có tam giác ABC vuông cân tại A nên 
AH BC AH AD   
Lúc này ta có bài toán tính ( ,( ))d H SAD trong tứ diện 
SHAD với ( )SH SAD và tam giác HAD vuông 
tại A giống hệ quả bài toán. Gọi K là hình chiếu của 
H trên SC nên theo hệ quả bài toán ta có: 
2 2
.
( ,( ) (*)
SH AH
d H SAD HK
SH AH
 

Với 
3
2
a
SH  ,tam giác ABC vuông cân tại A nên 
2 2
BC a
AH   . Thay vào (*) ta đƣợc: 
2 2
3
. 32 2( , )
43 1
4 4
a a
a
d BC SA HK
a a
  

Cách 2: Gọi K là hình chiếu của H trên SA 
Mặt khác ( )
BC AH
BC SAH BC HK
BC SH
 
   
 
 nên HK là đoạn vuông góc chung 
giữa hai đƣờng SA và BC . Ta cũng tính đƣợc 
3
( , )
4
a
d BC SA HK  
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 22 
Bài tập 14 (Đại học khối A 2010): Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , 
gọi M , N lần lƣợt là trung điểm của AB và AD , H là giao điểm của CN với DM . Biết 
SH vuông góc mặt phẳng ( )ABCD và  3SH a . Tính theo a khoảng cách từ DM đến 
SC . 
Bài giải 
Nhận thấy MD SH 
Ta có hai tam giác vuông AMD và DNC 
bằng nhau nên 
 NCD MDA 
Mà 
  090ADM CDH    090CHD  hay 
CN MD . Suy ra ( )MD SNC 
MD SC  . Rõ ràng MD và SC chéo nhau 
nhƣng lại vuông góc nên ta có thể tìm đoạn 
vuông góc chung cho dễ dàng. 
Dựng ( )HK SC K SC  và hiển nhiên 
HK MD hay HK là đoạn vuông góc chung 
giữa hai đƣờng MD và SC . 
2 2
.
( , ) (*)
SH HC
d DM SC HK
SH HC
 

Với 3SH a , 2 2
5
2
a
CN ND DC   , ta có: 
2
2 2.
5
CD a
CHCN CD CH
CN
    . 
Thay vào (*) ta đƣợc 
2 57
( , )
19
a
d DM SC HK  
Chú ý. Ở ba bài tập 12 , 13 và 14 vì hai đƣờng cần tính khoảng cách chéo nhau nhƣng lại 
vuông góc với nhau (tự chứng minh dễ dàng) đây là trƣờng hợp đặc biệt nên ta có thể tìm 
đoạn vuông góc chung của chúng dễ dàng nhƣ cách giải 2 ở hai bài tập 12 và 13 cũng nhƣ 
cách giải bài tập 14 sẽ ngắn gọn hơn mà không cần thông qua khoảng từ điểm đến mặt phẳng 
dựa vào yếu tố song song. Tuy nhiên nếu hai đƣờng đó chéo nhau mà không vuông góc thì 
đƣa về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng sẽ dễ hơn nhiều vì tìm ra đoạn vuông góc chung 
lúc đó khó hơn nhiều. Sau đây là bài toán hai đƣờng chéo nhau mà không vuông góc. 
Bài tập 15: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông tâm O , có cạnh bằng a , SA 
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a . Tính theo a khoảng cách từ AB đến SC và từ 
AC đến SD . 
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 23 
Bài giải 
Đây là khoảng cách hai đƣờng chéo nhau nhƣng 
không vuông góc ta cần đƣa về khoảng cách từ một 
điểm đến một mặt phẳng bằng cách dựa vào yếu tố 
song song. 
( )AB CD AB SCD 
( , ) ( ,( )) ( ,( ))d AB SC d AB SCD d A SCD   
Ta có bài toán tính ( ,( ))d A SCD trong tứ diện 
.S ACD với ( )SA ACD và tam giác ACD vuông 
tại D giống hệ quả bài toán. 
Gọi H là hình chiếu của A trên SD nên theo hệ quả 
bài toán ta có: 
2 2 2 2
. . 2
( ,( ))
2
SAAD aa a
d A SCD AH
SA AD a a
   
 
Để tính ( , )d AC SD ta sẽ dựng mp chứa SD và 
song song với AC 
Trong mặt phẳng ( )ABCD qua D vẽ đƣờng thẳng 
 song song với AC 
Lúc này muốn tạo ra tứ diện giống hệ quả bài toán trong mặt phẳng ( )ABCD qua A ta vẽ 
đƣờng thẳng AI cắt và vuông góc với  tại I , đồng thời cũng suy ra tứ giác AODI là hình 
chữ nhật nên AI OD . 
Lúc này ta có: ( ) ( , ) ( ,( )) ( ,( ))AC DI AC SDI d AC SD d AC SDI d A SDI     
Ta có bài toán tính ( ,( ))d A SDI trong tứ diện SADI với ( )SA ADI và tam giác ADI 
vuông tại I giống hệ quả bài toán. 
Gọi K là hình chiếu của A trên SI nên theo hệ quả bài toán ta có: 
2 2
.
( ,( )) (*)
AI SA
d A SDI AK
AI SA
 

, với 
2
,
2
a
AI OD SA a   
Thay vào (*) ta đƣợc: 
3
3
a
AK  . Vậy 
3
( , )
3
a
d AC SD  
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 24 
Bài tập 16 (Đại học khối A 2012): Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , 
hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ( )ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho 
2HA HB . Góc giữa SC và mặt phẳng ( )ABC là 060 . Tính theo a khoảng cách từ SA 
đến BC . 
Bài giải 
Ta cần dựng mặt phẳng chứa SA và song song 
với BC . Trong mặt phẳng ( )ABC dựng đƣờng 
thẳng  qua A và song song với BC , để tạo ra 
tứ diện giống hệ quả bài toán, trong mặt phẳng 
( )ABC qua H dựng đƣờng thẳng HM vuông 
góc và cắt  tại M . 
 Lúc này do ( )BC AM BC SAM  
( , ) ( ,( )d BC SA d BC SAM  ( ,( ))d B SAM 
Chú ý: BH cắt ( )SAM tại A và 
3
2
BA HA 
3
( ,( )) ( ,( ))
2
d B SAM d H SAM  
Ta có bài toán tính ( ,( ))d H SAM trong tứ diện 
AHAM với ( )SH HAM và tam giác HAM 
vuông tại M giống hệ quả bài toán. 
Gọi K là hình chiếu của H trên SM nên theo 
hệ quả bài toán ta có: 
2 2
.
( ,( )) (*)
SH MH
d H SAM HK
SH MH
 

. Ta có 
2 2
3 3
a
AH AB  , 
vì AM BC nên   060BAM ABC  (so le trong) 0
3
sin 60
3
a
MH AH   
Gọi D là trung điểm BC CD AB  và 
3 1
,
2 2 6
a a
CD DH HB   
2 2 2 23 1 7
4 36 3
a
HC CD DH a a     
Góc giữa SC và ( )ABC là góc  060SCH  nên 0
21
. tan60
3
a
SH HC  
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 25 
Thay vào(*) ta đƣợc 
42
12
a
HK  . Vậy 
3 42
( , )
2 8
a
d BC SA HK  
Bài tập 17 (Đại học khối A 2011): Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại 
B , 2AB BC a  , hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SAC cùng vuông góc mặt phẳng ( )ABC . 
Gọi M là trung điểm AB , mặt phẳng đi qua SM song song với BC , cắt AC tại N . Góc 
giữa mặt phẳng ( )SBC và mặt phẳng ( )ABC là 060 . Tính theo a khoảng cách từ AB đến 
SN . 
Bài giải 
Hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SAC cùng vuông 
góc với mặt phẳng ( )ABC nên ( )SA ABC . 
Mặt phẳng qua SM song song với BC (có M là 
trung điểm AB ) sẽ cắt AC tại trung điểm N 
của AC . 
Bằng cách làm tƣơng tự ta cần dựng mặt phẳng 
chứa SN và song song với AB . 
Trong mặt phẳng ( )ABC dựng đƣờng thẳng  
qua N và song song với AB , trong mặt phẳng 
( )ABC qua dựng đƣờng thẳng AK vuông góc 
và cắt  tại K và dễ thấy AK MN a  . 
Lúc này vì ( )AB NK AB SNK  nên 
( , ) ( ,( )) ( ,( ))d AB SN d AB SNK d A SNK  
Ta có bài toán tính ( ,( ))d A SNK trong tứ diện 
SANK với ( )SA ANK và tam giác ANK vuông tại K giống hệ quả bài toán. Gọi H là 
hình chiếu của A trên SK nên theo hệ quả bài toán ta có: 
2 2
.
( ,( )) (*)
SAAK
d A SNK AH
SA AK
 

Dễ suy ra đƣợc góc giữa hai mặt phẳng ( )SBC và ( )ABC là góc  060SBA  nên 
0. tan60 2 3SA AB a  vàAK a . Thay vào (*) ta đƣợc 
2 39
13
a
AH  
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 26 
Bài tập 18 (Đại học khối D 2008): Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác 
vuông, AB BC a  , cạnh bên ' 2AA a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính 
theo a khoảng cách từ AM đến 'B C . 
Bài giải 
Vì AB BC nên tam giác ABC chỉ có thể vuông tại 
B .Ta cần dựng mặt phẳng chứa AM và song song với 
'B C , gọi E là trung điểm 'BB nên 'ME B C 
Suy ra ' ( )B C AME nên 
( ' , ) ( ' ,( )) ( ,( ))d B C AM d B C AME d C AME  
Chú ý: BC cắt ( )AME tại M và CM BM nên 
( ,( )) ( ,( ))d C AME d B AME 
Ta có bài toán tính ( ,( ))d B AME trong tứ diện EABM với 
( )EB BMA giống bài toán 
Gọi N là hình chiếu của B trên AM , H là hình chiếu của 
B trên EN nên theo bài toán ta có: 
2 2
.
( ,( )) (*)
BN BE
d B AME BH
BN BE
 

Xét tam giác ABM vuông tại B ta có 
2 2
.
5
BM BA a
BN
BM BA
 

 và 
2
2
a
BE  
Thay vào (*) ta đƣợc: 
7
7
a
BH  . Vậy 
7
( ' , )
7
a
d B C AM  
Bài tập 19 (HSG tỉnh Đồng Nai 2012-2013 vòng 1): Cho hình chóp .S ABCD có đáy 
ABCD là hình chữ nhật, ( )SA ABCD , biết , 2 , 3AB a BC a SA a   . Gọi M và N 
lần lƣợt là trung điểm của SB và AD . Tính theo a khoảng cách giữa hai đƣờng AM và 
BN . 
Bài giải 
Ta sẽ dựng mặt phẳng chứa SA và song song với BN . 
Trong mặt phẳng ( )ABCD dựng qua A đƣờng thẳng song song với BN và cắt BC tại F . 
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 27 
Lúc này để tạo ra tứ diện có một cạnh vuông góc với đáy qua B ta dựng dựng đƣờng thẳng 
song song với SA và cắt AM tại E , ta sẽ có ( )EB ABCD 
Lúc này ta có ( )BN EAF nên ( , ) ( ,( )) ( ,( ))d BN AM d BN EAF d B EAF  
Ta có bài toán tính ( ,( ))d B EAF trong tứ diện EBAF với ( )EB BAF giống bài toán 
Gọi K là hình chiếu của B trên AF , H là hình chiếu của B trên EK nên theo bài toán ta 
có: 
2 2
.
( ,( )) (*)
BK BE
d B EAF BH
BK BE
 

Dễ thấy AFBN là hình bình hành nên BF AN a  . 
Trong tam giác ABF vuông tại B ta có: 
2 2 2 2
. .
2
BF BA aa aBK
BF BA a a
  
 
Do M là trung điểm của SB nên dễ thấy 3BE SA a  . Thay vào (*) ta đƣợc: 
21
( , )
7
a
d BN AM BH  . 
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 28 
Bài tập 20 (HSG tỉnh Đồng Nai 2013-2014 vòng 1): Cho hình chóp .S ABCD có đáy 
ABCD là hình vuông cạnh 2a , biết SAB là tam giác đều, góc giữa mặt phẳng ( )SCD và 
( )ABCD là 060 . Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( )ABCD , biết H nằm trong 
hình vuông ABCD , gọi M là trung điểm của AB . Tính theo a khoảng cách giữa hai đƣờng 
SM và AC . 
Bài giải 
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng ( )SCD 
và ( )ABCD 
Ta hạ SF CD ( )F CD , vì H là hình 
chiếu của S trên ( )ABCD nên 
( )CD SH CD SHF CD HF     T
heo đề bài ta suy ra 
 060SFH  . 
Vì AB CD ( )AB SHF  
Suy ra: AB SF và AB HF 
Mà AB SM (do tam giác SAB đều) 
Nên ( )AB SMF AB MF  
Mà AB HF nên suy ra ba điểm , ,M H F 
thẳng hàng và F là trung điểm của CD . 
Đặt ,MH x FH y  thì ta có 2 (1)x y MF a   
2 2 2 2tan60. 3 3 3 (2)SH FH y SM MH y a x       
Từ (1) và (2) suy ra: 
3
,
2 2
a a
x y  
3
2
a
SH  . Gọi O là tâm hình vuông ABCD 
Ta sẽ dựng mặt phẳng chứa SM và song song với AC , gọi I là trung điểm của BC 
MI AC  ( )AC SMI  nên ( , ) ( ,( )) ( ,( ))d AC SM d AC SMI d O SMI  
Ta có: HO cắt ( )SMI tại M và 
2 2
( ,( )) ( ,( ))
3 3
OM HM d O SMI d H SMI   
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 29 
Ta có bài toán tính ( ,( ))d H SMI trong tứ diện SHMI với ( )SH HMI giống bài toán 
Gọi K là hình chiếu của H trên MI và P là hình chiếu của H trên SK nên theo bài toán 
ta có: 
2 2
.
( ,( )) (*)
HK HS
d H SMI HP
HK HS
 

. Dễ thấy HK OB và 
3 3 2
4 4
HK OB a  . 
Thay vào (*) ta đƣợc 
3 5 2 5
( , )
10 3 5
a a
HP d AC SM HP    
Bài tập 21 (HSG tỉnh Đồng Nai 2014-2015 vòng 1): Cho hình lăng trụ 1 1 1 1.ABCDABC D có 
đáy ABCD là hình chữ nhật, 3 , 4AB a BC a  và 1 1 1AA AB AC  . Biết góc giữa 
1 1
( )ABBA và ( )ABCD là 060 . Tính thể tích khối lăng trụ 
1 1 1 1
.ABCDABC D và khoảng cách 
giữa hai đƣờng thẳng AC và 
1
AD . 
Bài giải 
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 30 
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD OA OB OC   và 
1 1 1
AA AB AC  
nên ta suy ra: 
1
( )AO ABCD 
Gọi E là trung điểm 
1 1
( )AB OE AB AB AOE AB AE      
Suy ra:   0 01 1 1 1( );( ) 60 .tan60 2 3ABBA ABCD AEO AO OE a     
Thể tích cần tìm: 33 .4 .2 3 24 3V a a a a  
Trong ( )ABCD qua D vẽ đƣờng thẳng song với AC và cắt AB tại F ACDF là 
hình bình hành. Vì 
1 1 1 1
( ) ( , ) ( ,( )) ( ,( ))AC ADF d AC AD d AC ADF d O ADF   
Gọi G là hình chiếu của O trên DF 
1
( )FG AGO FG OH    
Gọi H là hình chiếu của O trên 
1 1 1
( ) ( ,( ))AG OH ADF OH d O ADF    
Gọi I là hình chiếu của A trên ( )FD OG AI do AC FD   
2 2 2 2
. 3 .4 12
59 16
AF AD a a a
AI
AF AD a a
  
 
Khoảng cách cần tìm: 1
2 2 2
21
12
.2 3. 12 375
37144
12
25
a
aOGOA a
OH
OG OA a
a
  


Nhận Xét: Từ hai bài toán hết sức cơ bản nhưng ứng dụng của nó rất lớn để giải quyết một 
loạt bài toán.Hi vọng các em sẽ thấy những điều thú vị qua các bài toán trên cũng như lĩnh 
hội được những kiến thức nhất định để học tốt hơn bộ môn hình học không gian.Chúc các em 
thành công. 
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 31 
d) Bài Tập Tự Rèn Luyện 
Bài 1. Cho hình lập phƣơng . ' ' ' 'ABCDA B C D cạnh a . Tính theo a khoảng cách từ điểm 
D đến mặt phẳng ( ')ACD và khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng 'BC và 'CD . 
Bài 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và  060BAD  . Gọi O 
là giao điểm của AC và BD , biết ( )SO ABCD và 
3
4
a
SO  . Tính theo a khoảng cách 
từ các điểm O và A đến mặt phẳng ( )SBC . 
Bài 3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và 2 ,AB a BC a  , các 
cạnh bên bằng nhau và bằng 2a . Gọi E và F lần lƣợt là trung điểm của AB và CD , K là 
điểm bất kì thuộc cạnh AD . Chứng minh khoảng cách giữa hai đƣờng EF và SK không 
phụ thuộc vào K và tính theo a khoảng cách đó. 
Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính 
theo a khoảng cách giữa hai đƣờng AB và SC . 
Bài 5. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và 
B ,   2 ,AD a AB BC a , biết  ( )SA ABCD và  2SA a . Tính theo a khoảng cách 
giữa hai đƣờng AB và SC . 
Bài 6. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam 
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( )ABCD . Gọi M là trung điểm 
của AB . Tính theo a khoảng cách giữa AB và SD , CM và SA . 
Bài 7. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tam giác SAC cân tại 
S ,   060SBC , ( ) ( )SAC ABC ,   2 ,AD a AB BC a . Tính theo a khoảng cách từ 
điểm C đến mặt phẳng ( )SAB . 
Bài 8. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , biết  ( )SA ABCD 
và SA a . Gọi M là trung điểm của SA . Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến mặt 
phẳng ( )MCD . 
Bài 9. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đƣờng tròn 
đƣờng kính  2AD a , biết hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SAD cùng vuông góc với mặt đáy, 
SC tạo với đáy góc 045 . Tính theo a khoảng cách giữa đƣờng thẳng AD và mặt phẳng 
( )SBC . 
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 32 
Bài 10. Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCDA B C D có   2 , 2 , 'AB a BC a AA a , lấy 
điểm M trên AD sao cho  3AM MD . Tính theo a khoảng cách từ điểm M đến mặt 
phẳng ( ' )AB C . 
Bài 11. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a , gọi M và N lần lƣợt là trung điểm của 
BC và CD . Tính theo a khoảng cách giữa hai đƣờng AM và BN . 
Bài 12. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB CD , tam giác ABC 
vuông tại A ,      , 2 , 2AB a BC CD a SA SB SC a . Tính theo a khoảng cách 
giữa hai đƣờng AB và SC . 
Bài 13. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết  ( )SA ABC và 

6
2
a
SA . Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( )SBC . 
Bài 14. Cho hình chóp .S ABC ,    090 ,ABC SA AB BC a , biết  ( )SA ABC . Tính 
theo a khoảng cách giữa hai đƣờng AC và SB . 
Bài 15. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi,   0120 ,BAD BD a , biết 
 ( )SA ABCD , góc giữa mặt phẳng ( )SBC và mặt phẳng đáy là 600. Tính theo a khoảng 
cách từ điểm A đến mặt phẳng ( )SBC . 
Bài 16. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , 
  , 2 , 3CA a CB a SA a , gọi D là trung điểm của AB , biết  ( )SA ABC . Tính theo a 
khoảng cách giữa AC và SD , BC và SD . 
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 33 
PHẦN III: KẾT LUẬN 
- Kết quả thực tế thu đƣợc là học sinh bắt đầu giải đƣợc một số bài toán một cách 
tƣơng đối, biết tìm đƣơc mối liên hệ đƣa về bài toán gốc để giải, các bài tập hơi khó 
các em bắt đầu giải quyết đƣợc, tuy nhiên một số bài tập khó các em vẫn lúng túng khi 
đƣa về bài toán gốc.Dù sao kết quả bƣớc đầu nhƣ vậy là rất khả quan vì ngay từ đầu 
các em còn chƣa giải đƣợc hầu hết các bài toán. 
- Qua đó ta thấy để tƣ duy của học sinh phát triển một cách có hệ thống thì ta phải 
hƣớng dẫn cho học sinh thấy đƣợc mối liên hệ giữa các giả thiết và kết luận bài toán, 
việc thay đổi giả thiết sẽ làm cho học sinh tƣ duy, phân tích đƣợc để sử dụng triệt để 
giả thiết đó. 
-Trên đây là những kinh nghiệm mà bản thân tôi đã rút ra đƣợc trong thời gian 
công tác và dạy bồi dƣỡng học sinh giỏi. Tất nhiên sẽ còn những thiếu sót nhất định. 
Rất mong nhận đƣợc sự góp ý chân thành của quý thầy cô đồng nghiệp giúp cho chất 
lƣợng dạy và học môn Toán theo định hƣớng phát triển tƣ duy của học sinh ngày một 
đạt hiệu quả cao hơn. Xin chân thành cảm ơn. 
Nhơn trạch, ngày 20 tháng 05 năm 2015 
Ngƣời viết đề tài 
 Nguyễn Kiều Linh 
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 34 
Tài liệu tham khảo 
1.Tạp chí toán học và tuổi trẻ 
2.Bồi dƣỡng hình học không gian_Phan Huy Khải 
3.Bài tập nâng cao hình học 11_NXBGD 
4.Một số đề thi thử đại học_vnmath.com 
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 35 
Mục Lục 
 Trang 
Sơ yếu lý lịch khoa học.......... 1 
Phần I: Phần mở đầu... 2 
Phần II: Nội Dung... 8 
 a) Các lý thuyết 8 
 b) Các bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.. 10 
 c) Các bài tập tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau... 18 
 d) Bài tập tự rèn luyện. 30 
Phần III: Kết Luận.. 32 
Tài liệu tham khảo.. 33 
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GV: Nguyễn Kiều Linh 
 Ứng Dụng Một Bài Toán Để Tính Khoảng Cách Trong Không Gian 36 
SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
Trƣờng THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Độc lập- Tự do- Hạnh phúc 
 Nhơn trạch, ngày 20 tháng 5 năm 2015 
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
Năm học: 2014-2015 
Tên sáng kiến kinh nghiệm:“Ứng dụng một bài toán để tính khoảng cách trong không 
gian” 
Họ và tên tác giả : Nguyễn Kiều Linh 
Đơn vị : Tổ chuyên môn Toán, Trƣờng THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm 
Lĩnh vực : 
Quản lý giáo dục  Phƣơng pháp dạy học bộ môn  
Phƣơng pháp giáo dục  Lĩnh vực khác  
1. Tính mới : 
- Có giải pháp hoàn toàn mới  
- Có giải pháp cải tiến , đổi mới từ giải pháp đã có  
2. Hiệu quả: 
- Hoàn toàn mới và đã triễn khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao  
- Có tính cải tiến , đổi mới từ giải pháp đã có và đã triễn khai trong toàn ngành có hiệu 
quả  
- Hoàn toàn mới và đã triễn khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao  
- Có tính cải tiến , đổi mới từ giải pháp đã có và đã triễn khai tại đơn vị có hiệu quả  
3. Khả năng áp dụng : 
- Cung cấp đƣợc các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đƣờng lối chính sách 
 Tốt  Khá  Đạt  
- Đƣa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ 
đi vào cuộc sống: 
 Tốt  Khá  Đạt  
- Đã đƣợc áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả 
trong phạm vi rộng: 
 Tốt  Khá  Đạt  
NGƢỜI THỰC HIỆN SKKN XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ 
 TỒ CHUYÊN MÔN